锐角三角函数的实际应用2026年中考数学重难点题型

2026年中考数学重难点题型锐角三角函数的实际应用 1．（2026·湖北襄阳·一模）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度在同一平面内．（参考数据：） (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）． 2．（25-26九年级下·河北唐山·自主招生）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是，向前走到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是和． (1)______°； (2)求电线杆的高度（结果可保留根号）． 3．（2026·安徽蚌埠·二模）某同学测量某小河对岸两点之间的距离，如图，已知该河段两岸与平行，测得米，在处测得点在点东偏北方向上，点在点西偏北方向上．已知点在点的西北方向．求之间的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 4．（2026·安徽池州·一模）如图，数学活动小组同学用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升到距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为，求教学楼的高度约为多少米．（结果精确到，参考数据：，，） 5．（2026·辽宁沈阳·一模）小亮和小颖两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点A，B处，选取河对岸的一块石头C作为测量点（点A，B，C在同一水平面内），小亮同学在点A处测得为，小颖同学在点B处测得为，两人之间的距离AB为90米，求此河流的宽度．（参考数据：，，，，，．） 6．（2026·江苏徐州·一模）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度，在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点D处安装测角仪，测得信号杆顶端A的仰角为，与坡面的夹角β为，又测得点D与信号杆底端B之间的距离为．已知点A，B，C在同一条直线上，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 7．（2026·海南·一模）如图①是高铁座椅靠背及后方小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图②，支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，如图③，杯托E处凹陷深度为．若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E）． 求 (1)________度； (2)乘客水杯的最大高度．（结果精确到，参考数据：，，） 8．（25-26九年级下·重庆·期中）缙云山下、嘉陵江畔，风光秀美，人文雅致．小喜、小福的家与学校、公园均坐落于此．已知小福家位于学校的北偏东方向，同时在小喜家的北偏东方向；小喜家位于学校的北偏西方向4公里处；公园位于学校的正东方向．（参考数据；，，） (1)求小福家与小喜家的距离，（结果精确到） (2)小喜和小福约好放学后一同去公园游玩，两人同时出发．小喜从学校直接前往公园．小福先从学校回家放下书包（停留时间不计），再从家里前往公园，最终两人同时到达．已知小喜与小福的速度之比为，求小福家到公园的距离．（结果精确到） 9．（2026年天津市东丽区九年级一模数学试题）某校组织学生到京杭大运河天津段流域开展研学活动．数学兴趣小组想测量两岸平行的大运河某处的宽度，设计了一个方案，如图，在该河段对岸岸边取一点A为参照点，于所在的河岸边任取两点B，C（点A，B，C在同一平面内），测得，，，求这段大运河的宽度（结果取整数）． 参考数据：，． 10．（25-26安徽淮北市）如图1，淮北市濉溪县铁佛镇曹楼村曹楼庄，矗立着一棵千年古银杏树，距今已有1800余年，是皖北地区树龄最久，树体最壮观的古树之一，也是当地的文旅地标．小明绘制了这棵古银杏树的侧面示意图（图2），经实地测量，古树主干高约2米，一树枝的长约5米，且与主树干所在直线的夹角约为． (1)求枝条末梢点到地面的距离； (2)图2中，一束与地面的夹角约的光线照射古树形成树荫，树枝末梢点在地面上的影子记为点，求点到主树干的距离．（参考数据，，，，，） 11．（2026·湖南长沙·一模）我国生产的无人机畅销世界，在长沙某跨江大桥修建过程中，需要测量湘江某段河面宽度，工作人员操控无人机在P处测得M，N两处的俯角分别为，，测得无人机高于水平地面的高度为300米，且Q，M，N三点在同一条水平直线上，求这条河的宽度为多少米？（参考数据：，结果保留整数） 12．（2026年天津市部分区）京杭大运河是世界上里程最长、工程最大的古代运河，是最古老的运河之一（如图①）．为弘扬运河文化，某校组织学生到京杭大运河天津段流域开展研学活动．数学兴趣小组想测量两岸平行的大运河某处的宽度，设计了一个方案，如图②，在该河段对岸岸边取一点为参照点，于所在的河岸边任取两点，（点，，在同一平面内），测得，，，求这段大运河的宽度（结果取整数）．参考数据：，． 13．（2026·山东临沂·一模）某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大街最北端的“北水门”高度进行了实地测量．操作过程如下： 如图，测试小组利用测角仪从点D处观测大门顶端A点的仰角为．在测角仪和大门之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到大门顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上．求北水门的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据正弦的定义求出； （2）过点作，根据矩形的性质求出，求出，再根据正弦的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作 ， 在中，，， 则． 答：小明一家步行上升的垂直高度约为． （2）解：如图，过点作， 根据题意，可知四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则． 答：缆车的行驶路线的长约为． 2．(1)120 (2) 【分析】（1）地面与垂直，可通过角度关系推导的度数． （2）设，因为，，，所以可利用三角函数分别表示出相关线段的长度；然后根据，结合线段间的等量关系建立方程，进而求解的高度． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点， 由题意得． ∵在点测得的仰角是，的仰角是， ∴，， ∴． 在中，， ∴． ∴ ． （2）解：设， 在中，． 在中，， ∵， 又∵， ∴ ， 解得． 在中，。 ∴电线杆高度： ， 代入得： ． 3．之间的距离为52.0米 【分析】过点作于点，过点作于点， 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 四边形是矩形， ． 点在点的西北方向， ，又， （米）， 米，（米）． ， , 在Rt中，， （米）， （米）， 答：之间的距离为52.0米． 4． 【分析】延长，交的延长线于点，由题意易得，，，，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， 由题意知，，，，． ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 在中，， ∴． 答：教学楼的高度约为． 5．此河流的宽度为54米 【分析】过点作于点，解表示出，再解求出，即可求解． 【详解】解：过点作于点， 设，则由题意得， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得：， ∴（米）， 答：此河流的宽度为54米． 6． 【分析】过点作于点，交于点，利用锐角三角函数进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵均与水平线垂直， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 7．(1) (2) 【分析】本题考查平行线的性质、垂线的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过点B作，根据平行线的性质得到，利用垂线的性质求出的度数，从而求出的度数； （2）过点E作，交于点F，根据题意求出的度数，进而求出的度数，在中，利用求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作， ， 垂直于地面， ， ， ， ； （2）解：如图，过点E作，交于点F， ， 靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知，， ， ， 在中，， ， 乘客水杯的最大高度约为：． 8．(1)公里； (2)公里 【分析】（1）过点A作，根据题意得出，，，再由正切函数结合图形求解即可； （2）由（1）得：，过点B作，确定，设，设小喜与小福的速度分别为，利用时间相等及勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：过点A作，如图所示： 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∴， 过点B作，如图所示： ∴， ∴， ∴， 设， ∵小喜与小福的速度之比为， ∴设小喜与小福的速度分别为， ∴，整理得：①； ∵， ∴②， 将①代入②整理得：， 解得：（负值舍去）， ∴小福家到公园的距离为公里． 9． 【分析】过点A作于D，由正切的定义表示出和，再根据为等量关系列出等式即可求出． 【详解】解：如图，过点A作于D， 根据题意得：，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 答：所测量的这段大运河的宽度约为． 10．(1)枝条末梢点到地面的距离为6.16米 (2)点到主树干的距离为0.795米 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形得出米，再证明四边形是矩形，得出米，即可得解； （2）解直角三角形得出米，米，由（1）知四边形是矩形，则米，由此即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，（米）， ， 四边形是矩形， （米）， （米） 答：枝条末梢点到地面的距离为米； （2）解：在中，， （米）， 在中，， （米）， 由（1）知四边形是矩形， （米）， （米）， 答：点到主树干的距离为米． 11．219米 【分析】在和中，利用锐角三角函数，求出和的长，然后计算出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）． 答：这条河的宽度约为219米． 12．所测量的这段大运河的宽度约为37m． 【分析】如图，过点作，垂足为，由得到，从而得解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为． 根据题意得：，，， 在Rt中，， ． 在Rt中，， ． ， ． ． 答：所测量的这段大运河的宽度约为37m． 13．13米 【分析】根据光的反射定律，可得，结合相等的角的正切值相等，得到；过点D作于点F，构造矩形，得，在中利用角的正切值列方程求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F． 根据题意可知， 在中，， ∴， 由题意可知四边形是矩形， 米， 设米，米，则米，米， 在中，，即， 解并检验得，所以北水门的高度约13米． 【点睛】本题关键是将实际测量问题转化为解直角三角形的数学模型，利用光的反射定律得到角相等是解决问题的关键；构造矩形和含仰角的直角三角形，建立水平距离与高度的等量关系，是解题的桥梁；此问题需注意结合参考数据进行近似计算，最终结果按题目要求取近似值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $