精品解析：北京市清华大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

北京市清华大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷 （高24级）2026.4 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，集合，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， ，中所有的元素都在中，故选项A正确. 2. 已知，其中最小的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，而， 故最小数为. 3. 已知复数的实部与虚部相等，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】， 又复数的实部与虚部相等， ，解得． 4. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设双曲线的焦距为，实轴长为， 则，， ，. 所以其离心率为. 5. 一个密封的袋子里面装有4个黑球，2个白球，从中任取3个球，恰有两个是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设“恰有两个是黑球”为事件， 由古典概型概率计算公式，. 6. 已知为平面上的单位向量，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 展开得， 因为是单位向量，所以， 所以，化简得． 若，则，代入等式成立，所以充分性成立， 若，则，即，所以必要性成立， 所以，“”是“”的充分必要条件． 7. 已知抛物线的焦点为，准线为.点在上，过点作的垂线，垂足为.为坐标原点，若四边形OFMN为等腰梯形，面积为，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线方程写出焦点、准线，设点及其垂足的坐标，再由等腰梯形两腰相等，列距离公式求出的横坐标，接着代入抛物线方程得的纵坐标与的关系；最后用梯形面积公式列方程，结合已知面积求解的值即可. 【详解】因为抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 设 ，则垂足 ， 由四边形 为等腰梯形，得 ，且 ， 所以，解得 ， 将 代入抛物线方程 ，得： 等腰梯形面积： 因为 ，，，代入得： ， ， ， 又因为 ，所以 . 8. 已知为曲线上的一点，过点分别作与轴，轴平行的直线，且分别与曲线交于点A，B，若为等腰直角三角形，则这样的点共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无穷多个 【答案】B 【解析】 【详解】设点的坐标为，则， 过点分别作与轴，轴平行的直线， 则直线的方程为，直线方程为， 因为分别与曲线交于点A，B， 所以，解得， 所以， 将代入得到, 由题意可知，PA所在直线与轴平行，PB所在直线与y轴平行，故， 又因为为等腰直角三角形，所以， 所以，， 所以，， 所以，解得， 所以点的坐标为，只有一个解. 9. 古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等比数列通项公式求出，再结合等差数列通项公式求出，进而求出，最后计算第12天月球被太阳照亮部分占满月的比例即可. 【详解】由题意知，数列前5项成公比为的等比数列，首项， 所以， 因为从第5项到第15项成公差为的等差数列，且， 所以， 所以，即， 又因为，所以 若，则，，不合题意， 若，则，解得，符合题意， 若，则，无解， 故 ，，此时 ， 所以 ， 所以占满月的比例为：. 10. 在平面直角坐标系xOy中，若在圆上存在点，在圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法1：设直线的斜率为，由得到直线的斜率为，再分别利用直线与圆有公共点的判定条件，将问题转化为“存在，使关于的二次不等式成立”的问题，最后借助二次函数图象分类讨论求的范围. 方法2：设直线的斜率为，则直线的斜率为.先由直线与圆有公共点得到，再由直线与圆有公共点得到关于和的不等式，分别讨论和两种情况即可. 【详解】方法1：设直线的斜率为. 若，则为轴.因为，所以为轴， 而轴到圆圆心的距离为，大于圆的半径， 所以此时直线与圆无公共点，不合题意.故. 因为，所以直线的斜率为. 圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即. 直线与圆有公共点，当且仅当圆心到直线的距离不大于半径， 所以 两边平方，得，即 ，所以 圆的圆心为，半径为.直线的方程为，即. 直线与圆有公共点，当且仅当圆心到直线的距离不大于半径，所以 两边平方并整理，得 因此题意等价于：存在，使 令 ， 则 其判别式为 所以当时，方程有两个不同实根. 下面分类讨论. ①当时，若，则的图象开口向下， 函数在闭区间上的最小值在端点处取得； 若，则为一次函数，也只需比较端点值. 此时 且， 所以对任意，均有 ，不合题意. ②当时，的图象开口向上，对称轴为 若，则在区间上单调递增.此时要存在使 ， 只需且只需 即 解得. 又等价于 结合，解得. 于是这一情形下得到 若，则对称轴落在区间内. 此时 故必存在使 .这一情形对应 综上，当时，得到. ③当时，的图象仍开口向上，对称轴 若，则在区间上单调递减.此时要存在使 ， 只需且只需 即 解得. 又等价于 结合，解得. 于是这一情形下得到 若，则对称轴落在区间内. 同理有 ，所以必存在使 . 这一情形对应 综上，当时，得到. 由①②③可得 方法2：设直线的斜率为. 若，则为轴，由知为轴. 而轴与圆没有公共点，所以不合题意. 当时，直线的斜率为，方程为 .由直线与圆有公共点， 得 所以 ，即 直线的方程为，即 .由直线与圆有公共点， 得 即 当时，由上式得 令， 则 ，以在上单调递增. 又 ，所以当时，必须有. 反过来，对任意，可取适当使，此时直线与圆相切，条件成立. 当时，由得 令，则 所以在 上单调递增.又 且，所以当时，必须有. 反过来，对任意，可取适当使，此时直线与圆相切，条件成立. 综上，的取值范围为 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式求解，结合对数函数求解定义域. 【详解】函数满足，即得，所以， 函数的定义域为. 12. 已知，，则__________. 【答案】41 【解析】 【详解】的展开式通项， 展开式各项依次为： ，，， ，，， 将含的项合并起来：， 将不含的项合并起来：， 所以，所以． 13. 在中，角A，B，C的对边分别为.若为锐角三角形，则的一个取值为__________. 【答案】（答案不唯一，在内的任意实数均可） 【解析】 【详解】由，得，所以，所以定为锐角； 若为锐角三角形，则均为锐角. 因为为锐角，所以， 所以，即，即. 因为为锐角，所以， 所以，即，即， 因为，所以，所以，所以. 综上所述，. 所以在区间上任意一个数均可为答案. 14. 如图，为直四棱柱，底面ABCD是等腰梯形，，.点在平面内，是等腰三角形. ①若，直线与平面所成角的正弦值为__________； ②若二面角为，四棱锥的体积为__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】①问求线面角的正弦值，由等腰三角形条件确定点的坐标特征，再利用空间中两点距离公式及线面角的定义，将正弦值转化为垂线段与斜线段的比值直接求解； ②建立空间直角坐标系，依次求出底面梯形几何量（下底长、高、面积），并利用法向量（定义法列方程组）与二面角的余弦值建立方程解出高，最后代入棱锥体积公式得出结果. 【详解】已知直四棱柱底面是等腰梯形，，，. 过点分别作底边的垂线，垂足分别为. 因为，所以四边形为矩形，. 在中，，（腰长），由三角函数定义： ， 由等腰梯形的对称性，得. 因此下底. 上底面与底面全等，其面积：高 以为原点，方向为轴，梯形高方向（在底面内垂直于）为轴， 侧棱方向为轴.设侧棱长为，得各点坐标： ， 平面即为平面.点在该平面内，且为等腰三角形， 故在的垂直平分线上，得. 记为到上底面的距离， 已知，则解得. 设直线与平面所成角为，则 ②在平面内 设平面的法向量，则， 取，，则，故. 设平面的法向量， 点坐标为，取，则.另取. 则，取，则，代入得， 又，故，因此. 二面角的大小为，其余弦值为. 两法向量夹角的余弦值为： ， ， ， 所以：， 结合二面角方向判断，二面角为钝角，余弦值为负， 得：，解得（取正值）. 四棱锥体积： 代入得： 15. 设函数定义域为，若存在，使得对任意的，都有成立，则称具有性质．有下列四个结论： ①若都具有性质，则具有性质； ②若都具有性质，则具有性质； ③若具有性质，则存在，使得为增函数； ④存在不具有性质的函数，使得对任意的恒成立． 其中，全部正确结论的序号为__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据函数性质定义，利用绝对值不等式放缩判断①，利用特殊值法判断②④，利用单调性定义判断③． 【详解】设对应常数，对应常数， 若都具有性质，则 ， 取，满足性质，故①正确； 取，则都具有性质，且， 令，则，取，则， 当时，该值无穷大，不满足性质，故②错误； 设对应常数，取，则 ， 为增函数，故③正确； 取，则，取， 则 ， 当时，， 故， 不满足性质，故④正确． 三、解答题共6道小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知函数，其中且. （1）求的值； （2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定.解决下面问题：若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围. ①的最大值为2； ②对任意的； ③的图象关于点中心对称. （注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.如果选择的条件不符合要求，得0分.） 【答案】（1） （2）选①：的最大值为1，不合题意 选②： 选③： 【解析】 【分析】（1）根据函数表达式直接代入即可求解； （2）根据题意得出函数的表达式，再利用函数图象的交点问题即可求解. 【小问1详解】 由于，代入得 ， 又因为，所以. 【小问2详解】 由于， 选①：的最大值为，不可能为，不符合题意； 选②：则为函数的最大值点，故，解得，． 由于 ，则有 ， 故，当时，， 如图所示，当时，与的图象只有一个交点， 即 在区间上有且只有一个实数解，所以的取值范围为； 选③：为对称中心，所以 ， 由于 ，则有 ，后面和②一样，的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，. （1）求证：； （2）若平面平面ABCD，线段PD上是否存在点，使得直线CQ与平面BCP所成角的正弦值为？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）点存在，． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，利用线面垂直的定义得到线线垂直； （2）利用面面垂直的性质得到平面，利用空间向量法求解，，写出坐标，求出平面BCP的一个法向量，设直线CQ与平面BCP所成角为，利用公式求出的值，从而得到点存在，且求出的值． 【小问1详解】 因为，所以． 又因为，，平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以． 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 于是． 因此AP，AB，AD两两垂直，如图建系． 设． 由题可知，． 因为，所以，于是． 因此． 设平面BCP的一个法向量， ，，取则 于是平面BCP的一个法向量． 设直线CQ与平面BCP所成角为，于是． 化简可得，于是．解得或（舍去）． 于是点存在，且． 18. 某科技兴趣小组研发了一种AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了若干次试验，在每次试验中识别图像的数量为100，记录该模型正确识别图像的数量，并分为5组：，得到如图所示的样本数据频率分布直方图. 用频率估计概率. （1）求的值； （2）在相同的条件下，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于60个的次数，求的分布列和数学期望； （3）同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，该模型图像识别的正确率用这若干次试验正确率的均值来估计.该兴趣小组提升了图像识别技术，使得图像识别正确率提升至原来的1.5倍.对于100个图像，用原技术正确识别图像的数量为，提升后正确识别图像的数量为方差的估计值记为方差的估计值记为，比较与的大小.（直接写出答案即可） 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 （3） 【解析】 【分析】（1）由概率和为1列方程求解； （2）先计算出正确识别图像数量不少于60个的概率，再分析取不同值的概率. （3）由方差计算公式求解. 【小问1详解】 ， 化简得，故. 【小问2详解】 1次试验中，正确识别图像数量不少于60个的概率为． 由已知随机变量的可能取值有，且， 的分布列为 0 1 2 3 .， 【小问3详解】 . 计算正确率的均值： 所以模型图像识别的正确率为，做一百次图像识别，服从伯努利分布， 由伯努利分布的方差计算公式得：， 若模型图像识别的正确率提升1.5倍，即， 再计算，. 19. 已知椭圆过点，其左、右焦点和上顶点构成的三角形为等边三角形. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于C，D两点，直线AC，AD分别与直线交于点和点，若，求的值. 【答案】（1） （2）1或 【解析】 【分析】（1）由等边三角形性质求，进而求椭圆方程； （2）联立椭圆方程和直线方程，然后结合韦达定理用表示两个三角形的面积，再列出方程求解. 【小问1详解】 由题可知，，， 所以椭圆的方程：. 【小问2详解】 方程的判别式， 设 三点共线， ， 同理， 或 或. 20. 已知函数的定义域为R，导函数. （1）求的单调区间； （2）已知. （i）比较与的大小关系，并说明理由； （ii）曲线在处的切线与直线交于点，在处的切线与直线交于点，比较与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）单减区间为，单增区间为 （2）（i），理由见解析；（ii），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由导函数的符号入手，令其为零得，列表分析各区间的导数正负，即得单调递减区间和递增区间； （2）（i）令，求导并结合指数函数单调性判定，从而利用递减且推出大小关系；（ii）由导数的几何意义写出切线方程，还原原函数 ，代入作差得到的表达式，再构造函数并利用导数及时进行放缩，证明从而得. 【小问1详解】 函数的定义域为R，令，解得．于是 - 0 + 极小值 于是单减区间为，单增区间为． 【小问2详解】 （i）设， 于是． 当时，，于是．因此． 于是在上递减，． 因此． （ii）曲线在处的切线方程为 ， 与交点纵坐标为 ， 因此：， ， 作差得：； 由于包含一次式和，设，其中为待定常数， 对设定的原函数求导利用乘法求导法则： ， 对比系数， 得： 即，，则 ()， 代入化简得： 令 ，，， 求导得： 当时，由不等式， 得： ， 因此，在单调递增，，因此，故. 21. 已知为给定的正整数，，集合，设非空集合，.若对任意的，集合均恰有个不同的元素，其中，则称是的阶伴随子集. （1）设，写出2个的1阶伴随子集； （2）设，非空集合不存在1阶伴随子集，求中元素个数的最小值； （3）设和互为3阶伴随子集，求中元素个数的最大值. 【答案】（1） （2） （3）240 【解析】 【分析】（1）根据1阶伴随子集的定义进行求解即可； （2）根据题中定义，结合假设法进行求解即可； （3）利用转化法，结合题中定义分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 A共有12个1阶伴随子集，形如是1，2，3，4的排列）. 【小问2详解】 一方面，若，则，对. 令，则是的1阶伴随子集. 另一方面，若.令. 假设是的1阶伴随子集. 则互不相同，且恰取遍. 有，不可能. 综上，． 【小问3详解】 将中的元素自然的看做小方格，A，B中的方格分别记为“○”、 “△” A，B互为3阶伴随子集每个标记格恰有3个异标记格与之同行或同列. 一方面，如图标记时，. 另一方面，设A，B互为3阶伴随子集. 设有个双b标记行，个双b标记列. 注意到以下两个事实： ①每个双标记行（列）最多有3个“○”格，最多有3个“△”格； ②若某行（列）只有“○”（“△”）格，则该行（列）的每个“○”（“△”）格所在的列（行）必是双标记的. （i）若，则， （ii）若，与（i）同理. （iii）若，则最多有5个单标记行，每行最多21个格被双标记，否则由②，，矛盾. （iv）若，与（iii）同理. （v）若且，设同行或同列的异标记格对有个，则． 每个双标记行（列）最多产生9个异标记格对，， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市清华大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷 （高24级）2026.4 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，集合，则可以为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，其中最小的数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数的实部与虚部相等，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 一个密封的袋子里面装有4个黑球，2个白球，从中任取3个球，恰有两个是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为平面上的单位向量，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知抛物线的焦点为，准线为.点在上，过点作的垂线，垂足为.为坐标原点，若四边形OFMN为等腰梯形，面积为，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知为曲线上的一点，过点分别作与轴，轴平行的直线，且分别与曲线交于点A，B，若为等腰直角三角形，则这样的点共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无穷多个 9. 古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系xOy中，若在圆上存在点，在圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为__________. 12. 已知，，则__________. 13. 在中，角A，B，C的对边分别为.若为锐角三角形，则的一个取值为__________. 14. 如图，为直四棱柱，底面ABCD是等腰梯形，，.点在平面内，是等腰三角形. ①若，直线与平面所成角的正弦值为__________； ②若二面角为，四棱锥的体积为__________. 15. 设函数定义域为，若存在，使得对任意的，都有成立，则称具有性质．有下列四个结论： ①若都具有性质，则具有性质； ②若都具有性质，则具有性质； ③若具有性质，则存在，使得为增函数； ④存在不具有性质的函数，使得对任意的恒成立． 其中，全部正确结论的序号为__________． 三、解答题共6道小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知函数，其中且. （1）求的值； （2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定.解决下面问题：若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围. ①的最大值为2； ②对任意的； ③的图象关于点中心对称. （注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.如果选择的条件不符合要求，得0分.） 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，. （1）求证：； （2）若平面平面ABCD，线段PD上是否存在点，使得直线CQ与平面BCP所成角的正弦值为？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 18. 某科技兴趣小组研发了一种AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了若干次试验，在每次试验中识别图像的数量为100，记录该模型正确识别图像的数量，并分为5组：，得到如图所示的样本数据频率分布直方图. 用频率估计概率. （1）求的值； （2）在相同的条件下，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于60个的次数，求的分布列和数学期望； （3）同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，该模型图像识别的正确率用这若干次试验正确率的均值来估计.该兴趣小组提升了图像识别技术，使得图像识别正确率提升至原来的1.5倍.对于100个图像，用原技术正确识别图像的数量为，提升后正确识别图像的数量为方差的估计值记为方差的估计值记为，比较与的大小.（直接写出答案即可） 19. 已知椭圆过点，其左、右焦点和上顶点构成的三角形为等边三角形. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于C，D两点，直线AC，AD分别与直线交于点和点，若，求的值. 20. 已知函数的定义域为R，导函数. （1）求的单调区间； （2）已知. （i）比较与的大小关系，并说明理由； （ii）曲线在处的切线与直线交于点，在处的切线与直线交于点，比较与的大小关系，并说明理由. 21. 已知为给定的正整数，，集合，设非空集合，.若对任意的，集合均恰有个不同的元素，其中，则称是的阶伴随子集. （1）设，写出2个的1阶伴随子集； （2）设，非空集合不存在1阶伴随子集，求中元素个数的最小值； （3）设和互为3阶伴随子集，求中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $