专题06 一次函数章末54道压轴题型专训（9大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题06 一次函数章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 一次函数图像的性质综合应用 题型二 含绝对值的函数问题 题型三 一次函数的平移综合 题型四 一次函数与不等式、方程组综合应用 题型五 一次函数翻折问题 题型六 一次函数中最值问题 题型七 一次函数的应用（利润、分配、行程）问题 题型八 一次函数规律探究问题 题型九 一次函数几何综合应用 【经典例题一 一次函数图像的性质综合应用】 1．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并分别指出图象经过哪些象限． (1)； (2)； (3)； 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况； (2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知与之间成正比例关系，且图象经过点． (1)求与之间的函数解析式． (2)画出该函数的图象． (3)图像上有两点，，如果，则______． 4．（24-25八年级下·湖北孝感·月考）如图，正比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)请在如图的坐标系中画出一次函数的图象． 5．（24-25八年级下·广东东莞·期末）水是生命之源，节约用水是每个公民应尽的义务．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查水量与漏水时间的关系，某同学在滴水的水龙头下放置了一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量如下表： 时间 0 5 10 15 20 … 水量 0 25 50 75 100 … (1)请根据上表中的信息，在图中描出以上述实验所得数据为坐标的各点； (2)根据（1）中各点的分布规律，求出关于的函数解析式； (3)请估算这种漏水状态下一天的漏水量． 6．（24-25八年级下·江苏常州·开学考试）复兴号动车匀速行驶时，路程和时间关系如下表： 时间/分 0 1 2 3 4 5 6 …… 路程/千米 0 4 8 12 16 20 24 …… (1)把动车行驶的时间和路程对应的点在图中描出来，并连线． (2)复兴号动车行驶的路程和时间成_____比例关系，写出判断依据． (3)动车行驶20分钟可行驶多少千米？（列式解答） 【经典例题二 含绝对值的函数问题】 7．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 8．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）综合与实践 我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行．函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、自变量内函数图象所有的增减性、函数图象的最值等．教科书第108页第11题让我们画出函数的图象，这是一个绝对值函数，小明所在班级开展了数学探究，请跟随小明一起完成下列探究任务． (1)函数自变量的取值范围是________； (2)①函数中、部分对应值如下表，其中________； … 0 1 2 3 4 … … 3 1 0 1 2 3 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (3)结合函数图象，任意写出函数图象的两条性质： ①________________________________________； ②________________________________________； (4) 已知直线，若关于的方程无解，直接写出的取值范围为________． 9．（25-26八年级上·山西太原·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探究函数的图象性质 素材1 七年级数学教材绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义 素材2 八年级数学教材中，我们经历了“确定函数的表达式……利用函数图象研究其性质……应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象． 问题解决 任务1 对于函数，当时化简函数的表达式： 当时，________；当时，________； 任务2 在平面直角坐标系中，画出函数的图象，结合所画图象，总结y随x的增加而呈现的变化情况． （1）    列表 x …… 0 1 2 3 4 …… y …… 2 a 0 1 b …… a=______，b=________ (2)描点、连线； 任务3 结合函数图象，写出关于函数y=|x-2|的一条性质 10．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）根据以下素材，探究函数的图象性质． 【素材内容】 素材1：七年级（上）绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义； 素材2：八年级（上）数学教材第四章中，我们经历了“确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质一应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象． 【问题解决】 任务1：对于函数，当时化简函数的表达式： 当时， ；当时， ； 任务2：在平面直角坐标系中，画出函数的图象； 任务3：函数的图象可由的图象向 平移 个单位得到； 函数的图象可由的图象向 平移 个单位得到； 任务4：结合以上任务，你发现函数有哪些性质？（写出一条即可） 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）让我们一起用描点法探究的图象和性质，并解决相关问题：①列表： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 5 m 1 1 3 n … ②描点；③连线． (1)在函数中，自变量x的取值范围是______； (2)表格中， ______， ______； (3)如图，在平面直角坐标系中，画出函数的图象； (4)观察图象，当x______时，y随x的增大而减小； (5)若一次函数的图象与函数图象有两个交点，则k的取值范围是______． 12．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）小明在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题． (1)列表： … 0 1 2 3 4 … … 1 a b c 0 1 … 表中 ， ， ； (2)作图：在下面网格中描点并正确地画出该函数图象； (3)观察：观察图象，归纳一下两条性质： 图象关于直线 对称； 根据所画的图形可以发现该函数有最 值（填“大”或“小”），该值是 ； (4)在坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为 ． 【经典例题三 一次函数的平移综合】 13．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）已知一次函数的图象过点与． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求当时的值； (3)直接写出将这个函数图象向上平移5个单位所对应的函数关系式． 14．（2025八年级上·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，且与直线交于点． (1)求m和b的值； (2)若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，求出t的取值范围． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象如图所示： (1)求该一次函数的表达式； (2)将该一次函数的图象向下平移4个单位长度可得一个新函数，画出新函数的图象，并根据图象直接求，当时新函数y的取值范围． 16．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． 17．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． (1)求一次函数的解析式； (2)将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线经过线段的中点，求的值； (3)若直线经过点，且与线段有交点，求的取值范围． 18．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，将一次函数（，为常数，）图象位于直线l下方的部分沿直线l向上翻折，与原来在直线l上及上方图象组合，得到一个新的图象，这种变换称为“对称变换”，记作：，这种新的图象对应的函数叫做“形函数”，例如，如图1就是函数经过得到的“形函数”的图象． 问题一：认识“形函数” （1）填空：在图1的“形函数”中，当函数值时，的值为______； （2）已知：直线 ①如表是直线经过得到的“形函数”与的几组对应值． … 0 … … … 直接写出表格中的值是______； ②在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 问题二：结合函数图象，解决问题： ③当时，“形函数”值的取值范围是______； 问题三：反思延申 ④已知点，点，如果将直线经过得到的“形函数”的图象向右平移个单位，当“形函数”图象与线段有交点时，请直接写出的取值范围． 【经典例题四 一次函数与不等式、方程组综合应用】 19．（25-26八年级下·北京海淀·期中）已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象（不用列表）； (2)当时，的取值范围是 ； (3)当时，的取值范围是 ． 20．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 21．（25-26八年级下·上海·月考）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 22．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过，两点，与一次函数交于点C，一次函数与x轴交于点D． (1)求直线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)求的面积． 23．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）一次函数的图象记作直线，与x轴、y轴分别交于点A，B． (1)将直线绕点逆时针旋转后得到的直线记作，求直线对应的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中，画出直线，，结合图象填空：不等式的解集为______． 24．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法，研究函数的图象和性质，并解决相关问题． (1)从数的角度，①当时，； ②当时，； ③当时， ； 显然，②和③均为相应一次函数的一部分． (2)从形的角度，我们尝试画出这个函数的图象： ①列表： …… 0 1 2 3 …… …… 1 2 1 0 …… 根据函数表达式可求表格中 ， ； ②描点； ③连线．（请在给出的平面直角坐标系中完成） (3)观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的结论：①y随x的增大而减小；②该函数有最大值；③该函数图象关于y轴对称；其中正确的有： ．（请写出所有正确结论的序号） (4)结合函数的图象，解决下列问题： ①关于x的方程的解为 ； ②若关于x的方程有且只有两个解m和n，且，请直接写出满足条件的b的取值范围． 【经典例题五 一次函数翻折问题】 25．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）定义：叫做关于直线的“分边折叠函数”． (1)已知“分边折叠函数” ①直接写出该函数与y轴的交点坐标； ②若直线与该函数只有一个交点，求t的取值范围； (2)已知“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，则k的值为___________． 26．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)P为直线上一点，，求点P的坐标； (3)若点Q在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 27．（24-25八年级上·山东青岛·月考）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点处． (1)求A、B两点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（24-25八年级下·全国·期末）如图所示，已知直线与直线交于点，点A到x轴的距离为2，且在第一象限．直线l2与x轴交于点B，与y轴交于点C．    (1)求直线的解析式； (2)过x轴上点作平行于y轴的直线，分别与直线、交于点M、点N． ①求线段的长度； ②将沿着直线折叠，当点A落在直线上时，直接写出k的值． 29．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点，点，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)直接写出结果:线段AB的长________，点C的坐标__________； (2)求直线CD的函数表达式； (3)点P在直线CD上，使得，求点P的坐标． 30．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知一直角三角形纸片，其中，，，将该纸片放置在平面直角坐标系中，如图1所示. (1)求经过A，B两点的直线的函数表达式. (2)折叠该纸片，使点B与点A重合，折痕与边交于点C，与边交于点D（如图2所示），求点C的坐标. (3)①若P为内一点，其坐标为，过点P作x轴的平行线交于点M，作y轴的平行线交于点N（如图3所示），求点M，N的坐标并求的长. ②若P为上一动点，设的中点为点E，的中点为点（如图4所示）求的最小值，并求取得最小值时点P的坐标. 【经典例题六 一次函数中最值问题】 31．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）在学习了一次函数图象后，张明、李丽和王林三位同学在赵老师的指导下，对一次函数 进行了探究学习，请根据他们的对话解答问题． (1)张明∶当时，我能求出直线与x轴的交点坐标为 ； 李丽：当时，我能求出直线与坐标轴围成的三角形的面积为 ． (2)王林：根据你们的探究，我发现无论k取何值，直线总是经过一个固定的点，请求出这个定点的坐标． (3)赵老师：我来考考你们，如果点 P的坐标为，该点到直线 的距离存在最大值吗？ 若存在，试求出该最大值；若不存在，请说明理由． 32．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，直线与两坐标轴分别相交于A、B两点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过点M分别作于点C，于点D． (1)当点M在上运动时，你认为四边形的周长是否发生变化？并说明理由； (2)当点M运动到什么位置时，四边形的面积有最大值？最大值是多少？ 33．（2025·湖北襄阳·二模）春节以后，我市各居民小区流动经济开始繁荣起来．王强趁此抓住机会，准备购进甲、乙种时令水果销售．已知甲种水果的进货款（元）是进货量（千克）的一次函数，其对应值如下表所示（所有自变量的值暂取整数值，从整数开始，到整数结束）： … … 乙种水果每千克的进价为元．销售过程中，甲种水果的售价始终是元/千克，乙种水果的售价始终是元/千克． （1）直接写出甲种水果的进货款（元）与进货量（千克）之间的函数关系式，并写自变量x的取值范围； （2）若进货总付款元，两种水果共购进千克，进货时甲种水果的进货量不低于千克但又不高于千克，求总付款的最小值； （3）由于水果很畅销，第二次进货时，王强购进甲、乙两种水果共千克，其中甲种水果的数量不少于乙种水果数量的，他决定每销售千克的水果向某中学贫困生捐元，为了保证这批水果售完后，总利润始终不低于元，求的最大值． 34．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）八年级数学社团学生在学习了“一次函数与一元一次方程、不等式的关系”后，尝试解决其他函数的类似问题，他们将函数确定为研究对象．请你根据以下探究过程，解答问题． 观察探究： （1）作出函数的图象． ①列表： 0 1 其中，表格中的值为__________． ②描点连线画出该函数的图象． （2）观察函数的图象． ①当__________时，函数有最大值，最大值为__________． ②方程的解是__________． 拓展应用： （3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集为__________． 35．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且． (1)求A、B两点坐标； (2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 36．（25-26八年级上·江苏南京·月考）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 ________ ________ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】 （2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形． 其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】 （4）在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 【经典例题七 一次函数的应用（利润、分配、行程）问题】 37．（2025·山东东营·模拟预测）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 38．（24-25八年级下·四川成都·期中）【背景材料】 为推进“公园城市”建设，助力实现“碳中和”目标，我市计划通过植树造林来中和碳排放．经测算，每棵成年银杏树（我市常见裸子植物）每年可吸收200千克二氧化碳，每棵成年松树每年可吸收150千克二氧化碳．我市某绿化项目计划采购成年银杏树和成年松树共120棵，设采购成年银杏树a棵，这120棵树一年吸收的二氧化碳总量为W千克． 【问题解决】 (1)写出W与a的函数关系式； (2)因成年银杏树种植成本较高，项目预算要求：①成年银杏树不超过50棵；②成年银杏树的棵数不少于成年松树棵数的三分之一．请设计采购方案，使一年内二氧化碳吸收总量W最大，并求出最大值． 39．（2025·湖北襄阳·二模）车厘子是一种水果，营养丰富．几J是车厘子大小的判断标准（J数越多，车厘子越大）．某水果经销商从车厘子种植大户李大爷处购进1J，3J两种型号的车厘子进行销售．李大爷为了答谢经销商，对3J型号的车厘子的出售价格根据购买量给予优惠，对1J型号的车厘子按30元/kg的价格出售．设经销商购进3J型号的车厘子x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)若该经销商计划一次性购进1J，3J两种型号的车厘子共100千克，且3J型号的车厘子购进量不低于50千克又不高于70千克，设付款总金额为w元．请求出付款总金额w（元）的最小值及1J、3J两种型号的车厘子的购进量； (3)随着生活水平的日益提高，人们购买能力不断增强．在（2）的条件下该水果经销商再次进货，在（2）的结论下加大了3J型号的车厘子的进货量，少进了1J型号的车厘子n千克，该水果经销商总进货款不高于3290元，求n的最小值． 40．（2025九年级·浙江·学业考试），两地相距200千米，早上8：00货车从地出发将一批防疫物资运往地，出发1.6小时后，货车出现了故障，货车离开地的路程（）与时间（）的函数关系如图所示、 （1）求货车刚出发时候的速度． （2）若货车司机经过48分钟维修排除了故障，继续运送物资赶往地． ①应防疫需要，现要求该批次物资运到地的时间不迟于当天中午12：00，那么货车的速度至少应该提速到多少？ ②在货车从地出发半小时后，地派出了30名医务人员乘坐大巴车前往地进行医疗支援，若货车在排除故障后以①中所求速度的最小值匀速赶往地，大巴车的速度为．求大巴车在行进途中与货车相遇时，离地还有多少千米？ 41．（24-25八年级下·江苏南通·月考）某水果经销店每天从农场购进甲、乙两种时令水果进行销售，两种水果的进价和售价如下： 品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 甲 a 5 乙 b 7 乙种水果的购进价格比甲种水果高2.5元/斤，如果水果经销店花费700元购进甲种水果，花费2400元购进乙种水果，则购进乙种水果的数量是甲种水果的2倍． (1)求a的值； (2)水果经销店每天购进两种水果共300斤，并在当天都销售完，其中销售甲种水果不少于80斤且不超过120斤，设每天销售甲种水果x斤，当天销售这两种水果总获利W元（销售过程中损耗不计）． ①求出W与x的函数关系式，并确定当天销售这两种水果的最大利润； ②周末水果经销店让利销售，将甲种水果售价降低m元/斤，为了保证当天销售这两种水果总获利的最小值不低于320元，求m的最大值． 42．（25-26八年级下·河北衡水·月考）【综合与实践】开展电动新能源汽车的电量探究活动． 【实验操作】为了解某品牌新能源汽车电池需要多久能充满，以及电量充满状态下新能源汽车的最大行驶里程，综合实践小组设计了以下两组实验． 实验一：探究电池充电状态下汽车仪表盘显示增加的电量与时间t（分钟）的关系，相关数据如下表所示． 充电过程 时间t（分钟） 0 5 10 22 增加的电量 0 5 10 a 实验二：探究满电状态下汽车的行驶过程，设仪表盘显示电量为，行驶里程为s（千米）．发现：满电时，汽车每行驶1千米消耗的电量． 【建立模型】 (1)a的值为______，e可以看成______（选填“t”“y”或“s”）的函数； (2)根据以上数据写函数关系式：______；______；（不写自变量的取值范围） 【解决问题】 (3)该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离600千米处的目的地． ①该电动汽车行驶280千米后到达某服务区，求此时仪表盘显示的电量； ②若电量低于时，仪表盘亮起黄灯．在①的条件下，若电动汽车在服务区一次性充电n分钟后继续行驶前往目的地，若保证仪表盘不亮起黄灯，求n的最小值． 【经典例题八 一次函数规律探究问题】 43．（24-25八年级上·安徽六安·月考）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，设第（是正整数）个图案中有个阴影小正方形，根据图形规律解决下列问题：    第1个图形      第2个图形              第3个图形 (1)直接写出与之间的函数表达式； (2)当图案中有2021个阴影小正方形时，该图案是第多少个图形？ 44．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 45．（24-25八年级上·江西抚州·月考）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 46．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 47．（24-25八年级下·广东湛江·期末）综合应用 如图1，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点，交于y轴上一点A． (1)特征探究；求直线的表达式； (2)坐标探究：过的中点D，作交于点E，求E点坐标； (3)规律探究：将将向左平移m个单位长度得到图2，与y轴交于点P（点P不与A点和C点重合），在的延长线上取一点Q，使，连接交x轴于M点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况? 48．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【综合与实践】 深圳某条东西方向的道路共有五车道，早晚高峰期间经常拥堵，数学兴趣小组的同学就此问题开展研究性学习活动． 【信息一】通过实地考察，兴趣小组的同学对该路段的交通量辆分钟和时间进行数据的收集统计和分析，整理得到下列表格，发现时间和交通量的变化规律符合一次函数特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 时间 时 时 时 时 时 自西向东交通量辆分钟 自东向西交通量辆分钟 【信息二】兴趣小组的同学希望根据两个不同方向的拥堵情况来合理设置中间“可变车道”的方向通过查阅资料发现：若单位时间内双向交通总量设为，当车流量较大的方向的交通量时，道路非常拥堵，需要通过把“可变车道”的行车方向与交通量较大的方向变为相同，去改善交通状况． 【解决问题】 (1)已知与之间的函数关系式为，表格中______； (2)求与之间的函数系式不写自变量的取值范围； (3)请你通过计算判断该路段从时至时在比较拥堵时如何设置“可变车道”的方向以缓解交通拥堵？即在什么时间段把“可变车道”设为哪个方向的车道 【经典例题九 一次函数几何综合应用】 49．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的表达式； (2)直线与y轴交于点M，求的面积． (3)若，直接写出的取值范围． 50．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，且直线与直线交于点． (1)求和的值． (2)求点的坐标． (3)求的面积． 51．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，直线分别与x，y轴相交于点A、B，点P，Q分别在直线和线段上，，，设点P的坐标为． (1)求k，b的值； (2)设的面积为S，求S关于m的函数关系式； (3)如果的面积等于10，求点P的坐标． 52．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）如图1，已知直线交x轴于点A、交y轴于点B，且． (1)请直接写出直线的解析式：__________________． (2)如图2，直线与x轴、y轴分别交于点C、D，与直线交于点P． ①若点E在线段上且满足，求点E的坐标； ②若点M是位于点B上方的y轴上一点，点Q在直线上，点N为第一象限内直线上一动点，是否存在点N，使得以点B、M、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 53．（2025九年级·辽宁沈阳·专题练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在直线上运动，过点P分别向x轴、y轴作垂线，交两轴分别于C、D两点，得到矩形．设点P的横坐标为m． (1)用含m的代数式表示点P的坐标； (2)当点P在射线上运动时，设矩形的周长为l，求l与m之间的函数表达式； (3)当时，求m的值； (4)当直线把矩形分成两部分，若两部分图形的面积比为，直接写出m的值． 54．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D．过B作于点E，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 已知：直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角、： ①直接写出________，________； ②点E的坐标________； (2)如图3，当时，在第二象限构造等腰直角，，求的周长． (3)如图4，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 一次函数图像的性质综合应用 题型二 含绝对值的函数问题 题型三 一次函数的平移综合 题型四 一次函数与不等式、方程组综合应用 题型五 一次函数翻折问题 题型六 一次函数中最值问题 题型七 一次函数的应用（利润、分配、行程）问题 题型八 一次函数规律探究问题 题型九 一次函数几何综合应用 【经典例题一 一次函数图像的性质综合应用】 1．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并分别指出图象经过哪些象限． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)图见解析，图象经过第一和第三象限 (2)图见解析，图象经过第一、第三和第四象限 (3)图见解析，图象经过第一、第二和第三象限 【分析】本题主要考查了画一次函数的图象，判断图象经过的象限，解题的关键是掌握描点法． （1）根据正比例函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定点的坐标，然后作经过原点和该点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可； （2）根据一次函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定两个点的坐标，然后作经过两个点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可； （3）根据一次函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定两个点的坐标，然后作经过两个点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， 当时，， ∴过原点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一和第三象限； （2）解：如图，直线即为所求， 当时，， 当时，， ∴过点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一、第三和第四象限； （3）解：如图，直线即为所求， 当时，， 当时，， ∴过点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一、第二和第三象限； 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况； (2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1)，y的值随x值的增大而减小 (2)见解析 (3)点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上 【分析】（1）直接把点代入正比例函数，求出k的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）把点、点横坐标代入正比例函数的解析式求出y的值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式， ∵， ∴y的值随x值的增大而减小； （2）解：当时，， 当时，， ∴经过点，，描点画出图象如下： （3）解：∵正比例函数的解析式为， ∴当时，，当时，， ∴点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知与之间成正比例关系，且图象经过点． (1)求与之间的函数解析式． (2)画出该函数的图象． (3)图像上有两点，，如果，则______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据题意设出函数解析式，把代入解析式，便可求出k的值，从而求出其解析式； （2）描点两点，连线即可求解； （3）根据正比例函数的性质判断即可． 【详解】（1）解∶∵与之间成正比例关系， ∴设函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：该函数的图象经过和原点， 该函数的图象如图所示． （3）解：， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·湖北孝感·月考）如图，正比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)请在如图的坐标系中画出一次函数的图象． 【答案】(1) (2)图见详解 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把点代入正比例函数解析式进行求解即可； （2）由（1）可知一次函数解析式为，然后得出与x、y轴的交点坐标，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴； （2）解：由（1）得：一次函数解析式为， ∴当时，则；当时，则有，即， 则有一次函数的图象如下所示： 5．（24-25八年级下·广东东莞·期末）水是生命之源，节约用水是每个公民应尽的义务．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查水量与漏水时间的关系，某同学在滴水的水龙头下放置了一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量如下表： 时间 0 5 10 15 20 … 水量 0 25 50 75 100 … (1)请根据上表中的信息，在图中描出以上述实验所得数据为坐标的各点； (2)根据（1）中各点的分布规律，求出关于的函数解析式； (3)请估算这种漏水状态下一天的漏水量． 【答案】(1)详解解析 (2) (3) 【分析】（1）根据表格信息，在平面直角坐标系内描出各点即可； （2）由点的分布可得是关于的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即可； （3）把代入函数的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）根据（1）中各点的分布规律，可知是关于的正比例函数， 设关于的函数解析式是（）， 当时，， ∴，则， ∴关于的函数解析式是； （3）由（2）可知，在这种状态下一天的漏水量， 答：这种漏水状态下一天的漏水量大约是． 【点睛】本题考查的是在坐标系内描点，利用待定系数法求解函数的解析式，求解函数的函数值，熟悉利用待定系数法求解正比例函数是解析式是解本题的关键． 6．（24-25八年级下·江苏常州·开学考试）复兴号动车匀速行驶时，路程和时间关系如下表： 时间/分 0 1 2 3 4 5 6 …… 路程/千米 0 4 8 12 16 20 24 …… (1)把动车行驶的时间和路程对应的点在图中描出来，并连线． (2)复兴号动车行驶的路程和时间成_____比例关系，写出判断依据． (3)动车行驶20分钟可行驶多少千米？（列式解答） 【答案】(1)见解析 (2)正，理由见解析 (3)动车行驶20分钟可行驶80千米 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． （1）根据表格中的数据，描点连线即可； （2）由（1）中的图可知，路程随时间的增大而增大，即可解答； （3）根据路程=速度×时间，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：∵ 路程随时间的增大而增大， ∴复兴号动车行驶的路程和时间成正比例关系． 故答案为：正． （3）解：（千米） 答：动车行驶20分钟可行驶80千米． 【经典例题二 含绝对值的函数问题】 7．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围或． 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）根据题意求得，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 将点代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，，其中， ∴， 情况1：当即， 此时随的增大而增大， 在时取得最小值，最小值为， 由，得， 解得； 情况2：当即，此时， 不满足，舍去； 情况3：当即， 此时随的增大而减小， 在时取得最大值， 最大值为， 由，得，解得； 综上，的取值范围或． 8．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）综合与实践 我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行．函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、自变量内函数图象所有的增减性、函数图象的最值等．教科书第108页第11题让我们画出函数的图象，这是一个绝对值函数，小明所在班级开展了数学探究，请跟随小明一起完成下列探究任务． (1)函数自变量的取值范围是________； (2)①函数中、部分对应值如下表，其中________； … 0 1 2 3 4 … … 3 1 0 1 2 3 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (3)结合函数图象，任意写出函数图象的两条性质： ①________________________________________； ②________________________________________； (4)已知直线，若关于的方程无解，直接写出的取值范围为________． 【答案】(1)全体实数； (2)①2；②见解析 (3)见解析 (4)或 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，求一次函数自变量的值，一次函数的性质，一次函数与一元一次方程之间的关系，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得自变量的取值范围是全体实数； （2）①求出当时的函数值即可得到答案；②先描点，再连线，画出对应的函数图象即可； （3）根据所画函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （4）求出一次函数经过定点，再根据题意可得函数和函数没有交点，据此结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，函数自变量的取值范围是全体实数； （2）解：①在中，当时，，即； ②如图所示，即为所求； （3）解：①由函数图象可得，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； ②当时，函数有最小值0； （4）解：在中，当时，， ∴一次函数经过定点， ∵关于的方程无解， ∴函数和函数没有交点， ∴由函数图象可得当或时，函数和函数没有交点， ∴当或时，关于的方程无解． 9．（25-26八年级上·山西太原·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探究函数的图象性质 素材1 七年级数学教材绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义 素材2 八年级数学教材中，我们经历了“确定函数的表达式……利用函数图象研究其性质……应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象． 问题解决 任务1 对于函数，当时化简函数的表达式： 当时，________；当时，________； 任务2 在平面直角坐标系中，画出函数的图象，结合所画图象，总结y随x的增加而呈现的变化情况． （1）    列表 x …… 0 1 2 3 4 …… y …… 2 a 0 1 b …… a=______，b=________ (2)描点、连线； 任务3 结合函数图象，写出关于函数y=|x-2|的一条性质 【答案】任务1：，；任务2：（1），；（2）画图见解析；任务3：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 【分析】本题考查化简绝对值，画一次函数的图象，一次函数的增减性. 任务1：化简绝对值即可； 任务2：（1）分别将、代入计算即可； （2）描点，连线画出函数图象； 任务3：根据图象判断增减性即可． 【详解】解：任务1：当时，， ∴当时，；当时，； 故答案为：，； 任务2：（1）， 故答案为：，； （2）描点，连线，画出函数图象如图： 任务3：由图象可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 10．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）根据以下素材，探究函数的图象性质． 【素材内容】 素材1：七年级（上）绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义； 素材2：八年级（上）数学教材第四章中，我们经历了“确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质一应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象． 【问题解决】 任务1：对于函数，当时化简函数的表达式： 当时， ；当时， ； 任务2：在平面直角坐标系中，画出函数的图象； 任务3：函数的图象可由的图象向 平移 个单位得到； 函数的图象可由的图象向 平移 个单位得到； 任务4：结合以上任务，你发现函数有哪些性质？（写出一条即可） 【答案】 任务1：；；任务2：见解析， 任务3：右；2；右； 任务4：当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小（答案不唯一） 【分析】任务1：化简绝对值即可； 任务2：列表描点，连线画出函数图象，根据图象判断增减性即可． 任务3：根据图象即可得出答案； 任务4：根据函数增减性解答即可． 【详解】解：任务1：对于函数，当时得函数的表达式， 当时，； 当时，； 故答案为：，； 任务2：列表如下： 0 1 2 3 4 2 1 0 1 2 作图如下： 任务3：如图， 由图可得：函数的图象可由的图象向右平移2个单位得到； 函数的图象可由的图象向右平移个单位得到； 任务4：当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小（答案不唯一）． 【点睛】本题考查一次函数图象性质，绝对值函数，画函数图象，一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键．注意数形结合思想的应用． 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）让我们一起用描点法探究的图象和性质，并解决相关问题：①列表： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 5 m 1 1 3 n … ②描点；③连线． (1)在函数中，自变量x的取值范围是______； (2)表格中， ______， ______； (3)如图，在平面直角坐标系中，画出函数的图象； (4)观察图象，当x______时，y随x的增大而减小； (5)若一次函数的图象与函数图象有两个交点，则k的取值范围是______． 【答案】(1)全体实数 (2)3，5 (3)见解析 (4) (5) 【分析】本题主要考查函数图象的性质，理解平面直角坐标系的特点，掌握运用描点，连线的方法绘制函数图象，两直线交点的计算方法等知识是解题的关键． （1）根据表达式的含义即可求解； （2）把代入表达式可求出的值，把代入表达式可求出的值； （3）运用描点的方法，找出表格中的各点，用线连接即可； （4）根据（3）中图象的性质即可求解； （5）把函数的顶点坐标代入一次函数可求出，根据图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：函数，自变量的取值范围是全体实数， 故答案为：全体实数． （2）解：当时，；当时，； ∴，， 故答案为：，． （3）解：表格数据如下， … … … … 将表中各点依次描于图中，再依次连接各点，如图所示：     ； （4）解：由（3）的图象可知，函数的图象关于对称， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 故答案为：； （5）解：∵函数的图象关于对称， ∴函数的最小值是，当时，， ∴把点代入一次函数得，，解得，，即一次函数与轴交点坐标是， ∴当时，一次函数的图象与函数图象有两个交点． 12．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）小明在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题． (1)列表： … 0 1 2 3 4 … … 1 a b c 0 1 … 表中 ， ， ； (2)作图：在下面网格中描点并正确地画出该函数图象； (3)观察：观察图象，归纳一下两条性质： 图象关于直线 对称； 根据所画的图形可以发现该函数有最 值（填“大”或“小”），该值是 ； (4)在坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为 ． 【答案】(1)0；； (2)见解析 (3)1；小； (4)9 【分析】本题考查了一次函数的性质，数形结合思想等知识；画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键． （1）把或1或2代入函数解析式，即可解； （2）描点、连线，在图中画出该函数图象即可； （3）观察图形即可得出结论； （4）根据图象可直接得出结论． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：0；；； （2）解：函数图象如下图所示： ， （3）解：观察图象得： 图象关于直线对称； 根据所画的图形可以发现该函数有最小值，该值是； 故答案为：1；小；； （4）解：画出直线，根据整点的定义可知，有九个整点． . 故答案为：9． 【经典例题三 一次函数的平移综合】 13．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）已知一次函数的图象过点与． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求当时的值； (3)直接写出将这个函数图象向上平移5个单位所对应的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质，一次函数图象的平移，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）设这个一次函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，即可得出答案； （3）由函数图象平移的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设这个一次函数解析式为． 将与代入得： ， 解得：， 这个一次函数解析式为； （2）解：当时 （3）解：将这个函数图象向上平移5个单位所对应的函数关系式为． 14．（2025八年级上·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，且与直线交于点． (1)求m和b的值； (2)若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，求出t的取值范围． 【答案】(1)2；4 (2) 【分析】（１）点代入，得到，再把代入求解即可． （2）设直线向下平移个单位长度后的表达式为，根据题意，得 交点为，根据交点在第一象限，建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 故， 把代入得， 解得． （2）解：根据题意，得， 设直线向下平移个单位长度后的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故两条直线的交点为， 由于与直线的交点在第一象限， 故， 解得． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象如图所示： (1)求该一次函数的表达式； (2)将该一次函数的图象向下平移4个单位长度可得一个新函数，画出新函数的图象，并根据图象直接求，当时新函数y的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答． （1）根据一次函数（k，b是常数，）的图象过，两点，运用待定系数法可以求得该函数的表达式； （2）根据一次函数的平移解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数（k，b是常数，）的图象过，两点， ∴， 解得， 即该一次函数的表达式是； （2）解：把向下平移4个单位后可得：， 图象如图： 当时，；当时，， 所以，当时新函数y的取值范围为． 16．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， (3)作图见解析， (4)，作图见解析， 【分析】（1）利用描点法作图即可； （2）根据一次函数的平移即可解答； （3）先求得直线与轴，轴的交点，利用轴对称的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答； （4）先利用旋转的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，可得， 解得， ∴直线经过，， 作图如下： ； （2）解：将直线向下平移4个单位得到直线，作图如下： 可得直线所对应的函数表达式为； （3）解：当时，可得， 解得， 当时，， 是直线上的点， 直线与直线关于轴成轴对称， 是直线上的点， 设直线的表达式为， 把代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： ； （4）解：根据（3）中可得，且直线经过点， 将直线绕点逆时针旋转得到直线， 点绕点逆时针旋转的对应点为点 直线经过，， 设直线的表达式为， 把，代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： . 17．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． (1)求一次函数的解析式； (2)将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线经过线段的中点，求的值； (3)若直线经过点，且与线段有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数，牢记待定系数法求一次函数解析式的步骤、一次函数图像平移的规律（上加下减）是解题的关键． （1）利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）根据平移的规律求得平移后的解析式，然后代入的中点坐标，即可求出a的值； （3）把代入得，则可得，再将，分别代入中，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：把和代入得 ，解得， ∴这个一次函数的解析式为． （2）设平移后的直线的解析式为． ∵，， ∴线段的中点坐标为． 把代入，得， 解得． （3）把代入得． ∴， 把代入得，．解得； 把代入得，．解得； ∴的取值范围是． 18．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，将一次函数（，为常数，）图象位于直线l下方的部分沿直线l向上翻折，与原来在直线l上及上方图象组合，得到一个新的图象，这种变换称为“对称变换”，记作：，这种新的图象对应的函数叫做“形函数”，例如，如图1就是函数经过得到的“形函数”的图象． 问题一：认识“形函数” （1）填空：在图1的“形函数”中，当函数值时，的值为______； （2）已知：直线 ①如表是直线经过得到的“形函数”与的几组对应值． … 0 … … … 直接写出表格中的值是______； ②在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 问题二：结合函数图象，解决问题： ③当时，“形函数”值的取值范围是______； 问题三：反思延申 ④已知点，点，如果将直线经过得到的“形函数”的图象向右平移个单位，当“形函数”图象与线段有交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）或；（2）①；②见解析；③；④或． 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式及一次函数图像的平移，熟练掌握一次函数的图象与性质，利用数形结合的思想方法是解题的关键． （1）先得出时的函数解析式，把代入即可得答案； （2）①先求出，根据“对称变换”的定义，利用待定系数法得出时的函数解析式为，把代入即可求出的值； ②根据表格描点，画出图像即可； ③分别得出时，，时，，函数最小值为，由图像可知，时，函数取最小值，即可得答案； ④先得出当时，，时，，把，点，分别代入，求出值，即可得答案． 【详解】解：（1）∵函数经过得到的“形函数”的图象， ∴当时，函数的解析式为， ∴该“形函数”的解析式为， ∴当时，或． （2）①∵直线经过得到“形函数”， ∴当时，， ∴当时，函数解析式为， ∴时，， 设时的函数解析式为， ∵时，图像经过，， ∴， 解得：， ∴时的函数解析式为， ∴当时，， 解得：． 故答案为： ②该函数的图象如图所示． ③时，，时，， 由图像可知，时，函数取最小值， ∴当时，“形函数”值的取值范围是． ④∵将直线经过得到的“形函数”的图象向右平移个单位， ∴当时，， 当时，， 当经过点时，， 解得：， 当经过点时，， 解得：， ∴， 当经过点时，， 解得：， 当经过点时，， 解得：， ∴， 综上所述：的取值范围为或． 【经典例题四 一次函数与不等式、方程组综合应用】 19．（25-26八年级下·北京海淀·期中）已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象（不用列表）； (2)当时，的取值范围是 ； (3)当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，令时，，解得；令时，，可得一次函数经过点，，利用描点法画图即可； （2）当时，，求解即可； （3）由，得到，当时，即，求解即可． 【详解】（1）解：令时，，解得； 令时，， ∴一次函数经过点，， 一次函数的图象如图所示， （2）解：当时，，解得， ∴当时，的取值范围是； （3）解：∵， ∴， ∴当时，即，解得， ∴当时，的取值范围是． 20．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直线与x轴的交点的横坐标即为关于的方程的解，据此可得答案； （2）根据函数图象找到一次函数的函数值小于1时自变量的取值范围即可得到答案； （3）找到一次函数的函数图象在一次函数的图象下方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案； （4）根据函数图象分别求出不等式和的解集即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与x轴交于点， ∴关于的方程的解是； （2）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集是； （3）解：由函数图象可知，当，； （4）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式组的解集为． 21．（25-26八年级下·上海·月考）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 【答案】(1)； (2)点的坐标是；的值是． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （）根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集； （）由题意可以求得的值，然后将代入即可求得点的坐标； 根据点也在函数的图象上，从而可以求得的值． 【详解】（1）解：由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：∵，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标是， 当时，， ∴点的坐标是； ∵， ∴，解得， 即的值是． 22．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过，两点，与一次函数交于点C，一次函数与x轴交于点D． (1)求直线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)30． 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、两条直线的交点坐标，用待定系数法求出直线的解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求直线的解析式即可； （2）先求出点C和点D的坐标，然后根据图象写出的取值范围即可； （3）先求出与x轴的交点E的坐标，然后根据三角形面积公式求的面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， 解得， ∴． 解得 ∴， ∴当时，的取值范围是； （3）解：如图， 当时，， 解得， ∴， ∴ ∴的面积 ． 23．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）一次函数的图象记作直线，与x轴、y轴分别交于点A，B． (1)将直线绕点逆时针旋转后得到的直线记作，求直线对应的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中，画出直线，，结合图象填空：不等式的解集为______． 【答案】(1) (2)作图见解析； 【分析】（1）找到两点的对应点，利用待定系数法即可解答； （2）利用一次函数的交点即可解答． 【详解】（1）解：当时，可得， 解得， ， 当时，， ， 点绕点逆时针旋转后得到点， 点绕点逆时针旋转后得到点， 设直线的表达式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的表达式为； （2）解：根据上题可得直线经过，，直线经过，，作图如下： 联立方程， 解得， 根据图象可得时，， ∴不等式的解集为． 24．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法，研究函数的图象和性质，并解决相关问题． (1)从数的角度，①当时，； ②当时，； ③当时， ； 显然，②和③均为相应一次函数的一部分． (2)从形的角度，我们尝试画出这个函数的图象： ①列表： …… 0 1 2 3 …… …… 1 2 1 0 …… 根据函数表达式可求表格中 ， ； ②描点； ③连线．（请在给出的平面直角坐标系中完成） (3)观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的结论：①y随x的增大而减小；②该函数有最大值；③该函数图象关于y轴对称；其中正确的有： ．（请写出所有正确结论的序号） (4)结合函数的图象，解决下列问题： ①关于x的方程的解为 ； ②若关于x的方程有且只有两个解m和n，且，请直接写出满足条件的b的取值范围． 【答案】(1) (2)，图象见解析 (3)②③ (4)①，② 【分析】本题考查了一次函数的性质，画函数图象，函数与方程的关系，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据一个负数的绝对值等于它的相反数，即可求解； （2）将和代入解析式，即可求出的值，描点，连线，即可得到函数图象； （3）根据（2）中的函数图象，即可求解； （4）①画出函数的图象，观察函数与函数的交点，即可求解；②根据①可知当时，函数与函数图象只有一个交点，要想符合题目要求，需将函数向下平移，则． 【详解】（1）解：当时，． （2）解：当时，，则， 当时，，则， 描点，连线，函数图象如下图所示． （3）解：根据函数图象可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故结论①错误， 当，函数有最大值，故结论②正确， 函数图象关于y轴对称，故结论③正确， 综上所述，结论②③正确． （4）解：①画出函数的函数图象如下所示， 根据图象，可知函数与函数相交于点， 关于x的方程的解为， ②关于x的方程有且只有两个解m和n，且， 函数与函数图象有两个交点，一个在y轴左侧，一个在y轴右侧， 根据①中函数图象可知，当时，两个函数图象交于一点，要想符合题目要求，必须将函数向下平移， 当时，符合题目要求． 【经典例题五 一次函数翻折问题】 25．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）定义：叫做关于直线的“分边折叠函数”． (1)已知“分边折叠函数” ①直接写出该函数与y轴的交点坐标； ②若直线与该函数只有一个交点，求t的取值范围； (2)已知“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，则k的值为___________． 【答案】(1)①；②当或 (2) 【分析】（1）①求出当时，的值即可得到答案；②分别求出当时，的函数值和的函数值，然后令函数经过求出的对应函数函数值的对应坐标即可得到答案； （2）先求出函数与直线的交点坐标，与y轴的交点坐标，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴当时， ∴函数与y轴的交点坐标为； ②令，代入得， 令经过点， ∴， ∴， 同理，令，代入得， 令经过点， ∴， ∴， 综上分析所得，当或时，与该函数只有一个交点； （2）解：∵， ∴函数与y轴的交点坐标为，与直线的交点坐标为， ∵“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为， ∴， ∴， ∴（m等于0时，直线与y轴重合，不符合题意）， 解得． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，正确理解题意是解题的关键． 26．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)P为直线上一点，，求点P的坐标； (3)若点Q在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点Q的坐标为或或或 【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据勾股定理求出，根据折叠得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出，设，根据，求出或，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：， ∵直线交坐标轴于点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为：； （2）解：由题意可知：，， 在中，， 由折叠性质可知：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，， ∴， ∵P在直线上， ∴设， ∵， ∴， 解得，或， ①当时，， ②当时，， ∴或； （3）解：设， ∵点，， ∴，， ， ①当时， 则， 解得（舍去）或， ∴点Q的坐标为； ②当时， 则，即或18， ∴点Q的坐标为或； ③当时， 则， 解得：， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，求一次函数解析式，等腰三角形的定义，折叠的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 27．（24-25八年级上·山东青岛·月考）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点处． (1)求A、B两点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1), (2) (3)存在点P使得点P、M、为顶点的三角形是直角三角形，且或 【分析】(1)令，得到确定点B的坐标；令，得到，确定点A的坐标即可． (2)根据,，得到，，,，设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． (3)分，，三种情形，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵ ， 令， ∴， ∴点； 令， ∴， 解得， ∴点． （2）∵,， ∴，,， 设， 根据折叠的性质，得，，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）当点P在的右边时，在中，， 故是锐角； 当点P在的左边时，在中，，且， 故是钝角； 故时，显然不成立， 当时，在中，， 此时P与原点重合， 故； 当时，设，则，， 根据勾股定理，得， 解得， 故， 故存在点P使得点P、M、为顶点的三角形是直角三角形，且或． 28．（24-25八年级下·全国·期末）如图所示，已知直线与直线交于点，点A到x轴的距离为2，且在第一象限．直线l2与x轴交于点B，与y轴交于点C．    (1)求直线的解析式； (2)过x轴上点作平行于y轴的直线，分别与直线、交于点M、点N． ①求线段的长度； ②将沿着直线折叠，当点A落在直线上时，直接写出k的值． 【答案】(1) (2)①3；②1或 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，由点A的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M，N的坐标，再求出的长即可；②设翻折后点A落在点F处，连接交折痕所在的直线于点P，连接，由折叠的性质可知：，点P为的中点，设点F的坐标为，由可求出t的值，进而可得出点F，P的坐标，再利用待定系数法即可求出k值． 【详解】（1）解：点，点A到y轴的距离为2，且点A在第一象限， ， 将代入得：， ， 点A的坐标为， 将代入得：， ， 直线的解析式为． （2）①过x轴上点作平行于y轴的直线，分别与直线、交于点M、点N， 将代入得：， ， 将代入得：， ， ； ②设翻折后点A落在点F处，连接交折痕所在的直线于点P，连接，如图2所示．    由折叠的性质，可知：，点P为的中点． 设点F的坐标为， ，，， ， 解得：． 当时，点F的坐标为，点P的坐标为， 点在直线上， ， 解得：； 当时，点F的坐标为，点P的坐标为， 点在直线上， ，解得：． 综上可知：k的值为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，掌握一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、折叠的性质以及解一元二次方程是解题的关键． 29．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点，点，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)直接写出结果:线段AB的长________，点C的坐标__________； (2)求直线CD的函数表达式； (3)点P在直线CD上，使得，求点P的坐标． 【答案】(1)5， (2) (3)或 【分析】（1）先根据点的坐标可得，再利用勾股定理可得，然后根据折叠的性质可得，从而可得，由此即可得点的坐标； （2）设点的坐标为，则，先根据折叠的性质可得，再在中，利用勾股定理可得，从而可得，然后利用待定系数法即可得； （3）设点的坐标为，根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 轴轴， ， 由折叠的性质得：， ， 点的坐标为， 故答案为：5，． （2）解：设点的坐标为，则， 由折叠的性质得：， 在中，，即， 解得， ， 设直线的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则直线的函数表达式为． （3）解：由题意，设点的坐标为， ， ， ， ， 解得或， 当时，，即此时， 当时，，即此时， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了勾股定理、折叠的性质、求一次函数的解析式、一次函数的几何应用，熟练掌握折叠的性质和待定系数法是解题关键． 30．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知一直角三角形纸片，其中，，，将该纸片放置在平面直角坐标系中，如图1所示. (1)求经过A，B两点的直线的函数表达式. (2)折叠该纸片，使点B与点A重合，折痕与边交于点C，与边交于点D（如图2所示），求点C的坐标. (3)①若P为内一点，其坐标为，过点P作x轴的平行线交于点M，作y轴的平行线交于点N（如图3所示），求点M，N的坐标并求的长. ②若P为上一动点，设的中点为点E，的中点为点（如图4所示）求的最小值，并求取得最小值时点P的坐标. 【答案】(1) (2) (3)①3；② 【分析】（1）由题意得，，则利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设,则在中，利用勾股定理即可求出的值，进而得出点C坐标； （3）①由已知可知点M的纵坐标为1，点N的横坐标为，再代入直线的解析式即可求出点M和点N的坐标，进而求出的长； ②作点F关于y轴的对称点，连接交于点P，此时的值最小，从而可求出最小值和此时点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，， 设直线的解析式，则 ，解得， 所以直线的解析式为； （2）解：设，则， 在中，， 解得， ∴． （3）解：①∵， ∴， ∴点M的纵坐标为1， 把代入，得， ∴， ∵， ∴点N的横坐标为， 把代入，得， ∴， 所以； ②作点F关于ｙ轴的对称点 所以， 连接交于点P，此时的值最小，为， ∵， ∴直线为， 令，则， ∴ 【点睛】本题综合考查了运用轴对称、一次函数图象与几何变化．折叠型动态问题是近年来中考试题中的热点问题，它可以考查学生的综合能力，如想象能力、动手操作及创新意识能力等等，对于这类问题，通常从原图中选取满足条件的基本图形进行分析、解决问题． 【经典例题六 一次函数中最值问题】 31．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）在学习了一次函数图象后，张明、李丽和王林三位同学在赵老师的指导下，对一次函数 进行了探究学习，请根据他们的对话解答问题． (1)张明∶当时，我能求出直线与x轴的交点坐标为 ； 李丽：当时，我能求出直线与坐标轴围成的三角形的面积为 ． (2)王林：根据你们的探究，我发现无论k取何值，直线总是经过一个固定的点，请求出这个定点的坐标． (3)赵老师：我来考考你们，如果点 P的坐标为，该点到直线 的距离存在最大值吗？ 若存在，试求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题主要考查了勾股定理，一次函数的性质及一次函数的实际应用-几何问题，正确理解点到直线的距离是解题的关键． （1）张明：将值代入求出解析式即可得到答案； 李丽：将值代入求出解析式，得到直线与轴和轴的交点，即可得到答案； （2）将解析式变形为，由此可知当时，无论取何值，，即可求解； （3）由（2）可知必过，设必过点为，到直线的距离为，发现直角三角形中大于直角边，所以当与垂直时最大，求出即可． 【详解】（1）解：张明：将代入， 得到， 令，得，得， ∴直线与轴的交点坐标为； 李丽：将代入 得到， 令，得，得，令，得， 则，直线与轴的交点为，直线与轴的交点为， ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积， 故答案为：，； （2）∵ ∴， ∴当时，无论取何值，， ∴直线总是经过一个固定的点，这个定点的坐标为； （3）由（2）可知必过 设必过点为，到直线的距离为， 由图中可以得到直角三角形中大于直角边， 所以到最大距离为与直线垂直，即为， ∵， ∴ ∴点到最大距离的距离存在最大值为． 32．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，直线与两坐标轴分别相交于A、B两点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过点M分别作于点C，于点D． (1)当点M在上运动时，你认为四边形的周长是否发生变化？并说明理由； (2)当点M运动到什么位置时，四边形的面积有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)不发生变化，总是等于8，理由见详解 (2)即当点位于时，四边形的面积取得最大值，最大值为4 【分析】（1）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，从而可得出矩形的周长，继而可作出判断； （2）求出关于的表达式，利用配方法确定最值即可． 【详解】（1）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 则，， ， 当点在上运动时，四边形的周长不发生变化，总是等于8． （2）解：根据直线的解析式可得，点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，取得最大值，最大值为4． 即当点位于时，取得最大值，最大值为4． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，解答本题的关键是熟练点的坐标与线段长度之间的转化，掌握三角形及矩形的面积计算公式，总体来说本题难度不大． 33．（2025·湖北襄阳·二模）春节以后，我市各居民小区流动经济开始繁荣起来．王强趁此抓住机会，准备购进甲、乙种时令水果销售．已知甲种水果的进货款（元）是进货量（千克）的一次函数，其对应值如下表所示（所有自变量的值暂取整数值，从整数开始，到整数结束）： … … 乙种水果每千克的进价为元．销售过程中，甲种水果的售价始终是元/千克，乙种水果的售价始终是元/千克． （1）直接写出甲种水果的进货款（元）与进货量（千克）之间的函数关系式，并写自变量x的取值范围； （2）若进货总付款元，两种水果共购进千克，进货时甲种水果的进货量不低于千克但又不高于千克，求总付款的最小值； （3）由于水果很畅销，第二次进货时，王强购进甲、乙两种水果共千克，其中甲种水果的数量不少于乙种水果数量的，他决定每销售千克的水果向某中学贫困生捐元，为了保证这批水果售完后，总利润始终不低于元，求的最大值． 【答案】（1）；（2）当购进甲种水果千克，乙种水果千克时，总付款金额最少，为元；（3）2 【分析】（1）用分段函数表示y与x的关系，直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案； （2）设购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100-x）千克，根据题意可以确定a的范围，结合付款总金额（元）与两种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论即可得出最少费用； （3）设购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（200-x）千克，，根据甲种水果的数量不少于乙种水果数量的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设售完200千克水果获利Q元，再根据题意得出Q关于x的函数关系式，根据一次函数的性质求出Q的最小值，结合总利润始终不低于1350元可得m的范围，本题得以解决． 【详解】解：（1）由表中数值，0≤x≤40且x为整数时，设y=kx+b， 则，解得：， ∴y=20x（0≤x≤40且x为整数）， x＞40且x为整数时，设y=k′x+b′， ，解得： ∴y=16x+160（x＞40且x为整数）， ． （2）当时， ， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值，为， 当时， ， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值为， ， 当购进甲种水果千克，乙种水果千克时，总付款金额最少，为元； （3）由题意得，则 设售完千克水果获利元，则有 随的增大而增大 又 当时，有最小值，最小值 要保证售完这千克水果，总利润始终不低于元， 解得 的最大值为． 【点睛】本题考查一次函数的应用．一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建一次函数或一元一次不等式解决问题，属于中考常考题型． 34．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）八年级数学社团学生在学习了“一次函数与一元一次方程、不等式的关系”后，尝试解决其他函数的类似问题，他们将函数确定为研究对象．请你根据以下探究过程，解答问题． 观察探究： （1）作出函数的图象． ①列表： 0 1 其中，表格中的值为__________． ②描点连线画出该函数的图象． （2）观察函数的图象． ①当__________时，函数有最大值，最大值为__________． ②方程的解是__________． 拓展应用： （3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集为__________． 【答案】（1）①1；②见解析；（2）①；；②-4或2；（3） 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，数形结合是解决本题关键． （1）①把代入解析式即可求得；②描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线． （2）根据图象即可求得； （3）观察图象即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ． 函数图象如图所示． 故答案为：1； （2）解：观察函数的图象， ①当时，函数有最大值，最大值为2； ②方程的解是或2． 故答案为：，2；或2； （3）解：画出直线如图， 观察图象，不等式的的取值范围是； 故答案为：． 35．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且． (1)求A、B两点坐标； (2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)11 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，轴对称的性质及勾股定理，用平移的思想解决问题是就本题的关键． （1）根据坐标轴上点的特点即可得出结论； （2）将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：在一次函数中，令时，， ， 令时，， ， ； （2）解：如图，将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小， 由作图可得 点O关于直线的对称点， ， ， 四边形的周长最小值 36．（25-26八年级上·江苏南京·月考）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 ________ ________ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】 （2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形． 其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】 （4）在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（）填表，画函数图像见解析；（）；（）的取值范围为；（）的取值范围为或． 【分析】本题考查了求一次函数的函数值和自变量的值，画一次函数图像，一次函数的性质，一次函数与几何图形综合等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （）当时，，当时，，然后填表，再根据画函数图像步骤画出图像即可； （）根据函数图像即可求解； （）当时，有最小值：，当时，有最大值，从而求出的取值范围； （）先求出解析式为，解析式为，解析式为，解析式为，然后找出临界点即可求出的取值范围． 【详解】解：（）当时，，当时，， ∴如表， 描点，连线，如图， （）根据图像可得当时，的值随的值增大而减小，原说法正确； 当时，，解得或，原说法错误； 该函数存在最大值，最大值为，原说法错误； 该函数图像是轴对称图形，原说法正确； 故选：； （）∵， ∴当时，有最小值：，当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为； （）设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 同理解析式为， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 由函数时，，即解析式为， 时，，即解析式为， 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：； 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：， ∴综上可得：的取值范围为或． 【经典例题七 一次函数的应用（利润、分配、行程）问题】 37．（2025·山东东营·模拟预测）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； (2)方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得， 答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； （2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人， 由题意得， 解得：， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，，； ∴线路的年均载客总量为与的关系式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次） ∴（辆） ∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次， 38．（24-25八年级下·四川成都·期中）【背景材料】 为推进“公园城市”建设，助力实现“碳中和”目标，我市计划通过植树造林来中和碳排放．经测算，每棵成年银杏树（我市常见裸子植物）每年可吸收200千克二氧化碳，每棵成年松树每年可吸收150千克二氧化碳．我市某绿化项目计划采购成年银杏树和成年松树共120棵，设采购成年银杏树a棵，这120棵树一年吸收的二氧化碳总量为W千克． 【问题解决】 (1)写出W与a的函数关系式； (2)因成年银杏树种植成本较高，项目预算要求：①成年银杏树不超过50棵；②成年银杏树的棵数不少于成年松树棵数的三分之一．请设计采购方案，使一年内二氧化碳吸收总量W最大，并求出最大值． 【答案】(1) (2)采购成年银杏树50棵、成年松树70棵可使一年内二氧化碳吸收总量W最大，最大值为20500 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，写出函数关系式、掌握一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）根据120棵树一年吸收的二氧化碳总量棵成年银杏树一年吸收的二氧化碳量棵成年松树一年吸收的二氧化碳量计算即可； （2）根据题意列关于a的一元一次不等式组并求其解集，根据一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W值最大，求出其最大值及此时的值即可． 【详解】（1）解：， ∴W与a的函数关系式为． （2）解：根据题意，得， 解得， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∵， ∴当时W值最大，， （棵）． 答：采购成年银杏树50棵、成年松树70棵可使一年内二氧化碳吸收总量W最大，最大值为20500． 39．（2025·湖北襄阳·二模）车厘子是一种水果，营养丰富．几J是车厘子大小的判断标准（J数越多，车厘子越大）．某水果经销商从车厘子种植大户李大爷处购进1J，3J两种型号的车厘子进行销售．李大爷为了答谢经销商，对3J型号的车厘子的出售价格根据购买量给予优惠，对1J型号的车厘子按30元/kg的价格出售．设经销商购进3J型号的车厘子x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)若该经销商计划一次性购进1J，3J两种型号的车厘子共100千克，且3J型号的车厘子购进量不低于50千克又不高于70千克，设付款总金额为w元．请求出付款总金额w（元）的最小值及1J、3J两种型号的车厘子的购进量； (3)随着生活水平的日益提高，人们购买能力不断增强．在（2）的条件下该水果经销商再次进货，在（2）的结论下加大了3J型号的车厘子的进货量，少进了1J型号的车厘子n千克，该水果经销商总进货款不高于3290元，求n的最小值． 【答案】(1)； (2)当1J、3J两种型号的车厘子的购进量分别为50千克时，付款总金额w（元）的最小值为3250元； (3)15 【分析】（1）根据待定系数直接求函数解析式即可； （2）由经销商购进3J型号的车厘子x千克，可得经销商购进1J型号的车厘子千克，再根据“3J型号的车厘子购进量不低于50千克又不高于70千克，设付款总金额为w元”分别得到w关于x在当时，当时的关系式，根据一次函数的增减性求解即可； （3）根据“总进货款不高于3290元”求出x的范围，再进行分析即可． 【详解】（1）当时，设y与x之间的函数关系式为， 把代入解析式得， 解得， ； 当时，设y与x之间的函数关系式为， 把代入解析式得， 解得， ； 综上，y与x之间的函数关系式为； （2）经销商购进3J型号的车厘子x千克， 经销商购进1J型号的车厘子千克， 3J型号的车厘子购进量不低于50千克又不高于70千克， ， 当时，， w随x的增大而增大， 当时，w最小为； 当时，， w随x的增大而减小， 当时，w最小为； 3250<3280， ， 所以，当1J、3J两种型号的车厘子的购进量分别为50千克时，付款总金额w（元）的最小值为3250元； （3）由题意得， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ， 在（2）的基础上增加了n，应在范围内， 最小值取65， 的最小值为15． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质及不等式的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 40．（2025九年级·浙江·学业考试），两地相距200千米，早上8：00货车从地出发将一批防疫物资运往地，出发1.6小时后，货车出现了故障，货车离开地的路程（）与时间（）的函数关系如图所示、 （1）求货车刚出发时候的速度． （2）若货车司机经过48分钟维修排除了故障，继续运送物资赶往地． ①应防疫需要，现要求该批次物资运到地的时间不迟于当天中午12：00，那么货车的速度至少应该提速到多少？ ②在货车从地出发半小时后，地派出了30名医务人员乘坐大巴车前往地进行医疗支援，若货车在排除故障后以①中所求速度的最小值匀速赶往地，大巴车的速度为．求大巴车在行进途中与货车相遇时，离地还有多少千米？ 【答案】（1）；（2）①；②120km或75km 【分析】（1）根据图中的信息可知货车出发1.6小时行驶80km，即可求解； （2）①先求出货车司机排除了故障的时间，根据路程÷速度＝时间即可求出货车的速度至少应该提速到多少；②求出货车司机排除了故障后的函数关系式和大巴车函数关系式，联立方程组即可． 【详解】解：（1）货车刚出发时候的速度为：（km/h）． （2）①设货车的速度至少应该提速到 km/h，则 ， 解得： ∴货车的速度至少应该提速到km/h． ②大巴车行驶的路程与货车出发时间之间的函数关系为：． 货车修车时与大巴车相遇，即y=80时，，解得， 此时，离B地还有：200﹣80＝120（km）， 根据题意可求得货车维修后继续行驶阶段， 货车的路程与货车出发时间之间的函数关系为： ，即． 联立方程可得：解之得：． ∴大巴车在行进途中与货车相遇时，离B地还有：200﹣125＝75（km）， 答：大巴车在行进途中与货车相遇时，离B地还有120km或75km． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据图象找出所求问题需要的条件． 41．（24-25八年级下·江苏南通·月考）某水果经销店每天从农场购进甲、乙两种时令水果进行销售，两种水果的进价和售价如下： 品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 甲 a 5 乙 b 7 乙种水果的购进价格比甲种水果高2.5元/斤，如果水果经销店花费700元购进甲种水果，花费2400元购进乙种水果，则购进乙种水果的数量是甲种水果的2倍． (1)求a的值； (2)水果经销店每天购进两种水果共300斤，并在当天都销售完，其中销售甲种水果不少于80斤且不超过120斤，设每天销售甲种水果x斤，当天销售这两种水果总获利W元（销售过程中损耗不计）． ①求出W与x的函数关系式，并确定当天销售这两种水果的最大利润； ②周末水果经销店让利销售，将甲种水果售价降低m元/斤，为了保证当天销售这两种水果总获利的最小值不低于320元，求m的最大值． 【答案】(1) (2)①，最大利润为360元；② 【分析】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式． （1）根据“花费700元购进甲种水果，花费2400元购进乙种水果，购进乙种水果的数量是甲种水果的2倍”，列分式方程求解即可； （2）①根据题意可得W与x的函数关系式，再根据一次函数的增减性解答即可； ②根据题意求出W与x的函数关系式，再根据一次函数的性质讨论可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴； （2）解：①由题意得：， ∵， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值为360，即最大利润为360元； ②由题意得，， ∵当时，，不合题意， ∴， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，由题意得，， 解得， ∴m的最大值为． 42．（25-26八年级下·河北衡水·月考）【综合与实践】开展电动新能源汽车的电量探究活动． 【实验操作】为了解某品牌新能源汽车电池需要多久能充满，以及电量充满状态下新能源汽车的最大行驶里程，综合实践小组设计了以下两组实验． 实验一：探究电池充电状态下汽车仪表盘显示增加的电量与时间t（分钟）的关系，相关数据如下表所示． 充电过程 时间t（分钟） 0 5 10 22 增加的电量 0 5 10 a 实验二：探究满电状态下汽车的行驶过程，设仪表盘显示电量为，行驶里程为s（千米）．发现：满电时，汽车每行驶1千米消耗的电量． 【建立模型】 (1)a的值为______，e可以看成______（选填“t”“y”或“s”）的函数； (2)根据以上数据写函数关系式：______；______；（不写自变量的取值范围） 【解决问题】 (3)该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离600千米处的目的地． ①该电动汽车行驶280千米后到达某服务区，求此时仪表盘显示的电量； ②若电量低于时，仪表盘亮起黄灯．在①的条件下，若电动汽车在服务区一次性充电n分钟后继续行驶前往目的地，若保证仪表盘不亮起黄灯，求n的最小值． 【答案】(1)22，s (2)t， (3)①，②40 【分析】（1）实验一数据显示时间与电量呈线性正比，每分钟充电，当分钟时，，故；实验二中，满电，每千米耗电，电量e随行驶里程s减少，因此e是s的函数； （2）y与t成正比，比例系数为1，得；e初始值，行驶s千米消耗，故； （3）①直接代入，，计算得到e的值； ②先计算剩余路程，设从服务区出发后行驶了x千米，此时电量为E，根据题意列出电量与时间和行驶路程的关系式，由保证仪表盘不亮起黄灯得出，从而列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由实验一数据，时间t每增加5分钟电量y增加， ∴每分钟增加， ∴当时，，则， e随行驶里程s变化，e是s的函数． （2）解：由实验一数据可知，y与t成正比， ∴， e初始值为，行驶s千米消耗， ∴． （3）解：①当时，， ∴此时仪表盘显示的电量为； ②剩余路程为（千米）， 设从服务区出发后行驶了x千米，此时电量为E， 根据题意得：， 若保证仪表盘不亮起黄灯，则， 即， 整理得：， 当x取最大值320时，n取最小值， ∴， 解得， ∴n的最小值为40． 【经典例题八 一次函数规律探究问题】 43．（24-25八年级上·安徽六安·月考）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，设第（是正整数）个图案中有个阴影小正方形，根据图形规律解决下列问题：    第1个图形      第2个图形              第3个图形 (1)直接写出与之间的函数表达式； (2)当图案中有2021个阴影小正方形时，该图案是第多少个图形？ 【答案】(1) (2)505 【分析】（1）根据已有图形，确定阴影小正方形的个数，进而推断出第（是正整数）个图案中阴影小正方形的个数，即可得出结论； （2）利用（1）中结论，令，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图可知：第1个图案中阴影小正方形的个数为：个； 第2个图案中阴影小正方形的个数为：个； 第1个图案中阴影小正方形的个数为：个； 第n个图案中阴影小正方形的个数为：个； ∴； （2）当时，， 解得：． 【点睛】本题考查图形规律探究．从已有图案中抽象概括得到，是解题的关键． 44．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 45．（24-25八年级上·江西抚州·月考）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 【答案】(1)①A(-1，0)，B(0，1)②B(1，2)，(3，0)，y=-x+3 (2)， (3) 【分析】（1）①由一次函数y=x+1即可求得A、B的坐标； ②先求出A(-1，0)关于y轴的对称点的坐标(1，0)．将x=1代入y=2x+2，求出y=4，得到．再求出点A关于直线的对称点的坐标(3，0)．设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，把的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （2）先求出点A关于的对称点的坐标(7，0)．由的坐标规律可得点的横坐标为．再求出的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （3）由，可得，再利用三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）①∵一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B， ∴， 故答案为：(-1，0)，(0，1)； ②∵A(-1，0)，B(0，1)， ∴点A关于y轴的对称点是(1，0)． 当x=1时，y=2， ∴B(1，2)． 点A关于直线的对称点是(3，0)． 设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)， ∴，解得， ∴直线的函数关系式是y=-x+3； （2）∵A(﹣1，0)，(3，0)． 由题意过点作x轴的垂线，点是点A关于的对称点得， ∴(7，0)． 由(1，0)，(3，0)，(7，0)， 可得点的坐标为(，0)， 直线的函数关系式为． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，解决本题的关键是一次函数的图像和性质． 46．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据求解即可； （2）根据，分别求出k1，k2的值，再代入计算即可 【详解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)， ∴k=， 故答案为：； （2）解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)， ∴k1=， ∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,-1)， ∴k1=， ∴k1k2=-2×=-1． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，本题属阅读材料题，理解题目中介绍的解题方法并能灵活运用是解题的关键． 47．（24-25八年级下·广东湛江·期末）综合应用 如图1，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点，交于y轴上一点A． (1)特征探究；求直线的表达式； (2)坐标探究：过的中点D，作交于点E，求E点坐标； (3)规律探究：将将向左平移m个单位长度得到图2，与y轴交于点P（点P不与A点和C点重合），在的延长线上取一点Q，使，连接交x轴于M点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况? 【答案】(1) (2) (3)线段的长度不变，且，理由见解析 【分析】本题考查求一次函数表达式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、坐标与图形等知识，理解题意，正确求得函数表达式，以及利用全等三角形的性质探究线段关系是解答的关键． （1）先直线的表达式求得点A坐标，再利用待定系数法求解直线的表达式即可； （2）先求得点D坐标，进而求得直线的表达式，再和直线的表达式联立方程组求解即可； （3）如图1，先推导出，则，再证明得到，在图2中，过Q作轴于H，证明得到，，再证明得到，进而可求解． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， ∴当时，，则， 设直线的表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：∵点D为的中点，， ∴， ∵， ∴直线的表达式为， 联立方程组，解得， ∴点E坐标为； （3）解：线段的长度不变，且． 理由：如图1，∵直线与x轴交于点B， ∴当时，由得，则， ∴，则， 又，， ∴， ∴，即， 在图2中，过Q作轴于H， 则，又，， ∴， ∴，， ∴； 在和中， ， ∴ ∴ ∴． 48．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【综合与实践】 深圳某条东西方向的道路共有五车道，早晚高峰期间经常拥堵，数学兴趣小组的同学就此问题开展研究性学习活动． 【信息一】通过实地考察，兴趣小组的同学对该路段的交通量辆分钟和时间进行数据的收集统计和分析，整理得到下列表格，发现时间和交通量的变化规律符合一次函数特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 时间 时 时 时 时 时 自西向东交通量辆分钟 自东向西交通量辆分钟 【信息二】兴趣小组的同学希望根据两个不同方向的拥堵情况来合理设置中间“可变车道”的方向通过查阅资料发现：若单位时间内双向交通总量设为，当车流量较大的方向的交通量时，道路非常拥堵，需要通过把“可变车道”的行车方向与交通量较大的方向变为相同，去改善交通状况． 【解决问题】 (1)已知与之间的函数关系式为，表格中______； (2)求与之间的函数系式不写自变量的取值范围； (3)请你通过计算判断该路段从时至时在比较拥堵时如何设置“可变车道”的方向以缓解交通拥堵？即在什么时间段把“可变车道”设为哪个方向的车道 【答案】(1) (2) (3)时，“可变车道”的方向为自西向东；时，“可变车道”的方向为自东向西 【分析】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用．用待定系数法求得的函数解析式是解决本题的关键；难点是根据得到相应的的取值范围． 把代入所给的函数解析式，求得的值即可； 设出一次函数解析式，把表格中的任意两对数值代入可得和的值，即可求得相应的一次函数解析式； 表示出，分别求得和时对应的的取值范围，结合题意可得相应的的取值范围及“可变车道”的方向． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：设， 经过点，， ， 解得：， ； （3）解：， ， ， 解得：， ， ， 解得：． 答：时，“可变车道”的方向为自西向东；，“可变车道”的方向为自东向西． 【经典例题九 一次函数几何综合应用】 49．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的表达式； (2)直线与y轴交于点M，求的面积． (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）将代入可得，则，再用待定系数法即可得直线的表达式； （2）在中，令可得，即得有，故的面积； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴， 设直线的表达式为，将、代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：在中，令得， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：观察图象，当时，， ∴若，x的取值范围是． 50．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，且直线与直线交于点． (1)求和的值． (2)求点的坐标． (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）联立函数解析式得到方程组，解方程组即可求解； （）根据三角形的面积公式计算即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点坐标，一次函数的几何应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入直线，得， ∴， 把点代入直线，得， ∴； （2）由（）得，直线，直线， 由，解得， ∴； （3）解：∵点，点， ∴， ∴． 51．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，直线分别与x，y轴相交于点A、B，点P，Q分别在直线和线段上，，，设点P的坐标为． (1)求k，b的值； (2)设的面积为S，求S关于m的函数关系式； (3)如果的面积等于10，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据题意求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）可得直线的关系式，进而得到，再根据列式求解即可； （3）根据（2）所求，求出时m的值，进而求出对应的n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵点A，B在直线上， ∴ 解得； （2）解：由（1）得直线的关系式为， ∵点在直线上， ∴， ∴ = =， 当时， ， 当时，=， ∴； （3）解：当时， 或 ， 解得或， 当时，； 当时， ． ∴点P的坐标为或． 52．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）如图1，已知直线交x轴于点A、交y轴于点B，且． (1)请直接写出直线的解析式：__________________． (2)如图2，直线与x轴、y轴分别交于点C、D，与直线交于点P． ①若点E在线段上且满足，求点E的坐标； ②若点M是位于点B上方的y轴上一点，点Q在直线上，点N为第一象限内直线上一动点，是否存在点N，使得以点B、M、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）求出点B的坐标，进而求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①根据题意可得，则可得到直线的解析式，联立，解之即可得到答案；②可证明不能为对角线，分为对角线两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点A在x轴的坐标轴上， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：①∵点E在线段上， ∴点O和点E在直线的同侧， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴点E的坐标为； ②∵点M在点B的上方，且点N在第一象限， ∴与一定没有交点， ∴不能为对角线； 设点， 当是以点B、M、N、Q为顶点的菱形的对角线时，则与互相垂直平分， ∴点Q与点N关于y轴对称， ∴， 解得， ∴， ∴此时点N的坐标为； 当是以点B、M、N、Q为顶点的菱形的对角线时，，且， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴ ∴此时点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 53．（2025九年级·辽宁沈阳·专题练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在直线上运动，过点P分别向x轴、y轴作垂线，交两轴分别于C、D两点，得到矩形．设点P的横坐标为m． (1)用含m的代数式表示点P的坐标； (2)当点P在射线上运动时，设矩形的周长为l，求l与m之间的函数表达式； (3)当时，求m的值； (4)当直线把矩形分成两部分，若两部分图形的面积比为，直接写出m的值． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) (3) (4)m的值为或4 【分析】（1）把代入解析式即可得出点P的坐标； （2）设出点P的坐标,利用矩形的性质和周长解答即可； （3）把代入（2）中的函数关系式解答即可； （4）分两种情况，根据三角形的面积公式和矩形的面积公式得出方程解答即可． 【详解】（1）解：∵点P在直线上运动， ∴设点P的横坐标为m， 把代入直线中，可得：， 所以点P的坐标为； （2）解：设点P的坐标为， 可得：，， 所以设矩形的周长为， 即l与m之间的函数表达式为：； （3）解：把代入， 得， 解得； （4）解：令，则， 即， 当的面积梯形的面积，可得：， 解得：， 当的面积梯形的面积，可得：， 解得：． 54．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D．过B作于点E，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 已知：直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角、： ①直接写出________，________； ②点E的坐标________； (2)如图3，当时，在第二象限构造等腰直角，，求的周长． (3)如图4，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【答案】(1)①3，6；② ； (2)； (3)的面积不变， ． 【分析】（1）①若，则直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，即可求解；②过点E作轴，垂足为F，证明，由全等三角形的性质可得，，即可求解； （2）当时，求出 A，B两点坐标，即可得、，结合勾股定理求出，即可求解； （3）当k的取值变化时，点A随之在x轴负半轴上运动时，过N点作轴，垂足为K，证明，由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：①当时，直线的解析式为， 当时，，即， 当时，则有，解得，即， ∴，． ②过点E作轴，垂足为F， ∵等腰直角、， ∴，， ∵， ∴在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：当时，直线的解析式为， 当时，，即， 当时，则有，解得，即， ∴，． ∴， ∵等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当k的取值变化，的面积是定值， ，理由如下： 过N点作轴，垂足为K， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在 和 中， ∴， ∴， ∴， ∴当k的取值变化时，的面积是定值， ． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、坐标与图形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $