安徽滁州市定远县2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题

高二数学 中 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作 答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围人教版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章。 h 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知n∈N,则(n+2021)·(n十2022)·…·(n十2026)= A.A5+2026 B.C+2026 C.A5+2026 D.C%+2026 2.下列求导运算正确的是 A.(e+2)'=e B.(WE)'=1 2√z c(侵)/=-是 D.(og) 3.某质点的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s(t)=2十4lnt,则该质点在t=2时的 瞬时速度为 興 A.8 m/s B.6 m/s C.5 m/s D.4 m/s 4.下列等式中成立的是 A.A=(n-3)A B.0!+CC! n+1 Cn”nA1=A D.C-C- 5.如图，若关闭最少的开关使小灯泡发光，则不同的方法有 A.5种 B.6种 C.8种 D.10种 6.已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=x3+f(1)·x2一8.x十3，则f(x)的极小值点为 A.-4 B.0 c号 D.4 7.二项式定理，又称牛顿二项式定理.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对 于任意实数a,(1+x=1+品·x+.2+…+o-a-+山，+…当1z比 2 k! 较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：(1十x)≈1十α·x,并且|x的值越小，所 【高二数学第1页（共4页）】 6321B 得结果就越接近真实数据.用这个方法计算√I0的近似值，可以这样操作：√I0=√9+工= √9(1+号)=31+)≈3×(1+合×号)≈3.167.用这样的方法，估计6的近似值约为 A3.9375 B.3.9675 C.3.9875 D.4.0075 8.近年随着“双减”政策的实施，国家对体育教育越来越重视.某中学响应号召，开设了“跳绳”“立定 跳远”“跳高”“跑步”四门训练课程，要求学生初中阶段3学年中必须将四门训练课程学完，每位 同学每学年最多选3门，则每位同学的不同选学课程的方式有 A.56种 B.78种 C.96种 D.120种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知(2x-)” 的展开式中各二项式系数之和为64，则 A.n=6 B.常数项为160 C.含x2项的系数为240 D.二项式系数最大的项为第3项 10.1654年法国数学家帕斯卡独立发明了下面的一个无穷方阵（只给出了方阵的前5行前6列的部 分数字)，西方称之为帕斯卡三角，可以看出，从此方阵左上方切下一个等腰三角形（虚线部分） 恰为杨辉三角，帕斯卡这一发明比我国杨辉晚了400年左右.记方阵中第i行第j列的数字为 a,,认真观察方阵，下列结论正确的是 111万1 A.a时=ajd 23456 B.a=a-1y十a-1(>1,j>1) :13/6101521 C.a.1十a.2十a.3=a+14 /410203556 15153570126 (i+j-2)! D.a=(-1)1Gj-1刀 11.已知函数f(x)=一x3十a.x2十a2x十3(a<0)有3个零点x1,x2,x3(1<x2<x3),其导函数为 f(x),则 Ax1z2x3不是定值 B.a<-3 C.]a<0,使得曲线f(x)关于点(2+a,f(2十a)对称 D.f(x1)f(x2)f(x3)>0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.1十Cg+C9+C3+C3+…+C826= .(用组合数表示) 13.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若f(一1)=3，且f(x)十xf(x)<0,则不等 式(3x2-4x)f(3x2-4x)>一3的解集为 14.设f)=5+C51+C6+…+C5,若n是大于3的偶数，则fW-空0除以125的 余数构成的集合是 【高二数学第2页（共4页）】 6321B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=sinx一√3cosx. (1)求f(x)在x=吾处的切线方程， (2)已知g(x)=f(x)+3cosx-sin2x,x∈(0，x),求g(x)的单调区间. 16.(本小题满分15分) 已知(2x十1)(x-1)1=a+a1x十a2x2+a3x3+a4x4+a5x5. (1)分别求a2十a4,a4的值； (2)求a1+2a2+3a3十4a4十5a5的值. 17.(本小题满分15分) (1)将6个不同的小球放人编号分别为1,2、3的三个不同盒子.若要使每个盒子的球数不小于它 的编号数，则共有多少种不同的放法？ (2)有编号为1、2、3、4的四个不同的盒子，编号为1、2、3、4的四个不同的球，现把四个小球逐个 随机放人四个盒子里.若每盒放一个球，且恰好只有一个球的编号与盒子的编号相同，则有 多少种不同的放法？ (3)求方程x1十x2十x十x4=8的正整数解(，x2,x3,x4)的组数 【高二数学第3页（共4页）】 6321B 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ln2x一ax,a∈R. (1)若a=2,求f(x)的最值； (2)若方程f(x)=0在(0,3e)上有两个实数根，求实数a的取值范围； (3)若a=1,证明：f(x)<e-x一1. 如 19.（本小题满分17分) 已知函数f(x)=2axex-一lnx十x十1，a∈R, 长 (1)当a=0时，求f(x)的极值； (2)若f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围； 3证明：2。（≥2EN" 【高二数学第4页（共4页）】 6321B 1/4 高二数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 C B B D D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AC ABD BCD 1.C由题知，(n十2021)·(n十2022)·…·(n十2026)=A+226,故选C. 2.B(e*)y=e,a-2(绿/=-是.lexy= xn3故选B 3.B由题知，()=2+4，当1=2时，(2)=4+2=6m/5,故选B. 4.D对于A,A=(n-2)(n-1)n=(-2)A,A错误； 对于B,因为01+C=1+mnC- n! (n+1)1 n! =n+1·(m+1)1(n-m1=m1(n-m1' 所以01+C≠C,B错误： 对于CA0‘G"=,C信误： 对于D.因为兴c=兴·a=m-”m所以C=m-所以gC=C, (-1)1 所以D正确.故选D. 5.D由题知，不同的方法有2×2+2×3=10种，故选D. 6.C由题知，f(x)=3x2+2f(1)·x-8,所以f(1)=3+2(1)-8,所以f(1)=5,f(x)=x3+5x2-8.x+ 3f(x)=3r2+10r-8,由了(x)>0得x<-4或x>号，由了(x)<0得-4Kx<号，故fx)在(-，-4)， (号，十∞)上单调递增，在（一4，号）上单调递减，则()的极小值点为号故选C 7.A=a=641-高)=4×-高=4×[1+(-0)]≈4×[1+号×-a)]=39875故 选A. 8.B由题意可知，三年学完四门训练课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2.①若是1,1， 2,则先将4门课程分成三组，再分配到三个学年，有CCCA=36种方法：②若是0,1,3，同理可得有CCA A =24种方法：③若是0.2,2，同理可得有A=18种方法.所以每位同学的不同选学课程的方式有36十24+ 18=78种.故选B. 9.AC由题知2"=64，解得n=6,故A正确；常数项为C×23×(一1)3=一160，故B错误：展开式的通项公式为 T+1=C(2x)(-广-C心·2(-1)r·x,令6-2r=2,解得r=2,所以含x2项的系数为C·2· (-1)2=240,故C正确；二项式系数最大的项为第号+1=4项，故D错误，故选AC. 10.ABD观察帕斯卡方阵可知，把杨辉三角做成一个等腰直角三角形，且使其顶角数字在左上角，一条直角边成 水平，即得帕斯卡无穷方阵，所以数字的规律和杨辉三角中的类似.方阵关于左上右下对角线对称的数字均相 等，故A正确：从第二行第二列开始，每个数等于其左边第一个数和上面第一个数相加，即a.=a-1十a-1(i >l,j>1),故B正确；重复B中的规律，可得a.1十a.2十a.a=a+1.3,故C错误；由组合数公式知D选项即为 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 6321B 2/4 ,=C}-2,由帕斯卡方阵和杨辉三角的关系归纳可得第i行第j列数字就是C-2,故D正确（或带人i,j的 特殊值进行检验也可得出D正确).综上，选ABD. 11.BCD设f(x)=-(x-1)(x-2)(x-3)=-x3+(1+x2十x3)x2-（x1x2十1十2x)x十x1z2x3= -x3+a.x2+a2x十3，所以a=十x2十3，a2=-(x1x2十1x3十x2x3),xx2x3=3,A错误； ∫(x)=-3x2+2ax+a2=-(3x+a)(x-a),当x∈(-，a)U(-号，+oo)时，f(a)<0,当x∈(a,-号)时. f(x)>0,所以f(x)在(-∞，a),(-号，+∞)上单调递减，在(a,一号)上单调递增，要使f(x)有三个零点，因为 f(0)=3>0,所以f(a)=-a3+a3+a3+3<0解得a<-3,B正确： 令"(x)=-6x十2a=0,得x=号，又曲线f(x)关于点(2+a,f(2+a)对称，则号=a+2,解得a=-3,满足 a<一3，所以3a<0,使得曲线f(x)关于点(2+a,f(2十a)对称，C正确： 由f(x)=-(x-x)(x-x2)(x-x3)得，f()=-(x1一x2)(x1-3), f(2)=-(x2-1)(x2-x3)=(1-x2)(x2-x3), ∫(x3)=-(3-x1)(x3-x2)=-(x1-3)(2-x3), 所以∫(x1)f(x2)f(x)=(一x2)2(1一x)2(x2一x)2>0,D正确，故选BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.C927原式=C8+C3十C9十C十C3+…+C226=C9+C+C8+C9+…+C226=…=C827 13.(号，l令g(x)=x(x),因为f(x)+x(x)<0,所以g(x)=f(x)+xf(x)<0,即g(x)在R上单 递减，又∫(-1)=3，所以g(-1)=-3,因此不等式(3.x2-4x)∫(3x2-4x)>-3等价于g(3.x2-4x) g(-1),所以3x2-4x<-1,解得号<x<1. 14.0)因为f00=5+C51+C5-+…+C5=(5+1)-1=6-1.所以fm)-=60-2m-1,若 是大于3的偶数，令n=2mm∈Nm≥2)，则o)-2a=6-2m-1=6-35m-1=(35+1)-35m-1 35m+Cw35m-1+C%35m-2+…+Cm-2352+Cm135+1-35m-1=35m+Cn35m-1+C%35m-2+…+Cm-235 =35(35+C353+…+Cg-2),而35-2+C35=3+…+C∈N,所以）-20能被125整除 故余数为0，即余数构成的集合是{0. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.解：(1)由f(x)=sinx-3cosx,得∫（x)=cosx十3sinx,…2分 所以f()=cos吾+5sin吾=5， 3分 又f()=sin吾-5cos吾=-1， …4分 所以/x)在x=晋处的切线方程为y=3(x-吾)-1，即y=3x-x-1 ，…6分 6 (2)g()+cos-sin 2-sinsi 则g(x)=cosx-cos2.x=-2cos2x十cos.x十1=(1-cosx)(1十2cosx),…8分 易知x∈(0，π)时，1一c0sx>0恒成立，…9分 由1+2c0s>0,得0<x<经，此时g(x)>0,… 10分 由1+2c0sx<0,得5<x<,此时g(x)<0, …11分 故g(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为（停x, …13分 16.解：(1)设f(x)=(2.x+1)(x-1)1=ao十a1x十a2x2十aax3+a4x1十a5x5, 则f(0)=0=1,…1分 f(1)=a0十a1十a2十a3十a4十a5=0,①…2分 f(-1)=a0-a1十a2-a3十a4-a5=-16,②… …3分 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 6321B 374 由①+②得ao+a2十a,=-8, 4分 所以a2十a4=-8-0=-9.…5分 a,=2XCX(-1)十1XC8X(-1)0=8+1=-7.…9分 (2)因为f(x)=a1+2a2x+3a3x2+4a4.x3+5a5x4,… 10分 所以f(1)=a1十2a2十3a3十4a4十5a5,…11分 又(x)=2(.x-1)1+4(2.x+1)(x-1)3=(.x-1)3(10.x+2),…13分 所以f(1)=0,… 14分 所以a1+2a2十3a3十4a1十5a5=0.… …15分 17.解：(1)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，1号盒1个球，2号盒2个球，3号盒3个球，共有CCC=60 种不同的放法.… …4分 (2)每盒放一个球，且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则1、2、3、4号盒子里对应的球编号可能为1,3， 4,2;1,4,2,3;2,3,1,4;2,4,3,1:3,2,4,1;3,1,2,4;4,1,3,2;4,2,1,3,共8种不同放法.…9分 (3)将x,x2,xx4看作4个不同盒子，8分成8个1,8个1看作8个相同的小球，8个小球一字排开，它们之间 形成7个空挡（不算两端的），现将三块挡板插人7个空挡中的三个空挡中，将小球分成4部分，然后将每部分 对应放到4个盒子中，易知每一种插人挡板的方法对应一组正整数解，故共有C=35组正整数解.…15分 18.(1)解：若a=2,则f(x)=ln2x一2.x,其定义域为(0，十co),…1分 f)=是-2=12g, …2分 x 所以当x∈(0，号)时(x)>0,f(x)单调递增：当x∈（侵，+∞）时f(x)<0,f(x)单调递减，…4分 所以f(x)的最大值为f(分)=-1，无最小值， …5分 (2)解：由f(x)=0,x∈(0,3e),得a=n2 所以f(x)=0在(0,3e)上有两个实数根，等价于曲线g(x)=n2与直线y=a在(0,3e)上有两个不同的交 点，… …6分 又g(x)=1h2匹，令g(x)=0,解得x=号 x 所以当0<x<号时，g(x)>0,当气<x<3e时，g(x)<0, 所以g(x在(0，号)上单调递增，在（号，3c)上单调递减，… …8分 又g号)=&，g(30=6e. 2 3e 9分 当x-0+时，g(x)-→一∞，当x-十c∞时，g(x)->0+,其大致图象如图所示. ……… 10分 由恶意知，实数a的取值范固为(，是） 11分 (3)证明：若a=1,f(x)=ln2.x-x, 3e 要证f(.x)<e-x-1,即证e-ln2x-1>0. 令h(x)=e-ln2.x-1,则h'(x)=e-1 易知函数h(x)在(0，十o∞)上单调递增，… 12分 又N(侵)<0，h(1)>0,所以(x)=0在(0，+©)上有唯一的实数根，且x∈（号1）： 当x∈(0，xo)时，h(x)<0,h(x)单调递减；当x∈(xo,十o)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 所以当x=x0时，h(x)取得最小值，…14分 由h(2o)=0,得6=，则z0=-lnz0, 15分 所以A（x)≥h(o)=e-1n2o-1=-lh2+-1>2V会 ·xo-ln2-1=1-ln2>0,…16分 所以f(x)<e-x-1.… …17分 19.(1)解：当a=0时，函数f(x)=-lnx十x+1,定义域为(0，+o∞)， 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 6321B f(x)=-1+1=x1 x …1分 所以当x∈(0,1)时f(x)<0,当x∈(1，+∞)时，f(x)>0, 所以∫(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十o∞)上单调递增，…3分 所以∫(x)在x=1处取得极小值，无极大值，且极小值为f(1)=2.…4分 (2)解：当.x>0时，f(x)≥1恒成立等价于a≥血二C恒成立，5分 2x 令h(x)=ng二e,求导得(x)=gx-1)nx二x-1) 2x 2.x2 …7分 令p(z)=lnx-x-1,则p'(x)=1二x 当x∈(0,1)时，9'(x)>0,p(x)单调递增，当x∈(1，十∞)时，(x)<0,(x)单调递减， 则p(x)≤p(1)=一2，即ln.x一x一1<0恒成立，…9分 所以当x∈(0,1)时，h'(x)>0,当x∈(1，十∞)时，h'(x)<0, 即h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 所以A(x)≤h(1)=一受，所以a的取值范围为[一气，十∞） 11分 （3)证明：由(2)知，g血X二2≤-e(x>0),所以一≥nx-x… 13分 x 则2≤1-当组仅当x=1时取等号、… 14分 所以2<1-日，g3<1-2,”<1-。 …15分 将以上n一1个不等式左右两边分别相加得 2+h3++”<(m-1)-(+…+ 2 3 1-(2)” 1-日 -n-e-el-a …17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】 6321B