精品解析：陕西咸阳市武功县普集高级中学2025-2026学年下学期高二年级期中阶段性质量调研数学试题

2026年春季学期高二年级期中阶段性质量调研 数学试题（卷） 命题人：马利利 审题人：张春宁 总分值：150分 试题范围：选必二导数，选必三计数原理，条件概率和全概率部分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的班级，姓名，考号，座位号等信息. 2.请将答案填写在答题卡上. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式以及导数的运算法则，判断每个选项，可得答案。 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确， 故选：D 2. 已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的图像、单调性以及导数等知识确定正确答案. 【详解】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项. 当时，从左向右，是递增、递减、递增， 对应导数的符号为，由此排除C选项， 所以A选项正确. 故选：A 3. 在的展开式中，第4项的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 160 【答案】C 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为. 所以第4项的系数为 4. 设，则（ ） A. 120 B. 84 C. 56 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的展开式特征，列出的表达式，再利用组合数性质计算作答. 【详解】由题意可知：， 故选：A 5. 从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数，则这两个数为一奇一偶的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设事件为至少有一个为奇数，事件为这两个数为一奇一偶， 由题意可得，， 所以. 6. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设，，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ） A. 54种 B. 240种 C. 150种 D. 60种 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理即可求解． 【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选，，C三门德育校本课程， 每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，有两类情况， ①三组人数为1、1、3，此时有种情况， ②三组人数为2、2、1，此时有种情况， 所以共有种． 故选：C． 7. 如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（ ） A. 20 B. 24 C. 48 D. 72 【答案】D 【解析】 【详解】 如图所示，首先涂A，剩下BCDE只有3种颜色可供选择， 若BD不同色则CE必同色，反之亦然，即BD或CE同色， 以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类： 第一类：用3种不同颜色时，则区域BD必同色，区域CE也必同色，故共有种 ， 第二类：用4种不同颜色时，若区域BD同色有种，若区域CE同色有种 故用四种颜色有种 ， 由加法原理得不同的涂色方法数共有 种 ，D正确. 8. 已知e为自然对数的底数，函数的导函数为，对任意，都有成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，求导,利用导数求解单调性，利用单调性即可比较大小. 【详解】由得 令，则，所以单调递减， 故,即,同除以得， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AD，根据条件概率公式结合已知条件分析判断，对于B，由相互独立事件的定义分析判断，对于D，利用和事件的概率公式求解即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以事件与不是相互独立事件，所以B错误， 对于C，因为，， 所以，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D正确， 故选：ACD 10. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、通用技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，则选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，则选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，则选法总数为 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据组合数判断A，分物理和化学选一门、两门判断B，利用间接法判断C，对三个科目分类讨论，即可判断D. 【详解】A选项，若任意选择三门课程，则选法总数为，所以A正确. B选项，若物理和化学至少选一门，则选法总数为，所以B错误. C选项，若物理和历史不能同时选，则选法总数为，所以C正确. D选项，只选物理、不选化学和历史，选法为； 只选化学、不选物理，选法为； 物理化学同时选、不选历史，选法为. 所以选法总数是，所以D错误. 故选：BD 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在，使得为曲线的对称轴 D. 存在，使得点为曲线的对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用导数确定函数的单调区间，求出极值即可判断；由当，可得，结合A，即可判断B；判断是否有解，即可判断C；求解，即可判断D. 【详解】解：对于A，因为， 令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为， 所以有三个零点，故A正确； 对于B，由A可知，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，故B正确； 对于C，因为， ， 因为无解， 所以不存在，使得为曲线的对称轴，故C错误； 对于D，因为， ， 当函数关于点中心对称时， 则有点， 即， 所以，解得， 所以当时，函数的图象关于中心对称，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：函数关于对称，则有；函数关于中心对称，则有. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 【答案】3 【解析】 【详解】由导数的定义，可得函数在处的导数满足： ， 则 解得. 13. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28 【解析】 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 14. 设函数的零点为，则当a的取值为______时，的最大值为______． 【答案】 ①. e ②. 【解析】 【分析】首先参变分离得到，进一步构造函数，利用导数求出函数的最大值以及取最大值时的值即可. 【详解】由题意，所以，即， 所以，即， 令，则， 因为当时，，当时，， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，有最大值. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：关键在于得出，从而构造函数即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数，其中，且在x=3处取得极值. （1）求函数的解析式： （2）求在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，由，求出，得到解析式； （2）在第一问基础上，得到故A点在上，，从而得到切线方程. 【小问1详解】 . 因为在处取得极值，所以. 解得：，所以，经检验符合题意. 【小问2详解】 ， 故A点在上，由（1）可知， 则，所以切线方程为. 16. 中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问： （1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？ （2）若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率； （3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，求乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求解； （2）利用条件概率求解； （3）利用全概率求解. 【小问1详解】 设事件“取出饺子是肉馅”，， 【小问2详解】 设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”， 事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”， 【小问3详解】 设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”. 设事件，，分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”， 17. 已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7:6. （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得展开式的通项公式为，根据第5项与第3项的系数之比为，累成方程，求得的值； （2）根据二项展开式的性质，可得展开式中的底6项的二项式系数最大，结合通项公式，即可求解； （3）根据二项展开式的通项公式，得到二项展开式中项的系数的正负，化简得到，令，即可求解. 【小问1详解】 解：由二项式展开式的通项公式为， 因为第5项与第3项的系数之比为，可得， 即，解得或（舍），所以. 【小问2详解】 解：由（1）知二项式， 根据二项展开式的性质，可得展开式中的底6项的二项式系数最大， 所以展开式中二项式系数最大的项为. 【小问3详解】 解：由（1）知，二项展开式的通项为， 当时，展开式的项的系数为负； 当时，展开式的项的系数为正， 所以 令，可得， 即. . 18. 从这六个数字中任取4个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的四位数？ （1）该数是奇数： （2）不大于4210的偶数； （3）数字4和5至多出现一个. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据个位和千位的特殊位置，利用分步乘法计数原理即可求解； （2）根据千位和个位的数字分类讨论，利用分类加法计数原理即可求解； （3）根据数字4和5出现的情况，分类讨论，利用分类加法计数原理即可求解. 【小问1详解】 根据题意，排四位奇数的排法分三步： 第一步：先排个位共有种排法， 第二步：再排千位有种排法， 第三步：最后排中间两位共有种排法， 根据分步乘法计数原理共有：种排法； 【小问2详解】 第一类：千位为1或3时，个位为选一个，共有种排法； 第二类：千位为2时，个位为和选一个，共有种排法， 第三类：千位为时，个位为0时， 当百位2时，十位排1共有1种排法，当百位排1时，十位有3种排法， 所以千位为时，个位为0时，共有种排法， 第四类：千位为4时，个位为2时，百位从0和1选一个排有种排法，十位有种排法， 所以共有种排法， 根据分类加法计数原理共有：种排法； 【小问3详解】 第一类：数字4和5没有出现，则从排四位数，共有种排法； 第二类：数字4出现一次，数字5没有出现，数字4排千位有种排法， 数字4不排千位，在后面三位选一个位置排数字4有种选法， 再排千位有种选法， 最后排剩下的两个位置有种排法，共有种排法， 所以数字4出现一次，数字5没有出现，共有种排法； 第三类：数字5出现一次，数字4没有出现， 同理数字4出现一次，数字5没有出现的情况，共有种排法， 根据分类加法计数原理共有种排法. 19. 已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （3）若，且有两个极值点，其中，求的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断单调性，进而求极值； （2）转化为导数恒非负问题，用分离参数基本不等式求解； （3）韦达定理消元换元构造函数，求值域即可. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为， ， 所以， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此，函数的极大值为，极小值为． 【小问2详解】 的定义域为， 则题意等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 由基本不等式知，时，， 当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为； 【小问3详解】 由已知， 因为有两个极值点， 所以为方程的两个不相等的实数根， 则，， 因为，所以， 又，解得， 所以 ， 设， 则， 所以在上单调递减， 又，， 所以， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期高二年级期中阶段性质量调研 数学试题（卷） 命题人：马利利 审题人：张春宁 总分值：150分 试题范围：选必二导数，选必三计数原理，条件概率和全概率部分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的班级，姓名，考号，座位号等信息. 2.请将答案填写在答题卡上. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，第4项的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 160 4. 设，则（ ） A. 120 B. 84 C. 56 D. 36 5. 从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数，则这两个数为一奇一偶的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设，，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ） A. 54种 B. 240种 C. 150种 D. 60种 7. 如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（ ） A. 20 B. 24 C. 48 D. 72 8. 已知e为自然对数的底数，函数的导函数为，对任意，都有成立，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与相互独立 C. D. 10. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、通用技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，则选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，则选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，则选法总数为 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在，使得为曲线的对称轴 D. 存在，使得点为曲线的对称中心 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 13. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 14. 设函数的零点为，则当a的取值为______时，的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数，其中，且在x=3处取得极值. （1）求函数的解析式： （2）求在点处的切线方程. 16. 中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问： （1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？ （2）若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率； （3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，求乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率. 17. 已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7:6. （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）若，求的值. 18. 从这六个数字中任取4个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的四位数？ （1）该数是奇数： （2）不大于4210的偶数； （3）数字4和5至多出现一个. 19. 已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （3）若，且有两个极值点，其中，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $