2026年九年级数学中考二轮复习《反比例函数与几何综合解答题》常考热点题型专题训练

2026年春九年级数学中考二轮复习《反比例函数与几何综合解答题》 常考热点题型专题训练（附答案） 1．如图所示是某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式． (2)出口点到水面的距离为0.5米，求，两点之间的水平距离． (3)若在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到的距离不超过2米，求点到水面的距离至少为多少米． 2．勤于思考的小东将遇到的一道反比例函数题进行改编后，得到下面一道题，请你进行解答．如图所示的网格由边长为1的小正方形组成，反比例函数（）的图象经过格点A和网格线上的点B，反比例函数的图象经过格点C． (1)点B位于第______象限，其横坐标为______，点A的横坐标为______； (2)若的面积等于， ①则点A的坐标为______，点B的坐标为______，______； ②若与是全等三角形（点D不与点B重合）请直接写出点D的坐标． 3．如图，点为函数与函数图象的交点，点的纵坐标为4，轴，垂足为点． (1)求的值； (2)点是函数图象上一动点，过点作于点，若，求点的坐标． (3)点是轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点C，与y轴交于点B． (1)求k与m的值； (2)连接，在线段上找一点D，使，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使的面积等于的面积的一半，直接写出点P的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，落在轴和轴上，是矩形的对角线．将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点． (1)填空：的值等于_____． (2)请判断与的位置关系，并说明理由． (3)在线段OA上存在这样的点P，使得以FG为腰的是等腰三角形．请直接写出点的坐标． 6．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请直接写出一次函数大于反比例函数时，自变量的取值范围； (3)连接，，求的面积； (4)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，且以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)若点在反比例函数第一象限的图象上，点在轴上，使得与相似，求线段的长． 8．如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求的值和直线的解析式； (2)若P为函数的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值． (3)已知点是反比例函数上的一个动点，设点的横坐标为，，当为何值时，面积最大，并求出最大面积． 9．直线与双曲线交于A、B两点，C为第三象限内一点． (1)如图1，若点A的坐标为． ①______，点B的坐标为 ________． ②不等式的解集为 _______． ③当，且时，求点C的坐标． (2)如图2，当为等边三角形时，点C的坐标为，试求m、n之间的关系式． 10．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)点______“美好点”（填“是”或“不是”）； (2)①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； (3)在（2）的条件下，平面内找一点，使四点组成平行四边形，则点坐标为______． 11．如图（1），平面直角坐标系中，已知点，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于、两点（、不与重合），沿着将矩形折叠使、两点重合． (1)______（用含有的代数式表示）； (2)如图（2），当点恰好落在矩形的对角线上时． ①证明：   ②计算：的长度 (3)若折叠后，连接，是等腰三角形，求此时点的坐标． 12．已知：在平面直角坐标系中，点在反比例函数上． (1)求； (2)点在反比例函数的图象上，点在平面上，若四边形是菱形．求点的坐标； (3)点在反比例函数的图象上，直线与反比例函数相交于点，且点在第一象限，点在第三象限．若时，则直线是否经过某个定点？若是，请求出该点的坐标：若不是，请说明理由． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的点和点，过点A作轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．    (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴上取一点P，当取得最大值时，求P的坐标； (4)若点M是双曲线上一点，且，直接写出M点的横坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）． (1)求的值及线段的长； (2)过点作轴于点，过点作轴于点，连接，若，，求的值及的面积； (3)将直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点（点在点的左侧）．当时，求的值． 15．如图1，已知反比例函数的图象与矩形的边分别交于点与点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)连接交反比例函数的图象于点，若，求点的坐标； (3)如图2，连接，过点作轴的平行线交于点，连接．记与四边形的面积分别为与，求证：为定值． 16．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点 (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，点B在反比例函数的图象上且在点A的右侧，过点B作轴于点D，连接、，交于点F，若点C是的中点，求的面积； (3)点N在反比例函数的图象上，点M坐标为，若是等边三角形，求m的值． 17．如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（）． (1)若反比例函数图像经过P点、Q点，求a的值； (2)若是以为底的等腰直角三角形，求a的值； (3)若垂直平分，求a的值； (4)当Q点运动到中点时，是否存在a使为直角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； 18．如图，在平面直角坐标系中，，，双曲线与矩形的两边，分别交于D，E两点，连接，，，将沿翻折后得到． 探究一：如图，若D为中点，且点又恰好落在线段上，求证：平分． 探究二：如图，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积． 探究三：如图，若点D在直线上，是否存在m的值使点落在x轴上？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，在直角坐标系中，点C在第一象限，轴于B，轴于A， ，有一反比例函数图象刚好过点C． (1)分别求出过点C的反比例函数和过A、B两点的一次函数的函数表达式． (2)直线轴，并从y轴出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，交反比例函数图象于点D，交于点E，交直线于点F，当直线l运动到经过点B时，停止运动，设运动时间t(秒)． ①问是否存在t的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． ②若直线l从y轴出发的同时，有一动点Q从点B出发，沿射线方向，以每秒3个单位的速度运动，是否存在t的值，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形？若不存在，说明理由． 20．【发现问题】小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】小明尝试从函数图象的角度进行探究： （）建立函数模型 设一矩形的面积为，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第______象限内的公共点坐标． （）画出函数图象 ①请在图中通过描点连线画出函数的草图； ②在同一平面直角坐标系中直接画出的图象，则的图象可以看成是由的图象向上平移_______个单位长度得到． （）研究函数图象 平移直线，观察两函数的图象； ①当直线平移到函数的图象有唯一公共点时，则的值为_______； ②当直线平移的过程中与函数的图象交于点和点时，请直接写出满足的的取值范围________． 【结论运用】 （）请写出面积为10的矩形的周长的取值范围为_______． 参考答案 1．（1）解：∵米，米， ∴点B的坐标为， 设段滑梯所在的双曲线的解析式为（k为常数，且）， 将坐标代入， 得， 解得， ∴段滑梯所在的双曲线的解析式为． （2）解：设点C的坐标为， 将代入， 得， 解得， ∴米， 即B，C之间的水平距离为11米． （3）解：设点Q的坐标为， 将代入， 得， ， 根据题意，得， 解得， 点Q到水面的距离至少2米． 2．（1）解：反比例函数的图象经过格点A，反比例函数的图象经过格点C． 点和点关于轴对称， ， 点的横坐标为， 点和点的横坐标之差， 点的横坐标为， 反比例函数的图象经过网格线上的点B， 点位于第一象限； 故答案为：一；2；1； （2）解：①， 点与点的纵坐标之差为， 设，则， 反比例函数的图象经过格点A和网格线上的点B， ， 解得， ； 故答案为：，，5； ②点与点的纵坐标之差为，横坐标之差为， 故可画如下图 ，点的坐标为，或． 3．(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用计算m即可； （2）设，则，再分类讨论，结合正切的定义，建立方程求解即可． （3）设，可得，，，结合为等腰三角形，分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵点P纵坐标为4， ∴，解得， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）得：反比例函数为， ∵，， ∴， 设，则， 当M点在P点右侧， ∴M点的坐标为， ∴， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴M点的坐标为， 当M点在P点的左侧， ∴M点的坐标为， ∴， 解得：，，均舍去． 综上，M点的坐标为． （3）解：∵点是轴上一动点， ∴设， ∵，， ∴，，， ∵为等腰三角形， 当时， ∴，解得：， ∴或， 当时， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 综上：或或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，熟练掌握函数图象交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键． 4．(1)， (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）将分别代入，，求出，，即可作答． （2）先理解题意，得是等腰直角三角形，再证明，运用勾股定理算出，代入，求出，，再根据，即可求出，则把代入直线的解析式，即可作答； （3）先根据的面积等于的面积的一半，得出的面积，又因为，且点P在x轴上，则，再求出，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入，得， 解得； 依题意，把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知直线的解析式为， ∴令，则， ， ∴令，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 则， ∴， ∴ 过点作，如图所示； ∵，且 ∴ 解得， 即点D的纵坐标为 把代入直线的解析式，得出， 解得 ∴ （3）解：由（2）得，， ∵， ∴的面积， ∵的面积等于的面积的一半， ∴的面积， ∵ ，且点P在x轴上， ∴， 则， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的几何综合，解直角三角形的相关运算等，解题关键是数形结合思想的应用． 5．(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，掌握三角形相似、等腰三角形的性质等知识是解题的关键．其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）利用三角形相似，求出点的坐标即可； （2）利用勾股定理的逆定理即可； （3）把三角形的三边长表示出来，需要分三种情况进行分析，解方程即可． 【详解】（1）四边形为矩形，点的坐标为， ,,， 是由旋转得到的，即， ， ， ， ， ． 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 解得，． 故答案为：． （2）解：；理由如下： 由（1）可知，反比例函数， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ，． ， ， 为直角三角形， ． （3）解：设点， 由（2）可知， 点的坐标为，点的坐标为，， ， ∵FG为腰的是等腰三角形，故分一下两种情况， 当时，即， 解得，（负值已舍去）； 当时，，同理可得，（另一个根大于4，已舍）； 综上，点的坐标为或． 6．(1)， (2)或 (3) (4) 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数的表达式，求出的值．利用反比例函数的表达式求出点的坐标，将点和点的坐标代入一次函数的表达式，求出和的值； （2）根据图象进行判断即可； （3）分别过点和点作轴的垂线，垂足为，，先求出点的坐标，利用，计算出的面积； （4）过点作轴的平行线，分别过点和点作的垂线，垂足为，，设点的坐标为，容易证出，则，，从而求出点的坐标为，将点的坐标代入反比例函数的表达式，求解方程即可． 【详解】（1）解：将代入反比例函数，得， ， 解得，， ∴反比例函数的表达式为， 将，代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为， 将，代入一次函数，得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2） 解： 由图象可知，在点左侧，点和点之间时，一次函数的图象高于反比例函数， ∴当或时，一次函数大于反比例函数； （3）解：分别过点和点作轴的垂线，垂足为，， 将代入，得， ∴点坐标为， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ， ， ； （4）解：如图，过点作轴的平行线，分别过点和点作的垂线，垂足为，，设点的坐标为， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 化简，得， 解得，或， ∵点在点右侧， ∴， ∴，此时点坐标为． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题关键． 7．(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)点的坐标为或 (3)线段的长为或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求出的，的值即可； （2）分为对角线、为对角线和为对角线进行求解即可； （3）分，和，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：（1）将点代入一次函数，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． 点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立， 解得， ∴， 令，由得， ∴， 令，由得， ∴， 设， ①当为对角线时，的中点重合， ∴， 解得，经检验，符合题意， 此时点的坐标为； ②当为对角线时，的中点重合， ∴， 解得，经检验，符合题意． 此时点的坐标为； ③当为对角线时，的中点重合， ∴，解得， ∴这种情况不符合题意； 综上所述，点的坐标为或． （3）解：设， ①如图1，当时，， ∴， ∴， 作轴，作轴，则， ∴， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ∴， ∴． ②如图2，当时， 同①可得：． ③如图3，当时，，过点作轴于点Q，如图， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴． ④当时，， 同③可得：． 综上所述，线段的长为或． 8．(1)，直线的解析式为 (2)或 (3)当时，面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了反比例函数综合，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积公式，完全平方公式，解一元二次方程等知识点； （1）根据题意结合待定系数法可进行求解； （2）分两种情况，设出点，的坐标，从而得到，的表达式，根据即可得到的值． （3）过点作轴交于点，先求得直线的解析式，进而设，则，，表示出的面积，根据不等式得出最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象经过线段的端点， ∴，即反比例函数解析式为， 设直线的解析式为，则代入点A坐标得：，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：①当在的上方时， ∴，， ，， ， 解得：； ②当在的上方时， ∴，， ，， ， 解得：（负根舍去）， 综上所述：或． （3）解：如图，过点作轴交于点， 的横坐标为4， 沿轴正方向平移个单位得到线段， 直线的解析式为， 将代入得到：， 即， 设的表达式为， 将，代入得， 解得， ， 设，则， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴当时，即（负值舍去） ∴当时，面积最大，最大面积为． 9．(1)①，；②或；③ (2) 【分析】（1）①根据待定系数法求参数得到答案，再把一次函数和反比例函数解析式联立求出x，y的值即可得到坐标； ②根据一次函数和反比例函数图象的性质得到答案即可； ③根据等腰直角三角形的性质，合理的作出辅助线，得到全等三角形，进而解决问题； （2）根据等边三角形的性质，仿照以上中作辅助线的方法，得到相似三角形，进而解决问题； 【详解】（1）解：①由于点A在反比例函数图象上， 所以，解得， 将代入， ∴， ∴， ∵点A是直线与双曲线的交点， 令 ， 解得：或． ∴B点坐标为， 故答案为：，； ②由图可得：或； 故答案为：或； ③连接，作轴于D点，作垂直y轴于E点， ∵，， ∴，． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴，， 所以； （2）解：连接，作轴于D点，作轴于E点． ∵反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，它们都关于原点对称， ∴． 又∵为等边三角形， ∴， ∵，， 又∵， ∴． ∴， ∴． 由于， ， 因为C的坐标为， 所以，， ∴， ， 所以，代入中， 得． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，待定系数法求参数，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是合理的作出辅助线； 10．(1)不是 (2) (3)或或 【分析】（1）分计算矩形的周长和面积，然后结合“美好点”的定义，即可判断点是否为“美好点”； （2）①分别计算矩形的周长和面积，结合“美好点”的定义可得求解即可确定点，再将其代入双曲线解析式，求解即可；②首先确定点，过点作轴，垂足为，然后由求解即可； （3）设，分为对角线、为对角线和为对角线三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：如下图， ， ， ∵四边形为矩形， ， ∴矩形的周长， 矩形的面积， 又 ∵， ∴点不是“美好点”； 故答案为：不是； （2）解：①∵点为“美好点”， ， ∵四边形为矩形， ， ∴矩形的周长， 矩形的面积， 则有， 解得：， ， ∵点在双曲线的图像上， ， 解得：， 故答案为： 18 ； ②由①可知，该双曲线解析式为， ∵点在双曲线上， 则有，即， 如下图，过点作轴，垂足为， 则， ， ． （3）解：如下图， 设， ， 若以为对角线， 则有， 解得：， ； 若以为对角线， 则有， 解得：， ； 若以为对角线， 则有， 解得：， ； 综上所述，点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了新定义“美好点”、坐标与图形、平行四边形的性质、反比例函数的应用等知识，综合性强，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 11．(1) (2)①见详解；②2 (3)或 【分析】（1）根据点的坐标可得点的纵坐标为 3 ，则，可得，从而得的长； （2）①求出，证明，推出；②利用平行线的性质和等腰三角形的判定和性质证明即可； （3）连接交于，过点作于，由折叠的性质得，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别计算和的长确定点的坐标即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且， ， ∵点在反比例函数上，点的纵坐标为 3 ， ， ， ， 故答案为：； （2）①证明：∵， ， ， 点在上， ， ， ， 又， ， ， ． ②， ， 根据折叠可得， ， ， ． （3）解：连接交于，过点作于， 由折叠的性质得， 当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②当时，如图4， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． ③当时， ， ， ，即， ， 此时三点共线且点与点重合，不符合题意，舍去， ， 综上所述，所求点坐标为或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 12．(1)， (2)点P的坐标为 或 (3)直线不过定点，理由见解析 【分析】（1）反比例函数的表达式为，点在反比例函数图象上，则点的横、纵坐标之积等于这里，所以将点、分别代入函数表达式即可求解； （2）四边形是菱形时，则邻边，设，令，利用两点距离公式建立方程，即可求得P点的坐标； （3）设，，且，利用勾股定理建立方程，得到，直线与抛物线联立方程，解得直线，，不确定（但由决定的)或，即可得出直线不过定点． 【详解】（1）解：对于点，代入，得， 对于点，代入，得，； 故，． （2）解：设在双曲线上， 菱形的性质：四边相等，对角线互相垂直平分 按照四边形顶点顺序， 所以 两点距离公式： 令，相减得， 前半部分： ， 后半部分： 中，令， 则， 代回，则， 则原方程为， 乘得：， ， 除以5得： ， ， 所以 ， （3）设，，且， 则 同理可得 则 两边同乘： 展开左边第一项得 展开左边第二项（对称的，交换，）得 相加合并对称项： 等式右边 左右相等 两边除以： 设 分组：， 即， ， ， 所以或， 第一种情况， 设直线为，与双曲线相交， 所以， 整理得， 所以，， 由，得 所以直线：，截距任意（由决定的），所以不过定点， 第二种情况：，即， 所以，， 、都不是常数，所以不过定点， 综上所述：直线不过定点． 【点睛】本题综合考查了反比例函数的性质、菱形的性质、勾股定理、平面直角坐标系中几何与代数的结合以及直线过定点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 13．(1)， (2) (3)； (4)2或或或． 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求函数解析，函数交点坐标的计算方法，线段最大值的计算方法，函数图象与几何图象的综合，几何图象的面积的计算方法等知识是解题的关键． （1）根据点的坐标可知，，，根据的面积为4，可求出的值，从而求出反比例函数解析式，将点的坐标代入即可求出的值； （2）由（1）求出点，的坐标，代入一次函数，运用待定系数法求出一次函数解析式，及一次函数与轴的交点，根据图示，可知不同的自变量取值范围一次函数的函数值与反比例函数的函数值的大小情况不同，由此即可求解； （3）作点关于轴的对称点，当点，，三点共线时，取得最大值，运用待定系数法求出所在直线的解析，令，即可求解点的坐标； （4）根据题意，先求出的面积，由此可得的面积，点在反比例函数图象上，设，根据图象（图示见详解），分类讨论，根据结几何图象的面积的计算方法，图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：点在第二象限，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4， ，， ，解得，，即， 点在反比例函数的图象上， ，解得，， 反比例函数：， 点在反比例函数的图象上， ，解得， ，； （2）解：由（1）知，，且点，在一次函数的图象上， ， 解得，， 一次函数解析式为， 令时，则，解得，即一次函数与轴的交点为， 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的点和点， 结合图象的解集为：． （3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，   ，且点， 设所在直线的解析式为， ，解得，， 直线的解析式为， 当点，，三点共线时，取得最大值，且点在轴上，如图， 令时，， 点的坐标为． （4）解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，直线与轴交于点，   直线的解析式为，令，则， ，即， ，， ，， ， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， 设， ①如图所示，连接，，过点作轴于点，与交于点，过点作于点，过点作延长线于点，    设所在直线的解析式为，且，， ，解得， 直线的解析式为， ，轴， 点，的横坐标为，且点在直线的图象上， 当时，， ， ，，， ， ，整理得， 解得，，， 点的坐标为或，即点的横坐标为2或； ②如图所示，连接，，过点作轴于点，延长交于点，过点作延长线于点，过点作于点，    设直线所在直线的解析式为，且，， ， 解得，， 直线的解析式为， 点，，，在一条直线上，且轴， 点的横坐标为8，且点在直线的图象上， 当时，，即 ，，， ， ， 整理得，， 解得，，， 点的横坐标为或； 综上所述，点的横坐标为2或或或． 14．(1)； (2)；的面积为 (3) 【分析】（1）将代入直线中，可得的值，再由勾股定理求长； （2）如图1所示，由两点在双曲线上，故设．可得直线的表达式为，又在直线上，故，从而，所以双曲线的表达式为，再根据的面积求解即可； （3）先求出直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，先根据折叠画出双曲线图象沿着直线翻折后得到的图形，再根据相似三角形的性质，得出，得出，设，则，求出，得出点的坐标，再求出折叠前的坐标，代入得出即可答案． 【详解】（1）解：将代入直线中，得，故， ∴直线的表达式为， 令，则，即， 所以， 故． （2）解：如图所示， 由题意可得：，， 故的横坐标为，D的纵坐标为， 又因为两点在双曲线上， 故设， 设直线的表达式为， 则， 解得：， 由待定系数法可得直线的表达式为， 又因为在直线上， 故， 解得：， 所以双曲线的表达式为， 的面积 ． （3）解：∵，，关于轴对称的点坐标为，， 设直线沿轴翻折得到的新直线解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线沿轴翻折得到新直线， 把代入得：， 解得：， ∴， 的图象沿着直线翻折后，如图所示， 是公共角， ∵时， ∴， ， ， 点M在直线 上， ∴设，则， 解得：， ， 点关于直线的对称点为，即， 根据折叠可知：在原反比例函数上的对应点为， 将代入可得：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，三角形的面积，一次函数的图象和性质，图象的几何变换性质，解直角三角形，相似三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，方程思想，熟练掌握以上内容是解题关键． 15．(1)该反比例函数的表达式为； (2)点的坐标为； (3)证明过程见解析． 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，矩形的性质，反比例函数与几何综合． （1）把代入，可得，即可得反比例函数的表达式； （2）由矩形的性质，结合点，可得，从而可得，代入反比例函数的表达式，可得，可得，从而可得，代入反比例函数的表达式，可得，即可得点的坐标； （3）设直线的解析式为，由矩形的性质，反比例函数的解析式，结合已知可得，，，可得四边形为梯形，代入对应的面积公式，可得，，计算，即可证得结论． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴该反比例函数的表达式为． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点在上， ∴， 设， ∵， ∴点是的中点， ∴，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点的坐标为． （3）证明：设直线的解析式为， ∵四边形是矩形，点在上， ∴， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴，， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∴四边形为梯形， ∴，， ∴， ∴为定值． 16．(1) (2) (3)m的值为1或 【分析】（1）将点代入反比例函数，于是得到结论； （2）由轴，得到，根据点C是的中点，得到，得到点B和点D横坐标相等，将代入得到，求得点B坐标为，解方程得到的解析式，得到点F坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）①当M在y轴正半轴时，如图1，在延长线上取点G，使得，在延长线上取点H使得，过点N作轴于点I，得到，，在中，，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到负值舍去，求得，，，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到点B坐标，解方程得到；②当M在y轴负半轴时，如图2在延长线上取点P，使得，在延长线上取点Q，使得，过点N作轴于点R，根据等边三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到负值舍去，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， 反比例函数的表达式为； （2）解：轴， ， 点C是OD的中点， ， 轴于点D， 点B和点D横坐标相等， 将代入得， 点B坐标为， 设的解析式为， 将代入得， 解得， 的解析式为， 将代入，得， 点F坐标为， ， ； （3）解：①当M在y轴正半轴时，如图1， 在延长线上取点G，使得，在延长线上取点H使得， 过点N作轴于点I， 为等边三角形， ，， 在中，， ， ， 设，则，由勾股定理得 ， 即， 解得负值舍去， ，，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ， ，， ， 点N坐标为， 为反比例函数图象上的点， ， 即，解得或， 为整数且在y轴正半轴上， ； ②当M在y轴负半轴时，如图2 在延长线上取点P，使得，在延长线上取点Q，使得， 过点N作轴于点R， 为等边三角形， ，， 在中，， ， ， 设，则，由勾股定理得， 即， 解得负值舍去， ，，， 同理可证：， ，， 在中，， ， ， ， ， 点坐标为， 为反比例函数上的点， ， 即，解得或， 为整数且在y轴负半轴上 综上所述，m的值为1或 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了反比例函数，坐标与图形，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的应用． （1）先用t表示出P，Q两点的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论； （2）证明，推出，，，即可解答； （3）先根据垂直平分得出，求出t的值，再由即可得出a的值； （4）分与两种情况进行分类讨论． 【详解】（1）解：∵，点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动， ∴， ∵反比例函数图象经过P点、Q点， ∴， 解得； （2）解：如图，是等腰直角三角形，且，， 根据题意得，，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵垂直平分， ∴， ∴，解得， ∴， ∵， ∴，解得； （4）解：存在，的值为， 如图， ∵Q为的中点， ∴， 当时，， 即， 整理得，， ∵， ∴此方程无解，即此种情况不存在； 当时，，即， 整理得，，解得， ∵， ∴，即，解得； 综上，存在a使为直角三角形，的值为． 18． 探究一：证明过程见解析； 探究二：矩形的面积为； 探究三：存在的值使点落在轴上，点的坐标为． 【分析】探究一：由矩形的性质，结合已知，用，表示点的坐标，可得，根据翻折的性质即可证得结论； 探究二：证明四边形是正方形，，结合（1）所得结论，可得，设，可得点E的坐标，代入，可得，从而可得矩形的面积； 探究三：用表示点的坐标，可得，过点D作于点F，证明，对应边成比例，可得，由勾股定理可得，从而可得点的横坐标，代入反比例函数的解析式，可得点的纵坐标． 【详解】探究一：证明：∵，， ∴点B的坐标是 ∴点D的坐标是， 将代入，得， 又点E的横坐标是m， 把代入，得， ∴E是的中点，即， 由折叠的性质可知， ∴， ∵，， ∴点E在的平分线上， ∴平分． 探究二：解：设正方形的边长是a，则，， ∴点D的坐标是，点E的坐标是， ∴， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴， 又， ∴， ∴， 又平分， ∴， ∴， 设，则， ∴点E的坐标是， 将代入，得， ∴， ∴， ∴正方形的面积是． 探究三：解：存在的值使点落在轴上， 由得或， ∵点D在第一象限内， ∴点D的坐标是， ∴点B的坐标为， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， 如图，过点D作于点F，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 解得， 在中， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 把代入中，得 ∴存在的值使点落在轴上，点E的坐标是. 【点睛】本题考查翻折的性质，矩形的性质，角平分线的判定，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数值，反比例函数的图象和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理． 19．(1)，； (2)①不存在，理由见解析；②当时，以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形；当时，点Q在线段的延长线上，平行四边形只是矩形． 【分析】(1)根据条件可以得到点A、B、C的坐标，然后用待定系数法就可解决问题； (2)①可用t的代数式表示，然后根据求出t的值，得到与重合，因而不存在t，使得四边形为平行四边形； ②可分两种情况(点Q在线段和在线段的延长线上)讨论，由于，要使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形，只需，只需将分别用t的式子表示，求出t，就可解决问题． 【详解】（1）解∶(1)由题意可得∶点C的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为． 设过点C的反比例函数的表达式为，则有， ∴过点C的反比例函数的表达式为． 设过A、B两点的一次函数的表达式为， 则有， 解得． ∴过A、B两点的一次函数的表达式为； （2）①不存在． 轴，轴， ． 当四边形是平行四边形，则：． 设，则， ， ．此时与重合， 不存在t的值，使四边形为平行四边形． ②存在．当时，点Q在线段上， 此时，，． 当时，， 整理可得：， ∵， ∴方程无解， ∴当时，不存在t，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形． 当时，点在线段的延长线上， 由，，得． 由，．得． 当时，四边形为平行四边形． ． ，（舍） 当时，四边形为平行四边形． 又且， 为矩形． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式以及平行四边形的判定、解方程、根的判别式等知识，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解答本题的关键． 20．()一 ()①见解析② ()①②或 () 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及画函数图象、函数图象的平移、解一元二次方程等知识，利用类比和数形结合思想求解是解答的关键． ()根据，满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标； ()①画函数的图象(第一象限的分支)即可；②先明确函数的图象，再指出的图象是由的图象向上平移个单位长度得到，根据图象平移规则：上加下减求解即可解答； ()①联立方程组，得到一元二次方 程，利用两函数有唯一交点的条件，通过判别式求出；②再根据两函数有个交点时的结论，代入点求出，联立此时的函数方程组，求解得到的解，又因为满足，即可解答； ()仿照前面求解思路，联立方程组，利用方程有实数根求解即可． 【详解】（）解：∵都是边长，周长为， ∴， ∴满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标. 故答案为：一； （）①的图象如图所示： ②的图象如图所示， ∵与轴的交点为， ∴的图象可以看成是由的图象向上平移个单位长度得到， 故答案为：； （）①联立方程组可得：， 整理得：， ∵两图象有唯一交点， ∴， ∴， 故答案为：； ②由①知：个交点时，； 代入，得 ， 解得 则，联立方程组得 ， 整理，得， 解得：， ∵满足，即直线的图象在图象下方及交点处， ∴的取值范围是或； ()设相邻的两边长为，则，，即， 联立方程组可得， 整理得：， ∵两函数有交点， ∴， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $