二次函数与几何图形综合题（与线段周长问题）归纳练2026年中考数学二轮复习备考

**基本信息** 聚焦二次函数与几何图形综合，以“基础求解—性质证明—综合应用”分层设计，强化知识迁移与逻辑推理，适配中考二轮专题突破。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数解析式、坐标求解|以待定系数法为主，如第1(1)、3(1)题，夯实概念理解| |能力提升|几何性质证明、线段关系|结合几何直观，如第2(1)证线段相等、第7(2)证直角三角形，培养推理意识| |综合拓展|最值问题、存在性探究|融合模型思想，如第4(3)周长最小、第10(3)定值证明，发展创新意识|

二次函数与几何图形综合题（与线段周长问题）归纳练2026年中考数学二轮复习备考 1．（2024广东广州·月考）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 2．（2023·云南·模拟预测）二次函数图像交轴于两点，点为点A右侧图像上一动点，过点作轴于点．点为该函数轴上方图像上一动点（不与点重合），直线交轴于点，连接、．如图，当，轴； (1)若，判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，在点、运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 3．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 4．（2024九年级上·浙江绍兴·月考）如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长； (4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 5．（2025·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式和顶点的坐标； （2）找出图中与相等的一个角，并证明； （3）若点是第二象限内抛物线上的一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标． 6．（2024九年级上·山东济宁·期末）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P在直线下方的抛物线上，连接交于点，过点作轴的垂线，垂线交于点，垂线，求证；当最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)在(2)的条件下，在上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，已知抛物线与x轴相交于、两点，并与直线交于、两点，其中点是直线与轴的交点，连接．    (1)求、两点坐标以及抛物线的解析式； (2)证明：为直角三角形； (3)求抛物线的顶点的坐标，并求出四边形的面积； (4)在抛物线的对称轴上有一点，当周长的最小时，直接写出点的坐标． 8．（2023·福建莆田·模拟预测）如图，已知抛物线是常数的顶点为，直线：．    (1)求证：点在直线上； (2)若，直线与抛物线的另一个交点为，与轴交点为，恰好是线段的中点，求的值； (3)如图，当时，抛物线交轴于A、两点，、在抛物线上，满足，判断是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由． 9．（2024·湖南娄底·二模）已知抛物线过点，两点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)过点作，垂足为，求证：四边形为正方形； (3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 10．（2024九年级·全国·三轮复习）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求点A，C的坐标； (2)若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求直线PA与y轴交点的坐标； (3)点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN为定值，并求出这个定值． 11．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图1，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C． （1）求抛物线M2的解析式； （2）点P是抛物线M1上AB间的一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ．设点P的横坐标为m，当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值； （3）如图2，将直线OB向下平移，交抛物线M1于点E，F，交抛物线M2于点G，H，则的值是否为定值，证明你的结论． 12．（2025·四川广元·二模）如图，抛物线的顶点E的横坐标为1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过点B，与y轴交于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)证明：； (3)是否存在点，使点到A，B，C，D的距离都相等，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． (4)设抛物线与直线另一交点为Q，F为线段上一点（不含端点），连接，一动点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒个单位的速度运动到Q后停止，当点F的坐标是多少时，点P在整个运动过程中用时最少？（直接写出答案） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O， ∴设二次函数的解析式为， 将点A代入得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设P ， ∵F， ∴， ∵，且点M在直线上， ∴， ∴； （3）解：当是等边三角形时，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴满足条件的点P的坐标为或． 2．（1）解：，理由如下： 当，时，则二次函数解析式为，， 当时， 解得：或， ∵， ∴，， ∴， ∵轴于点， ∴， ∴， 过点D作轴于F，如图， ∴，， 令，则，解得：，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：，为定值，理由如下： ，为定值，理由如下： 由（1）得，，， ∴，，， ∵轴， ∴C、D关于对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴． 3．（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，                                   抛物线的函数表达式为； （2）证明：，当时，， ， ∴设直线的解析式为， 把点代入，得：， ∴直线的函数表达式为， 抛物线对称轴交直线于点，对称轴为直线， 当时，， ， 如图，设点， ， 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得，则， 直线的函数表达式为， 当时，， ， ． 同理可得，直线的函数表达式为，                      当时，， ， ， ． 为定值． 4．(1)抛物线的解析式为：； (2)是直角三角形 (3)，的最小周长为： (4)存在， 【分析】（1）根据点在抛物线上，解出，得到抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出点的坐标； （2）根据（1）得抛物线的解析式，求出点的坐标，根据勾股定理的逆定理即可； （3）当点在与对称轴的交点上，根据点，点是对称点，连接，则且，，三点在一条直线上，距离最短，设的解析式为：，求出的解析式，则得到点的坐标，即可； （4）以为底，则，当点到的距离最远时，的面积最大如图所示，作直线,当直线与抛物线仅有一个交点时，最大，交点即为点． 【详解】（1）∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； ∵顶点坐标公式为：， ∴点． ∴抛物线的解析式为：；． （2）∵抛物线与轴交于点， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点， ∴， ∴，， ∴点， ∴，，， ∵；；， ∴， ∴是直角三角形． （3）∵点，点是对称点，点在与对称轴的交点上， ∴ 此时，，三点在一条直线上，距离最短， ； 设的解析式为：， ∴， 解得：， ∴ 当时，， ∴点； ∴点的坐标为，的最小周长为：． （4）存在，理由如下： ∵以为底， ∴， 当点到的距离最远时，的面积最大，作直线，且与仅有一个交点， 设直线的解析式为， ∵， ∴，即， ∵直线与仅有一个交点， ∴仅有一个实数根， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 由，解得， ∴点． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，勾股定理的逆定理，线段的距离． 5．（1），顶点坐标；（2）图中与相等的一个角是，证明见解析；（3）点的坐标是． 【分析】（1）利用待定系数法把和代入中，得，解方程组，得到抛物线配方为顶点式即可； （2）图中与相等的一个角是，求出抛物线与x轴的交点A，可得，.利用勾股定理求，，，利用勾股定理逆定理可证是直角三角形,，可得，可证即可； （3）设点的坐标为，过作轴，垂足为，交于，求点坐标为，可求PE=，利用面积公式=.利用抛物线性质可求点的坐标是． 【详解】解：（1）把和代入中， 得， 解得， 抛物线的解析式是：， 顶点坐标； （2）图中与相等的一个角是， 令，则，，， . ， ， 在中，， ，，， ，； ， ∴是直角三角形,， ， 又和都是锐角， ， ， 即； （3）设点的坐标为， ∵一定，当点到直线的距离最大时，的面积最大， 过作轴，垂足为，交于.易求直线的表达式为， 所以点坐标为， ∴PE=， ， ∵，抛物线开口向下，对称轴， 当时，最大，点到直线的距离最大， ∴， 点的坐标是． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，配方为抛物线顶点式，等腰直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积的最值，掌握待定系数法求抛物线解析式，配方为抛物线顶点式，等腰直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积的最值是解题关键． 6．(1) (2)证明见解析；，的最大值为 (3)或或或 【分析】（1）将、、代入即可求解析式； （2）由，可得 ，，则求的最大值即可； （3），点在上，则,,，勾股定理求得，分三种情况讨论，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将点、、代入， 得， 解得， ； （2）如图， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 当时，有最大值， ； （3）， 点在上，则, ∵,， ∴,， 当为斜边时，， 解得：或， 或； 当为斜边时，， 解得：； ， 当为斜边时， ， 解得：； ， 综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键． 7．(1)，， (2)证明见解析 (3)， (4) 【分析】（1）先由直线与x轴、y轴分别交于点B、点C求得B，C的坐标，再将其代入列方程组求出a、c的值，即可求解； （2）先求得A的坐标，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形； （3）连接，根据进行求解即可； （4）因为的长为定值，所以当的值最小时，则的周长最小，当点P与点E重合时，的值最小，求出点E的坐标即可． 【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，， ∴，， ∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）证明：在中，当时，则， 解得，， ∴． ∵，， ∴，，， ∴，即． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标是； 如图1，连接，    ∴， ∴四边形的面积是． （4）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为． 如图，设抛物线的对称轴：与直线交于点E，    点P是直线上的点，连接． ∵垂直平分， ∴，， ∴． ∵为定值， ∴当的值最小时，的周长最小． ∵， ∴当点P与点E重合时，， ∴此时最小． ∵直线， 当时，， ∴， ∴当的周长最小时，点P的坐标为． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 8．(1)证明见解析 (2) (3)经过定点，直线经过定点 【分析】（1）求出，判断点在直线上即可； （2）联立，则，由韦达定理可得，可知点横坐标为，再由中点坐标公式可得，即可求； （3）设直线的解析式为，联立，得到，由韦达定理可得，，过点作轴交于点，过点作轴交于点，可证明，则，即，可求与的关系为：，则直线的解析式为，当时，，由此可知直线经过定点． 【详解】（1）解：， ， 将代入，得， 点在直线上； （2）对于直线， 当时，， ， 联立， ， ， 点横坐标为， 恰好是线段的中点， ， ； （3）存在，理由如下： 当时，， 令，则， ， 设，， 设直线的解析式为， 联立， ， ，， 过点作轴交于点，过点作轴交于点，则，    ， ，， ， ∴， ， ，，，， ，即， ∴，. 即， 把，代入得， ， ∴ ， 当时，， 直线经过定点． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与一次函数的图象及性质、相似三角形的判定和性质、求函数交点坐标、一元二次方程根与系数关系等知识，灵活应用一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 9．(1)， (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据抛物线经过，，，代入抛物线的交点式，求出抛物线的解析式，进而求出抛物线的顶点坐标； （2）由矩形和菱形及正方形的性质与判定得出四边形为正方形； （3）过点作与轴夹角为的直线，交轴于点，过点作，垂足为，交于点，则，的最小值，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线过点，两点， ∴设抛物线解析式为， ∵， ∴， ∵这个抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：． ∵， ∴这个抛物线的顶点； （2）连接，， 由（1）得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形； （3）存在，理由： 如图，点作与轴夹角为的直线，交轴于点，过点作，垂足为，交于点，则，的最小值， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴ ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，涉及到二次函数的性质，矩形，菱形和正方形的判定，其中（3）点作与轴夹角为30°的直线，交轴于点，过点作，垂足为，交于点，则，是本题的难点． 10．(1)点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，﹣3） (2)直线PA在与y轴交点的坐标为（0，）或（0，） (3)证明见解析，DM+DN＝8 【分析】（1）根据OA＝1，tan∠OAC＝3，，解直角三角形可得，进而即可求得的坐标 （2）根据待定系数求得二次函数解析式，分两种情形讨论，①若点P在x轴下方，延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I，令求得点    的坐标，进而在Rt△AOC中，sin∠ACO，Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG，进而求得的长，在Rt△BHI中，∠BIH＝90°，求得HI，进而求得的坐标，直线AH的表达式，即可求得直线PA在与y轴交点的坐标；②若点P在x轴上方，在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称，同理可得，直线AH'：yx，继而求得直线PA在与y轴交点的坐标； （3）设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1），由点A、Q的坐标得，直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3，同理可得，直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3，进而求得，计算DM+DN＝8，为定值． 【详解】（1）∵OA＝1，tan∠OAC＝3， 则OC＝OAtan∠OAC＝3， 故点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，﹣3）， （2）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3）， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3； ①若点P在x轴下方，如图1， 延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I， ∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴B（﹣3，0）， ∵A（1，0），C（0，﹣3）， ∴OA＝1，OC＝3，AC，AB＝4， ∴Rt△AOC中，sin∠ACO，cos∠ACO， ∵AB＝AH，G为BH中点， ∴AG⊥BH，BG＝GH， ∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG， ∵∠PAB＝2∠ACO， ∴∠BAG＝∠ACO， ∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG， ∴BGAB，   ∴BH＝2BG， ∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°， ∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO， ∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI，cos∠HBI， ∴HIBH，BIBH， ∴xH＝﹣3，yH，即H（，）， 由点A、H的坐标的，直线AH的表达式为：yx， 故直线PA在与y轴交点的坐标为（0，）； ②若点P在x轴上方，如图2， 在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称， ∴H'（，）， 同理可得，直线AH'：yx， 故直线PA在与y轴交点的坐标（0，）； 综上，直线PA在与y轴交点的坐标为（0，）或（0，）； （3）DM+DN为定值， ∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1， ∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1， 设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）， 由点A、Q的坐标得，直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3， 当x＝﹣1时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6， ∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6， 同理可得，直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3， 当x＝﹣1时，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2， ∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2， ∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，轴对称的性质，解直角三角形，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 11．（1）y＝﹣x2+10x﹣18；（2）4，6；（3）定值1，见解析 【分析】（1）先将抛物线M1：y=-x2+4x化为顶点式，由平移规律“上加下减，左加右减”可直接写出抛物线M2的解析式； （2）分别求出点A，点B，点C的坐标，求出m的取值范围，再用含m的代数式表示出△CPQ的面积，可用函数的思想求出其最大值； （3）设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，分别求出点E，F，G，H的横坐标，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，构造相似三角形△GEM与△HFN，可通过相似三角形的性质求出的值为1． 【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴将其先向右平移3个单位，再向上平移3个单位的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+7＝﹣x2+10x﹣18； （2）∵抛物线M1与M2交于点B， ∴﹣x2+4x＝﹣x2+10x﹣18， 解得，x＝3， ∴B（3，3）， 将点B（3，3）代入y＝kx， 得，k＝1， ∴yOB＝x， ∵抛物线M2与直线OB交于点C， ∴x＝﹣x2+10x﹣18， 解得，x1＝3，x2＝6， ∴C（6，6）， ∵点P的横坐标为m， ∴点P（m，﹣m2+4m）， 则Q（m，﹣m2+10m﹣18）， ∴QP＝﹣m2+10m﹣18﹣（﹣m2+4m）＝6m﹣18， ∴S△PQC＝（6m﹣18）（6﹣m） ＝﹣3m2+27m﹣54， ＝﹣3（m﹣）2+， 在y＝﹣m2+4m中，当y＝0时， x1＝0，x2＝4， ∴A（4，0）， ∵B（3，3）， ∴3≤m≤4， ∴在S＝﹣3（m﹣）2+中，根据二次函数的图象及性质可知，当m＝4时，△PCQ有最大值，最大值为6； （3）的值是定值1，理由如下： 设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH， 则yEH＝x﹣k， ∴令x﹣k＝﹣x2+4x， 解得，x1＝，x2＝， ∴xF＝，xE＝， 令x﹣k＝﹣x2+10x﹣18， 解得，x1＝，x2＝， ∴xH＝，xG＝， ∴ME＝xG﹣xE＝﹣＝3， FN＝xH﹣xF＝＝3， 分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，交点分别为M，N，Q， 则∠HFN＝∠GEM，∠HNF＝∠GME＝90°， ∴△GEM∽△HFN， ∴＝＝＝1， ∴的值是定值1． 【点睛】本题考查了二次函数的图象平移规律，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是掌握用函数的思想求极值等． 12．(1) (2)见解析 (3)存在点，使点P到A，B，C，D的距离都相等 (4)F的坐标为时，点P在整个运动过程中用时最少 【分析】（1）先求出B点坐标，把B点坐标代入抛物线解析式再几何顶点横坐标为1计算即可； （2）求出B、C、D、E坐标，即可算出，得到即可； （3）根据四点共圆，半径相等结合距离公式计算即可； （4）转换成求的最小值即可． 【详解】（1）∵抛物线的顶点为E的横坐标为1 ∴ ， 即：， ∴解析式可化为： 又∵直线过点B ∴， ∴代入得： ∴ ∴抛物线解析式为： （2）由（1）知，抛物线解析式为， ∴， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）存在点，使点到A.B.C.D的距离都相等          假设存在点到A.B.C.D的距离都相等，则四点A.B.C.D共圆，点为圆心； ∵ ∴圆心在抛物线的对称轴上，设 又∵，， ∴由两点之间距离公式可得： ∵ 解得：   ∴                                               ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴存在点，使点P到A.B.C.D的距离都相等 （4）F的坐标为                              解：如答图， 由（1）知：直线交y轴于，， 由勾股定理可得： ， ∴ , 过点Q作轴，过点F作于点G， ∴ , ∴， ∴ 由题意，动点P运动的路径为折线，运动时间： ∴，即运动的时间值等于折线的长度值． 由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与x轴之间的垂线段． 过点A作于点H，则，与直线的交点，即为所求之F点． ∵A点横坐标为，直线解析式为 ∴， 即当F的坐标为时，点P在整个运动过程中用时最少． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式、两点间的距离公式、相似三角形的判定与性质、三角函数，解本题的关键是判断△BCE∽△BDO．难点是把运动时间最少转换成我们熟悉的线段和最值问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $