精品解析：北京市丰台区第二中学2025-2026学年第二学期七年级数学阶段性自我诊断

2025-2026学年第二学期初一数学阶段性自我诊断 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 4的算术平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义进行求解即可，如果一个正数x的平方等于a，那么x叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 故选：C 2. 在数，，，，，5中，无理数的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义，即可求解． 【详解】解：， 所以无理数有：，，共2个． 故选：B 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 3. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据第二象限的点横坐标是负数，纵坐标是正数即可判断求解，掌握各象限内点的坐标的符号特征是解题的关键． 【详解】解：∵点的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴点位于第二象限， 故选：． 4. 如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的大小估算，根据夹逼法可得出，且靠近4，结合数轴即可得出答案． 【详解】解：，且靠近， 即，且靠近4， 则在数轴上表示实数的点可能是点M， 故选：C 5. 如图，直线AB、CD相交于点O，EF⊥AB于O，且∠COE ＝50°，则∠BOD等于（ ） A. 40° B. 45° C. 55° D. 65° 【答案】A 【解析】 【详解】∵EF⊥AB于O，∠COE＝50°， ∴∠AOC＝90°－50°＝40°， ∵∠AOC与∠BOD是对顶角， ∴∠BOD＝∠AOC＝40°； 故选：A． 6. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解决问题的关键．平行线的判定定理：①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行；根据这三个判定定理逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、由，根据内错角相等两直线平行可以判定，不能判定，符合题意； B、由，根据内错角相等两直线平行可以判定，不符合题意； C、由，根据同位角相等两直线平行可以判定，不符合题意； D、由，根据同旁内角互补两直线平行可以判定，不符合题意； 故选：A． 7. 下列命题中，假命题是（　　） A. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B. 同旁内角互补 C. 无限不循环小数是无理数 D. 平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是真假命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行公理的推论、平行线的性质、无理数的概念、实数与数轴判断即可． 【详解】解：A、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是真命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，故该选项命题是假命题，符合题意； C、无限不循环小数是无理数，是真命题，不符合题意； D、平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应，是真命题，不符合题意； 故选：B． 8. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，那么有辆车空；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车．则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意可得，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设共有人，辆车， 根据题意得：， 故选：． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 比较大小：4______ 【答案】＞ 【解析】 【分析】先估算出的范围，即可得出答案． 【详解】∵4= 又∵ ＞ ∴4＞ 故答案为： ＞ 【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能估算出的范围是解此题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标的性质，注意x轴上点的坐标特点是解题的关键．直接利用x轴上坐标的特点，则纵坐标为0，进而得出m的值求出答案． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得：， ∴点的坐标是， 故答案为：． 11. 若是关于和的二元一次方程的解，则的值等于______． 【答案】3 【解析】 【分析】将x和y的代入二元一次方程可得关于a的一元一次方程，解方程即可求解. 【详解】解：将代入可得： ， 解得a=3. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查二元一次方程解的定义，解决本题的关键是要将二元一次方程组的解代入方程进行求解. 12. 如图，，，，，写一个的长度的可能值______，依据是______________． 【答案】 ①. 4（答案不唯一） ②. 垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短得到，进行求解即可．熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， 的长度的值可能是4（答案不唯一），依据是垂线段最短； 故答案为：4（答案不唯一），垂线段最短． 13. 如图，棋盘中，若“帅”位于点，“相”位于点，则“炮”位于点__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标，根据“帅”位于点，“相”位于点，建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵“帅”位于点，“相”位于点， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ， ∴“炮”位于点， 故答案为：． 14. 是关于，的二元一次方程，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值． 【详解】解：根据题意，得且， 解得， 故答案为：1． 15. 将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，，则的度数为______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．根据题意知，，，得到，再根据平行线的性质得到，即可求解． 【详解】解：根据题意知，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，给定初始点，按以下规则得到后续点，，，． 规则如下： （1）若为偶数，则；若为奇数，则． （2）． 若从初始点出发，点的坐标为__________，点的坐标为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义，坐标的规律计算，理解新定义的计算方法，找出点坐标的规律是关键． 根据题意得到与的坐标重复，即每4个一组循环，由此即可求解． 【详解】解：，则， ∴，是偶数， ∴，是偶数， ∵，是偶数， ∴， ∴，则， 同理，，， ∴，则， 同理，，，，， ∴与的坐标重复，即每4个一组循环， ∴， ∴， 故答案为：①；② ． 三、解答题（共68分，第17-18题中每小题4分共12分，第19题中每小题6分共12分，第20题5分，第21-24题每题6分共24分，第25题7分，第26题8分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据立方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或 ； 【小问2详解】 解：， ， ． 19. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了代入法解二元一次方程组，加减法解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可 【小问1详解】 解： 将①代入②，得， 解得． 将代入①，得， 所以方程组的解是； 【小问2详解】 解： ，得， 解得． 将代入①，得． 所以原方程组的解是． 20. 篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，求的度数．由题意，可过点C作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过C作平行于， ∵，∴， ∴（ ① ）， ∴（ ② ） ∴， ∵， ∴（ ③ ）． ∵于点B， ∴（ ④ ）， ∴， ∴ ⑤ （平角的定义）． 【答案】①平行于同一条直线的两条直线平行；②两直线平行，同旁内角互补；③两直线平行，内错角相等；④垂直的定义；⑤60 【解析】 【分析】本题主要考查根据推理过程填写逻辑关系，由平行于同一条直线的两条直线平行得，两直线平行，同旁内角互补得，两直线平行，内错角相等得，垂直的定义得，最后计算结果． 【详解】解：过C作平行于， ∵，∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵于点B， ∴（垂直的定义）， ∴， ∴（平角的定义）． 21. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔3个和种头盔4个共需345元，种头盔4个和种头盔3个共需390元． （1）求，两种头盔的单价各是多少元（请列方程组求解）； （2）若该商店计划正好用450元购进，两种头盔（，两种头盔均购买），销售1个种头盔可获利35元，销售1个种头盔可获利15元，假如这些头盔全部售出，则购买_______个种头盔和________个种头盔获得利润最大（请直接写出答案）． 【答案】（1）A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 （2）2，10 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． 【小问2详解】 解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 即购买2个A种头盔，10个B种头盔获得利润最大． 故答案为：2，10 22. 如图，在平面直角坐标系内，已知点的位置在网格点上，将点向下平移5个单位到点，点为． （1）写出点的坐标为__________． （2）画出三角形，并求出三角形的面积． （3）若点在轴上，且三角形的面积等于三角形面积的一半，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）图形见解析， （3）或 【解析】 【分析】本题考查了坐标的平移，利用网格求三角形面积等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由图得到，根据平移的性质即可得到答案； （2）根据的坐标描点再连线即可，利用三角形面积公式进行计算即可． （3）设点，根据题意列出方程，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图得到， 将点向下平移5个单位到点， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，三角形为所求， 由图可知，； 【小问3详解】 解：设点， ∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴根据题意得：， 解得或， 故点的坐标或． 23. 如图，已知，于点，． （1）求证：； （2）连接，若，且，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得证； （2）连接，设，则，再根据建立方程，解方程可得，然后根据平行线的性质即可得． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，连接， 设， ， ， ， 由（1）已得：， ， ， 解得， 即， 由（1）已证：， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、垂直等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 24. 已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a+2，3a-1）． （1）若点A在y轴上，求出点A的坐标； （2）点B的坐标为（3，5），若AB∥x轴，求出点A的坐标． 【答案】（1）（0，-7） （2）（4，5） 【解析】 【分析】（1）根据在y轴上的点的横坐标为0可列式求得a，进而确定A点的坐标； （2）由平行于x轴的点的纵坐标相同，可得3a-1 =5，求得a的值，再将a的值代入a+2求得横坐标即可解答． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标为（a+2，3a-1），点A在y轴上， ∴a+2=0， 解得a=-2， ∴3a-1=3×（-2）-1=-7， ∴点A的坐标为（0，-7）； 【小问2详解】 解：∵点A的坐标为（a+2，3a-1），点B的坐标为（3，5），AB//x轴， ∴3a-1=5， 解得a=2， ∴a+2=2+2=4， ∴点A的坐标为（4，5）． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键． 25. 为庆祝元旦，光明学校统一组织合唱比赛，七，八年级共92人（其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90）准备统一购买服装参加比赛．某服装厂给出服装的价格表如下： 购买服装的套数 91及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 （1）如果两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，七，八年级分别有多少学生参加合唱比赛？ （2）在（1）的条件下，还要从七年级参加合唱比赛的学生中，抽调10人去参加绘画比赛．请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案． 【答案】（1）人，人 （2）两个年级一起买套 【解析】 【分析】（1）设七，八年级参加合唱比赛的学生分别有人，人，由“七，八年级共92人参加合唱比赛，其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90”可知，，，则七，八年级学生每套服装的价格分别为50元，60元，根据题意得，解方程组即可求出七，八年级分别有多少学生参加合唱比赛； （2）由题意可知，七年级，八年级分别有42人、40人参加合唱比赛，分以下三种情况计算费用：①单独买，费用为：（元）；②一起买，费用为：（元）；③两个年级一起买91套，费用为：（元）；然后比较三种情况的费用大小即可得出答案． 【小问1详解】 解：设七，八年级参加合唱比赛的学生分别有人，人， 由“七，八年级共92人参加合唱比赛，其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90”可知：，， 则七，八年级学生每套服装的价格分别为50元，60元， 根据题意得：， 解得：， 答：七，八年级参加合唱比赛的学生分别有52人、40人； 【小问2详解】 解：由题意可知，七年级，八年级分别有42人、40人参加合唱比赛， ①单独买，费用为：（元）； ②一起买，费用为：（元）； ③两个年级一起买91套，费用为：（元）； ， 两个年级一起买91套最省钱． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用（其他问题），有理数四则混合运算的实际应用，有理数乘法的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程组或算式是解题的关键． 26. 对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称是点的“系联动点”．例如：点的“3系联动点”的坐标为． （1）点的“2系联动点”的坐标为______；若点的“系联动点”的坐标是，则点的坐标为______； （2）若点的“系联动点”与“系联动点”均关于轴对称，则点分布在______，请证明这个结论； （3）在（2）的条件下，点不与原点重合，点的“系联动点”为点，且的长度为长度的5倍，求的值． 【答案】（1）， （2）在轴上，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查几何变换综合题、二元一次方程组、坐标与图形的性质、是点的“系联动点”的定义等知识． （1）根据是点的“系联动点”的定义，计算或构建方程组解决问题即可； （2）根据是点的“系联动点”的定义的定义，理由轴对称的性质构建方程组即可解决问题； （3）构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：点的“2系联动点”的坐标为，即， 点的“系联动点”的坐标是，则， 解得，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：结论：点分布在轴上． 理由如下：点的“系联动点”的坐标为（其中为常数，且， 点的“系联动点”为． 点的“系联动点”与“系联动点”均关于轴对称， ， ， ， 点在轴上． 故答案为：在轴上； 【小问3详解】 解：在（2）的条件下，点不与原点重合， 点的坐标为，， 点的“系联动点”为点， 点的坐标为， 的长度为长度的5倍， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初一数学阶段性自我诊断 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 4的算术平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 在数，，，，，5中，无理数的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 如图，直线AB、CD相交于点O，EF⊥AB于O，且∠COE ＝50°，则∠BOD等于（ ） A. 40° B. 45° C. 55° D. 65° 6. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，假命题是（　　） A. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B. 同旁内角互补 C. 无限不循环小数是无理数 D. 平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应 8. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，那么有辆车空；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车．则可列方程组（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 比较大小：4______ 10. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是_________． 11. 若是关于和的二元一次方程的解，则的值等于______． 12. 如图，，，，，写一个的长度的可能值______，依据是______________． 13. 如图，棋盘中，若“帅”位于点，“相”位于点，则“炮”位于点__________． 14. 是关于，的二元一次方程，则_____． 15. 将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，，则的度数为______． 16. 在平面直角坐标系中，给定初始点，按以下规则得到后续点，，，． 规则如下： （1）若为偶数，则；若为奇数，则． （2）． 若从初始点出发，点的坐标为__________，点的坐标为__________． 三、解答题（共68分，第17-18题中每小题4分共12分，第19题中每小题6分共12分，第20题5分，第21-24题每题6分共24分，第25题7分，第26题8分） 17. 计算：． 18. 解下列方程： （1）． （2）． 19. 解下列方程组： （1） （2） 20. 篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，求的度数．由题意，可过点C作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过C作平行于， ∵，∴， ∴（ ① ）， ∴（ ② ） ∴， ∵， ∴（ ③ ）． ∵于点B， ∴（ ④ ）， ∴， ∴ ⑤ （平角的定义）． 21. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔3个和种头盔4个共需345元，种头盔4个和种头盔3个共需390元． （1）求，两种头盔的单价各是多少元（请列方程组求解）； （2）若该商店计划正好用450元购进，两种头盔（，两种头盔均购买），销售1个种头盔可获利35元，销售1个种头盔可获利15元，假如这些头盔全部售出，则购买_______个种头盔和________个种头盔获得利润最大（请直接写出答案）． 22. 如图，在平面直角坐标系内，已知点的位置在网格点上，将点向下平移5个单位到点，点为． （1）写出点的坐标为__________． （2）画出三角形，并求出三角形的面积． （3）若点在轴上，且三角形的面积等于三角形面积的一半，直接写出点的坐标． 23. 如图，已知，于点，． （1）求证：； （2）连接，若，且，求的度数． 24. 已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a+2，3a-1）． （1）若点A在y轴上，求出点A的坐标； （2）点B的坐标为（3，5），若AB∥x轴，求出点A的坐标． 25. 为庆祝元旦，光明学校统一组织合唱比赛，七，八年级共92人（其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90）准备统一购买服装参加比赛．某服装厂给出服装的价格表如下： 购买服装的套数 91及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 （1）如果两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，七，八年级分别有多少学生参加合唱比赛？ （2）在（1）的条件下，还要从七年级参加合唱比赛的学生中，抽调10人去参加绘画比赛．请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案． 26. 对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称是点的“系联动点”．例如：点的“3系联动点”的坐标为． （1）点的“2系联动点”的坐标为______；若点的“系联动点”的坐标是，则点的坐标为______； （2）若点的“系联动点”与“系联动点”均关于轴对称，则点分布在______，请证明这个结论； （3）在（2）的条件下，点不与原点重合，点的“系联动点”为点，且的长度为长度的5倍，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $