精品解析：天津市北辰区2025-2026学年度第二学期阶段练习 八年级 数学

2025-2026学年度第二学期阶段练习 八年级 数学 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，2 B. C. 4，5，6 D. 3. 估计的值在( ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和6之间 D. 6和之间 4. 如图，原点为，点在数轴上，且，，于，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点右侧），则点表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 2.3 5. 如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 3 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对边相等的平行四边形是矩形 7. 如图，已知菱形的对角线AC；BD交于点O，E为CD的中点，若，则菱形的周长为（ ）． A. 18 B. 48 C. 24 D. 12 8. 如图，已知菱形的顶点且，则菱形两对角线的交点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 10. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（　　） A. 55° B. 40° C. 35° D. 20° 11. 如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，作交于点，连接，若，则的长为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，矩形ABCD中，，点E、F分别在边AB、CD上，点O是EF与AC的交点，且点O是线段EF的中点，沿AF、CE折叠，使AD、CB都落在AC上，且D、B恰与点O重合．下列结论：①°；②点E是AB的中点；③四边形AECF是菱形；④AD的长是．其中正确的结论有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 14. ______． 15. 如图所示，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根处，折断处的高度为，则这棵树折断前高__________． 16. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为______． 17. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 18. 有10个边长为1的小正方形，排列形式如图（1），请将其分割，拼接成一个正方形．①拼接后的正方形的边长等于________．②在图（1）中画出分割线，在图（2）中画出拼接后的正方形（网格中小正方形的边长为1）． 三、解答题（本小题8分） 19. 计算： （1）； （2） （3）； （4） 20. 如图，四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，AD＝，CD＝3，且∠ABC＝90°．求四边形ABCD的面积． 21. 已知：，，分别求下列代数式的值： （1） （2） 22. 如图，等边的边长是6，D，E分别为，的中点，延长至点F，使，连接和． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求的长． 23. 如图，四边形是矩形，对角线、相交于点O， 交DC的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作且，连接AE交OD于点F，连接OE． （1）求证：； （2）若菱形ABCD的边长为4，，求AE的长． 25. 如图，四边形是正方形，边的长为是上任意一点，连接，把正方形进行折叠，使点A落在上的点处，此时，与重合，与重合，折痕为，且与交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）当为的中点时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期阶段练习 八年级 数学 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0列出不等式，解不等式即可. 【详解】若在实数范围内有意义，则，解得,故选A. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数. 2. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，2 B. C. 4，5，6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断三边能否组成直角三角形，利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； B、，能作为直角三角形的三边长，符合题意； C、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选：B． 3. 估计的值在( ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和6之间 D. 6和之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的估算得出的大小范围，即可得答案. 【详解】∵16<23<25， ∴，即4<<5， 故选B. 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，根据题意估算出的大小范围是解答此题的关键． 4. 如图，原点为，点在数轴上，且，，于，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点右侧），则点表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 2.3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴．根据勾股定理求出，进而即可得出结论． 【详解】解：在中，，， ． 以为圆心，以为半径画弧，交数轴的正半轴于点， ， 点表示的实数是． 故选：B． 5. 如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线的作法和性质是解题关键．首先根据勾股定理解得的值，由作图可知，垂直平分，易得；设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， 设，则， 在中，可有， ∴，解得， ∴． 故选：C． 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对边相等的平行四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形、矩形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故A错误． B选项，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故B错误． C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合矩形的判定定理，故C正确． D选项，对边相等是所有平行四边形都具有的性质，无法判定该平行四边形是矩形，故D错误． 7. 如图，已知菱形的对角线AC；BD交于点O，E为CD的中点，若，则菱形的周长为（ ）． A. 18 B. 48 C. 24 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA， ∴△COD为直角三角形， ∵OE＝6，点E为线段CD的中点， ∴CD＝2OE＝12， ∴C菱形ABCD＝4CD＝4×12＝48， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出CD． 8. 如图，已知菱形的顶点且，则菱形两对角线的交点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点A作AE⊥OC于E，根据点O、C坐标可得OC=2，根据菱形的性质可得OA=OC=2，点D为AC中点，由∠AOC=60°，利用∠AOC的三角函数值可求出OE、AE的长，即可得出点A坐标，进而根据点A、C坐标即可点D坐标． 【详解】如图，过点A作AE⊥OC于E， ∵， ∴OC=2， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA=OC=2，点D为AC中点， ∵∠AOC=60°， ∴，=， ∴A（1，）， ∵，， ∴点D坐标为（，）． 故选：B 【点睛】本题考查菱形的性质及三角函数的定义，熟练掌握菱形的性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 9. 在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】结合格点的特点利用勾股定理求得AB2，AC2，BC2，然后利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状，从而利用三角形面积求解． 【详解】解：由题意可得： ∵ ∴△ABC是直角三角形 又∵是的高 ∴， ，解得： 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理，利用网格特点，准确计算是解题关键． 10. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（　　） A. 55° B. 40° C. 35° D. 20° 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD=55°，由直角三角形的性质求出∠ODE=20°，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OC=OD， ∴∠ODC=∠OCD， ∵∠AOD=110°， ∴∠DOE=70°，∠ODC=∠OCD=（180°-70°）=55°， ∵DE⊥AC， ∴∠ODE=90°-∠DOE=20°， ∴∠CDE=∠ODC-∠ODE=55°-20°=35°； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 11. 如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，作交于点，连接，若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查基本作图-作角平分线，掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识是解题的关键． 如图，过点作交于．证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明，推出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点作交于． 四边形是平行四边形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 12. 如图，矩形ABCD中，，点E、F分别在边AB、CD上，点O是EF与AC的交点，且点O是线段EF的中点，沿AF、CE折叠，使AD、CB都落在AC上，且D、B恰与点O重合．下列结论：①°；②点E是AB的中点；③四边形AECF是菱形；④AD的长是．其中正确的结论有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD是矩形，D是EF的平分点，可得，可知O是AC的平分点，可证≌（SAS），，，可得，则≌（SAS），可知，则①正确；因为，可得，由≌，所以，则E是AB的三等分点，则②错误；因为AC、EF相互垂直平分，，四边形AECF是菱形，则③正确；由，可得，由此可知故④正确． 【详解】解：根据题意得：， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴， ∵O是EF的平分点， ∴， ∵≌（SAS）， ∴，， ∴， ∴≌（SAS）， ∴， ∴①正确； ∴， ∴， ∵是由翻折的， ∴≌， ∴， ∴E是AB的三等分点， ∴②错误； ∵AC、EF相互垂直平分，， ∴四边形AECF是菱形， ∴③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形性质和判定，直角三角形的特殊角的性质，熟练运用全等三角形的性质是解决本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 14. ______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 15. 如图所示，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根处，折断处的高度为，则这棵树折断前高__________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长度，进而即可求出这棵树折断前高度． 【详解】解：根据题意得，， 在中，， ， 这棵树折断前高为， 故答案为：18 16. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，二次根式的乘法． 先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，根据长方形的面积列式计算，即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴这两个小正方形的边长分别为，， ∴余下部分的面积为． 故答案为：． 17. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键； （1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解， （2）作辅助线，构造中位线求解即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ； （2）延长到点，使，连接 由点向作垂线，垂足为 ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， 在中， ， ， 在中，， 为的中位线， ； 故答案为：2；. 18. 有10个边长为1的小正方形，排列形式如图（1），请将其分割，拼接成一个正方形．①拼接后的正方形的边长等于________．②在图（1）中画出分割线，在图（2）中画出拼接后的正方形（网格中小正方形的边长为1）． 【答案】（1）； （2）解析如图所示，即为所求． 【解析】 【详解】解：（1）拼接后的正方形的面积等于 则边长等于； （2）略． 三、解答题（本小题8分） 19. 计算： （1）； （2） （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 如图，四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，AD＝，CD＝3，且∠ABC＝90°．求四边形ABCD的面积． 【答案】． 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，再分别求出△ABC和△ACD的面积即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2，由勾股定理得：AC＝， ∵AD＝，CD＝3， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记知识点是解此题的关键． 21. 已知：，，分别求下列代数式的值： （1） （2） 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ 22. 如图，等边的边长是6，D，E分别为，的中点，延长至点F，使，连接和． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：分别为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出，再利用平行四边形的判定方法得出答案； （2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出，，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， 为的中点，等边三角形的边长为6， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键． 23. 如图，四边形是矩形，对角线、相交于点O， 交DC的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，， 又 ， 四边形是平行四边形， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． （1）根据矩形的对角线相等可得，然后证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得，从而得证； （2）根据矩形的对角线互相平分求出的长度，再根据角所对的直角边等于斜边的一半求出的长度，然后利用勾股定理求出的长度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在矩形中，，， ， ， ， ． 24. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作且，连接AE交OD于点F，连接OE． （1）求证：； （2）若菱形ABCD的边长为4，，求AE的长． 【答案】 （1）证明：连接EC， ∵四边形ABCD是菱形 ∴OA=OC=AC，AD=AB. ∵DE//AC且DE=AC ∴DE=OA=OC ∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形， ∴OE=AD， ∴OE=AB； （2） 【解析】 【分析】(1)连接EC,由菱形ABCD中，DE//AC且DE=AC，易证得四边形OADE是平行四边形，继而可得OE=AB即可； (2)由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形OCED是矩形，根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可. 【详解】（1）略 (2)∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形，∴∠OCE=90°. ∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°， ∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=4，∴AO=AC=2， ∴在矩形OCED中，CE=OD==2 ∴在Rt△ACE中，AE==2 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形OADE是平行四边形，四边形OCED是矩形是关键; 25. 如图，四边形是正方形，边的长为是上任意一点，连接，把正方形进行折叠，使点A落在上的点处，此时，与重合，与重合，折痕为，且与交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）当为的中点时，求的长． 【答案】（1） 证明：由折叠的性质，得， 根据等腰三角形的“三线合一”， ，即． （2） 证明：由（1）可得， ． 又四边形是正方形， ， ， ， （ASA）． （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质和等腰三角形的性质即可得证； （2）根据垂直的定义、正方形的性质利用即可得证； （3）根据正方形的性质及勾股定理得出，再证明，然后根据相似三角形的性质即可得出，最后根据勾股定理及线段的和差即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形是正方形，，点为的中点， ， 由勾股定理，得， ． 又， ． ， ， ， 即， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、正方形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $