6.2 平行四边形的判定 教学设计 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第六章 平行四边形 北师大版(2024) 6.2 平行四边形的判定 一、教学目标 1.结合铁轨、枕木等生活实例，理解平行线间的距离的概念，掌握其定义与性质，体会平行线间的距离处处相等. 2.经历观察、猜想、证明的过程，探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相等”这一结论，能利用该结论解决相关问题，深化对平行四边形性质与判定的理解. 3.能综合运用平行四边形的判定定理和性质，进行规范的几何计算与证明，体会转化思想，提升逻辑推理与综合应用能力. 二、教学重点及难点 重点：平行线间的距离的概念及性质；“夹在平行线之间的平行线段相等”的结论. 难点：灵活运用平行四边形的判定定理和性质解决复杂的综合几何问题. 三、教学过程 【探究新知】 探究：平行线间的距离. 教师提问：在笔直的铁轨下，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴进行交流. 【学生活动】观察图片，结合生活经验，初步判断枕木长度关系. 小组讨论，尝试用平行四边形的知识解释理由：铁轨与枕木构成平行四边形，利用平行四边形对边相等得出枕木等长. 教师讲解：夹在两根铁轨之间的平行枕木一样长. 理由：因为两根铁轨平行，每两根枕木平行，所以两根铁轨与两根枕木构成了平行四边形，根据平行四边形的对边相等，得到夹在两根铁轨之间的平行枕木一样长. 【典型例题】 例3. 已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D. 求证：AC＝BD. 证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD， ∴ ∠1＝∠2＝90°. ∴ AC∥BD. ∵ AB∥CD， ∴ 四边形ACDB 是平行四边形 (平行四边形的定义). ∴ AC＝BD (平行四边形的对边相等). 教师归纳：结合图形，明确定义： 如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线之间的距离. 几何语言： ∵ l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l2， ∴ AB＝CD. 教师强调： 平行线间的距离是一个数值（长度），而非图形； 距离处处相等，反映了平行线的位置确定性. 设计意图：通过规范的几何证明，让学生亲历从直观猜想到逻辑验证的过程，深刻理解“平行线间距离处处相等”结论的严谨性. 在证明过程中，复习平行四边形的定义与性质，实现知识的迁移应用. 同时，通过概念辨析，帮助学生准确把握距离的本质是垂线段长度，突破理解难点，培养学生的几何抽象与逻辑推理能力. 教师拓展：两条平行线之间的距离与点和点之间的距离，点到线之间的距离的区别与联系. 点与点的距离是连结两点的线段的长度 点到直线的距离只有一条，即过直线外一点作直线的垂线段的长度； 而平行线的距离有无数条，即一条直线上任意一点都可以得到两平行线之间的距离. 【探究新知】 探究：夹在平行线间的平行线段相等. 教师提问：结合刚才学习的平行线间距离，大家思考一个问题：夹在两条平行线间的平行线段，它们的长度一定相等吗？请大家画一画，想一想，并与同伴交流你的理由. 【学生活动】 动手在练习本上画两条平行线，再画两条分别连接它们的平行线段. 观察测量，猜想结论：相等. 教师讲解： 由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可知其围成的封闭图形为平行四边形，所以夹在两条平行线间的平行线段都相等. 【课堂互动】 教师提问：每人准备一张方格纸，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并与同伴讨论各自画图的正确性. 【师生活动】学生动手在方格纸上画图，尝试画出不同形状的平行四边形. 组内互相检查，利用方格纸的格线，验证对边是否平行、对边是否相等、对角线是否互相平分等. 各自分享画图依据，如“我用了两组对边分别相等”“我用了一组对边平行且相等”等. 教师巡视指导，选取典型画法进行展示点评，梳理所有判定方法. 答案预设： 方法是多样的，利用平行四边形各个判定方法都可以得到符合条件的图形. 如图，是几个符合条件的平行四边形. 设计意图：通过上述操作，给予学生充分的动手与思考时间，让学生自主发现并证明结论，经历知识的形成过程. 这不仅巩固了平行四边形的判定方法，还培养了学生的几何直观与合情推理能力. 同时，通过与距离概念的关联，构建知识网络，让学生理解知识间的内在联系. 【典型例题】 例4. 已知：如图，在▱ABCD中，点 M，N 分别在 AD 和 BC 上，点 E，F 在 BD上，且 DM＝BN，DF＝BE. 求证：四边形 MENF 是平行四边形. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC (平行四边形的定义). ∴∠MDF＝∠NBE. ∵DM＝BN，DF＝BE， ∴△MDF ≌ △NBE. ∴MF＝NE，∠MFD＝∠NEB. ∴∠MFE＝∠NEF. ∴MF∥NE. ∴四边形 MENF 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 教师提问：你还有其他证法吗？与同伴进行交流. 【师生活动】教师引导学生思考另一种方法：连接 MN 交 BD 于点 O，证明△OMD≌△ONB，得 MO＝NO，再由 DF＝BE 得 OF＝OE，从而利用对角线互相平分判定. 答案预设： 证明：连接 MN，交 EF 于点 O. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC (平行四边形的定义). ∴∠OMD＝∠ONB，∠ODM＝∠OBN. ∵DM＝BN， ∴△OMD ≌ △ONB， ∴MO＝NO，OD＝OB. ∵DF＝BE，∴OF＝OE. ∴四边形 MENF 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形). 设计意图：本题是平行四边形性质与判定的综合应用，具有一定的挑战性. 通过多角度分析，引导学生发散思维，探究多种证明方法，培养综合分析能力和逻辑推理能力. “一题多解” 的探究，能有效拓展学生的思维广度，学会根据题目条件灵活选择最简便的方法，提升解题效率和优化意识，同时进一步巩固对平行四边形各种判定方法的理解与应用. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.平行线间的距离：如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线之间的距离． 2.两条平行线间的平行线段相等． 学科网（北京）股份有限公司 $