北京市清华大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

高二第二学期期中试卷 数学 (高24级)2026.4 年级 班 姓名 考号 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 1.己知集合A={x|x2<4),集合B∈A,则B可以为A A（-1,2) B.（-3,2) C.(（-3,1) D.[2,+0) 2.己知a=sin26°，b=log20.4,c=2,d=31,其中最小的数为B A.a B.b C.c D.d 3.己知复数z=(a+2i)(2-i)(aeR)的实部与虚部相等，则a=C A.-6 B.-2 D.2 4双曲线上=1的离心率为 84 D A.√2 B.② 3 D.6 2 5.一个密封的袋子里面装有4个黑球，2个白球，从中任取3个球，恰有两个是黑球的概 率为A R e D 6.已知，b为平面上的单位向量，“aLb”是“7b5+5”的C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 口.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 第1页共10页 7.己知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为1.点M在C上，过点M作1的垂线， 垂足为N.O为坐标原点，若四边形OFMN为等腰梯形，面积为4√2，则p的值是B A.√2 B.2 C.2W2 D.4 8.己知P为曲线y=2上的一点，过点P分别作与x轴，y轴平行的直线l,l2,且4，l2分别 与曲线y=42交于点A,B,若△PAB为等腰直角三角形，则这样的点P共有B A.0个 B1个 C.2个 D.无穷多个 9.古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列{α，} 为第n天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中1≤n≤15且n∈N*)组成的数列，第1 天月球被太阳照亮部分占满月的衣。即4-5：第15天为满月，即4：-240.若在数列 {}中，前5项构成公比为q的等比数列，第5项到第15项构成公差为d的等差数列， 且g,d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的D A c.3 D. 5 10.在平面直角坐标系xOy中，若在圆(x-2)2+y2=1上存在点A,在圆 (x-42+(y-m=3上存在点B,使得OA⊥OB,则m的取值范围是A A.（←m,-25]U[2V5,+0) B.(-0,-63]U[6V3,+m) C.[-6V3,-2W3]U[2W5,65] D.[-23,2W5] 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分。 1.函数fw=h(-3)的定义域为 (0,1) 12.己知（√2+1）=W2+n,,n∈N*,则n=」 ·(41) 13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=1,d2-b2=b.若△ABC为锐角三 角形，则b的一个取值为一，(bE(号，)即可) 第2页共10页 14.如图，ABCD-AB,CD,为直四棱柱，底面ABCD是等腰梯形，AB/1CD,∠ADC=60°， AB=AD=2.点P在平面CDD,C1内，且PC,=PD. ①若PD=4,直线PD,与平面ABCD所成角的正弦值为 ②若二面角P-4D-A为，四棱锥P-4BC,D的体积为 3 23:2 15.设函数f(x)定义域为R,若存在M∈(0，+o)，使得对任意的x,x2∈R,x1≠x2,都有 f(x)-f(x2) ≤M成立，则称f(x)具有性质Q.有下列四个结论： 水-X2 ①若f(x),8(x)都具有性质9，则f(x)+8(x)具有性质Q; ②若f(x),g(x)都具有性质9，则f(x)g(x)具有性质Q: ③若f(x)具有性质Q,则存在k∈R,使得y=x-f(x)为增函数； ④存在不具有性质Q的函数f(x),使得对任意的x∈R,f(x)≤1恒成立. 其中，全部正确结论的序号为 答案：①③④ 三、解答题共6道小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.(本小题13分) 已知函数fs)-5 00r+4-2cos(am],其中0e@,习且/0)= (I)求A的值； (Ⅱ)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得∫(x)存在且唯一确定.解决下面问题： 若关于x的方程f(x)-k=0在区间0，上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围。 ①f(x)的最大值为2： @对任意的xeR,f)sf写)： 第3页共10页 国e的图象关于点行0)中心对称 (注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.如果选择的条件不符 合要求，得0分.) 解答0)10-44号 ②f)=5g meo）-ox）=sm2ar专 选①：f(x)的最大值为1，不合题意 选②：X=花为最大值点，故20π-正=工+2kx(k∈，解之0=1+3k. 3 362 0∈(0,2]，∴.k=0,0=1. 6 -gc 故f)=sin(2x-石，x∈o,]时，2x-2e 636 :f()-k=0在区间0到上有且只有一个实数解 女et分U四 选③： (臣)为对称中心，所以-G=x化∈)今w=1+6, 66 :0∈(0,2]，∴.k=0,o=1.后面和②一样 17.(本小题14分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABIICD,∠BAD=90°， ∠CBA=60°，AP=AB=BC=2,AB⊥PD. (I)求证：AB⊥AP; (II)若平面ABP⊥平面ABCD,线段PD上是否存在点O,使得直线CQ与平面BCP所 成角的正弦值为？如果存在，求出D的值：如果不存在，请说明理由。 14 DP 第4页共10页 P B 参考答案： (1)因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD AB⊥AD AB⊥PD →AB⊥平面ADP.因为APC平面ADP,所以AB⊥AP ADOPD=D AD,PDC平面ADP (2) 平面ABP⊥平面ABCD 平面ABPO平面ABCD=AB →AP⊥平面ABCD.于是AP⊥AB,AP⊥AD. AP⊥AB APC平面ABP 因此AP,AB,AD两两垂直，如图建系.设D爬=k,0<k<1. DP 由题可知，B(2,0,0),C1,V3,0),D0,V3,0),P0,0,2).BC=(-1,V3,0),BP=(-2,0,2). 因为DP=(0,-V3,2),所以D0=kDP=(0,-V3k,2k),于是Q0,V3-V3k,2k) 因此C0=(-1,-V3k,2k) 设平面BCP的一个法向量n=(x,y,=) 第5页共10页 m驴=0-2x+2z=0,取=5，则y=1,=5. .Bc=0-x+V3y=0 于是平面BcP的一个法向量n=(√3，l,V5) 设直线CQ与平面aCP所成角为0，于是m0-cos<4c0十一5+B.Vi V7.V1+7k214 化简可得32+8歇-3=0，于是3k-1)+3)=0.解得=上或k=-3(舍去). 3 于是点Q存在，且D9=1 DP 3 18.(本小题13分) 某科技兴趣小组研发了一种AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其 进行了若干次试验，在每次试验中识别图像的数量为100，记录该模型正确识别图像的数 量，并分为5组：[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，得到如图所示的样本 数据频率分布直方图. 频率 组距 0.0175 0.0125 0.005 0 20 406080100 数量（个） 用频率估计概率. (I)求a的值： (Ⅱ)在相同的条件下，随机对该模型进行3次试验，用X表示这3次试验中正确识别图 像数量不少于60个的次数，求X的分布列和数学期望： 第6页共10页 (四同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，该模型图像识别的正确率用这若干次 试验正确率的均值来估计：该兴趣小组提升了图像识别技术，使得图像识别正确率提升至 原来的1.5倍.对于100个图像，用原技术正确识别图像的数量为克，提升后正确识别图 像的数量为点，气方差的估计值记为D,点方差的估计值记为D,比较D与D,的大小 (直接写出答案即可) 18.(1)0.0125×20+0.0175×20+a×20+a×20+0.005×20=1 20a=0.15 a=0.0075 (2)1次试验中，正确识别图像数量不少于60个的概率为0.25=： X=0,1,2,3(X~B(3,) P(X=0)=()3=器 P(X=1)=Cg()()2=哥 P(X-2)-C()2()-晨 P(X=3)=()3=高 ∴.X的分布列为 X P 哥 哥 高 E(X)=0×器+1×器+2×晨+3×高= (3) D1=D2 19.(本小题15分) 已知椭圆m:+ 京+=1(a>b>0过点A(亿2,0)，其左、右焦点和上顶点构成的三角形为等 边三角形. 第7页共10页 (I)求椭圆w的方程： (II)设直线1：x=y-1(t>0)与椭圆w交于C,D两点，直线AC,AD分别与直线y=x-4 交于点E和点F，,若SAMD =2Sus求1的值 19.(D a=2 a=2 c=asin30°= b=v3 号+号-1 a2-b2+c2 =1 C(E1,h),D(x2,2) 3x2+42-12→3y-2y+1)+4y2-12→(32+4到g2-6y-9=0 z=ty-1 △>0. ) h十=，班2=品 设E(yB+4E】 AC=(e1-2,),A2=(E+2,E) A,C,E三点共线.AC!A它 x (-2E=hE+2)E=30 22 同理F= 2-物-2 二=出=品 =-1-3t-1-3=号 4期2 1(x1-1-2)(x2-2-2) .1【(t-1)-3[(t-1)2-31=1(t-1)212-3(t-1)(+2)+9=9 →(t-1)2·3是-3(t-1)·+9-9 .-9(t-1)2-18t(t-1)=0或-9t-1)2-18t(t-1)=-18(32+4) t=1或 20.(本小题15分) 已知函数f)的定义域为R,导函数∫)=2x-4 (I)求f(x)的单调区间： (I)已知t>0. (1)比较f(2+)与f(2-)的大小关系，并说明理由： (2)曲线y=f(x)在x=2+t处的切线与直线x=2交于点(2，y),在x=2-t处的切线 与直线x=2交于点(2，y,),比较y与y,的大小关系，并说明理由 第8页共10页 ①函数f(x)的定义域为R,令∫(x)=0,解得x=2.于是 (-0,2) 2 (2,+0) f'(x) - 0 + f(x) 极小值 于是f(x)单减区间为(-n,2),单增区间为(2，+0) (0设g0-J2+0-12-,于是g0=了2+0+/2-0=24。品。 当1>0时，e“>e产>0，于是。是.因此g0)<01>0 于是g()在(0，+w)上递减，8(t)<g(0)=f(2)-f(2)=0.因此f(2+)<f(2-t) (2)曲线y=f(x)在x=x。处的切线方程为y=(x)x-)+f(x),令x=2,于是 y=f'(x)2-x)+f(x).于是y=-t:f(2+t)+f(2+t),y2=t:f'(2-t)+f(2-t). 令h()=y-y2=-t:f'(2+t)+f(2+)-tf'(2-)-f(2-), 于是h')=-t.f"(2+t)+t·f"(2-)=t(f"(2-t)-f"(2+t)》 因为f'(x)=(2x-4)e,所以f"(x)=(2x+e. 设F0=f"(2-t)-f"(2+t)=2t+10e2#-2(-t+10e2t. 于是F)=2e2t(te+e2”+t-1).注意到当t>0时，e2>1,于是F)>0. 于是当t>0时，'()>0.因此ht)在(0，+o)上递增，h()>h(O)=0.于是y>y2 21.(本小题15分) 己知n为给定的正整数，n≥3，集合M={(x,y)川x,y∈{1,2，，m},设非空集合A,BsM, A∩B=O.若对任意的(a,b)∈A,集合{(x,)∈B|(x-y-b)=0}均恰有k个不同的元素， 其中k∈N,则称B是A的k阶伴随子集。 第9页共10页 (I)设n=4,A={1,1),(2,2),(3,3),(4,4),写出2个A的1阶伴随子集： (Ⅱ)设n=5,非空集合A不存在1阶伴随子集，求A中元素个数的最小值： (⑩设=26，A和B互为3阶伴随子集，求AUB中元素个数的最大值 21.(1)A共有12个1阶伴随子集，形如{(x,y),(2,D)}(x,y,2,D是1,2,3,4的排列)， {(1,2),(3,4)},{(1,3),(2,4)}, (2)Amm=5. 一方面，若{A≤4，则3红0∈{1,2，·，5}，对y∈{1，·，5}，(x0,)A 令B一{(x0,1),(x0,2),··,(x0,5)},则B是A的1阶伴随子集。 另-方面，若|A=5。令A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)} 假设B一{(c1,),·,(xm,m)}是A的1阶伴随子集。 则x1,1,·,xm,m互不相同，且恰取遍1，…，5 5 有2m=5,m=2任乙，不阿能. 综上，Amin=5. (3).AUB|x-240。 将M中的元素自然的看做小方格，A,B中的方格分别染为红、蓝色 A,B互为3阶件随子集→每个染色格恰有3个异色格与之同行或同列。 }行 一方面，如图染色时，AUB引一20×6×2一240. 3 另一方面，设A,B互为3阶伴随子集 行 设有x个双色行，划个双色列。 注意到以下两个事实： 场别 列 ①每个双色行（列）最多有3个红格。最多有3个蓝格： ⑦若某行（列）只有红（盖）格，则该行（列）的每个红（蓝）格所在的列（行）必是双色的， 0若x≥22.则|4UB≤6x+26(26-x)=676-20x≤676-20×22=236<240. 而若y之22.与0同理. m若x一21，y≤21。则最多有5个单色行，每行最多21个格被染色，否则由②，y≥22，矛盾。 |AUB引≤21×6+5×21-231<240. M若x≤21，y≤20，与m同理. 侧若工≤20且y≤20，设同行或同5的异色格对有m个，则m=AUB到：3 2 每个双色行（列）最多产生9个异色格对，m≤9（红+）..AUB1≤6(x+)≤240. 综上，AU Bmo=240. 第10页共10页高二第二学期期中试卷 数学 (高24级)2026.4 年级 班 姓名 考号 第一部分（选择题 共40分) 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 1.已知集合A={x|x2<4,集合B三A,则B可以为 A（-12) B.(-3,2) C.(-3,1) D.[2,+0) 2.已知a=sin26°，b=lg20.4,c=2,d=3,其中最小的数为 A.a B.b C.c D.d 3.已知复数z=(a+2i)(2-i)(a∈R)的实部与虚部相等，则a= A.6 B.-2 C. D.2 4双曲线女_上=1的离心率为 84 A.5 B.2 c v 2 3 D.6 2 5.一个密封的袋子里面装有4个黑球，2个白球，从中任取3个球，恰有两个是黑球的概 率为 6.已知a,b为平面上的单位向量，“a⊥b”是“7a+bH5a+5b1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 第1页共6页 7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为1.点M在C上，过点M作1的垂线， 垂足为N.O为坐标原点，若四边形OFMN为等腰梯形，面积为4√2，则p的值是 A.√2 B.2 C.2W2 D.4 8.已知P为曲线y=2上的一点，过点P分别作与x轴，y轴平行的直线4，山2，且1，分别 与曲线y=42交于点A,B,若△PAB为等腰直角三角形，则这样的点P共有 A.0个 B.1个 C.2个 D.无穷多个 9.古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列{a,】 为第n天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中1≤n≤15且n∈N)组成的数列，第1 天月球被太阳照亮部分占满月的}。，即4=5；第15天为满月，即4，=240.若在数列 48 {a,}中，前5项构成公比为g的等比数列，第5顶到第15项构成公差为d的等差数列， 且q,d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的 A B.2 D.4 c.3 10.在平面直角坐标系x0中，若在圆(x-2)2+y2=1上存在点A,在圆 (x-4)2+(y-m)=3上存在点B,使得OA⊥OB,则m的取值范围是 A.(-o,-23]U[2√3，+o) B.(-o,65]U[63,+o) C【[-65,-25]U[2W5,65 D.[-25,25 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分。 1山.函数f=ln(5的定义域为 12.已知（√2+1）5=mW2+n,m,neN*,则n= 13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=1,a2-b2=b.若△ABC为锐角三 角形，则b的一个取值为 第2页共6页 14.如图，ABCD-A,B,CD为直四棱柱，底面ABCD是等腰梯形，AB/1CD,∠ADC=60, AB=AD=2.点P在平面CDD,C内，△PCD是等腰三角形. ①若PD=4,直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为 ②若二面角P-40-A为号，四棱锥P-4CA的体积为 15.设函数f(x)定义域为R,若存在M∈(0，+∞)，使得对任意的x,xeR,≠x,都有 广(s)-(西sM成立，则称f)具有性质Q.有下列四个结论： ①若f(x),g(x)都具有性质2，则f(x)+g(x)具有性质2： ②若f(x),g(x)都具有性质2，则f(x)g(x)具有性质2：、 ③若f(x)具有性质Q,则存在keR,使得y=a-f(x)为增函数： ④存在不具有性质2的函数f(x),使得对任意的x∈R,f(x)s1恒成立. 其中，全部正确结论的序号为 三、解答题共6道小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.(本小题13分) 已知函数f()=5血0+4-2os(or],其中0∈0,2习且o)=- (I)求A的值； (Ⅱ)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得f(x)存在且唯一确定.解决下面问题： 若关于：的方程/因-女=0在区间0，引上有且只有一个实数解，求实数：的取值范围。 ①f(x)的最大值为2： ②对任意的xeR,)sf得 国f的图象关于点受0)中心对称 (注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分，如果选择的条件不符 合要求，得0分.) 17.(本小题14分) P 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， ABIICD,∠BAD=90°，∠CBA=60°， AP=AB=BC=2,AB⊥PD. (I)求证：AB⊥AP; (II)若平面ABP⊥平面ABCD,线段PD上是否存在点 Q,使得直线CQ与平面BcP所成角的正弦值为Y区？ 14 如果存在，求出D的值：如果不存在，请说明理由， B DP 第4页共6页 18.(本小题13分) 某科技兴趣小组研发了一种A1模型，用于图像识别任务，为了测试该模型的性能，对其 进行了若干次试验，在每次试验中识别图像的数量为100，记录该模型正确迟别图像的数 量，并分为5组：[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，得到如图所示的样本 数据频率分布直方图， 频率 组距 0.0175 0.0125 a 0.005 0 20 40 60 80100 数量（个） 用频率估计概率。 (I)求a的值； (Ⅱ)在相同的条件下，随机对该模型进行3次试验，用X表示这3次试验中正确识别图 像数量不少于60个的次数，求X的分布列和数学期望； (四同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，该模型图像识别的正确率用这若干次 试验正确率的均值来估计，该兴趣小组提升了图像识别技术，使得图像识别正确率提升至 原来的1.5倍.对于100个图像，用原技术正确识别图像的数量为气，提升后正确识别图 像的数量为5，与方差的估计值记为D,52方差的估计值记为D2,比较D与D2的大小。 (直接写出答案即可) 第5页共6页 19.(本小题15分) 已知椭圆w:大2 京=1(a>b>0)过点A(2,0),其左、右焦点和上顶点构成的三角形为等 边三角形 (I)求椭圆W的方程； (I)设直线l:x=y-1化>0)与椭圆W交于C,D两点，直线AC,AD分别与直线y=x-4 交于点E和点F,若SMp=兰SMr,求t的值. 20.(本小题15分) 已知函数f,的定义域为R,导函数f)=2x-4 (I)求f(x)的单调区间； (Ⅱ)已知t>0. (1)比较f(2+)与f(2-t)的大小关系，并说明理由； (②)曲线y=f(x)在x=2+t处的切线与直线x=2交于点(2，片)，在x=2-t处的切线 与直线x=2交于点(2,2)，比较y与y2的大小关系，并说明理由. 21.(本小题15分) 已知n为给定的正整数，n≥3，集合M={(x,y)川x,y∈L,2,…,n}},设非空集合A,B三M, A∩B=g.若对任意的(a,b)∈A,集合{(x,y)∈B引(x-a)0-b)=0均恰有k个不同的元素， 其中k∈N,则称B是A的k阶伴随子集. (I)设n=4,A={0,1),(2,2),(3,3),(4,4)},写出2个A的1阶伴随子集： (Ⅱ)设n=5,非空集合A不存在1阶伴随子集，求A中元素个数的最小值： (Ⅲ四设n=26,A和B互为3阶伴随子集，求AUB中元素个数的最大值 第6页共6页