精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题

高二数学 （120分钟　150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知各项都是正数的等比数列满足，则公比（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】若数列的公比为， 由，则， 所以，可得（负值舍去）， 又数列各项均为正数，则. 2. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，则， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 3. 已知，则（ ） A. e B. 1 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，故. 4. 数列的前项和为，已知，则等于（ ） A. 12 B. -12　 C. -8 D. -6 【答案】D 【解析】 【分析】将代入的表达式中，然后利用分组求和即可得出结果. 【详解】由题意得 5. 已知直线是曲线的一条切线，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设切点的坐标为且，又，切线斜率为， 所以，解得，则， 故切点的坐标为，又切点在直线上， 所以，则. 6. 若数列满足，当时，，则称为斐波那契数列.令，则数列的前50项和为（ ） A. 17 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由数列的前两项都是奇数，两奇数之和为偶数，偶数与奇数之和为奇数， 可得各项依次为奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶，…， 所以数列的前若干项依次为， 将看作一组，每组3个数的和为， 所以数列的前50项和为. 7. 已知，是的导函数，即，，…，，n∈N*，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到函数列以4为周期求解. 【详解】由题意得：，，， ，， 则函数列以4为周期， ， 故选：D 8. 定义:对于正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m，记作.已知正整数t满足，将符合条件的所有t的值按从小到大的顺序排列，构成数列.设数列的前n项和为，则的最小值为（ ） A. B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的通项及前项和为，再借助单调性求解即得. 【详解】由正整数t满足， 正整数t除以6的余数与17除以6的余数为5相等， 则数列是以首项为5，公差为6的等差数列， 得， 则， 可得， 当且仅当时，取得最小值. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列 满足 ,则 的值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】由已知. 两边同乘消去分母得： . 移项整理：. 提取公因式：， 即， 故分两种情况： ① ，因为，所以 ②，则. 10. 已知数列的前项和为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则是等比数列 B. 若是等比数列，且，则 C. 若是等差数列，则 D. 若，则是等比数列 【答案】BC 【解析】 【详解】A，若，则， 当时，， 当时，也满足上式，所以，则是等差数列，A错误； B，若是等比数列，则，B正确； C，若是等差数列，则，C正确； D，若，则， 当时，， 当时，不满足上式，不符合等比数列的通项公式，D错误. 11. 给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记；若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】A，由，则在上恒成立，是凸函数； B，由，则在上恒成立，是凸函数； C，由，则在上恒成立，不是凸函数； D，由，则在上恒成立，是凸函数. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列第20项为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据大衍数列前项找规律，由此求得数列第项. 【详解】依题意， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查数列中的归纳推理，属于基础题. 13. 若都不等于的三个正数成等比数列,则 ______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以 14. 垂直于直线且与曲线相切的直线方程为______. 【答案】 【解析】 【详解】切线与垂直，则切线斜率为，且， 设切点的坐标为，则， 代入曲线方程中，得，所以切点的坐标为， 故该切线方程为，即. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）求，并求的最小值. 【答案】（1） （2），最小值为 【解析】 【小问1详解】 由为等差数列的前项和，， 所以，可得， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知， 又，当时，取最小值. 16. 已知直线l过点，并且与曲线相切. （1）若曲线，求直线l的方程； （2）若曲线，且与l相切于点，求的值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）先设切点，再根据点斜式得出切线方程，再代入计算求解参数，最后得出切线方程； （2）先求出导函数，再根据切点得出切线斜率，结合切点在曲线上列式计算求解. 【小问1详解】 点不在曲线上， 设切点为. 又，所以直线l的方程为， 由 解得， 所以直线l的方程为，即. 【小问2详解】 由题意知的导数， 则， 解得， 所以. 17. 已知正数列的前项和为，，其中. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用递推式及的关系求得，利用等差数列的定义写出通项公式； （2）应用裂项相消法求. 【小问1详解】 因为，当时，， 所以，而，则， 当时，有， 所以， 所以，， 所以，则是首项、公差均为2的等差数列， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 因此. 18. 已知数列满足，且（且）. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）构造等差数列，根据等差数列通项公式计算求解； （2）先化简，再应用错位相减法计算求解. 【小问1详解】 已知，整理得 ， 即，则数列为首项 ，公差为1的等差数列， 所以 ，所以； 【小问2详解】 ，， 所以，　① ，　② 由①-②，得 ， 所以. 19. 已知的横坐标是互为倒数的两点，且作函数图象的切线，过点的切线分别为. （1）若，点，，从点观察点，若观察的视线不被曲线挡住，求实数的取值范围. （2）若恰好为函数图象上相异的两点，且切线存在交点，则称这个交点为函数的“优点”. （i）若函数不存在“优点”，求实数的值； （ii）求函数的“优点”的横坐标的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，求出过点处切线斜率并写出切线方程，利用视线不被遮挡转化为点在切线下方，代入横坐标比较纵坐标大小，建立不等式求解的范围，运用导数求切线、几何条件代数化的方法. （2）（i）依据无“优点”推出两条切线平行或重合，即同组互为倒数横坐标处导数值恒相等，分段求出对应区间导数，列恒等式化简求解参数，结合分段函数导数、切线平行的条件转化求解. （ii）设出横坐标互为倒数的两点坐标，利用导数写出两处切线方程，联立切线方程解出交点横坐标，借助对勾函数值域与基本不等式，限定自变量范围，推出优点横坐标的取值区间. 【小问1详解】 由，求导得. 设过点的曲线切线切点为， 切线斜率，切线方程为。 将代入切线方程，， 整理得，解得或. 因为点在右侧，所以取斜率为正的切线，即，， 对应切线方程为. 由题可知从点观察点视线不被曲线挡住，等价于点在切线下方. 将代入，得故， 即实数的取值范围是. 【小问2详解】 （i）因为函数不存在“优点”，则切线无交点. 所以对恒成立， 不妨取，则， 此时，， 所以恒成立，即，解得， 经验证符合题意. （ii）设，（且）， 在两点处的切线方程分别为，， 即，， 联立可得，解得， 因为，当时，；当时，， 所以， 即函数的“优点”的横坐标取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 （120分钟　150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知各项都是正数的等比数列满足，则公比（ ） A. B. 2 C. 3 D. 2. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. e B. 1 C. D. 0 4. 数列的前项和为，已知，则等于（ ） A. 12 B. -12　 C. -8 D. -6 5. 已知直线是曲线的一条切线，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 若数列满足，当时，，则称为斐波那契数列.令，则数列的前50项和为（ ） A. 17 B. C. D. 7. 已知，是的导函数，即，，…，，n∈N*，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义:对于正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m，记作.已知正整数t满足，将符合条件的所有t的值按从小到大的顺序排列，构成数列.设数列的前n项和为，则的最小值为（ ） A. B. C. 16 D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列 满足 ,则 的值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 10. 已知数列的前项和为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则是等比数列 B. 若是等比数列，且，则 C. 若是等差数列，则 D. 若，则是等比数列 11. 给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记；若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列第20项为________． 13. 若都不等于的三个正数成等比数列,则 ______. 14. 垂直于直线且与曲线相切的直线方程为______. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）求，并求的最小值. 16. 已知直线l过点，并且与曲线相切. （1）若曲线，求直线l的方程； （2）若曲线，且与l相切于点，求的值. 17. 已知正数列的前项和为，，其中. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 已知数列满足，且（且）. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 19. 已知的横坐标是互为倒数的两点，且作函数图象的切线，过点的切线分别为. （1）若，点，，从点观察点，若观察的视线不被曲线挡住，求实数的取值范围. （2）若恰好为函数图象上相异的两点，且切线存在交点，则称这个交点为函数的“优点”. （i）若函数不存在“优点”，求实数的值； （ii）求函数的“优点”的横坐标的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $