上海市青浦高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

上海市青浦高级中学2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，则集合_____. 2. 已知，则__________． 3. 已知复数满足，其中i是虚数单位，则的虚部为__________. 4. 在的二项展开式中，常数项是______．（用数值作答） 5. 已知，则在上的数量投影是__________. 6. 不等式的解集是__________． 7. 已知随机变量的分布列为，则期望__________ 8. 已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比______________．（用数值作答） 9. 一块边长为的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器，则该容器的容积最大时正四棱锥的高为__________. 10. 已知是数列的前项和，且.若，则__________ 11. 已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为________. 12. 机场为旅客提供的圆锥形一次性纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为，旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，该椭圆的离心率等于_______． 二.选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设均为非零实数,则“”是“”的什么条件( 　 ) A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 15. 探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 16. 对于函数，若关于的方程，恰有个实数根，则称函数为“”函数。①函数的定义域且；②函数是“”函数，也是“”函数；那么同时满足条件①②的函数共有（ ）个 A. B. C. D. 三.解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17. 设等差数列的前n项和为，且. （1）若，求的公差； （2）若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 18. 在四面体中，. （1）若为正三角形，平面平面，求四面体体积； （2）若，，求二面角的余弦值. 19. 为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名同学的阅读量(单位:本)统计结果用茎叶图记录如下(十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”)其中乙组记录有一个数据模糊，无法确认.在图中以表示 （1）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求的所有可能取值； （2）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”，设，从这20名学生中随机抽取一人，已知该生为阅读达人，求该生为甲组学生的概率； （3）记甲组阅读量的方差为，在甲组中增加一名学生A得到的“新甲组”.若A的阅读量为10，则记“新甲组”阅读量的方差为，若A的阅读量为20，则记“新甲组”阅读量的方差为.通过计算比较的大小(结果精确到0.1)，并从数学角度解释这一现象. 20. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 21. 记.已知函数和的定义域都为，若存在、、、，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕” （1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； （2）设，，若和在上“次缠绕”，求的取值范围； （3）设，若和在上“次缠绕”，求的取值范围. 上海市青浦高级中学2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 【1题答案】 【答案】. 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】1 【4题答案】 【答案】160 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二.选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】A 三.解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）. 【19题答案】 【答案】（1）1或2或3 （2） （3） 【20题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 【21题答案】 【答案】（1）“次缠绕”，理由： 函数与“次缠绕”，理由如下： 因为对任意，有，当且仅当和时，等号成立， 所以由“次缠绕”定义可知和在上“次缠绕”. （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $