2026年九年级数学中考二轮复习《一次函数综合解答题》常考热点题型专题训练

2026年春九年级数学中考二轮复习《一次函数综合解答题》 常考热点题型专题训练（附答案） 一、一次函数与方程（组）、不等式综合 1．如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 2．小亮根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是他的探究过程． … 2 3 4 5 … … 3 4 5 0 … (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)如表是y与x的几组对应值：其中m的值为_______；n的值为_______； (3)在下面的平面直角坐标系中，画出该函数图象： (4)根据函数图象，直接写出方程的解为_______． 3．如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示． (1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________； (2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间； (3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围． 4．如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过点的一次函数的图象相交于点，点的横坐标为3，直线与轴相交于点． (1)直线的函数表达式为______；（直接写出结果） (2)点为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点的坐标； ②点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】 x … 0 1 2 … … 6 m 2 n 2 4 6 … (1)表格中m的值为________，n的值为________； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． (3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，y的值随x值的增大而增大； ③当时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当时，． 其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________． 6．【活动回顾】本册教材页中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式：的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． (1)【解决问题】如图，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． (2)如图，观察图象，两条直线的交点坐标为__________，方程的解是__________，不等式的解集是__________． (3)【拓展延伸】如图，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点，请你结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是_________． 二、一次函数与反比例函数综合 7．如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)则反比例函数的解析式为___________； (2)关于的不等式的解集为___________； (3)为轴上的一动点，当的面积为3时，求点的坐标． 9．一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)为反比例函数图象上的一点，设其横坐标为． ①如图1，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于，当时，求的长度； ②如图2，连接，若，求的值． 10．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长交轴于点，点为轴上一点，且满足，请求出所有符合条件的点坐标． 11．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 12．如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点． (1)求双曲线的表达式和a，b的值； (2)请直接写出使得的x的取值范围； (3)若的面积为12，求此时C点的坐标． (4)若点也在反比例函数的图像上，求当时，函数值y的取值范围． 三、一次函数与几何综合 13．如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点、，若，点的坐标为 (1)求直线的表达式 (2)若点在直线上，使得，求点的坐标 (3)点是直线上一个动点，点是坐标平面内一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标 14．如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为． (1)求的值； (2)过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点． ①当时，求点的坐标； ②当时，请通过计算比较与的大小． 15．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴相交于点A，点B．点P在线段上，过点P分别作x轴，y轴的垂线段，，垂足为C． (1)若，如图． ①求矩形的周长． ②求矩形面积的最大值． (2)若矩形OCPD的面积最大值为6，求k的值． 16．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点且分别交轴于点，其中的长是方程的两个实数根． (1)求的值； (2)如图2，为上一动点，作轴交于点，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)如图3，平面内有一点与点关于轴对称，、分别为、上一动点（均不与重合），为平面内一点，问：是否存在点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图1，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交函数和的图象于点、，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，如图2，若一次函数的图象与轴交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，的长是一元二次方程的两个实数根，点关于原点的对称点为点，过点作直线的垂线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式． (2)点的坐标为，设的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知，． (1)求直线的解析式： (2)直线与x轴交于点N，点N关于原点的对称点为点M，点P是坐标平面内任意一点，若A、B、M、P四点能构成平行四边形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标： (3)如图，以点A为直角顶点作，射线交x轴的负半轴于点C，射线交y轴的负半轴于点D．当绕着点A旋转（点C始终在x轴负半轴，点D始终在y轴负半轴），的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围． 20．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且，直线与交于点，点横坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点的坐标，此时在轴上有一动点，连接，，求的最小值； (3)如图3，将向右平移个单位长度得到直线，直线与轴交于点，点为上一动点，当时，请写出所有满足条件的点的坐标，并写出求其中一个点坐标的过程． 参考答案 1．（1）解：由函数图象可知，直线与x轴交于点， ∴关于的方程的解是； （2）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集是； （3）解：由函数图象可知，当，； （4）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式组的解集为． 2．(1) (2)0，1 (3)见解析 (4)或 【分析】（1）根据分式的分母不能为0求解； （2）令求出的值，令求出的值； （3）将表格中的点在平面直角坐标系中描出来，用平滑的曲线连接即可； （4）的解为函数与交点的横坐标． 【详解】（1）解：， ． （2）解：令，则， ， ， ， ； 令，则， ． （3）解：如图所示． （4）解：函数的图象如图所示， 由图可得：交点坐标为，， ∴方程的解为或． 3．(1)2，14 (2)当甲乙水深相同时，注水时间为2分钟 (3) 【分析】（1）注水过程与函数图象结合，可知折线是乙槽中水位的变化情况，观察图象即可得注水前乙槽中水深 为，玻璃块的高度为； （2）求甲、乙水槽水位相同的注水时间，即是求线段与线段交点的横坐标，求出解析式，联立求交点即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）解：由题意可知，乙槽在注入水的过程中，水的高度不断增加，当水位达到玻璃块顶端时，高度变化情况又同前面不同， 折线表示的是乙槽的水深与注水时间的关系； 注水前乙槽中水深 为，折线拐角处表示深度有所变化， 此时表示水位达到玻璃块顶端即玻璃块的高度为． （2）解：如图， 设的解析式为， 将点代入得： ，解得， 的解析式为， 设的解析式为，将点代入得： ， 解得， 的解析式为， ， 解得， 答：注水时，甲、乙两个水槽中水深相同． （3）解：根据函数图象可得：当时，乙水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象在甲水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象的上面，所以乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，的取值范围为． 4．(1)； (2)①或；②点的坐标为或 【分析】（1）求出D点坐标，把C、D两点的坐标代入即可解决问题； （2）①分两种情形或分别构建方程即可； ②分两种情形当：点D落在x轴正半轴上（记为点）时，如图2中，当点D落在y轴负半轴上（记为点）时，如图3中，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于， 令，则， ∴， ∵一次函数的图象过，， ∴， 解得， ∴； （2）①直线将的面积分为两部分， 或． 在中，当时，． ． 在中，当时，． ， 如图1中，过点作轴于点， 由（1）知，， ∴． ． 或． 设，由题意知． 过点作轴于点，则． 或． 解得或2． 的坐标为或． ②当点落在轴正半轴上（记为点）时，如图2中． 由（2）知：． 由翻折得． 在和中， ， ， ． 由翻折得． ． 轴． 点的纵坐标为2， 当点落在轴负半轴上（记为点）时，如图3中． 过点作，，垂足分别为点、． 由翻折得． ． 由（2）知，即． ． 在中，由勾股定理，得． ， 解得． ． 综上，点的坐标为或 5．(1)m的值为4，n的值为0 (2)作图见解析 (3)①②③ (4)作图见解析；， 【分析】（1）分别将和代入求解即可； （2）利用描点法作图即可； （3）根据画出的函数图象分析即可； （4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 故； 把代入， 得， 故； （2）解：作图如图： （3）解：由图可知 函数图象关于直线对称，是轴对称图形，故①正确； 由图可知 当时，，随的增大而增大，故②正确； 由图可知当时，取得最小值，故③正确； 当时，，解得或，并非只有，故④错误； 综上，正确的是①②③； （4）解：作图如图： 当时，，解得， 当时，，解得， 方程组的解就是两个函数图象的交点坐标， 因此方程组的解为： 和 ． 6．(1) (2)，， (3) 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； （）求出点的坐标，再结合函数图象解答即可求解； 本题考查了一次函数与不等式，一次函数的交点问题，一次函数与二元一次方程组，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可知，不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：由函数图象可知，两条直线的交点坐标为，方程的解是，不等式的解集是， 故答案为：，，； （3）解：由，解得， ∴， 把代入，得， ∴， 由函数图象可知，当时，；当时，， ∴不等式组的解集是． 7．(1)一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为； (2)或； (3)的值为或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）分情况讨论，当是斜边时，当是斜边时，利用勾股定理即可得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过、两点， ∴， 解得：，， ∴反比例函数的关系式为，， ∵一次函数过、两点， ∴， 解得：， ∴一次函数的关系式为； （2）解：根据图象可知：当或时，， ∴不等式的解集为或； （3）解：过、，， ∴，，， 如图，当是斜边时，即， ∴， ∴，解得：， 如图，当是斜边时，即， ∴， ∴，解得：， 综上可得：的值为或． 8．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法解题即可； （2）求出一次函数和反比例函数的交点坐标，根据图象求解； （3）设，由列方程计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，点在直线上， ∴当时，， 即， 设反比例函数的解析式为， 代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：联立， 解得或， 即一次函数和反比例函数的交点为或，如图， 由图像可知，一次函数在反比例函数上方时，对应的自变量的范围是或， ∴关于的不等式的解集为或； （3）解：对于一次函数，当时，， ∴， 设， 则 ， ∴， 解得或， ∴或． 9．(1) ，； (2) ①② 【分析】（1）将点坐标代入直线解析式求出，再代入反比例函数解析式求得即可； （2）①过点作轴于交于点，通过论证，列出，求出，进而得到点坐标，根据， 在直线上，求出点坐标，即可求出结论； ②过点作交的延长线于点，过作轴于，过点作于点，通过论证，得出点坐标 ，代入直线的解析式即可求得结果. 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴，解得：， ∵在反比例函数图象上， ∴； （2）①过点作轴于交于点， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵轴， ∴， ∵在直线上， ∴， 解得， ∴； ②解：过点作交的延长线于点，过作轴于，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：， 即：， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∵， ∴ 10．(1) (2) (3)点G坐标为或 【分析】（1）先求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点，则，根据，列出方程进行求解即可； （3）先求出点坐标，分点G在x轴正半轴和点G在x轴负半轴上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴； 将代入，得， ∴； （2）解：设点，则， ∴，， ∵， ∴， ∴，（舍）， ∴． （3）解：设直线的解析式为， 把，，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， ∴当时，解得， ∴； ①点G在x轴正半轴， ∵，， ∴， ∴． 设， 则 ∴，（舍） ∴． ②点在x轴负半轴， 此时，， ∴ 过点A作轴于点，则是中点， ∴； 综上所述，点G坐标为或． 11．(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 12．(1)， (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）根据表达式，交点的意义，确定点，点，求解即可； （2）根据函数的交点分别为点，点，结合已知求解即可； （3）根据函数的交点分别为点，点，设点，根据题意，得，列式计算即可． （4）根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上， 故，， 解得， 故点，点， 故， 解得， 故反比例函数的表达式为． （2）解：根据题意，得，的交点为点，点， ， 故x的取值范围为或； （3）解：根据函数的交点分别为点，点，设点， 根据题意，得， 由的面积为12， ， 解得， 故点． （4）解：点也在反比例函数的图像上， 当时，； 当时，； 根据反比例函数的性质，得y随x的增大而减小， 故函数值y的取值范围为或． 13．(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）首先求出点A和点B的坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求出，，由题意求出，求出直线的解析式为，设，分点在延长线上，点在线段上和点在延长线上三种情况讨论，利用三角形面积差建立方程求解即可； （3）设，，分以为对角线的四边形是菱形，以为对角线的四边形是菱形，以为对角线的四边形是菱形，三种情况，利用菱形的性质建立方程（组）求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 设直线的解析式为， 将、点代入， ， 解得， 直线的表达式为； （2）解：，，， ， ∵， ， ∵，即， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设， 当点在延长线上时，如图， 则， ∴，即，解得， 此时，，即； 当点在线段上时，如图， 则， ∴，即，解得， 此时，，即； 当点在延长线上时，如图， 则，即， 故，不存在此种情况； 综上，点的坐标为或； （3）解：由（1）知直线的表达式为， 设，， 当以为对角线的四边形是菱形时，如图， 则且， ∴且，即， ∴且或， 当时，则，即； 当时，则，即； 当以为对角线的四边形是菱形时，如图， 则且， ∴且，即， ∴且， 则，即； 当以为对角线的四边形是菱形时，如图， 则且， ∴且，即， ∴且或（与点A重合，舍去）， 则，即； 综上，点的坐标为或或或． 14．(1) (2)①；②当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据截距可得b的值，再代入A点坐标，可得a； （2）①先表示出，再根据，建立方程，求解即可；②表示出，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题可知，则直线， 直线过， 则直线． （2）解：直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点， ． ①， ， ． 点的坐标为． ②由题意得：， 当点在直线下方或在直线上时，由图可知； 当点在直线上方时，； 当时， 解得：； 当时， 解得：； 当时， 解得：； 综上，当时，；当时，；当时，． 15．(1)①；②9 (2) 【分析】（1）设点，则，， ①利用矩形的周长=求解； ②利用面积求解； （2）当时，设点，设矩形的面积为y，得出，利用二次函数的最值求解；当时，同理． 【详解】（1）解：（1）当时，， 当时，， 解得， 设点P的横坐标为m， ∴点， ∴，， ①矩形的周长=； ②面积， ∵， ∴面积， 故矩形面积的最大值为9； （2）解：当时，， 解得， ①当时，设点， 设矩形的面积为y，则， ∵，， ∴当时，y有最大值， 当时，y的最大值为， 解得； ②当时，设点， 设矩形的面积为y，则， ∵，， ∴当时，y有最大值， 当时，y的最大值为， 解得， 故k的值为． 16．(1)， (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）通过解方程求出线段的长度，得到，则，分别代入直线与直线即可求解； （2）设，则，用a表示出的长度，利用平行四边形的性质求解即可； （3）分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∴， ∴， 分别代入直线与直线得， ， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∵轴，以O、E、C、F为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∵直线与直线交于点C， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴E点坐标为或． （3）解：存在， ∵点M与C点关于x轴对称，， ∴， 设，分三种情况： ①为对角线时，如图，过点Q作轴于N，过点P作轴于L， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P为直线上一动点（均不与C重合）， ∴，解得：， ∴，与C重合，不合题意； ∴此种情况不存在； ②为对角线时，如图，过点Q作轴于N，过点P作轴于H，交于L， 同理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P为直线上一动点（均不与C重合）， ∴，解得， ∴，与C重合，不合题意； ③为对角线时，如图5，过点P作轴，过点M作于N，过点Q作于L， 同理得， 设， ∴， ∴，解得：， ∴； 如图6，过点P作轴，过点M作于N，过点Q作于L， 同理得， 设， ∴， ∴，解得：， ∴； 综上所述，存在，Q点坐标为或． 17．(1) (2) (3)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】（1）联立与解方程组即可求解； （2）过点作轴的垂线，在中，由勾股定理求得的长，再由 求得的长，用点的横坐标表示出点、的坐标，利用的长求得值，根据即可求得的面积； （3）先求得点的坐标，得出，又，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解： ， 解得， ∴． （2）过点作轴的垂线，垂足为， 在中，由勾股定理得， ， ，， ， ， 解得， ； （3）四边形是平行四边形，理由如下， 当时， ∴ ∴ 由（2）可得， ， ∴ ∴四边形是平行四边形． 18．(1) (2) (3)存在，， 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）证明，得出，根据对称性求出，进而求出，待定系数法求出直线的解析式为．联立方程组求出点D的坐标，然后分；分别求出函数解析式即可； （3）分两种情况讨论：为矩形的边和为矩形的对角线，然后根据矩形的性质，求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得，． ， ，． ， 设直线的解析式为． ．， 解得， 直线的解析式为． （2）解： ，，， ， ， ， 点关于原点的对称点为点， ． ，． ． ． 同理可求：直线的解析式为． ，得， ． 当时，； 当时，． 综上所述，． （3）解：存在，求解如下： ①如图1：当为矩形一边时，过作交于，分别过、作，相交于点， ， 点的纵坐标为1，则有，解得：， ，即点的横坐标为1， ，点的纵坐标为， ； ②如图2：当为矩形的对角线时，分别过、作，相交于点 ，相互平分， 过点作直线的垂线交于点，交轴于点． 点和点重合， ， ， 点关于原点的对称点为点， 点、点关于原点的对称， ． 综上，存在点即或，使，，，为顶点的四边形是矩形． 19．(1) (2)点P的坐标为或或 (3)不变， 【分析】（1）待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求出点N的坐标，再根据关于y轴对称点的特点，求出点M的纵坐标，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据中点坐标公式分别求出点P的坐标即可； （3）过分别作轴和轴的垂线，垂足分别为， 可证明可得到，从再利用线段的和差可求得． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴点N的坐标为， ∵点N关于原点的对称点为点M， ∴点M的坐标为， 设点P的坐标为，，， 当为对角线时，根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当为对角线时，根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当为对角线时，根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上，点P的坐标为：或或． （3）解：不变，理由如下： 过点作轴于点G、轴于点，如图所示： 则， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故的值不发生变化，值为． 20．(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求得点、的坐标，根据，可求得点的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式即可； （2）设，根据点的坐标特征分别得出， ，再根据可求得点的坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 则，此时的最小值等于的长度， 利用勾股定理求解即可得解； （3）分点在直线左侧和右侧两种情况讨论，通过构造辅助线与推导角度关系，联立解析式即可解答． 【详解】（1）解：对于直线， 令，得， 令，得， ，， ， ， ， ， 将点，代入直线中得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：点为直线上一点， 设， 对于直线， 令，得，解得， ， ， ，， ， 解得， ， 作点关于轴的对称点，连接交轴于， 则，此时的最小值等于的长度， ， ， ， 即的最小值为； （3）解：将向右平移个单位长度得到直线， ， 直线与轴交于点， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 当点在直线左侧，时，则有， 设直线的解析式为， 将点代入得，， 直线的解析式为， 联立，解得， ； 当点在直线右侧，时，延长交于点，则有，过点作直线交于点，交于点，连接， ， ，即垂直平分， ，， 在中，， 即，解得， ， 设直线的解析式为， 将点，，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 联立，解得， ； 综上，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $