题型9 几何综合题-【众相原创·减负中考】2026年中考数学广西解答题专项（广西专用）

题型九儿何综合题 (3年3考，必考) 类型1新定义探究(2025.23) 1.（2025遂宁改编)我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形 叫这个圆的内接四边形.我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形 是这个圆的“邻等内接四边形”。 (1)请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四 边形，其中是邻等内接四边形的有 (填序号) ① ② ③ ④ (2)如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且∠BAC=90°，AB=3,AC=4,AB=AD,求四边 形ABCD的面积， 37 2.【综合与实践】主题：确定筝形的重心位置， 素材：如图1，在筝形薄板ABCD中，∠B=∠D=90°，BC=DC=2,AB=AD=4. 实践操作1：如图2，过悬挂点A将薄板用细线悬挂起来，静止后，过点A沿细线所在直线 画一条射线；然后将悬挂点换成B,用同样的方法画出过点B的射线，两射线的交点就是 筝形薄板的重心G,已知筝形的重心在其对称轴上 (1)连接AC,求证：点G在AC上. 实践操作2：如图3，连接AC,分别作出△ABC的重心I和△ACD的重心J,连接J,则J与 AC的交点就是筝形薄板的重心G.已知三角形的重心到顶点的距离是重心到对边中点的 距离的2倍 (2)判断J与AC的位置关系，并证明； (3)求AG:GC的值. 图1 图2 图3 38 3.(2025广西23题)【平行六边形】如图1，在凸六边形ABCDEF中，满足AB∥DE,BC∥EF, CD∥FA,我们称这样的凸六边形叫作“平行六边形”，其中AB与DE,BC与EF,CD与FA 叫作“主对边”；∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F叫作“主对角”：AD,BE,CF叫作“主对 角线” (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”. 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 ②平行六边形的三组主对角分别相等 ③平行六边形的三条主对角线互相平分 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫作“菱六边形”， (2)如图2，已知平行六边形OPORST满足OP=PQ=QR=RS. 求证：平行六边形OPORST是菱六边形 (3)如图3是一张边长为3,4,6的三角形纸片.剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为 菱六边形.请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长 D 3 6 图1 图2 图3 39 类型2图形变化探究题(2024.26,2023.26) 考向1图形的旋转 4.（2025苏州)综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,△CDE中， ∠DCE=90°，∠E=30°，AB=CE=12cm 【观察感知】 (1)如图1，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB,DE交于点F,求∠AFD 的度数和线段AD的长.（结果保留根号） 【探索发现】 (2)在图1的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度， 使得点A落在边DE上（如图2）. ①求线段AD的长；（结果保留根号） ②判断AB与DE的位置关系，并说明理由. 图2 40 5.(2024广西26题)如图1，△ABC中，∠B=90°，AB=6,AC的垂直平分线分别交AC,AB于 点M,0,C0平分∠ACB. (1)求证：△ABC∽△CBO; (2)如图2，将△AOC绕点0逆时针旋转得到△A'0C',旋转角为a(0°<<360°)，连接 A'M,C'M. ①求△A'MC'面积的最大值及此时旋转角a的度数，并说明理由； ②当△A'MC'是直角三角形时，请直接写出旋转角u的度数， B 图1 图2 41 6.(2025深圳)综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形 【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的 顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图 2,在△ABC中，AB=AC,AC=AD,∠D=∠BAC.此时，四边形ABCD是“双等四边形”， △ABC是“伴随三角形”. D 图1 图2 图3 【问题解决】如图3，在△ABC中，AB=AC,AD=CD,∠D=∠BAC.求： ①AD与BC的位置关系为 ②AC2 AD·BC.（填“>”“<”或“=”) 【方法应用】①如图4，将等腰△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE,点D恰好落在BC边 上，求证：四边形ABDE是双等四边形 图5，在等腰三角形ABC中，4C=BC,cosB=4B=5,在平面内找一点D ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说 明理由. B 图4 图5 备用图 备用图 42 考向2图形的折叠 7.在综合实践课上，老师让同学们以一个矩形为操作对象，进行相关问题的研究， 已知在矩形ABCD中，AD=10,AB=4,在AD上找一点P,以BP为对称轴将△ABP进行 翻折. 【初步感知】(1)若点P与点D重合，如图1，试说明△BFE≌△PFC; 【类比探究】(2)若点P为边AD上一点，如图2. ①△BPF是 三角形； ②连接EC,则EC的最小值为 ③当点P满足PF=FC时，DP的长度是 【拓展应用】(3)若点P为边AD上一点，当射线PE恰好经过BC的中点M时，求AP 的长 D(PY 图1 图2 备用图 43 8.(2025山西)综合与探究 问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB>BC,点D在边AB上，AD>BD.沿过点D的直线折 叠该纸片，使DB的对应线段DB'与BC平行，且折痕与边BC交于点E,得到△DB'E,然后 展平 猜想证明：(1)判断四边形BDB'E的形状，并说明理由. 拓展延伸：(2)如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A'落在射线DB' 上，且折痕与边AC交于点F,然后展平.连接A'E交边AC于点G,连接A'F. ①若AD=2BD,判断DE与A'E的位置关系，并说明理由； ②若∠C=90°，AB=15,BC=9,当△A'FG是以A'F为腰的等腰三角形时，请直接写出A'F 的长 D B 7B B- 图1 图2 44 类型3类比探究 9.【跨学科·物理】（人教八上P56T9改编）小西在物理课上学习了发声物体的振动实验 后，对其做了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆点0处用一根细绳悬挂一个小球 A,小球A可以自由摆动.如图2，OA表示小球静止时的位置，当小西用发声物体靠近小球 时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D,当小球摆到OC位置时，OB 与OC恰好垂直（点A,B,O,C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E. (1)【初步探究】猜想DE,BD,CE之间的数量关系，并证明； (2)【变式探究】如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,BD⊥直线I, CE⊥直线1，垂足分别为D,E,则DE,BD,CE之间的数量关系为 (3)【类比拓展】如图4，在△ABC中，AB=AC,直线MN经过点A,E,D,且∠BDM=∠BAC =∠DEC,请判断DE,BD,CE之间的数量关系，并说明理由. M E 图1 图2 图3 图4 45 10.【问题提出】(1)如图1，在△ABC中，若AB=10,AC=6,AD是边BC上的中线，求2AD的 取值范围， 小明的做法如下：如图1，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,则△BDE≌△CDA,依据 的判定方法是 ,由三角形的三边关系可知2AD的取值范围为 (2)如图2，AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，点D为BC的中点，试说明：EF=2AD: 【问题解决】(3)如图3，四边形ABCD是某公园的一片玫瑰园，对角线AC是中间的一条 通道，现正值玫瑰盛开的旺季，为方便游客观赏，要沿对角线BD铺设一条小路，在两条 小路的交点处修建一座观景塔E(观景塔大小忽略不计)，在边BC的中点F处设置一个 出入口，再沿EF铺设一条小路将游客分流，采购部需要知道BD与EF之间的数量关系 以便购买原材料.按照设计要求，∠CEF=∠ADB,∠BAC+∠BAD=180°，请你帮采购部探 究线段BD与EF之间的数量关系.（小路宽度忽略不计） B D 图1 图2 图3 46·.抛物线开口向上，函数有最小值 解得a1=3-√5，a=3+√3（舍去）. 当=口时，y取得最小值。 综上所述，a的值为5或3-√5. 故甲同学的说法合理 6.(1)解：在二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3中，1>0， ·二次函数的图象开口向上 (3)正确. 二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点， 当x=-a时，y=x2+2ax+a-3=-a2+a-3. ∴.二次函数的最小值小于2a2. 1 -1<0,当a=2x-刀2时，y取得最大值，最大值 :二次函数的最小值为4(30-2a+3)-4(a+1) -=2a2-4at 4 为 4 5.解：(1)-4≤y≤5【解法提示】根据小伟的作法：y=(x+ 即2a2-4a+2<2a2,解得a>2 1 1)2-4,.二次函数y=x2+2x-3的图象的对称轴为直线 (2)解：二次函数的图象与x轴有交点， x=-1.-2≤-1≤2，且12-(-1)1>1-2-(-1)1，.当x= .4=4(a+1)2-4×1×(3a2-2a+3)=-8(a-1)2≥0， -1时，y有最小值-4，当x=2时，y有最大值5，∴.-4≤y≤5. .8(a-1)2≤0 (2)y=x2+2x-3=(x+1)2-4,.对称轴是直线x=-1. ①当a-1≥-1，即a≥0时，x=a+1,y有最大值，y大做=(a+ 又：(a-1)2≥0，.8(a-1)2=0,解得a=1. 1+1)2-4=a2+4a. (3)证明：当=0时y=3a2-2a+3=3(a}产+>0， ②当a+1≤-1，即a≤-2时，x=a-1,y有最大值，y大做=(a .该二次函数的图象不经过原点. -1+1)2-4=a2-4. 7.解：(1)当y=0时，即-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3. ③当a-1<-1<a+1,即-2<a<0时， 点A在点B的左侧，∴.A(-1,0),B(3,0) i.若-1-(a-1)≤a+1-(-1),即a≥-1. (2)联立 y=-x-1, 当-1≤a<0,x=a+1时，y有最大值， 解得-1，华=4， y=-x2+2x+3. y1=0,y2=-5, y级大ǜ=(a+1+1)2-4=a2+4a. C(4,-5). iⅱ.若-1-(a-1)≥a+1-(-1),即a≤-1， 抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4的对称轴为直线x= .当-2<a≤-1，x=a-1时，y有最大值， 1,P(1,m) y最大值=(a-1+1)2-4=a2-4. PA=PC, 综上所述，y大雀= (a2+4a,(a≥-1)， .√1+1)+(m-0)=√(1-4)+(m+5),.m=-3. a2-4,(a≤-1). (3)y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,对称轴是直线x=3. (3加的取值范周为aE-1或a子或a>号 ①当a≥3时，x=a,y1=-a2+6a-5. 【解法提示】A(-1,0),B(3,0),由平移性质可知M(0, x=a+3,y2=-a2+4. 5),N(4,5).根据题意，当抛物线y=a(-x2+2x+3)(a≠0) y13=3,.-a2+6a-5-(-a2+4)=3,解得a=2(舍去). 与线段MN只有一个交点时，可分两种情况进行讨论：①当 ②当a+3≤3，即a≤0时，x=a+3,y1=-a2+4. a>0时，y=a(-x2+2x+3)=-a(x-1)2+4a,开口向下.如解 x=a,y3=-a+6a-5. 图1，当顶点(1,4a)在线段MN上时，有且只有一个交点， y3=3,.-a2+4-(-a2+6a-5)=3,解得a=1(舍去). 4u=5,解得a子如解图2，当抛物线y=a(-+2+3)刚 ③若a<3<a+3,即0<a<3时， 3.3 i.若3-a≤a+3-3,即a≥22≤a<3. 好过点M0,5)时，a(-0+2x0+3)=5,解得a=了：抛物 x=3,y1=4,x=a+3,y2=-a2+4. 线y=a(-x2+2x+3)恒过A,B两点，.当a> 时，物线， y1-y2=3,4-(-a2+4)=3, =a(-x2+2x+3)与线段MN只有一个交点.②当a<0时，y 解得a,=√3，a2=-3(舍去). =a(-x+2x+3)=-a(x-1)2+4a,开口向上.如解图3，当抛物 i.若3-a>a3-3,即a<0a<号 线y=a(-x2+2x+3)刚好过点N(4,5)时，a(-42+2×4+3)= 5,解得a=-1.抛物线y=a(-x2+2x+3)恒过A,B两点， x=3,y1=4;x=a,32=-a2+6a-5. ∴.当a≤-1时，抛物线y=a(-x2+2x+3)与线段MW只有一 y1-y3=3,.4-(-a2+6a-5)=3, 个交点.综上所述，若抛物线y=a(-x2+2x+3)(a≠0)与线 段只有一个交点a的取值范用为a怎-1或a或。 :直线BC的解析式为y=-x+3, 设直线CE的解析式为y=x+c 5 把点C(0,3)代人得c=3, 3 .直线CE的解析式为y=x+3. --- 联立x+3, 3解得 或/0 E(1,4) y=-x2+2x+3,y=4y=3. ②当四边形BCFE是矩形时，则BE⊥BC 设直线BE的解析式为y=x+n 将点B(3,0)代入得3+n=0,解得n=-3, 解图1 解图2 解图3 .直线BE的解析式为y=x-3. 8.解：(1)将B(1,0),C(2,5)代入y=ax2+bx-3(a≠0)得 =x-3, 联立 解得-2或=3， (a+b-3=0, 4a+2b-3=5 解得01， y=-x2+2x+3, (y=-5(y=0. （b=2 E(-2,-5) ∴.抛物线的解析式为y=x2+2x-3. 综上所述，存在以C,B,E,F为顶点且以CB为边的矩形， (2)①令y=0,则x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1, 此时点E的坐标为(1,4)或(-2.-5). .点A的坐标为(-3,0)， 题型九几何综合题 ②-3<x<1. 1.解：(1)③ (3)存在符合条件的点P,点P的坐标为(0,7)或(0，-3) (2)∠BAC=90°，AB=3,AC=4,.BC=√AB2+AC=5. 【解法提示】设点P的坐标为(0，m).:A(-3,0),C(2, .:四边形ABCD是邻等内接四边形，∠BAC=90°， 5),∴.AC=(2+3)2+(5-0)2=50,AP=(0+3)2+(m-0)2=9+ .A,B,C,D四点共圆，且BC为直径 m2,Cp2=(0-2)2+(m-5)2=m2-10m+29.△ACP是以 如解图，把BC的中点记为点O,即A,B,C,D四点在⊙0 AC为直角边的直角三角形，.分以下两种情况讨论：当AP 上，连接BD,AO相交于点H. 为斜边时，则Ap2=AC2+CP,.9+m2=50+m2-10m+29,解得 m=7,.点P的坐标为(0,7)；当CP为斜边时，则CP2=AC2+ BC=5B0=A0=5 AP2,.m2-10m+29=50+9+m2,解得m=-3,.点P的坐标 设0A=x,则AH=5 飞， 为(0，-3).综上所述，存在符合条件的点P,点P的坐标为 (0,7)或(0，-3) AB=AD,∴.AO⊥BD,BH=DH. 9.解：(1)将x=0代人y=-x+3中，得y=3,C(0,3) 在Rt△ABH中，BP=AB-AR. 在Rt△BOH中，B=BO-OH2 将y=0代入y=-x+3中，得x=3,B(3,0). 把A(-1,0),B(3,0)代人y=ax2+bx+3中，得 0-0mr=hB-Af,即（子--3-(3月 a-63=0解得a=l (9a+3b+3=0.（b=2. 解得 10 ∴.抛物线的解析式为y=-x2+2x+3, (2)B(3,0),C(0,3),∴.0B=0C=3. 号则√(号m .OH=7 5 .DQ∥C0,∴.∠OCB=∠OBC=∠BPQ=∠DPC=45° BC是直径，∠BDC=90. .·∠DCP=∠DPC,·.∠DCO=90°」 BH=DH,B0=OC,∴.OH是△BDC的中位线， ∴.CD//AB .点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，即为3. DC=20M=7 251 当y=3时，由-x2+2x+3=3,解得x=2或x=0, S△mA= .点D的横坐标为2 25 P点在DQ上，且DQ%轴， 84.108192 S0形D=S%G+5amF252525 .点P与点D的横坐标相等，∴m=2 2.(1)证明：如解图，连接AC (3)存在.理由如下： .AB=AD,∠ABC=∠ADC,BC=DC ①当四边形BCEF是矩形时，则CE⊥BC. .∴.△ABC≌△ADC(SAS), ·.筝形ABCD关于直线AC对称， :点G是筝形ABCD的重心， ·.点G在AC上. (2)解：U⊥AC. 证明如下： ,△ABC≌△ADC,∴.∠ACB=∠ACD 由重心可知点H,K分别是BC,CD的中点. 又BC=DC.CH=CK, 又：AC=AC,.△ACH≌△ACK(SAS), ∴.∠CAH=∠CAK,AH=AK, .点I,J分别是△ABC和△ACD的重心， =-2m,W=2K即-号U-号kA=W. ∴.IJ⊥AC. (3)解：.AB=4,由重心可知点E是AB的中点，.BE=2. .∠B=90°，BC=2. 42 六EC=VBE+BC-22,1C=2 3 m=之8C=1AH=VaB+Bm=VT, w.3X7 .A1= 3 在Rt△ABC中，AC=√AB+BC=25, 设AG=x,则GC=2W5-x, 1G2=A2-AG2=1C2-GC2, 六2)-=45：-(25-，解得x=65 3 3 1 45 .GC=25-x= 5AG:GC= 545 55 =3:2 3.(1)①错误②正确③错误【解法提示】如解图1，连 接BE,CF,AD,BE与AD交于点O.①由ABDE,只能知道 △AOB∽△DOE,其他对边同理，故平行六边形的三组主对 边分别相等是错误的；②由AB∥DE,得∠ABE=∠BED,同 理可得∠CBE=∠BEF,.∠ABE+∠CBE=∠BED+∠BEF, 即∠CBA=∠DEF,其他对角同理，故平行六边形的三组主 对角分别相等是正确的：③由①可知，平行六边形的三条 主对角线互相平分是错误的. B D 解图1 解图2 (2)证明：如解图2，过点Q作QH∥P0且QH=P0,连接 ●0A,lS. 则四边形PQH0是平行四边形，.PQ∥0H,PQ=OH. PO∥RS,PO=RS,∴QHRS且QH=RS .四边形QRSH为平行四边形，QR∥S,QR=HS. 又.·PQST,QR∥oT,∴.OHST,SoT ∴.四边形IST0为平行四边形，.∴.IS=0T,OH=ST ∴.QR=0T,PQ=ST. .·OP=PQ=QR=RS,.∴.ST=PQ=QR=RS=OT=P0. :.平行六边形OPQRST是菱六边形 (3)解：设三角形纸片为△ABC,裁剪后的纸片为菱六边形 DEFGHK,如解图3. 32 H6 G 解图3 .DE∥HG,H∥EF,FG∥DK,DE=EF=FG=HG=H=DK. .△ADE∽△ABC,△BKH∽△BAC. DE AD AE KH BK ·BCAB AC'ACAB DE=EF=FG=HG=KH=DK=, 则王-D_AE x BK 634’43 2 .AD=- ,=子，K= 4 1 E4B=A初+DK+BK=3,)子 +子=3，解得=子 12 28 DE== 4 ∴.AD= 2s. 3 :剪裁掉的小△ADE的三边长分别为2,8,4 393(答案不 唯一) 解：(1)在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB, .∠A=∠ABC=45° 在△CDE中，∠DCE=90°，∠E=30°， .∠CDE=60°，.∠AFD=∠CDE-∠A=15 在R1△ABC中，AC=AB·sim∠ABC=12x -=6v2(cm) 3 在Rt△CDE中，CD=CE·tanE=12x 3 =45(cm）, .AD=AC-CD=(62-43)cm (2)①如解图，过点C作CG⊥DE,垂足为G. B D 在△CGD中，∠CGD=90°，∠CDE=60°，CD=4W3cm .DG=CD·cos∠CDE=2√5(cm), C(A') CG=CD·sin∠CDE=6(cm) 在△CGA中，∠CGA=90°，AC=62cm,CG=6cm C') .AG=√AC2-CG=6(cm), ..AD=AG+DG=(6+23)cm. A ②AB⊥DE.理由如下： 解图3 解图4 在Rt△CGA中，∠CGA=90°，AG=CG=6cm, 6.【问题解决】①平行（或AD∥BC)②=【解法提示】 ∴.∠CAG=∠ACG=45°. ①·AB=AC,DA=DC,∠BAC=∠ADC..∠ACB= 又.·∠BAC=45°，.∠DAB=∠CAG+∠BAC=90°， 180°-∠BAC .AB⊥DE 2 ∠D4C=180-∠AD 2 ,.∠DAC=∠ACB, 5.(1)证明：：0M垂直平分AC, AD∥BC:②.·∠ACB=∠DAC,∠BAC=∠ADC,.∴.△ABC OA=0C,∠A=∠AC0. .C0平分∠ACB,.∴.∠BCO=∠AC0=∠A △DC1e24G-BcA0 ∠B=∠B,.△ABC∽△CBO. 【方法应用】①证明：由旋转得AB=AD,DE=BC,AE=AC (2)①解：∠AC0=∠BC0=∠A,∠B=90°， 令∠B=a,则∠ADB=a,∠BAD=180°-2a, .·∠AC0=∠BC0=∠A=30°. ∠ADE=∠B=a 在△ABC中，AB=6AC=AB eos30°=43， 又AC=BC, .∴.EA=ED,∴.∠DAE=∠ADE=a, ∴.AM=25,.0M=AM.tan30°=2. 如解图1，作MⅢ⊥A'C'于点H,ON⊥A'C于点N,连接MN. .∠E=180°-2a, LE=∠BAD, 由旋转可得A'C'=AC=43,0N=OM=2. ..四边形ABDE为双等四边形. 在Rt△MHN中，MH<MN,在△OMN中，MN<OM+ON .MH<MN<OM+ON. ②解：存在.理由如下：如解图，作AH⊥BC于点H. 如解图2，当N,H重合时，MH取得最大值，最大值为0M+ cosB=3 ,AB=5,BH=3,AH=4 0N=4, 设CH=x,则AC=BC=x+3. 六SA三2A'C·MM=83, 在Rt△AHC中，C+AP=AC2,即x2+4=(x+3)2, 即△A'MC'面积的最大值是8√3， 解得x 6.CH=7 ..AC=BC=25 6 此时M,0,N三点共线，a=∠M0N=180°. ②当△A'MC'是直角三角形时，a为120°或240°. 如解图1.若∠ACB=∠D=∠CAD,AC=CD时. 【解法提示】由旋转可得0C=0C',∠A0C=∠A'0C'= c0=-Ac-2 120°.在Rt△C0M中，OM=2,∴.OC=4.,:MC'≤M0+OC'= 如解图2，若∠ACB=∠D=∠ACD,AD=AC时， M0+0C=6<45=A'C,同理MA'≤6<AC',∴.△A'MC'中只可 能∠A'MC'=90°..OM垂直平分AC,.MA=MC,∠AMO= 0=-音 90°.(I)如解图3，当点C与点A重合时，点A'恰好在 作AM⊥CD于点M,.CM=DM, M0的延长线上，满足∠A'MC'=90°，此时a=120°；（Ⅱ） 如解图4，当点A'与点C重合时，点C'恰好在M0的延长线 AC=c0s LACM=0sLACB=CH-7 C AC 25 上，满足∠A'MC'=90°，此时=240°.综上所述，当△A 7257 7 MC'是直角三角形时，a为120°或240°. ·CMM==x=,.CD=2C1=3; 如解图3，若∠D=∠ACB,DA=DC时， ∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ABC, 25 △DAC△CAB,CG5了 CD AC CD6 N(H 6 解图1 解图2 =36CD的长为25 解得cD=125 36 综上所述，满足条件时.D的长为管支子或密 M H C 解图1 解图2 H C 解图3 7.解：(1)：四边形ABCD是矩形， .∴.∠A=∠C=90°，AB=CD,即AB=CP 由翻折可得，AB=BE,∠E=∠A=90°， ∴.∠C=∠E=90°，BE=CP. 又.·∠BFE=∠PFC. .△BFE≌△PFC(AAS): (2)①等腰；【解法提示】：四边形ABCD是矩形，∴.AD/BC, .∴.∠APB=∠PBF,由翻折可得∠APB=∠EPB,.∴.∠PBF= ∠EPB,.PF=BF,.△BPF是等腰三角形 ②6：【解法提示】由翻折可得，BE=AB=4,·点E在以点B 为圆心，4为半径的圆弧上运动，如解图1. 0 E 解图1 ∴当E在线段BC上时，CE的值最小，此时CE=BC-BE= 10-4=6,..EC的最小值为6. ③2；【解法提示】由(2)①知，BF=PF.PF=FC,.PF= BF=C=BC=×10=BE=4,∠BF=0.B √BF2-BE=V5-4=3,.PE=EF+PF=3+5=8,.AP= PE=8,∴.DP=AD-AP=10-8=2. (3)当点M在线段PE的延长线上时，如解图2， D 解图2 M为C的中点BM=2C=子x10=5, 由翻折得BE=AB=4,∠BEP=∠A=90°=∠BEM, .EM=√BM-BE=√5-4平=3. AD∥BC,∴.∠APB=∠PBM, 由翻折得∠APB=∠EPB,AP=PE, ∴.∠PBM=∠EPB,∴.BM=PM=5. ∴.PE=PM-EM=5-3=2,∴.AP=2: 当点M在线段PE上时，如解图3. 解图3 同理可得PM=BM=5,EM=3, .∴.PE=PM+EM=5+3=8. ∴.AP=PE=8. 综上所述，当射线PE恰好经过BC的中点M时，AP的长 为2或8 解：(1)四边形BDB'E是菱形.理由如下： 由折叠可得BD=B'D,BE=B'E,∠BDE=∠B'DE. .·B'DBC,·.∠B'DE=∠BED ∴.∠BDE=∠BED .∴.BD=BE,∴.BE=BD=B'D=B'E ∴.四边形BDB'E是菱形 (2)①DE⊥A'E.理由如下： 由(1)知BD=B'E=B'D 由折叠可得AD=A'D AD=2BD...A'D=2BD=2B'D=2B'E, ∴.B'D=A'B'=B'E,∠1=∠2，∠3=∠4. .∠1+∠2+∠3+∠4=180°，.∠2+∠3=90°， .DE⊥A'E ②A'F的长为5或37 .165 【解法提示】：∠C=90°，AB=15, BC=9,.AC=√AB-BC=12.延长A'F交AB于点H.设 AC,A'D的交点为M.如解图1，当△A'FG是以A'F为腰，A' G为底的等腰三角形时，则FG=A'F.∠C=90°，A'D∥ BC,.∠AMD=∠C=90°，..∠AMA'=90°.由折叠得AD= A'D,∠A=∠DA'F..·∠AFH=∠A'FG,∴.∠AHF=∠AMA'= 0,d∠=LC,△APH△ABCG听A HF:AI:AF=BC:AC:AB=3:4:5.易得△AHF≌△A'MF （AAS),.HF=FM,AH=A'M.设FM=HF=3x,则A'M=AH =4x,A'F=AF=5x,∴.AM=AF+FM=8x'A'DBC,∴.△AMD A40-即号-S0=10R=m=n -AD=15-10x,..CE=BC-BE=10x-6..FG=A'F=5x,.. MG=FG-FM=2x...CG=AC-AM-MG=12-8x-2x=12-10. DfC△wc△Gg是-瓷。 1210e,解得x=1或x=0(已舍)AF=5x=5:如解图2， 2x +BE,∴.4<AE<16..DE=AD,.AE=2AD,∴.4<2AD<16. (2)延长AD至点G,使DG=AD,连接BG,如解图1，则AG 当△A'FG是以A'F为腰，FG为底的等腰三角形时，则A'F =2AD =A'G.同理得HF:AH:AF=BC:AC:AB=3:4:5,HF=FM, 点D为BC的中点， AH=A'M,AF=A'F.i HF=FM=3y.AH=A'M=4y.AF=A'F ∴.CD=BD. =5y,.AM=AF+FM=8y.A'D∥BC,∴.△AMD△ACB, 在△ADC和△GDB中， -妆会岩0=E---0=5 (AD=DG. ∠ADC=∠GDB 10y,∴.CE=BC-BE=10y-6.△A'FG是以A'F为腰，FG为 CD=BD. 底的等腰三角形，A'M⊥AC,∴.MG=FM=3y,∴FG=GM+ .△ADC≌△GDB(SAS), FM=6y,..CG=AC-AF-FG 12-1ly.A'D //BC,.. △4'MG∽△EcG,4M_64y。3y .∴.∠C=∠GBD,AC=BG. CEcG10,-612-1解得y .AC=AF. 或=0（已合）4F=5列-综上所述，A怀的长为 3 ∴.BG=AF 3 .∠BAE=∠CAF=90°， 5或165 .∠EAF+∠BAC=180°， 37 .∴.∠ABG=∠ABC+∠GBD=∠ABC+∠C=180°-∠BAC= A ∠EAF H H 在△EAF和△ABG中， 「AE=AB, MiB' B'1 ∠EAF=∠ABG. AF=BG. B E ∴.△EAF≌△ABG(SAS), 解图1 解图2 ∴.EF=AG=2AD: 9.解：(1)线段DE,BD,CE之间的数量关系为CE=DE+BD. E 证明：：0B⊥OC,.∠B0D+∠COE=90°. .BD⊥OA,CE⊥OA,.∠CE0=∠ODB=90°， ∴.∠BOD+∠B=90°，∴.∠COE=∠B. 在△COE和△OBD中， 「∠COE=∠B. 解图1 解图2 ∠CEO=∠ODB. (3)如解图2，延长EF到点G,使得EF=FG,连接CG,延 CO=0B. 长CA到点H,使得AH=AD,连接BH, ∴.△COE≌△OBD(AAS),∴.OE=BD,CE=OD .点F是BC边的中点，.CF=BF .CE=OD=DE+OE=DE+BD. 又.·∠EFB=∠CFG (2)DE=BD+CE .△BEF≌△CGF(SAS), (3)CE=DE+BD.理由如下： ∴.BE=CG,∠G=∠BEF, .∠BDM=∠BAD+∠ABD.∠BAC=∠BAD+∠CAE,∠BDM .CG//BE, =∠BAC,∴.∠ABD=∠CAE. ·.∠BEH=∠GCE .·∠DEC=∠ACE+∠CAE,∠BAC=∠DEC, ,·∠BAC+∠BAH=180°，∠BAC+∠BAD=180°， ∴.∠ACE=∠BAD ∴.∠BAH=∠BAD 又.AB=AC,∴.△ACE≌△BAD(ASA), 又.BA=BA,∴.△BAH≌△BAD(SAS), ..AE=BD,CE=AD. ∴.BD=BH,∠H=∠ADB AD=DE+AE,.'.CE=DE+BD. .∠ADB=∠CEF 10.解：(1)SAS:4<2AD<16:【解法提示】.AD是△ABC的中 .∴.∠H=∠CEF=∠ADB. 线，.CD=BD.∠EDB=∠ADC,DE=AD,.△BDE≌ ∴.△HBE≌△EGC(AAS), 35 △CDA(SAS),.BE=AC=6.在△ABE中，AB-BE<AE<AB .∴.EG=BH=BD=2EF.