6.2 平行四边形的判定教学设计 2025-2026学年 北师大版八年级数学下册

6.2 平行四边形的判定 第1课时 利用边判定平行四边形 教学设计 课题 第1课时 利用边判定平行四边形 授课人 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：能准确说出平行四边形基于边的两个判定定理，理解判定定理与性质定理的互逆关系，掌握判定定理的文字语言和几何语言表达。 （2）会用数学的思维思考现实世界：能灵活运用平行四边形的定义和边的判定定理，判断一个四边形是否为平行四边形，能解决简单的判定与性质综合的计算、证明问题，做到推理有据、步骤规范。 （3）会用数学的语言表达现实世界：体会几何图形中 “性质与判定互逆” 的数学思想，培养观察、猜想、推理的几何探究能力，树立严谨的几何推理意识和逻辑思维。 教学重点 平行四边形边的两个判定定理的推导与理解；运用边的判定定理和定义判定平行四边形。 教学难点 平行四边形边的判定定理的推导；“一组对边平行且相等” 判定定理的准确理解；平行四边形判定与性质的综合应用。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 知识回顾 情景导入 问题：如何判定一个四边形是平行四边形呢？ 根据定义就可以判定一个四边形是否为平行四边形： 如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形. 除了定义法判定平行四边形，还有没有其他方法呢？下面我们一起来探究！ 探究新知 知识点1：平行四边形的判定定理1 议一议：要画出一个以线段AB，AD为邻边，以∠BAD为一个内角的▱ABCD，你有哪些画法？与同伴进行交流。 猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 已知：四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接BD. 在△ABD和△CDB中, ∵AB=CD，AD=CB，BD=DB， ∴△ABD≌△CDB(SSS). ∴ ∠1=∠2 , ∠ 3=∠4. ∴AB∥CD ,AD∥CB. ∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义）. 平行四边形的判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. （例1，针对练习） 知识点2：平行四边形的判定定理2 我们还发现：一组对边分别相等的四边形是平行四边形。请你尝试证明这一结论。 已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接AC. ∵AB//CD, ∴∠BAC=∠DCA. 又∵AB=CD，AC=CA， ∴△ABC≌△CDA（SAS）. ∴BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）. 平行四边形的判定定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵AB=CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. （例2-3，针对练习） 典例精析 例1 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的两点，且AF＝CE. 求证：四边形AECF为平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC,∠B=∠D. ∵AF＝CE， ∴AD-AF=BC-CE,即DF=BE. ∴△ABE≌△CDF(SAS). ∴AE=CF. 又∵AF=CE, ∴四边形AECF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）. 针对练习 1.如图所示，在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD.若∠B=110°,则∠A的度数为(　C　) A.110° B.80° C.70° D.90° 2.如图所示，在四边形ABCD中，AB=5，BC=8，当CD=　5　,AD=　8　时,四边形ABCD是平行四边形. 例2 已知：如图，在▱ABCD中，E,F分别为AD和CB的中点. 求证：四边形BFDE是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB（平行四边形的对边相等）， AD∥CB（平行四边形的定义）. ∵E,F分别为AD和CB的中点， ∴ED＝AD，FB=CB. ∴ED=FB，ED∥FB. ∴四边形BFDE是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 例3 如图，AC=BD，AB=CD=EF，CE=DF.图中有哪些互相平行的线段？为什么？ 解：∵AC=BD, AB=CD, ∴四边形ABDC是平行四边形, ∴AB∥CD，AC∥BD, ∵CD=EF,CE=DF, ∴四边形CDFE是平行四边形, ∴CD∥EF,CE∥DF, ∵CD∥EF,AB∥CD, ∴EF∥AB. 针对练习 3.下列条件中,不能使四边形ABCD是平行四边形的是( C 　) A.AB∥CD,AB=CD B.AB∥CD,BC∥AD C.AB∥CD,BC=AD D.AB=CD,BC=AD 4.如图所示,D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,CB,则四边形ABCD是　平行四边形　,理由是___两组对边分别相等的四边形是平行四边形__. 5.如图所示,在四边形ABCD中,对角线BD⊥AD，BD⊥BC，AD=11-x,BC=x-5,则当x=　8　时,四边形ABCD是平行四边形. 随堂检测 1．能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ B ） A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD 2．下列叙述正确的的有（ C ） ①对角线互相垂直的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3.在四边形ABCD中:①AB∥CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC.从以上条件中选择两个条件,使四边形ABCD为平行四边形的选法共有(　B　) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 4.在四边形ABCD中，AD＝8cm，AB＝4cm．当BC＝_8__cm，CD＝__4___cm 时，四边形ABCD为平行四边形． 5.在四边形ABCD中，AD＝BC，BD为对角线，∠ADB＝∠CBD，则AB和CD的关系为___相等___． 6.已知直角坐标系内有四个点O(0,0)，A(3,0)，B(1,1)，C(x,1).若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则x=　4或-2　. 7.如图所示，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，猜想BE与CF之间的数量关系，并加以证明. 证明:BE=CF. ∵DE∥BC, ∴∠DBC=∠BDE. ∵BD是△ABC的角平分线, ∴∠DBC=∠ABD. ∴∠ABD=∠BDE. ∴DE=BE. ∵DE∥BC,EF∥AC, ∴四边形DEFC是平行四边形. ∴DE=CF. ∴BE=CF. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的 课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解. 作业布置 《作业本》P137-138 板书设计 第1课时 利用边判定平行四边形 知识点1：平行四边形的判定定理1 知识点2：平行四边形的判定定理2 教学反思 第2课时 利用对角线判定平行四边形 教学设计 课题 第2课时 利用对角线判定平行四边形 授课人 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：能准确说出平行四边形对角线的判定定理，理解其与对角线性质的互逆关系，掌握定理的文字语言和规范的几何语言表达。 （2）会用数学的思维思考现实世界：能灵活运用平行四边形的定义、边的判定定理和对角线判定定理，根据不同条件选择合适的方法判定平行四边形，能解决判定与性质结合的综合问题，做到推理有据、步骤规范、逻辑清晰。 （3）会用数学的语言表达现实世界：进一步体会几何中 “性质与判定互逆” 的数学思想，感受平行四边形判定体系的完整性，培养观察、猜想、推理的几何探究能力，树立严谨的逻辑推理意识。 教学重点 平行四边形对角线互相平分判定定理的推导与理解；对角线判定定理与边的判定定理、定义的综合运用。 教学难点 平行四边形对角线判定定理的综合推导（全等三角形→对边平行 / 相等→平行四边形）；根据不同条件灵活选择判定方法；平行四边形判定与性质的综合、规范应用。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 知识回顾 情景导入 通过上一课“思考·交流”的讨论，你还发现了什么？ 我们还发现：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 探究新知 知识点：平行四边形判定定理3 做一做：画两条相互平分的线段，并将他们的端点顺次连接起来，看看它是不是平行四边形，小组讨论，验证所画的四边形是平行四边形. 提示：可以用刻度尺量一量它们的两组对边是否相等，也可以用量角器来检查它们的两组对边是否平行. 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知:如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,并且OA=OC,OB=OD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明: ∵OA＝OC，OB＝OD，且∠AOD＝∠COB， ∴△AOD≌△COB（SAS）. ∴AD＝CB，∠ADO＝∠CBO． ∴AD∥CB． ∴四边形ABCD是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 平行四边形的判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵OA=OC,OD=OB， ∴四边形ABCD是平行四边形. （例1-2） 【思考·交流】 比较平行四边形的性质定理和判定定理，它们有怎样的关系？与同伴进行交流。 【回顾·反思】 回顾平行四边形性质定理和判定定理的证明过程，你积累了哪些分析证明思路的经验？ （针对练习） 拓展：我们知道平行四边形的两组对角分别相等，那么它的逆命题是什么？是真命题吗？ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题.如何证明呢？ 已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°, 又∵∠A=∠C，∠B=∠D, ∴2∠A+2∠B=360°, 即∠A+∠B=180°. ∴AD∥BC. 同理可得AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. （针对练习） 典例精析 例1 有下列说法: ①一组对角相等; ②两条对角线互相相垂直; ③两条对角线互相平分; ④一组邻角补； ⑤两组对边都相等； ⑥两组对边分别平行. 能判定四边形是平行四边形的说法有（ C ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 例2 如图，E，F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形． 分析：要证明一个四边形是平行四边形，如果从对角线的角度考虑，需要满足什么条件？如果从对边的角度考虑呢？ 证明：如图所示，连接BD，交AC于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD(平行四边形对角线互相平分). ∴AE＝CF. ∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF． ∴四边形BFDE是平行四边形 （对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 针对练习 1.已知△ABC(如图①),按图②、图③所示的尺规作图痕迹,不需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是(　B　) A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2.如图所示,AO=CO,BD=16 cm,则当OB=　8 cm时，四边形ABCD是平行四边形. 3.如图所示,AB,CD是两条相交的线段,O分别是它们的中点,当线段DC绕点O旋转时(DC,AB不重合),连接AC,CB,BD,DA所得到的四边形ACBD始终是　平行四边形　.理由是　对角线互相平分的四边形是平行四边形　. 针对练习 4.如图所示,在△ABC中,D是BC边的中点,F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE. 求证:四边形BFCE是平行四边形. 证明:∵在△ABC中,D是BC边的中点, ∴BD=CD. ∵CF∥BE, ∴∠CFD=∠BED. 在△CFD和△BED中, ∵∠CFD=∠BED,∠FDC=∠EDB,CD=BD, ∴△CFD≌△BED. ∴DF=DE. 又∵BD=CD, ∴四边形BFCE是平行四边形. 随堂检测 1.如图，在□ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为（　A　）． A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 2.下列判断正确的是(　B　)． A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 3.如图，在四边形ABCD中，若AC=8cm，BD=10cm，那么当AO=__4_cm，DO=__5_cm时，四边形ABCD为平行四边形． 4.如图所示,四边形ABCD的对角线相交于点O,从下列条件:①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个使四边形ABCD是平行四边形,则你选择的两个条件是①③（答案不唯一）.(填序号) 5.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F. 求证：四边形AECF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝OB，OA＝OC. ∵AB∥CD， ∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO. ∴△FDO≌△EBO. ∴OF＝OE. 又OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形． 6.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,EF过点O交AD于点E,交BC于点F,且OE=OF. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵AD∥BC, ∴∠AEO=∠CFO. 在△AEO和△CFO中, ∵∠AEO=∠CFO,OE=OF,∠EOA=∠FOC, ∴△AEO≌△CFO(ASA). ∴AO=CO. 同理可证BO=DO. ∴四边形ABCD是平行四边形. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的 课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解. 作业布置 《作业本》P139-140 板书设计 第2课时 利用对角线判定平行四边形 知识点：平行四边形判定定理3 教学反思 第3课时 平行四边形的性质与判定的综合应用 教学设计 课题 第3课时 平行四边形的性质与判定的综合应用 授课人 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：理解平行线间距离的定义，能准确表述平行线间的距离处处相等的性质，掌握其推导过程，能运用该性质解决线段相等、平行的简单问题。 （2）会用数学的思维思考现实世界：能综合运用平行四边形的所有性质和判定定理，根据题目条件灵活选择解题思路，解决 “判定→性质”“性质→判定” 及多步推理的综合证明、计算问题，做到推理有据、步骤规范、逻辑清晰。 （3）会用数学的语言表达现实世界：体会几何知识间的内在联系（平行线与平行四边形），培养观察、分析、推理的几何综合素养，树立严谨的逻辑推理意识和数形结合思想。 教学重点 平行线间的距离处处相等的推导与理解；平行四边形性质与判定的综合灵活应用。 教学难点 平行线间的距离处处相等的推导（构造平行四边形的思想）；平行四边形性质与判定的综合、灵活应用（思路梳理与方法选择）；构造平行四边形辅助线的添加与应用。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 知识回顾 情景导入 这是小明家的楼梯，扶手是用实木制作的，这些竖直的实木 长度相等吗？ 在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长?你能说明理由吗？与同伴交流． 探究新知 知识点1：平行线之间的距离 尝试·交流：如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度． 经过度量,我们可以发现这些垂线段的长度都相等． 猜想：平行线间距离处处相等. （例1） 如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等. (如图：AC=BD),这个距离称为平行线之间的距离. (简记为：两条平行线间的距离处处相等）. “平行线之间的距离”＝“平行线之间的垂线段的长”， 即：平行线之间的距离处处相等． （例2，针对练习） 思考 若垂线段改为夹在两条线段间的平行线段呢？它们是否相等呢？ 由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”易知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等. 尝试·交流：如图，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形,并与同伴讨论各自画图的正确性. 解：四边形ABDC，DCEF均为平行四边形. 画法：在方格纸分别取AC=BD，CE=DF，再连接另一组对边即可. 道理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 由平行四边形的性质得AB=CD=EF. 结论：夹在两条平行线间的平行线段一定相等. 知识点2：平行四边形判定方法的综合运用 （例3，针对练习） 典例精析 例1 已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D． 求证：AC = BD． 证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD, ∴∠1=∠2=90°. ∴AC∥BD. ∵AB∥CD, ∴四边形ACDB是平行四边形（平行四边形的定义）. ∴AC=BD（平行四边形的对边相等）. 例2 平行线之间的距离是指两条平行线中(　B　) A.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段 B.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段的长度 C.从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度 D.从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度 针对练习 1.如图所示，a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,垂足分别为E,G,则下列说法中错误的是(　　) A.AB=CD B.CE=FG C.A,B两点间的距离就是线段AB的长 D.直线a,b间的距离就是线段CD的长 2.在四边形ABCD中,AB∥CD,再添加下列其中一个条件后,四边形ABCD不一定是平行四边形的是(　B　) A.AB=CD B.AD=BC C.AD∥BC D.∠A=∠C 3.如图，设点P是▱ABCD的边AB上任意一点，设△APD的面积为S1，△BPC的面积为S2，△CDP的面积为S3，则(　A　) A．S3＝S1＋S2 B．S3＞S1＋S2 C．S3＜S1＋S2 D．S3＝(S1＋S2) 例3 已知：如图，在□ABCD中，点M，N分别在AD和BC上，点E，F在BD上，且DM=BN，DF=BE． 求证：四边形MENF是平行四边形． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC（平行四边形的定义）． ∴ ∠MDF=∠NBE． ∵ DM=BN，DF=BE， ∴ △MDF≌△NBE(SAS). ∴ MF=NE，∠MFD=∠NEB． ∴ ∠MFE=∠NEF． ∴ MF∥NE． ∴ 四边形MENF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 针对练习 4.如图所示,在▱ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO. (1)求证:△AOF≌△COE; 证明: (1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠OAF=∠OCE. 在△AOF和△COE中, ∵∠OAF=∠OCE,AO=CO,∠AOF=∠COE, ∴△AOF≌△COE(ASA). (2)连接AE,CF,则四边形AECF　是　(填“是”或“不是”)平行四边形,请说明理由,并指出最后一步推理的依据. 理由如下: 由(1)得△AOF≌△COE, ∴FO=EO. 又∵AO=CO, ∴四边形AECF是平行四边形. 最后一步推理的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形. (证明方法不同,最后一步推理的依据也可能不同) 随堂检测2.如图所示,直线a∥b,点A,B分别在直线a,b上，∠1=45°，直线a和b之间的距离为3,则线段AB 的长度为 (　A　) A. B. C.3 D.6 1.如图所示,AD∥BC,AB⊥BC,DC⊥BC,AB=1,AD=2,那么AD,BC 间的距离为 ( A ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知直线m∥n,点A在直线m上,点B,C,D在直线n上,且AB=4 cm, AC=5 cm,AD=6 cm,则直线m与n之间的距离 (　D　) A.等于5 cm B.等于6 cm C.等于4 cm D.小于或等于4 cm 4.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带来了两块碎玻璃,其编号应该是　②③　. 5.如图所示,点B,F,C,E在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE，AD交BE于点O. 求证:AD与BE互相平分. 证明: 连接BD,AE. ∵AB∥DE, ∴∠ABC=∠DEF. ∵AC∥DF, ∴∠ACB=∠DFE. ∵BF=CE, ∴BC=EF. 在△ACB和△DFE中, ∵∠ABC=∠DEF,BC=EF, ∠ACB=∠DFE, ∴△ACB≌△DFE, ∴AB=DE. 又∵AB∥DE, ∴四边形ABDE是平行四边形, ∴AD与BE互相平分. 6.如图,直线a∥b,A,B为直线b上两点,C,D为直线a上两点,AD与BC交于点E. (1)请写出图中所有面积相等的三角形:S△ABC=S△ABD,S△ACE=S△BDE,S△ACD=S△BCD 　　　 ; (2)若A,B,C为三个定点,点D在直线a上移动,那么无论点D移动到何处,总有　△ABD　与△ABC的面积相等.这两个三角形底边AB上的高相等的理由是　平行线之间的距离处处相等　. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的 课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解. 作业布置 《作业本》P141-142 板书设计 第3课时 平行四边形的性质与判定的综合应用 知识点1：平行线之间的距离 知识点2：平行四边形判定方法的综合运用 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $