第四章三角形解答题专项（难）2025-2026学年北师大七年级下册数学

2026年北师大七年级下册数学第四章三角形解答题专项（难） 1.本小题分在中，，，是边上一点，过点作射线，过点作于点，过点作于点． 求证：； 取中点，连接、，依题意补全图，猜想线段、、的数量关系，并证明． 2.本小题分两个三角形中，如果存在一组对顶角，另外一组角也分别相等，那么这两个三角形的第三组角也相等，这样的模型俗称八字模型，八字模型为寻找全等带来极大便利，如图所示，图中，，是的高，与相交于点． 根据模型可以得到第三组角                      ； 如图所示，若的面积是，，则           ，           ，的面积是          ； 在非直角三角形中八字模型依然成立，同时，添加辅助线是解决一些几何问题的关键，如图所示，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积． 3.本小题分某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，点是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请补充完整证明“≌”的推理过程． 求证：≌． 证明：延长到点，使． 在和中， ≌________________． 由的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是          ； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图，中，，，是的中线，，，且，求的长． 4.本小题分在中，，，直线经过点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，． 特例体验如图，若直线，，则线段的长为          ． 探究应用如图，若直线从图状态开始绕点顺时针旋转时，线段，和的数量关系是__________； 如图，若直线从图状态开始绕点顺时针旋转时与线段相交，探究线段，和的数量关系并说明理由； 若，均为正数，当时，请你直接写出以点，，，为顶点的四边形的面积． 5.本小题分如图，在四边形中，，，，是边上一点，是的延长线上一点，且． 求证：； 若点在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； 若将题中条件“，”改为“，，点在边上”，则当满足什么条件时，中结论仍然成立？只写结果即可 6.本小题分如图，在中，，为边上任意一点，连接已知，分别是，的高． 作图：请在图上直接作出中边上的高； 探究：通过观察、测量，你发现，，之间的数量关系为          ； 为了说明，，之间的数量关系，小明是这样做的： 因为          ， 所以           ． 因为， 所以          请完成填空． 拓展：当点在如图的位置时，试判断中，，之间的数量关系是否仍然成立．并说明理由． 7.本小题分观察并探索下列各问题，写出你通过观察得到的结论． 如图，在中，为边上一点，则           ；填“”“”或“” 将上题中的点移到内得图，试观察比较的周长与的周长的大小，并说明理由； 将上题中的点变为两个点，得图，试观察比较四边形的周长与的周长的大小，并说明理由． 8.本小题分如图，在中，为高线，点为上一点，，连接，交于点，若． 猜想线段与的位置关系，并说明理由． 若动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，运动的时间为秒． 当点在线段上时，是否存在的值，使得的面积为若存在，请求出的值若不存在，请说明理由． 动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动点是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出的值． 9.本小题分如图，在等腰三角形中，，，是边的中点，点在线段上，从向运动，同时点在线段上从点向运动，速度都是个单位秒，时间是秒，连接，，，． 请判断形状，并证明你的结论． 以，，，四点组成的四边形面积是否发生变化？若不变，求出这个值；若变化，用含的式子表示． 10.本小题分如图，在正方形中，，的两边分别与线段，相交于点，点不与点，重合，点不与点，重合． 图 填空：线段，，之间的数量关系是          ； 如图，是的中点，连接，作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，求证：． 图 11.本小题分 如图，和均为等边三角形，连接，． 请判断：线段与的大小关系是          ． 观察图，当和分别绕点旋转时，，之间的大小关系是否会改变？ 观察图和图，若四边形和四边形都是正方形，猜想类似的结论是________，并证明你的猜想． 这些结论可否推广到任意正多边形不必证明？如图，与的关系是________；它们分别在哪两个全等三角形中？ 六边形为正六边形，请在图中标出较小的正六边形的另五个顶点，连接图中哪两个顶点，能构造出两个全等三角形？ 12.本小题分如图，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 如图，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究，，之间的数量关系． 13.本小题分某数学兴趣小组在一组课题学习活动中，对以下问题进行了研究：在中，，，为上一点，连接，过点作，且，连接交于点，连接． 小组成员猜想：如图，当点与点重合时，，试判断小组成员的猜想是否正确并说明理由 如图，当点在线段的延长线上时，请判断与之间有何数量关系，并说明理由． 14.本小题分如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动，同时点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动，设运动时间为秒． 用含的代数式表示线段的长； 若点的运动速度相等，时，与是否相等？请说明理由； 若点的运动速度不相等，与全等时，求的值． 15.本小题分如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且求证：； 如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，中的结论是否仍然成立？请说明理由； 如图，在四边形中，，，，分别是边，延长线上的点，且，中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 16.本小题分【问题发现】如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使连接，先说明，再说明，即可得出结论，他的结论应是           【问题探究】如图，在四边形中，，，分别是，上的点，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由 【拓展延伸】如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足，请直接写出与的数量关系． 17.本小题分综合与探究 【问题发现】如图，在和中，，，，，三点在同一直线上，，，则的长为          ． 【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． 【问题解决】如图，在四边形中，，，，，求的面积提示：在一个三角形中，相等的角所对的边也相等． 18.本小题分如图，在中，，，过点任作一条直线，过作于，过作于． 如图，当直线在的外部时，，，有什么数量关系呢？为什么？ 如图，当直线经过内部时，中的结论是否仍然成立？请说明理由． 19.本小题分如图所示，直线，与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线，分别相交于点，． 如图所示，当直线与直线垂直时，猜想线段，，之间的数量关系 如图所示，当直线与直线不垂直且交点，都在的同侧时，中的结论是否仍然成立并说明理由 当直线与直线不垂直且交点，在的异侧时，中的结论是否仍然成立如果成立，请说明理由如果不成立，请直接写出线段，，之间的数量关系． 20.【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图和图所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图和图中选择一个模型证明． 【内化迁移】 在中，，，点为射线上一动点点不与点重合，连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． 如图，当点在线段上时，过点作于，求的长度； 如图，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 21.本小题分在中，，，点和点分别在和上，，，垂足在的延长线上． 如图，当点与点重合时， 的度数为________； 证明：； 如图，当点在线段上时点与，不重合，和的数量关系是否会发生变化？若有变化，请求出变化后的数量关系，若没有变化，请说明理由． 22.本小题分综合与实践： 【基础巩固】如图，已知与相交于点，，是的中点，求证：． 【深入探究】如图，在的条件下，过点，分别作于点，于点，若． 试判断与是否全等，并证明你的结论； 当，时，求的长． 【拓展探究】如图，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连结，，并且延长到点，使；延长到点，使，连结并延长到点，使，，三点在同一条直线上．若测量出，则河流，请说明理由． 23.本小题分综合与实践． 【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三边中线的交点叫作这个三角形的重心．如图，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图中的值． 【解决问题】若的面积为，求的面积；在的条件下，求的值； 【拓展应用】如图，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年北师大七年级下册数学第四章三角形解答题专项（难） 1.(本小题8分)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,G是AB边上一点，过点G作射线CP,过点A作AM1 CP于点M,过点B作BN⊥CP于点N. G (1)求证：CM=BN; (2)取AB中点O,连接OM、OW,依题意补全图，猜想线段BN、AM、OM的数量关系，并证明. 2.(本小题8分)两个三角形中，如果存在一组对顶角，另外一组角也分别相等，那么这两个三角形的第三 组角也相等，这样的模型俗称八字模型，八字模型为寻找全等带来极大便利，如图所示，图1中，AD, BE是△ABC的高，AD与BE相交于点F, D 图1 图2 (1)根据模型可以得到第三组角ㄥ=ㄥ； (2)如图1所示，若△ACD的面积是12，AD=BD=6,则CD=一，AF=一， △ABF的面积 是 (3)在非直角三角形中八字模型依然成立，同时，添加辅助线是解决一些几何问题的关键，如图2所示， 在RtABC中，LABC=90°，BD是高，E是◆ABC外一点，BE=BA,∠E=∠C,若DE=号BD, AD=16,BD=20,求△BDE的面积. 第1页，共13页 3.(本小题8分)某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=6, AC=8,点D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请补充完整证明 “△ABD≌△ECD”的推理过程. D D 图1 图2 (1)求证：△ABD≌△ECD 证明：延长AD到点E,使DE=AD. 在△ABD和△ECD中， AD=ED(), LADB=LEDC(), BD= (中点定， ∴△ABD≌△ECD(C (2)由(1)的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散 的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中， 【问题解决】 如图2，△ABC中，∠B=90°，AB=2,AD是△ABC的中线，CE1BC,CE=4,且∠ADE=90°，求AE 的长 第2页，共13页 4.(本小题8分)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线经过点A,过点B,C分别作的垂线，垂足分别 为D,E (1) (2) (3 (1)[特例体验](1)如图(1)，若直线//BC,BD=1,则线段DE的长为 (2)[探究应用](2)如图(2)，若直线从图(1)状态开始绕点A顺时针旋转a(0°<<45)时，线段BD,CE和 DE的数量关系是 (3)如图(3)，若直线从图(1)状态开始绕点A顺时针旋转a(45°<a<90)时与线段BC相交，探究线段BD, CE和DE的数量关系并说明理由： (④若BD=a,CE=b(a,b均为正数)，当0°<a<90时，请你直接写出以点B,D,C,E为顶点的四边形 的面积. 5.(本小题8分)如图，在四边形ABDC中，DC=DB,∠A=60°，∠CDB=120°，E是边AC上一点，F是AB 的延长线上一点，且CE=BF. B (1)求证：DE=DF; (②)若点G在边AB上，且LEDG=60°，试猜想CE,EG,BG之间的数量关系，并说明理由； (3)若将题中条件“∠A=60°，∠CDB=120”改为“∠CAB=a,∠CDB=180°-，点G在边AB上”， 则当∠EDG满足什么条件时，(2)中结论仍然成立？（只写结果即可） 第3页，共13页 6.(本小题8分)如图①，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上任意一点，连接AD.已知DE,DF分别是 △ABD,△ACD的高. D 图① 图② (1)作图：(I)请在图①上直接作出△ABC中AC边上的高BG: (2)探究：(2)通过观察、测量，你发现DE,DF,BG之间的数量关系为一； (3)为了说明DE,DF,BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为S△ABC=_+S△ACD, 所以号AC·BG=AB·DE+ 因为AB=AC, 所以 (请完成填空) (3)拓展：(4)当点D在如图②的位置时，试判断(1)中DE,DF,BG之间的数量关系是否仍然成立.并说明 理由. 7.(本小题8分)观察并探索下列各问题，写出你通过观察得到的结论 (1)如图(1)，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PCAB+AC;(填“>”“<”或“=”) B P (1) (2)将上题中的点P移到△ABC内得图(2)，试观察比较△BPC的周长与·ABC的周长的大小，并说明理由； 第4页，共13页 (2) (3)将上题中的点P变为两个点P1,P2得图(3)，试观察比较四边形BP1P2C的周长与·ABC的周长的大小， 并说明理由. PP B (3) 8.(本小题8分)如图，在△ABC中，AD为高线，AC=12.点E为AC上一点，CE=2AE,连接BE,交AD于 点O,若△BD0兰△ADC. A A E E B D B D 备用图 (1)猜想线段B0与AC的位置关系，并说明理由， (2)若动点Q从点A出发沿射线AE以每秒4个单位长度的速度运动，运动的时间为t秒， ①当点Q在线段AE上时，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为18？若存在，请求出t的值；若不存在，请说 明理由. ②动点P从点O出发沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P,Q两点同时出发，当点P到达 点B时，P,Q两点同时停止运动.点F是直线BC上一点，且CF=AO,当△A0OP与△FCQ全等时，请直接写 出t的值. 第5页，共13页 9.(本小题8分)如图，在等腰三角形ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=8,D是BC边的中点，点E在线段 AB上，从B向A运动，同时点F在线段AC上从点A向C运动，速度都是1个单位/秒，时间是t 秒(0<t<8),连接AD,DE,DF,EF. (1)请判断△EDF形状，并证明你的结论 (②)以A,E,D,F四点组成的四边形面积是否发生变化？若不变，求出这个值；若变化，用含t的式子表 示 10.(本小题8分)如图1，在正方形ABCD中，∠GAH=45°，∠GAH的两边分别与线段BC,CD相交于点E, F(点E不与点B,C重合，点F不与点C,D重合). H 图1 B E (1)填空：线段BE,EF,DF之间的数量关系是一； (2)如图2，P是EF的中点，连接AP,作点E关于直线AB的对称点E',作点F关于直线AD的对称点F',连 接E′F,求证：E'F1=2AP F H 图2 B 第6页，共13页 11.(本小题8分) 如图①，△ABD和△AEC均为等边三角形，连接BE,CD. ① © (1)请判断：线段BE与CD的大小关系是 (2)观察图②，当△ABD和△AEC分别绕点A旋转时，BE,CD之间的大小关系是否会改变？ (③)观察图③和图@，若四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，猜想类似的结论是 ,并证明你 的猜想 E 3 ④ ⑤ ⑥ (④这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）？如图⑤，BB1与EE1的关系是一一一；它们分别在哪 两个全等三角形中？ (5)六边形ABCDEF为正六边形，请在图⑥冲标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪 两个顶点，能构造出两个全等三角形？ 12.(本小题8分)1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E,F分 别是BC,CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系. (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF= 号∠BAD,探究BE,BF,FD之间的数量关系. B 图1 图2 第7页，共13页 13.(本小题8分)某数学兴趣小组在一组课题学习活动中，对以下问题进行了研究：在△ABC中，∠ACB= 90°，AC=BC,F为BC上一点，连接AF,过点A作AD L AF,且AD=AF,连接BD交AC于点E,连接DF. D E B C(F) B C F 图① 图② (1)小组成员猜想：如图①，当点C与点F重合时，BF=2CE,试判断小组成员的猜想是否正确？并说明理 由 (2)如图②，当点F在线段BC的延长线上时，请判断BF与CE之间有何数量关系，并说明理由. 14.(本小题8分)如图，在△ABC中，∠B=∠C,AB=32,BC=24,点D为AB的中点，点P在线段BC上以 每秒6个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运 动时间为t(秒)(0≤t≤8). B (1)用含t的代数式表示线段PC的长： (2)若点P,Q的运动速度相等，t=时，LDPQ与∠B是否相等？请说明理由： (3)若点P、Q的运动速度不相等，△BPD与△CQP全等时，求a的值. 第8页，共13页 15.(本小题8分)(1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°，E,F分别是边BC,CD 上的点，且∠EAF=BAD,求证：ER=BE+DF; (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC+LADC=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EAF=∠BAD,(①)中的结论是否仍然成立？请说明理由： (3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD延长线上的点， 且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关 系，并证明 ① ② ③ 16.(本小题8分)1)【问题发现】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是 BC,CD上的点，且EF=BE+FD,试猜想图中∠BAD与LEAF的数量关系.小王同学解决此问题的方法 是：延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先说明△ABE兰△ADG,再说明△AEF≌△AGF,即可得出结 论，他的结论应是； (2)【问题探究】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180.E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,试探究LBAE,∠FAD,∠EAF之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD中，LABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上， 点F在CD的延长线上，仍然满足EF=BE+FD,请直接写出LBAD与LEAF的数量关系 G D D B A B E B 图1 图2 图3 第9页，共13页 17.(本小题8分)综合与探究 (1)【问题发现】如图①，在Rt△ABC和Rt△CED中，∠B=∠E=∠ACD=90°，AC=CD,B,C,E三点 在同一直线上，AB=3,ED=4,则BE的长为一· D ① (2)【问题提出】如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=4,过点C作CD1AC,且CD=AC,求 △BCD的面积. D ② (3)【问题解决】如图③，在四边形ABCD中，LACB=90°，AC=CB,∠ADC=45°，S。AcD=12,CD= 6求△BCD的面积（提示：在一个三角形中，相等的角所对的边也相等） B ③ 18.(本小题8分)如图，在·ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过C点任作一条直线PQ,过A作AM1PQ于 M,过B作BN⊥PQ于N. (1)如图1，当直线MN在·ABC的外部时，MN,AM,BN有什么数量关系呢？为什么？ 图1 第10页，共13页 (2)如图2，当直线MN经过·ABC内部时，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由， 0 图2 19.(本小题8分)如图所示，直线MA/NB,∠MAB与∠NBA的平分线交于点C,过点C作一条直线l与两条直 线MA,NB分别相交于点D,E. N M B 图(1) 图(2) 备用图 (1)如图(1)所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD,BE,AB之间的数量关系； (2)如图(2)所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D,E都在AB的同侧时，(1)中的结论是否仍然成立？并说 明理由； (3)当直线与直线MA不垂直且交点D,E在AB的异侧时，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理 由；如果不成立，请直接写出线段AD,BE,AB之间的数量关系. 20.(1)【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2 所示的“一线三等角”型. 乐实黄实 赵爽弦图 图1 图2 第11页，共13页 己知，AC=CE,∠ABC=∠ACE=∠EDC=90°，请在图1和图2中选择一个模型证明△ABC兰△CDE. (2)【内化迁移】 在aABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3,点D为射线BC上一动点（点D不与点B重合），连接AD,以AD为 直角边，在AD的右侧作三角形ADE,使∠DAE=90°，AD=AE. A M B 图3 图4 备用图 ①如图3，当点D在线段BC上时，过点E作EF L AC于F,求EF的长度： ②如图4，连接BE,交直线AC于点M,点D在运动过程中，若S。ABD=3S。AME,请直接写出BD的长. 21.(本小题8分)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D和点M分别在AC和BC上，∠CMD=ABC, CN⊥MD,垂足N在MD的延长线上. D N B(M) 图1 图2 (1)如图1，当点M与点B重合时， ①LDCN的度数为： ②证明：CN=BD: (2)如图2，当点M在线段BC上时（点M与B,C不重合），CN和MD的数量关系是否会发生变化？若有变化， 请求出变化后的数量关系，若没有变化，请说明理由. 第12页，共13页 22.(本小题8分)综合与实践： G ① ② ③ (1)【基础巩固】如图①，己知AB与EF相交于点G,∠A=∠B,G是AB的中点，求证：△AEG兰△BFG. (2)【深入探究】如图②，在(1)的条件下，过点E,F分别作ED1AG于点D,FC1BG于点C, 若AD=DE, ①试判断△EDG与△FCG是否全等，并证明你的结论； ②当ED=5cm,CG=2cm时，求AB的长. (3)【拓展探究】如图③，要测量河流AH的长，因为无法测河流附近的点A,可以在AH外任取一点G,在 AH的延长线上任取一点E,连结EG,HG,并且延长HG到点C,使GC=HG;延长EG到点F,使GF=EG, 连结FC并延长到点B,使B,G,A三点在同一条直线上.若测量出BC=50m,则河流AH=50m,请说明 理由. 23.(本小题8分)综合与实践： 【探究课题】三角形重心性质的探究. 【课本重现】三角形三边中线的交点叫作这个三角形的重心.如图1，取一块质地均匀的三角形纸 板ABC,如果用一根细绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态. 【提出问题】探究图1中0的值. ()【解决问题】（①）若△B0c的面积为m,求△A0B的面积：（②在（①）的条件下，求品的值： (②)【拓展应用】(3)如图2，在△ABC中，点O是△ABC的重心.连接B0,CO并延长分别交AC,AB于 点D,E.若B01CO,BD=6,CE=9,直接利用上面的结论，求四边形AEOD的面积. 第13页，共13页参考答案 1.【答案】解：1)补全图形如图， B 证明：：AM⊥CP,BN⊥CP, ∠AMC=∠BNC=90°， ·∠ACM+∠CAM=90°， :∠ACB=90°， .∠ACM+∠BCN=90o, ·∠CAM=∠BCN, AC=BC :△ACM≌△CBN(AAS): :CM=BN. (②)依题意补全图形如图， G C B 结论： AM=BN+2OM 证明：连接0C, :∠ACB=90°，AC=BC,O是AB的中点， ·0C=0B,∠AC0=∠CB0=45°， :△ACM≌△CBN, 第1页，共1页 :AM=CN,∠OCM+∠AC0=∠CBO+∠OBN, ∠OCM=∠OBN, CM=BN :△OCM≌△OBN(SAS): :OM=ON,∠C0M=∠B0N, :∠C0M+∠M0B=90o, .∠BON+∠MOB=90°， .∠M0N=90°， :MN=20M' .AM=CN=CM+MN=BN+20M 2.【答案】【小题1】 DAC DBF 【小题2】 2 6 【小题3】 如图，在BD上截取BF=DE,连接AF, G A 因为∠ABC=90。,BD是高，所以∠ABC=∠BDA=90。,所以∠ABF+∠BAD=90。, ∠C+∠BAD=90。,所以∠ABF=∠C因为∠E=∠C, 所以∠ABF=∠E,在·ABF和△BED中， 第1页，共1页 (BF=DE, ∠ABF=∠B,所以△ABF兰BED(SAS),所以SABR=S8ED因为DE=号BD,BD=20,所以 、BA=BE, DE=号×20=8，所以BF=DE=8,所以SABP=支BF·AD=专×8×16=64所以 S.BDE=S.ABF-64. 3.【答案】【小题1】 证明：延长AD到点E,使DE=AD, B D E 图1 在△ABD和△ECD中， AD=ED(已作) ∠ADB=∠EDC(对顶角相等) BD=CD(中点定) ·△ABD≌△ECD(SAS) 解：已作，对顶角相等，CD,SAS 【小题2】 1<AD<7 【小题3】 解：如图，延长AD交EC的延长线于点F. E 图2 因为AB⊥BC,EF⊥BC, 所以∠ABD=∠FCD=90·. 第1页，共1页 在△ABD和△FCD中， I∠ABD=∠FCD BD=CD, ∠ADB=∠FDC 所以△ABD≌△FCD, 所以CF=AB=2,AD=DF 又因为∠FDE=∠ADE=90°且ED=ED, 所以△ADE≌△FDE, 所以AE=EF, 因为EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6, 所以AE=6· 4.【答案】【小题1】 2 【小题2】 (②)DE=BD+CE; 在Rt△ADB中，∠ABD十∠BAD=90°. :∠BAC=90°，·∠BAD+∠CAE=90°，÷∠ABD=∠CAE. I∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠AEC=90 在·ABD和△CAE中， AB=CA ·△ABD≌△CAEAAS,·CE=AD,BD=AE, :DE=AE十AD=BD十CE. (3)DE=BD-CE. 理由如下： 在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD=90° :∠BAC=90°，÷∠BAD+∠CAE=90°，·∠ABD=∠CAE. I∠ABD=∠CAE 在△ABD和&CAE中， ∠BDA=∠AEC=90, AB=CA ·△ABD兰△CAE(AAS),·CE=AD,BD=AE, 第1页，共1页 ·DE=AE-AD=BD-CE. (4)由(2)可得，四边形BDEC的面积=支(CE+BD)·DE=专(a+b)2,， 由(3)可得，四边形BDCE的面积 =克BD·DE+CE.DE=DE·(BD+CE)=×(a-b)·(a+b)=a2-b 5.【答案】【小题1】 证明：因为∠A+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠A=60°，∠CDB=120°，所以 ∠C+∠ABD=360°-60°-120°=180°.又因为∠DBF+∠ABD=180°，所以 (CD=BD, ∠C=∠DBF ∠C=∠DBR在△CDE和△BDF中， 所以△CDE≌△BDFSAS,所以 CE=BE DE=DF. 【小题2】 解：猜想CE+BG=EG,理由如下：因为∠CDB=120°，∠EDG=60°，所以 ∠CDE+∠BDG=60·,由(1)可得，△CDE≌△BDF,所以∠CDE=∠BDF,DE=DF,所以 ∠BDG+∠BDF=60°，即∠FDG=60°，所以∠EDG=∠FDG.在△DEG和△DFG中， E=DF ∠EDG=∠PDG,所以△DEG≌△DFG(SAS),所以EG=FG,又因为CE=BF, DG-DG, FG=BF+BG,所以CE+BG=EG. 【小题3】 解：当∠EDG=90。-专时，(2)中结论仍然成立.(1(2)可知，要使CE+BG=EG仍然成立，则 ∠EDG=克∠CDB,即∠EDG=专(180。-a)=90。-专a,所以当∠EDG=90。-克a时， CE+BG=EG仍然成立. 6.【答案】【小题1】 解：作△ABC中AC边上的高BG如解图①)： 第1页，共1页 B D 图① 【小题2】 BG=DE+DF SAABD AC·DF BG=DE+DF 【小题3】 不成立.理由如下： 如解图②，过点B作BG⊥AC于点G, 因为S△4BD=S△4BC+S△ACD, 所以AB·DE=AC·BG+AC·DF, 因为AB=AC,所以DE=BG十DF, 所以BG=DE-DF, 图② 7.【答案】【小题1】 < 【小题2】 第1页，共1页 。BPC的周长<&ABC的周长 理由如下：如图，延长BP交AC于点M, 在·ABM中，BP+PM<AB+AM 在.PMC中，PC<PM+MC, 两式相加，得BP+PC<AB十AC, 则aBPC的周长<aABC的周长. B 【小题3】 四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长， 理由如下：如图，分别延长BP1,CP2交于点M,由上一题知，BM+CM<AB+AC. 又P1P2<P1M+P2M, 所以BP1+P1P2+P2C<BM+CM<AB+AC, 所以四边形BP1P,C的周长<。ABC的周长 8.【答案】【小题1】 BO⊥AC,理由如下： 因为AD为高，所以∠0DB=90°， 所以∠B0D+∠0BD=90°， 因为△BDO兰△ADC,所以∠OBD=∠CAD. 因为∠BOD=∠A0E, 所以∠A0E+∠OAE=∠B0D+∠OBD=90°， 所以∠AE0=90°所以B0⊥AC 第1页，共1页 【小题2】 ①存在t的值，使得△B0Q的面积为18. 如图1 因为△BD0兰△ADC,AC=12, 所以B0=AC=12. 因为CE=专AE, 所以AE=号AC=8,CE=专AC=4, 所以QE=8-4t. 由1)得B0⊥AC, 所以S△80Q=号B0·QE=号×128-4t)=18, 解得t=是. A 0 E 0 B C D 图1 ②t的值为号或4. 详解：因为△BD0兰△ADC,所以∠BOD=∠ACD. 情况一：当点F在线段BC延长线上时，如图2. 因为∠BOD=∠ACD,所以∠AOP=∠QCF 因为A0=CF,所以当△A0P与△FCQ全等时，OP=CQ, 第1页，共1页 此时t=12-4t,解得t=号， A P10 C B 图2 图3 情况二：当点F在线段BC上时，如图3 当△A0P与△FCQ全等时，OP=CQ, 此时t=4t-12,解得t=4 综上所述，当△A0P与△FCQ全等时，t的值为}或4 9.【答案】【小题1】 解：△EDF为等腰直角三角形，：AB=AC,∠BAC=90°，点D是BC中点， :AD=BD=CD=青BC,AD平分∠BAC,∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45·,:点E,F速度都 是1个单位/秒，时间是t秒，·BE=AF,在△BDE和△ADF中， (BD=AD, ∠B=DAF,·&BDE≌4 ADF SAS:DE=DF,∠BDE=∠ADF,:∠BDE+∠ADE=90°，·∠ADF+ BE=AF, 为等腰直角三角形： C D 【小题2】 第1页，共1页 四边形AEDF面积不变，理由：：(1)可知，△BDE兰·ADF,:S△BDE=S△ADF, S四边形AEDF=SADF十SADE=SABD=克SABC, :S四边形ADr=克×支×AC×AB=吉×克×8×8=16. 10.【答案】【小题1】 DF十BE=EF 【小题2】 证明：如图2，延长AP至点T,使得PT=AP,连接AE,AF',ET,由题意可得，点E关于直线AB的 对称点为E'，点F关于直线AD的对称点为F',所以BE'=BE因为四边形ABCD为正方形，所以 ∠ABE=∠ADF=90°，因为AB=AB,BE'=BE,所以·ABE兰·ABE',所以AE=AE',同理可得 AF=AF,因为P是EF的中点，所以PE=PF因为∠EPT=∠FPA,AP=TP,所以 △PET兰△PFA(SAS),所以ET=AF,∠PET=∠PFA,所以ET=AF'，且 ∠AET=∠AEP+∠PET=∠AEP+∠AFP=180°-∠EAF因为△ABE兰·ABE',所以 ∠BAE'=∠BAE,同理可得∠FAD=∠F'AD,所以 ∠E'AFI=∠BAE'+∠DAF'+∠BAD=∠BAE+∠DAF+∠BAD=(∠BAD-∠EAF)+∠BAD=180°- 所以∠AET=∠E'AF',又因为AE'=AB,AF'=ET,所以△E'AF'兰△AET(SAS),所以 E'F′=AT=2AP. F E B G 图2 11.【答案】【小题1】 BE=CD 【小题2】 线段BE与CD的大小关系不会改变. 第1页，共1页 :△ABD,△ACE均为等边三角形，·AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠EAC=60·, ·∠BAD+∠BAC=∠EAC+∠BAC,·∠DAC=∠BAE在△ABE与△ADC中， AB=AD ∠BAE=∠DAC,÷△ABE≌△ADC,·BE=CD, AE=AC, 【小题3】 AE=CG.证明如下：正方形ABCD与正方形DEFG中，：AD=CD,DE=DG,∠ADE=∠CDG, ·△ADE≌△CDG,·AE=CG. 【小题4】 这些结论可以推广到任意多边形.BB,=EE1它们分别在△AB:B和△AE1E中 【小题5】 标顶点如图，连接FF1,:六边形ABCDEF和六边形AB1C1D1E1F1均为正六边形，·AF=AB, AB1=AF1,∠BAF=∠B1AF1,÷∠BAF-∠B1AF=∠B1AF1-∠B1AF,·∠BAB1=∠FAF1, :△BAB1≌△FAF1 D C' B B 12.【答案】【小题1】 (DG=BE, ∠B=∠ADG, 解：在△ABE和△ADG中， AB=AD, 所以·ABE≌·ADG(SAS),所以AE=AG,∠BAE=∠DAG, 所以∠GAF=∠DAG十∠DAF=∠BAE十∠DAF. 因为∠EAF=60。,∠BAD=120。, 所以∠GAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=120。-60。=60。, 所以∠EAF=∠GAF=60。: (AE=AG, ∠EAF=∠GAF 在·AEF和△AGF中， 、AF=AF, 所以·AEF兰·AGF(SAS),所以EF=FG 第1页，共1页 因为FG=DG+DF=BE十DF,所以EF=BE十DF. 【小题2】 如图所示，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G 因为∠B+∠ADC=180。,∠ADC+∠ADG=180。,所以∠B=∠ADG. DG=BE, ∠B=∠ADG, 在·ABE和&ADG中， 所以·ABE≌·ADG(SAS), AB-AD 所以AE=AG,∠BAE=∠DAG.因为∠EAF=∠BAD, 所以∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF. (AE=AG, ∠EAF=∠GAF, 在·EAF和△GAF中， AF-AF 所以·EAF兰△GAF(SAS),所以EF=FG, 因为FG=DG+DF=BE十DF,所以EF=BE+DF, 13.【答案】【小题1】 小组成员的猜想正确. 理由如下： 因为AD⊥AC,∠ACB=90°， 所以∠BCE=∠DAE, 因为AC=BC,AD=AF=AC, 所以BC=AD I∠BEC=∠DEA ∠BCE=∠DAE 在△BCE和△DAE中， BC=DA, 所以△BCE兰△DAE(AAS, 所以CE=AE, 第1页，共1页 所以BF=BC=AC=AE+CE=2CE 【小题2】 BF=2CE. 理由如下： 如解图，过点D作DG⊥AC,交CA的延长线于点G, 所以∠ADG+∠DAG=90°. 因为AD⊥AF, 所以∠DAF=90°， 所以∠DAG+∠FAC=90°， 所以∠ADG=∠FAC. 因为∠ACB=90°，DG⊥AC, 所以∠G=ACF=90° ∠G=∠ACF, ∠ADG=∠FAC 在△ADG和△FAC中， AD-FA 所以△ADG兰△FAC(AAS, 所以AG=FC,DG=AC 因为AC=BC, 所以BF=BC+FC=AC十AG=CG,BC=DG, ∠BEC=∠DEG, ∠ECB=∠G 在△EBC和△EDG中， BC=DG, 所以△EBC兰△EDG(AAS, 所以EC=EG, 所以BF=2CE. B 14.【答案】【小题1】 第1页，共1页 解：：点P在线段BC上以每秒6个单位的速度由点B向点C运动，运动时间为t秒， BP=6t, :BC=24, ·PC=BC-BP=24-6t: 【小题2】 解：∠DPQ=∠B,理由如下： 当t=青时，CQ=BP=6×专=8，PC=BC-BP=16, :AB=32,点D为AB的中点， ：BD=AB=16, 在△PCQ和△DBP中， (PC=BD ∠B=∠C CQ=BP ··PCQ≌·DBP(SAS), ∠PDB=∠QPC, :∠DPQ=180°-∠QPC-∠DPB,∠B=180°-∠PDB-∠DPB, ∠DPQ=∠B; 【小题3】 解：：点P、Q的运动速度不相等， ·BD≠CP, 根据题意可得：BD=16,BP=6t,CP=24-6t,CQ=at, :·BPD与aCQP全等，∠B=∠C, :BD=CQ,CP=BP, ·16=at,24-6t=6t, 解得：t=2,a=8. 15.【答案】【小题1】 延长EB到点G,使BG=DF,连接AG.因为∠ABC=90°，所以∠ABG=180·-∠ABC=90°.因为 (AB=AD, ∠ADC=90°，所以∠ABG=∠ADC.在△ABG和△ADF中， ∠ABG=∠ADR所以△ABG≌ BG-DF, 第1页，共1页 △ADF(SAS),所以AG=AF,∠GAB=∠FAD,所以∠EAG=∠GAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE因 为∠EAF=∠BAD,所以∠EAF=∠FAD十∠BAE,所以∠EAG=∠EAF.在△AEG和△AEF中， AG=AF ∠EAG∠BAB所以△ABG≌△AEF(SAS),所以BG=EF因为BG=BE+BG,所以 AE-AE, EF=BE十DF. 【小题2】 (1)中的结论仍然成立.理由如下：延长EB到点M,使BM=DF,连接AM因为 ∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABM=180°，所以∠ABM=∠ADC.在△ABM和△ADF中， (AB=AD, ∠ABM=∠ADB所以△ABM≌△ADF(SAS,)所以AM=AR,∠MAB=∠FAD,所以 BM-DF, ∠EAM=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE因为∠EAF=∠BAD,所以∠EAF=∠PAD十∠BAE (AM=AF ∠EAM=∠EAF ,所以∠EAM=∠EAF,在△AEM和△AEF中， 所以△AEM≌△AEF(SAS), AE-AE 所以EM=EF因为EM=BE十BM,所以EF=BE十DF, 【小题3】 (1)中的结论不成立，应是EF=BE-DF证明如下：在BE上截取BH=DF,连接AH因为 ∠ABC+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，所以∠ABC=∠ADF在△ABH和△ADF中， (AB=AD, ∠ABH=∠ADB所以△ABH≌△ADF(SAS),所以AH=AP,∠BAH=∠DAF,所以 、BH=DF ∠BAH+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD,所以∠EAH=∠BAD=∠EAF.在 AH=AF, △AEH和△AEF中， ∠EAH三∠EAB所以△ABH≌△ABF氏SAS),所以EH=EF因为 、AE=AE EH=BE-BH,所以EF=BE-DF. 16.【答案】【小题1】 ∠BAD=2∠EAF 【小题2】 ∠EAF=BAE+∠DAF,理由： 第1页，共1页 如图1，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,因为∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°， 所以∠B=∠ADG, 又因为AB=AD,所以△ABE≌△ADG(SAS), 所以∠BAE=∠DAG,AE=AG, 因为EF=BE+FD=DG十FD=GF,AF=AF, 所以△AEF≌△AGF(SSS, 所以∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF. G A B E 图1 【小题3】 ∠EAF=180°-克∠DAB 【解答】如图2，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, 因为∠ABC+∠ADC=180°， ∠ABC+∠ABE=180°， 所以∠ADC=∠ABE, 又因为AB=AD, 所以△ADG兰△ABE(SAS, 所以AG=AE,∠DAG=∠BAE, 因为EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, 所以△AEF兰△AGFSSS),所以∠FAE=∠FAG, 因为∠FAE+∠FAG+∠GAE=360, 所以2∠FAE+(∠GAB+∠BAE=360°， 第1页，共1页 所以2∠FAE+(∠GAB+∠DAG=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°，所以∠EAF=180°-∠DAB. B A 图2 17.【答案】【小题1】 7 【小题2】 如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.因为DE⊥BC,CD⊥AC,所以∠E=∠ACD=90,因为 ∠ACB+∠DCE=90°，∠CDE+∠DCE=90°，所以∠ACB=∠CDE.在&ABC和△CED中， I∠ABC=∠E ∠ACB=∠CDE AC =CD, 所以△ABC≌△CED(AAS)所以ED=BC=4,所以SBcD=专BC·DE=8. 【小题3】 如图，过点A作AE⊥DC于点E,过点B作BF⊥DC交DC的延长线于点F所以 ∠AEC=∠AED=∠F=90°因为SAD=12,CD=6,所以号CD·AE=12所以AE=4,因为 ∠ADC=45，∠AED=90°，所以∠DAE=45°，即∠DAE=∠ADC所以DE=AE=4,所以 CE=CD-DE=2.因为∠ACB=90°，所以∠ACE+∠BCF=90因为∠CBF+∠BCF=90°，所以 第1页，共1页 I∠AEC=∠F ∠ACE=∠CBF,在·ACE和△CBF中， ∠ACE=∠CBB所以△ACE兰△CBF(AAS)所以 AC=CB, BF=CE=2所以S.BCD-=CD·BF=6. 18.【答案】【小题1】 解：MN=AM+BN,理由如下： 因为AM⊥PQ,BN⊥PQ,所以∠AMC=∠CNB=90所以∠MAC+∠ACM=90°. 因为∠ACB=90°，所以∠ACM+∠NCB=90°，所以∠MAC=∠NCB. I∠AMC=∠CNB 在·ACM和aCBN中， ∠MAC=∠NCB, AC=CB 所以△ACM兰△CBN(AAS所以AM=CN,CM=BN. 所以MN=CN+CM=AM+BN. 【小题2】 (1)中的结论不成立，MN与AM,BN之间的数量关系为MN=AM一BN. 理由如下：同(1)可得△ACM兰△CBN. 所以AM=CN,CM=BN.所以MN=CN-CM=AM-BN. 19.【答案】【小题1】 过点C作CH⊥AB于点H因为CD⊥AM,CH⊥AB,所以∠ADC=∠AHC=90因为AC,BC分别平 分∠DAB,∠EBA,所以∠DAC=∠BAC,∠ABC=∠EBC,在△ACD和△ACH中， '∠DAC=∠BAD ∠ADC=∠AHC AC=AC 所以△ACD兰△ACH(AAS),所以AD=AH.同理可得△BCH兰△BCE,所以 BH=BE,所以AD十BE=AH十BH=AB. 【小题2】 成立，理由如下：如图(1)，在线段AB上截取AF=AD,连接FC因为AC,BC分别平分∠MAB,∠NBA ,所以∠1=∠2，∠3=∠4. 第1页，共1页 AD=AF, ∠1=∠2， 在△ADC和△AFC中， 所以△ADC兰△AFC(SAS),所以∠ADC=∠AFC.因为 AC=AC, MA//NB,所以∠ADC+∠5=180°又因为∠CFB+∠AFC=180°，所以∠CFB=∠5，在△CBF和 I∠CFB=∠5 ∠3=∠4 △CBE中， 所以△CBF≌△CBEAAS),所以BF=BE因为AF+BF=AB,所以 BC=BC, AD+BE=AB. M N D/ C E A 图(1) 【小题3】 不成立如图(2)，当点D在射线AM上，点E在射线BN的反向延长线上时，AD-BE=AB;如图(3当点 D在射线AM的反向延长线上，点E在射线BN上时，BE-AD=AB· A D 图(2) 图3) 20.【答案】【小题1】 证明：选择图1： :∠ACE=90。, :∠ECD+∠ACB=90。, :∠CDE=90, ÷∠ECD十∠CED=90。, ·∠ACB=∠CED, 在·ABC与·CDE中， 第1页，共1页 I∠ABC=∠CDE ∠ACB=∠CED, AC=CE ··ABC≌·CDE(AAS: 选择图2：：∠ACE=∠CDE=90, ·∠ECD+∠ACB=90。,∠ECD+∠CED=90。, ÷∠ACB=∠CED, 在△ABC与&CDE中， I∠ABC=∠CDE ∠ACB=∠CED, 、AC=CE ··ABC≌4 CDE(AAS, 【小题2】 ①：∠ACD=∠DAE=90, ·∠CAD+∠ADC=90g∠EAF+∠CAD=90。, ·∠ADC=∠EAF, 在△EAF与△ACD中， I∠ADC=∠EAF ∠ACD=∠EFA, AD-AE ·△EAF≌aACD, ·EF=AC=3; ②过点E作EF⊥AC交CA的延长线于点F,如图； 由①得△EAF兰&ADC, ·EF=AC=3,AF=CD; S.ABD=3S.AME ：BD·AC=3×专AM·EF, BD=3AM; 设AF=CD=X; 当点M在线段AC上时，如图， EF=AC,AC=BC, ·EF=BC: 第1页，共1页 '∠EFM=∠ACB=90,∠FME=∠CMB, :△EFM≌&BCM(AAS), ·CM=FM; ·CF=AC十AF=3+X, CM=FM=克CF=y,AM=AC-CM=号， BD=BC+CD=3+x,BD=3AM, 3+x=3×梦， 解得：X=是， BD=3+寻=号： F- A M C D 当点M在线段AC反向延长线上时，如图， 同理得：△EFM≌·BCM(AAS, :CM=FM; ·CF=AC+AF=3+x,CM=FM=CF=岁， AM=CM-AC=号 BD=BC+CD=3+x,BD=3AM, 3+x=3×学2， 解得：x=15, ÷BD=3+15=18, 第1页，共1页 F B C D 当点D在线段BC上的情况不存在. 综上，BD=号或18. 21.【答案】【小题1】 ①解：：AB=AC,∠BAC=90°，÷△ABC是等腰直角三角形.：∠ABC=45°， :∠CMD=克∠ABC,÷∠ABD=∠CMD=22.5,:CN⊥MD,÷∠CND=90°， ·∠CND=∠BAC,:∠ADB=∠CDN,÷∠DCN=∠ABD=22.5°.故答案为：22.5. ②证明：延长CN,BA交于点H,如图，÷∠CAH=90°，：BD⊥CN,∠CNB=∠CAH=90°， :∠ABN=∠ACH=90°-∠H,在△ABD和△ACH中， I∠BAD=∠CAH, AB=AC, :△ABD≌△ACH ASA:BD=CH,:∠CMD=∠ABC,·∠CBN=∠HBN ABD=∠ACH, 在△CNB和△HNB中， ∠CBN=∠HBN, BN=BN, ·△CNB≌△HNB ASA,:CN=HN=CH,:CN=BD ∠CNB=∠HNB, H D N B(M) 【小题2】 解：CN和MD的数量关系不会发生变化. 第1页，共1页 理由：过点M作MG⊥CA,交CN的延长线于点H,如图，则AB//MG,·∠ABC=∠GMC, :∠CMD=克∠ABC,·∠CMD=克∠CMG,(1)可知△MGD兰△CGH,÷MD=CH,同 (1)可知CH=2CN,÷CN=专MD. B M 22.【答案】【小题1】 因为G是AB的中点，所以AG=BG 在△AEG和△BFG中， I∠A=∠B AG-BG 因为 (∠AGE=∠BGF 所以△AEG≌△BFG(ASA, 【小题2】 ①△EDG兰△FCG,证明如下： 因为△AEG≌△BFG,所以EG=FG. 因为ED⊥AG,FC⊥BG, 所以∠EDG=∠FCG=90°. 在△EDG和△FCG中， I∠EDG=∠FCG, ∠EGD=∠FGC 因为 EG-FG 所以△EDG兰△FCG(AAS) ②h①，得DG=CG=2cm. 又因为AD=ED=5cm, 所以AG=AD+DG=5+2=7cm): 因为AG=BG, 所以AB=2AG=2×7=14cm), 第1页，共1页 即AB的长为14cm. 【小题3】 理由如下： 在△EGH和△FGC中， EG=FG ∠EGH=∠FGC 因为 HG=CG 所以△EGH兰△FGC(SAS), 所以∠EHG=∠FCG, 所以180°-∠EHG=180°-∠FCG, 即∠AHG=∠BCG 在△AHG和△BCG中， I∠AHG=∠BCG 因为 G=CG ∠AGH=∠BGC 所以△AHG兰△BCG(ASA, 所以AH=BC=50m, 23.【答案】【小题1】 解：(1)：点0为△ABC的重心，÷D,E,F分别是BC,AB,AC边上的中点， ·S△ABF=S△CBF,S△OAF=S△OCF,:S△A0B+S△OAF=S△BOC+S△OCF, .S△A0B=S△B0C=m. ②)由题意可知S△0cD=S△0BD=SABOC=-m,又(1)得S△A0B=S△B0C=m, =会=2，：△A0B与△0BD同商，·=8=2.即品=2 S408D 专m 【小题2】 :点0是△ABC的重心，÷S△BCB=S△ACB,由②)知器=8=2，：BD=6,CB=9, 0D=2,0B=4,0E=3,0C=6,:B01C0,S△BCE=支CE,0B=克×9×4=18， S△c0D=壹0C.0D=克×6×2=6，÷S△ACE=S△BCE=18,÷S网边形 AE0D=S△ACE-S△C0D=18-6=12. 第1页，共1页 近I并逆I患