2026年九年级数学中考二轮复习《圆综合压轴题》专题提升训练

2026年春九年级数学中考二轮复习《圆综合压轴题》专题提升训练（附答案） 一、圆的有关性质 1.如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，圆O是△ABC的外接圆，D是弧BC上 点，CE是圆O的切线，交BD的延长线于点E,CE‖AD,连接OC交AD于点G. (1)求证：∠EBC=∠ABC: (2)若AC=23,GF=1,求AF的长. 2.如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O,分别交x轴、y轴于点A2,0,B0,8, 连结AB.直线CM分别交⊙M于点D,E(点D在左侧)，交x轴于点C17,0,连结AE. (1)求⊙M的半径和直线CM的函数表达式： (2)点P在线段AC上，连结PE.当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件 的OP的长. 3.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作半圆，交AC于点E,BC于点F,分别 过点A,B作AG⊥EF于点G,BH⊥EF于点H. (1)已知∠C=65°，求弧AE的度数. (2)求证：∠BAC=2∠GAE (3)已知AG=3,(=2,求BH的长. 4.如图，AB,CD是⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为F,CE为⊙O的直径， AB=CD=3AF=3,CE与AB、BD分别交于M、G. 图1 图2 (1)证明：AF=CF: (2)求cOs∠DBE的值： (3)求MF的长度. 5.在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交线段AC,BC于点D,E,连接 AE. 图① 图② (1)如图①，求证：AE平分∠BAC: (2)如图②，过点E作EF⊥AB,垂足为点F,交⊙O于点G,连接DE,求证： ∠CDE=∠AEG: (3)在(2)的条件下，若tan∠AEF=5 ,CD=4,求EG 6.如图1，在⊙O中，AB为⊙O直径，C为⊙O上的点，且在直径AB上方，D为⊙O上 的点，且在直径AB下方，C,D不与A,B重合，CD交AB于点E EO B EO B EGO D D 图1 图2 图3 (1)若AC=2,BC=4,求tan∠ADC; (2)当∠ACD=∠ABC时. ①如图2，试探究CD,AE,BE的数量关系，并说明理由： ②如图3，过C作CF‖lAB,交⊙O于点F,过F作FG‖CA,交AB于点G,当 3CF=V3CD时，求证：F,G,D三点共线 7.如图，四边形ABCD内接于圆O,AB为直径，CD=CB,AC交BD于点G, CE⊥AB,垂足为E,CE交BD于点F. D D D E 图1 图2 图3 (1)如图1，证明：FC=FB (2)如图2，连结OF,若∠CAD=20°，求∠OFE的度数. (3)如图3，连结OG,若OG=4,BO=BG,求四边形OEFG的面积. 二、切线的证明与计算 8.如图，⊙O为△ABD的外接圆，点C在⊙O上，AB为⊙O的直径，DE是⊙O的切线， 且DE⊥CB交CB的延长线于点E. B D (1)求证：∠ABD=∠DBE: (2)连接CD,若CE=7,BE=3,求DE的长. 9.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E,F,过点A作PO的垂线 AB垂足为D,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点C,连接AC,BF. A B (1)求证：PB与⊙O相切： 2若AC=12,tan∠F=2 1 求cos∠ACB的值. 10.如图，AB与⊙O相切于点B,以AB为边作菱形ABCD,交⊙O于点C,D,E是对角 线BD上一点，在AB,AD上取点F,G,使∠FEG=60°. B (1)求证：AD是⊙O切线： (2)求证：△ABD是等边三角形： (3)若BF=3,DG=9,求⊙O的半径. 11.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，BA,DC的延长线交于点E, 连接AC,OD,且OD‖AC,OD交BC于F,连接BD: (1)求证：BD是⊙O的切线： (2)求证：OD·AC=20C2: (a)若AC=1,an∠FB0=之求ED的长. 12.如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H,过点B作⊙O的切 线交直线AC于点D,点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F,射线CF交AB的延 长线于G. D E (1)则DF与FB的数量关系为 (2)求证：CG是⊙O的切线： (3)若FB=FE=1,求tan∠DAB的值. 13.综合与运用：如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E,F,过点B 作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接BC,AF. (1)求证：直线PA为⊙O的切线： (2)求证：EF2=4OD·OP: (3)若BC=6,tan∠F= ,求AC的长 14.如图1，AB为圆O直径，点C在圆O上，延长BA、BC分别至点E、F,连接EF,使 EF‖AC,连接AF,且∠AFE=∠ABC. B 图1 图2 图3 (1)求证：直线AF与圆O相切； (2)如图2，H在直径AB上，过点H作HD⊥AB交圆O于点D,延长FA至点P,连接PD, 使PA=PD」 ①若AH=16,AF=10,AE=5,求DH·DP的值： ②如图3，连BP交DH于Q,证明：Q为DH中点. 15.北京师范师大学林崇德教授领衔的我国学生发展核心素养研究团队正式发布“中国学 生发展核心素养总框架”，印发义务教育阶段课程方让核心素养落地是课程方案和课程标 准修订工作的重点和关键.探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以 下探究. 图1 图2 如图1，等腰△ABC中，AB=AC,以AC为直径的⊙O与AB所在直线、BC分别交于点 D、E,EF⊥AB于点F」 【初步感知】(1)求证：EF为⊙O的切线： 【深入研究】(2)当∠BAC<90时，若BF=2,EF=4,求AD的长度： 【拓展延伸】(3)如图2，当∠BAC>90时，若AF=2,EF=4,求AD的长度. 三、圆的有关计算 16.如图，AB是⊙O的直径，AC,BC是⊙O的弦，过圆心O作BC的平行线OD与过点 C的切线交于点D,与AC交于点E. B (1)求证：AD是⊙O的切线： (2)如果∠B=2∠CDO,OD=3,求CD的长： (3)在(2)的条件下，求图中阴影部分的面积. 17.如图，AB为⊙O的直径，射线AC交⊙O于点C,过⊙O上点D作直线DE⊥AC于点 E,交AB的延长线于点F.直线DE是⊙O切线，连接BD并延长交AC于点M. E D B (1)求证：AD平分∠CAB: (2)若∠F=30°，请判断DM和ME的数量关系.并证明结论： (3)在(2)的条件下，若⊙O半径为1，求图中阴影部分面积 18.如图，在△ABC中，AB=AC,点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径画半圆， 分别与AB,BC相交于点D,E,过点E作EF⊥AC,垂足为F. 图1 图3 (1)求证：EF是半圆O的切线： ②已知AC=9.anA=手如图2，当AC与半图O相切于点G时. ①求半圆O的半径： ②求图中阴影部分的周长， 19.如图1，在△ABC中，AB=AC,O为线段AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的 圆与边BC,AC分别交于D,E两点，过点D作⊙O的切线，交AC于H点. A B D C B 图1 图2 (1)求DH与AC的位置关系，并说明理由. (2)如图2，若O为AB的中点. ①探究BD与CD的数量关系，并说明理由； ②连接OD,若DE‖AB,BC=10,求阴影部分的面积. 20.如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O,阅读以下作图过程，并回答下列问题： 图1 图2 作法：如图2. 1.作直径AF. 2.以点F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M,N. 3.连接AM,MN,NA. (1)△AMN是正三角形吗？请说明理由. (2)从点A开始，以DN的长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n的值. 21.【阅读】：在OO中，弦AB⊥弦CD于H点，则∠B+∠D=90°，则ADBC的度 数和为180°，所以得到AD+BC=AC+BD,我们把这个现象叫做：垂直弦平分圆（把圆 分成4份弧，其中两份拼成半圆)· H H ●O E 图1 图2 图3 (1)【理解】： 如图1，在OO中，弦AB⊥弦CD于H点，AC,BD弧长分别为2、6几，则oO半径为 (2)【拓展】： 如图2，在⊙O中，弦AB⊥弦CD于H点，E为BD中点，若AC=HE=2,则⊙O半径为 (3)【升华】： 如图3，在⊙O中，弦AB与弦CD交于H点，且∠AHD=60°，BC=2AD=4,求⊙O半 径 参考答案 1.(1)证明：圆O是△ABC的外接圆，∠ACB=90°， ∴AB是圆O的直径， ∴.∠ADB=90°. .CE是圆O的切线， ∴.∠OCE=90°. .CEl AD, .∠CGD=90°， ∴.OC BE, ∴.∠OCB=∠DBC. .OC=OB, ∴.∠EBC=∠ABC, (2).OC⊥AD, ∴.AG=DG 设DF=X,则AG=DG=X+1,AF=X+2. ,∠CGD=90°，∠ACF=90, 又.∠CAG=∠CAF, ∴·△ACG△AFC, ..AC_AF 六ACAC,即AC=AGAP, .2V32=x+1(x+2, 解得x=2或x=-5(舍去)， ∴.AF=4. 2.(1)解：.⊙M经过原点O,分别交x轴、y轴于点A2,0,B0,8,且∠AOB=90°， ∴AB为⊙M的直径， 点M是AB的中点，A2,0,B0,8, ∴M1,4, 圆的半径为0M=712+42=17, 设直线CM的表达式为y=x+bk≠0， 代入C17,0、M1,4得 17k+b=0 k+b=4 解得 4 Γ4 直线CM的表达式为y=-/t以乙 4 (2)解：，直线CM分别交⊙M于点D,E, 不防D前华标为k,一子+名 则DM=V17, 4 --x*-4= 4 解得x=5或-3， 当x=5或-3时，-x 4对应的值为3或5， 点D在点E的左侧， D-3,5、E5,3: 如图，过点D作DH⊥OB于点H,过点E作EG⊥OC于点G, TB C大 则DH=3,BH=8-5=3=DH, :∠DHB=90°， ∴∠DBH=∠BDH=45°， 由点A、E的坐标，同理可得∠EAG=∠AEG=45°， A2,0、E5,3,B0,8、D-3,5 ∴AE=2-52+0-3=32,BD=-3-02+5-82=32,OB=8,OA=2, ①当∠AEP=∠DBO=45时， 则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC, ∴点P的坐标为5,0，即OP=5: ②∠AEP=∠BDO时， :∠EAP=∠DBO=45°， ∴·△EAP一△DBO, .AE-AP BD BO .32_AP_AP 32B0-8, 解得AP=8, .OP=AP+OA=8+2=10; ③∠AEP=∠BOD时， :∠EAP=∠DBO, ·△EAP△OBD, :A=4p OB BD 32=AP 83V21 解得AP= 4 ∴.OP=OA+AP=2+ 9_17 44 综上所述，0P的长为5或10或 4 3.(1)解：连结AF, AB=AC,∠C=65°， ∴.∠C=∠ABC=65°， .∠CAB=50°， …BE=100, …AE=80 (2)证明：连接AF、BE, :AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°，∠AFB=90°， .∠GEA+∠BEH=90°， 又：∠G=90°， ∴∠GAE+∠GEA=90° ∴.∠GAE=∠BEH, :∠BEH=∠BAF, ∴∠GAE=∠BAF, 又，'AB=AC,AF⊥BC, :∠CAF=LBAF=∠CAB, ∴∠BAC=2∠GAE. (3)解：过点O作OM⊥GH于点M,则ME=MF, M '3m2m OM‖AG‖BH,AO=OB, OB HM OA GM' ∴MG=MH, FH=乙=2， ∠2=∠3， ∴·△GEA一△ABF, BF=&=2 AFAG3 设BF=2m,AF=3m, .∠1=∠2， ..BF=EF, 在Rt△AGF中，AG2+GF2=AF2, 3'+2+2mP=(3m月，解得m,=-1,m,=13 Rt△BHF中，BH 2 24 5 -4= 5 4.(1)证明：过点O作OH⊥AB于点H,OK⊥CD于点K,如图， D E G K-O F H B AB=CD=3, AH-AB-1.5,CK-CD-15. AB-=3AF=3, AF=1, ∴.FH=AH-AF=1.5-1=0.5, :AB⊥CD,OH⊥AB,OK⊥CD, 四边形OKFH是矩形， ∴OK=FH=0.5, .AB=CD ∴0H=0K=0.5, KF=OH=0.5, ∴CF=CK-KF=1.5-0.5=1, ∴AF=CF; (2)解：连接DE,如图， D E B CE为⊙O的直径， ∴∠CDE=90°， :∠DBE和∠DCE都是DE所对的圆周角， ∴∠DBE=∠DCE, 在Rt△OKC中，CK=1.5,OK=0.5, 0C=CK2+0K2=1.5+0.5=2.5=10 2 ∴CE=20C=10, 在RtA CDE中，Cos∠DCE=CD= 3-310 CE-10-10 Cos∠DBE=310 10 (3)解：在Rt△CDE中，DE=√CE2-CD=10-32=1, :∠CFM=∠CDE=90°，∠DCE=∠FCM, ·△FCM一△DCE, CF_MF CD DE 又CF=AF=1, .1-MF 31 MF=1 3 5.(1)证明：AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， .∠AEB=∠AEC=90°， 在Rt△ABE和Rt△ACE中， .AB=AC,AE=AE, Rt△ABE≌Rt△ACE HL, .∠BAE=∠CAE ∴AE平分∠BAC (2)证明：连接AG D G ,四边形ADEG是⊙O的内接四边形， .∠ADE+∠AGE=180°， :∠ADE+∠CDE=180°， ∴.∠CDE=∠AGE, ·AB为直径，EG⊥AB, .EF=GF. ·EF=GF,∠AFE=∠AFG=90°，AF=AF, ∴·△AEF≌△AGF SAS. ∴∠AEF=LAGF 又，∠CDE=∠AGE, ∴.∠CDE=∠AEG. (3)解：AB=AC, ∴∠ECD=LABE, 又，∠ABE=∠AGE,∠EDC=∠AGE=∠AEG, ∴·LECD=∠AEG=LEDC=LAGE=LABE, ∴·△ECD~△AEG, CD CE EGAE 又.tan∠AEF=tan∠ACE= AE_5 CE3' EG_AE_5 CD CE3 又CD=4, :EG=5CD=5x4=20 3 3 1 6.(1)解：：AB为⊙O直径， ∴∠ACB=90°， C,D为⊙O上的点，AC=2,BC=4, ∴.∠ADC=∠ABC, -tan∠ADC=tan∠ABC=AC=2=1 BC42 (2)①解：CD=4AE·BE: 理由：由(1)得∠ACB=90°，∠ADC=∠ABC, ·∠ABC+∠BAC=90°， :∠ACD=∠ABC, 六AC=AD,AB为⊙O直径， AB垂直平分CD,即CE=CD,∠AEC=∠BEC=S0, 又∠ACD=∠ABC, ·△AEC一△BEC, .AE_CE “CEBE CE-AEBE-CD -CD 即CD=4AE·BE; ②连接BF,FD,CO, B 由O得CE=CD,AB1CD, .CF AB, ∴CF⊥CD,即△CDF为直角三角形，∠DCF=90°， ∴.DF为⊙O直径， tan CDF=CE=1_3 CD3-31 ∴.∠CDF=30°，∠CFD=60°， .OC=OF, ∴.△COF是等边三角形， ∴.∠OCF=∠OFC=60°， CF‖AB, .∴.∠AOC=∠OCF=∠OFC=∠BOF=60°， 同理可得∠BAC=60°， ∴.∠BAC=∠BOF=60, ∴.FO‖CA, .FG‖CA, ∴F,G,D三点共线， 7.(1)证明：·AB为直径，所以∠ACB=90°，∠CAB+∠CBA=90°. 又，CE⊥AB ∴.LBCE+LCBA=90°. .CAB=4 BCE. .CD=CB, .∠CBD=∠CDB=∠CAB. .∠CBD=∠BCE, ∴.FC=FB. (2)解：由(1)已知∠FBC=∠FCB,∠ACB=90°，CF=BF, ∴.∠FBC+∠CGB=∠FCB+∠FCG=90° E ∴.LFCG=LCGB. ∴.FC=FG, FG=FB,即F是BG中点， ,O是AB的中点， 所以OF‖AG ,∠CAD=20,CD=CB, ∴.CB=CD' ∴.∠CAB=∠CAD=20°. .CE⊥OB, ∴.∠ACE=90°-∠CAB=70°， ∴.∠OFE=∠ACE=70°. (3)解：连结OF,过O作OH⊥AC,垂足为H,所以AH=HC, 由圆的性质和已知条件得OA=OB=BG, D H ∠AHO=∠ACB=90 必 ∠CAB=∠CBG OA=BG ∴.△AOH≌△BGCAAS, ∴cG=0H=8c=3AM=号HC.am∠CB=号 2 G是CH中点，HG=CH, ∴.OH=HG,设OH=a, ..OH2+HG2=OG, a2=8,所以S4AoG= d=12. 2 .'∠BCE=∠CAB, CE2,tan∠CAB=CE、1 .tan BCE=BE=1 AE-21 …器 .AO=BO 0肥-号 .SAOEF= .F为BG的中点， SAOFG=SAOBF ∴.S四边形OEFG= 8So4SAoc月 4 5 5 SAAOG' 六S地0ec=号×12=4 4 5 8.(1)证明：如图，连接OD, B E ,DE是⊙O的切线， .OD⊥DE ,DE⊥CB ∴.OD‖lCB, ∴.∠DBE=∠ODB, .OB=OD, ∴.∠OBD=∠ODB, ∴.∠DBE=∠ABD (2)解：AB为⊙O的直径， ∴.∠ADB=90, .∠BAD+∠ABD=90°， .DE⊥CB ∴.∠BDE+∠DBE=90, ∴.∠BAD=∠BDE, 由圆周角定理得：∠BAD=∠DCE, ∴.∠BDE=∠DCE, ,∠E=∠E, ∴.△BDE一△DCE, 器器 即3=DE DE 7 解得：DE=21(负值舍去)， 9.(1)证明：如图，连接OA, B PA与⊙O相切， PA⊥OA,即∠OAP=90°， OP⊥AB, ∴D为AB中点，即OP垂直平分AB, .PA=PB, :在△OAP和△OBP中， AP=BP OP=OP OA=OB ∴△OAP≌△OBP SSS, .∠OAP=∠OBP=90°， ∴BP⊥OB, 则直线PB为⊙O的切线： (2)解：连接BE,则∠FBE=90°， tan /F=1 21 BE_1 BF2' ∴可设BE=X,BF=2X, 则由勾股定理，得EF=VBF+BE=5x, 号EF=号EBD. BD=2 5t, 又AB⊥EF, AB=2BD=4 X 5 Rt△ABC中，BC=V5x, AC+AB2=BC2, 122+ 4V52 5x =5x2, 解得：x=45, ∴BC=45×V5=20, .cos∠ACB= AC_12_3 BC20-5 10.(1)证明：连接OB,OD,OA, B F AB与⊙O相切于B,OB是⊙O的半径， OB⊥AB, 四边形ABCD是菱形， .AB=AD, .AB=AD,OB=OD,AO=AO, ∴·△ABO≌△ADO SSS, ∴∠ODA=∠OBA=90°， OD⊥AD, OD是⊙O的半径， 故AD是⊙O的切线： (2)证明：在菱形ABCD中，AB=AD=BC=CD,∠ABD=∠CBD, ∠CDB=∠ADB,∠BAD=∠BCD, .OB=OD, ∴.∠OBD=∠ODB, 设∠OBD=∠ODB=X, 则∠BOD=180°-2x, .∠BCD= 1∠B0D=90°-x, :AB与⊙O相切于B,OB是⊙O的半径， ∴OB⊥AB ∴∠ABD=90°-X, ∠ABD=∠BCD, .AB=AD, ∴.∠ABD=∠ADB, :∠ABD=∠CBD,∠CDB=∠ADB, ∴.∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°， 即∠ABD=60°， 在△ABD中，AB=AD且∠ABD=60°， 故△ABD是等边三角形： (3)解：由(2)知△ABD是等边三角形， ∴.∠ABD=∠ADB=∠BAD=60°，AB=BD, ,∠FEG=60°， ∴.∠BEF+∠GED=180°-60°=120°， 在△BFE中，∠BFE+∠BEF=180°-60°C120°， ∴.LBFE=LGED, 又，∠FBE=∠GDE=60°， .△BFE一△DEG, BFBE DE DG 即BE·DE=BF·DG, .BF=3,DG=9, .BE·DE=27, 又能8 3s9 BE DE' 即DE=3BE, BE·3BE=27, 解得：BE=3, ∴DE=9, .BD=BE+DE=3+9=12, .∴.AB=BD=12, '△ABO≌△ADO, .∠OAD=∠OAB, 在R△ABO中，∠OBA=90°，∠OAB=号∠BAD=30°， 0B=AB-am30=12×3-=43. 3 即⊙0的半径是43. 11.(1)证明：，OD‖AC, ∴.∠COD=∠ACO,∠BOD=∠CAO, .AO=CO, ∴.∠CAO=∠ACO, ∴.∠COD=∠BOD, OC=OB,OD=OD, ∴.△OCD≌△OBD SAS, ∴.∠OCD=∠OBD .CD是⊙O的切线， .∠OCD=∠OBD=90, .OB是⊙O的半径， ∴.BD是⊙O的切线； (2)证明：，OD‖AC, ∴.∠BOD=∠BAC, AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴.∠ACB=∠OBD=90°， ·△OBD一△ACB, OD OB AB AC ODOC 20C AC' ∴OD·AC=20C2: 3)解：：AC=L,tan∠FBO=,∠ACB=90o BC=2, ∴.AB=VAC2+BC2=5, B0C=0A=0B=)5, ,'∠OCB+∠BCD=∠OCB+∠ACO=90°， ∴.∠BCD=∠ACO, 由(1)知∠OCD=∠OBD=90°， ∴.∠OCE=∠OBD=90°， .∠E=∠E, ∴.△CEO△BED .∠EOC=∠EDB, .△ACO-△BCD, :AC=0C=0A=1 BC CD BD 2 ∴.CD=BD=5 ∴0D=BD+0B= 2 .OD‖AC, ∴.△ACE一△ODE, .EC-AC BD==,即ED-CD=A9 ED OD ED-5_1 .ED 2 解得：ED=55 3 12.(1)解：DF与FB的数量关系为DF=FB. .过点B作⊙O的切线交直线AC于点D, ∴.DB⊥AB, ,CH⊥AB, ∴.CH‖DB, ∴.△ACE~△ADF,△AEH~△AFB, “器器 EHAE BF AF' 照 .点E为CH的中点， ∴.CE=EH, ∴.DF=FB ∴.DF与FB的数量关系为DF=FB. 故答案为：DF=FB (2)证明：连接OC,BC,OF,如图， .FB G 为圆的切线， .DB⊥AB, ..∠OBF=90, ,AB为直径， ∴.∠ACB=∠DCB=90°. 由(1)知：DF=FB, ∴.CF为Rt△CDB斜边上的中线， ..CF=BF=-BD 2 在△OBF和△OCF中， OB=OC OF=OF BF=CF ∴.△OBF≌△OCF SSS, ∴.∠OBF=∠OCF=90°， .OC⊥CG .OC为⊙O的半径， ∴.CG是⊙O的切线： (3)解：连接OC,BC,如图， H B G 由(2)知：DF=BF=FC=1, ∴.BD=2,FE=FC=1, .∠FCE=∠FEC, .CH⊥AB, ∴.∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°， ,∠AEH=∠FEC, ∴.∠FAB=∠G, ∴.FA=FG, .FB⊥AG, ∴.AB=BG, 设圆的半径为x,则AB=BG=2X,OC=x,OG=OB+BG=3X. 在Rt△OCG中， ,0C2+GC2=0C2, ∴.CG2=(1+FG2=0G2-0C2=(3x2-x2=8x2, .FG=2V2x-1. 在Rt△FBG中， .FB2+BG2=FG2, .12+2x2=22x-12 ∴x=0(不合题意，舍去)或x=2 ∴.AB=22, 在Rt△ABD中，tan∠DAB=BD=2=2 AB-2H2-2 13.(1)证明：如图，连接OB, A O D E P.PB⊙O 是 的切线， ∴.∠PBO=90. .OA=OB,BA⊥PO于D .AD=BD,∠POA=∠POB 又PO=PO, ∴.△PAO≌△PBO. ∴.∠PAO=∠PBO=90, .OA⊥PA .OA为⊙O的半径， 直线PA为⊙O的切线. (2).'∠PAO=∠PDA=90, ∴.∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°. ∴.∠OAD=∠OPA, .△OAD-△OPA, ..OA_OD OP OA 即OA2=OD·OP 又.EF=2OA,， ∴.EF2=4OD·OP; (3).OA=OC,AD=BD,BC=6, .OD=1BC=3. 设AD=X :tan∠F=AD=1 FD 2 .FD=2x,OA=OF=2x-3. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得2x-32=X2+32. 解得，X1=4,X2=0(不合题意，舍去). ∴.AD=4,OA=2x-3=5. .AC是⊙O的直径， ∴.AC=2OA=10. 14.(1)证明：.AB为圆0的直径， .∠ACB=90°， 在△ABC中，∠ABC+∠BAC=90°. B EFIAC ∴.∠AFE=∠FAC .∠AFE=∠ABC, .∠FAC=LABC, .LFAC+∠BAC=90°， 即FA⊥AB于点A, 又OA为圆O半径， ∴直线AF与圆O相切， (2)解：①连接OP,OD,过点D作DT⊥AP于T. B .OA=OD,OP=OP,AP=DP, ∴△OAP≌△ODP SSS, 由(1)知∠OAP=90°， ∴.∠ODP=∠OAP=90, :HD⊥AB,DT⊥AP,直线AF与圆O相切， ∴.∠AHD=∠DTA=∠TAH=∠FAB=90°， ∴四边形ATDH为矩形， ∴.∠TDH=90°，DT=AH=16, ∴∠ODH+∠ODT=90°， :∠PDT+∠ODT=∠ODP=90°， .∠ODH=∠PDT 又∠PTD=∠OHD=90°， .△PDT一△ODH, DP-DT OD DH 即DH·DP=OD·DT, :∠AFE=∠ABC,∠FAE=∠FAB=90°， △AFE~△ABF, ..AF_AE AB AF 即10、5 AB-10 ∴.AB=20, ∴.OD=10, DT=16, ∴.DH·DP=OD·DT=10×16=160 ②连接BD并延长交AP的延长线于点M,连接AD, B D D M水 :AB为圆O直径， ∴.∠ADB=90°=∠ADM, PA=PD ∴.∠PAD=∠PDA, ,'∠ADP+∠PDM=90°，∠DAP+∠M=90°， ∴.∠M=∠PDM .'PM=PD, ∴.PD=PM=PA, .DH‖AM, ·△BHQ~△BAP,△BQD一△BPM, QH =BQ-QD ·PA-PB-PM .PM=PA, ∴QH=QD 即Q为DH中点. 15.(1)证明：连接0E, B E :△ABC是等腰三角形，AB=AC, .∠B=∠C, .OE=OC, ∴∠OEC=∠C, ∴∠OEC=∠B, ∴OE‖AB EF⊥AB ∴∠BFE=90°， OEl AB, ∴.∠OEF=∠BFE=90°， EF⊥OE, :OE是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线： (2)解：过点O作OM⊥AB于点M, y OM⊥AB, ∴OMF=90°， :∠AFE=∠OEF=∠OMF=90°， 四边形OMFE是矩形， ..OM=EF=4,MF=OE, :∠AEF+∠BEF=90°，∠B+∠BEF=90°， ∴.∠AEF=∠B, ∠BFE=∠AFE=90°， ∴·△BFE一△EFA, BF_EF EF AF 24 即4AF· 解得AF=8, 设⊙O的半径为r, 则有MF=OE=OA=r,AM=8-r, OM⊥AD, .∠AMO=90°，AD=2AM, 在Rt△AMO中，∠AMO=90°， 由勾股定理可得：AM2+0M2=AO2,即8-r2+42=r2, 解得r=5, 故AM=8-5=3, ∴AD=2AM=2×3=6; (3)解：过点O作OM⊥AD于点M, D E OM⊥AD, ∴.∠OMF=90°， :∠AFE=∠OEF=∠OMF=90°， ∴四边形OMFE是矩形， ..OM=EF=4,MF=OE, :∠AEF+∠BEF=90°， ∠B+∠BEF=90°， .∠AEF=∠B, :∠BFE=∠AFE=90°， ·△BFE△EFA BF EF EFAF 即BF、4 4-2’ 解得BF=8, 设⊙O的半径为r,则有MF=OE=OA=r,AM=r-2, OM⊥AD: ∴.∠AMO=90°，AD=2AM, 在Rt△AMO中，∠AMO=90°， 由勾股定理可得：AM2+0M2=A02,即r-22+42=r2, 解得r=5, 故AM=5-2=3, ∴.AD=2AM=2×3=6. 16.(1)证明：如图，连接0C OB=OC 图1 .∴.∠B=∠1， BCOD, .∠B=∠3，∠1=∠2， ∴.∠2=∠3 OC=OA,OD=OD, ∴.△COD2△AOD SAS, .∠DAO=∠DCO, .CD是⊙O的切线， ∴.∠DC0=90°， .∠DAO=90°， .OA⊥AD, ,点A在⊙O上， .AD是⊙O的切线： (2)解：如图1， 由(1)知：∠B=∠1=∠2， .∠B=2∠CDO, 4CD0=∠2， ,∠CD0+∠2=90° .∴.∠CD0=30, .∠DCO=90°， CD=ODcOs CDO=3c0s3033 2 (3)解：如图1，设OD交⊙O于F, 由1D2》知.∠3=∠2=2∠DC0=60,0A=0C=0D=多AD=CD=3 ÷56o0A:AD=×号x33_983 60°·π× 32 2228’S扇形A0= 3 360 8 ·S明影=S△AOD-S扇形A0r= 93-3π 8 17.(1)证明：如图，连接0D, DE⊙O 直线是 的切线， .OD⊥DE, .∠ODF=90°， :DE⊥AC, ∴.∠DEA=90° ∴.OD‖AE, ∴.∠ODA=∠DAC, .'OD=OA, .∴.∠ODA=∠OAD, .∠OAD=∠DAC, ∴.AD平分∠CAB: (2)解：DM=2ME, 证明：直线DE是⊙O的切线， ∴.∠ODF=90, .∠F=30°， ∴.∠FOD=90°-∠F=90°-30°=60°， .OB=OD, ∴.△OBD是等边三角形， ∴.∠ODB=60, ∴.∠BDF=∠ODF-∠ODB=90°-60°=30°， ∴.∠MDE=∠BDF=30° ,DE⊥AC, ∴.∠DEM=90, .'DM=2 ME: (3)解：由(2)得∠F=30°，∠BOD=60°， .⊙0半径为1， .OF=2, ∴.DF=OF2-0D2=3, 之图中阴影部分面5cw一5产×1×3-60-距-夏 360 26 18.(1)证明：如图，连接OE, .'OB=OE ∴.∠B=∠OEB, .AB=AC, .∠B=∠C, ∴.∠OEB=∠C, ∴.OE‖AC ∴.∠OEF=∠EFC, ,EF⊥AC, ∴.∠EFC=90°， .∠OEF=90°， .OE⊥EF, .EF是半圆O的切线： (2)解：①如图，连接OG, AC 与半圆O相切于点G, .OG LAC, ∴.△AOG是直角三角形， …tanA=OG-4 AG 3 设OG=0B=4x,则AG=3x,A0=VAG+0G=3x+4x=5x, ..AB=OA+OB=5x+4x=9x, .'AB=AC=9, .9x=9, .x=1, ∴.0G=4, 即半圆0的半径为4： ②连接OE, .'∠OEF=∠EFG=∠OGF=90° ∴.四边形OEFG为矩形， .'OG=OE, ∴.矩形OEFG为正方形， ∴.∠EOG=90°，GF=EF=4, 由①知：半圆O的半径为4， :阴影部分的周长为：GF+EF+1,=4+4+90X4=8+2元. EG 180 19.解：(1)如图1，连接OD. B D C 图1 .OB=OD ·∠B=∠ODB, .AB=AC, ∴∠B=∠C ∠ODB=∠C, ∴.OD‖AC 又，DH是⊙O的切线， DH⊥OD DH⊥AC. (2)①BD=CD: 理由：如图2，连接AD, D 图2 O是AB的中点， ∴AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°. .AB=AC, ..BD=CD. ②如图3，连接0E 图3 O为AB的中点，D为BC的中点， ∴OD‖AC 又DE‖AB,OA=OD, ∴四边形ODEA为菱形. .DE=OD,AE=OA, ∴·△ODE和△OEA为等边三角形， ∴∠AOE=∠DOE=60°， ∴∠BOD=60°， ∴△BOD为等边三角形， ~0B=OD=BD=BC=5.点O到DE的距离为0Dsin60=3 x5=53 2 6ae-0g器5吾5mc-×55325西 360 2 2 4 S阴影=2S形o0E-SAODE= 25-253=25元-253. 4 3 2 20.解：(1)△AMN是正三角形， 理由如下：如图，连接ON,NF, 由题意可得FN=OF=ON, ∴.△FON是等边三角形， .∠NFA=60° ∴.∠NMA=60 同理可得∠ANM=60° ∴.∠MAN=60o .△AMN是正三角形. (2)如图，连接OD, .∠AMN=60°∠AON=120° :LA0D=360° ×2=144°， 5 ∴.∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°， .360°÷24°=15， .n的值是15 21.(1)解：设⊙0的半径为r, 弦AB⊥弦CD, AD+BC=AC+BD' “AC与BD拼成半圆， .2π+6π=r, 解得：r=8 (2)解：如图2，在⊙O上取一点F,使，连接BF、DF, H B ●O .·AB⊥CD 图2 弦 弦， ∴.∠BHD=90°，sup4(⌒)与sup4(⌒)拼成半圆， ,=i, ∴.sup4(一)与\sup4(⌒)拼成半圆，即\slup4(⌒)是半圆， ∴.DF是⊙O的直径， ∴.∠DBF=90, =, ∴.BF=AC=2, ,E为BD中点，∠BHD=90°，HE=2, .BD=2HE=4, ∴.DF=BF2+BD2=2+42=25, ∴.⊙O半径长为V5: (3)解：如图3，作⊙O的直径CG、作弦DI‖AB,连接BD、BI、CI、GI, .'∠IDB=∠ABD G 图3 .'.i,∠G=∠CDI=∠CDB+∠IDB=∠CDB+∠ABD=∠AHD=60°， .'BC=2AD=4, .BI=AD=2,∠CBI=180°-∠G=120°， 延长IB到点K,使BK=BC=4,连接CK,作CJ⊥BK于点J,则∠CJI=90°， ,∠CBK=180°-∠CBI=60°， ∴.△BCK是等边三角形， J=KJ=BK=2.CI=BC.sin60=4x23 2 .IJ=BI+BJ=4, CI=1J+C=42+(23)}=27, .∠CIG=90°， CIL=sin 60 3 CG 2 CG=2C-2×27-421 3 3 3 “0G=2cG=1×421=22 Γ23 3 ·00半径长为221 3