北京市清华大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

北京市清华大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷 （高24级）2026.4 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，集合，则可以为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，其中最小的数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数的实部与虚部相等，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 一个密封的袋子里面装有4个黑球，2个白球，从中任取3个球，恰有两个是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为平面上的单位向量，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知抛物线的焦点为，准线为.点在上，过点作的垂线，垂足为.为坐标原点，若四边形OFMN为等腰梯形，面积为，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知为曲线上的一点，过点分别作与轴，轴平行的直线，且分别与曲线交于点A，B，若为等腰直角三角形，则这样的点共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无穷多个 9. 古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系xOy中，若在圆上存在点，在圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为__________. 12. 已知，，则__________. 13. 在中，角A，B，C的对边分别为.若为锐角三角形，则的一个取值为__________. 14. 如图，为直四棱柱，底面ABCD是等腰梯形，，.点在平面内，是等腰三角形. ①若，直线与平面所成角的正弦值为__________； ②若二面角为，四棱锥的体积为__________. 15. 设函数定义域为，若存在，使得对任意的，都有成立，则称具有性质．有下列四个结论： ①若都具有性质，则具有性质； ②若都具有性质，则具有性质； ③若具有性质，则存在，使得为增函数； ④存在不具有性质的函数，使得对任意的恒成立． 其中，全部正确结论的序号为__________． 三、解答题共6道小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知函数，其中且. （1）求的值； （2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定.解决下面问题：若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围. ①的最大值为2； ②对任意的； ③的图象关于点中心对称. （注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.如果选择的条件不符合要求，得0分.） 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，. （1）求证：； （2）若平面平面ABCD，线段PD上是否存在点，使得直线CQ与平面BCP所成角的正弦值为？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 18. 某科技兴趣小组研发了一种AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了若干次试验，在每次试验中识别图像的数量为100，记录该模型正确识别图像的数量，并分为5组：，得到如图所示的样本数据频率分布直方图. 用频率估计概率. （1）求的值； （2）在相同的条件下，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于60个的次数，求的分布列和数学期望； （3）同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，该模型图像识别的正确率用这若干次试验正确率的均值来估计.该兴趣小组提升了图像识别技术，使得图像识别正确率提升至原来的1.5倍.对于100个图像，用原技术正确识别图像的数量为，提升后正确识别图像的数量为方差的估计值记为方差的估计值记为，比较与的大小.（直接写出答案即可） 19. 已知椭圆过点，其左、右焦点和上顶点构成的三角形为等边三角形. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于C，D两点，直线AC，AD分别与直线交于点和点，若，求的值. 20. 已知函数的定义域为R，导函数. （1）求的单调区间； （2）已知. （i）比较与的大小关系，并说明理由； （ii）曲线在处的切线与直线交于点，在处的切线与直线交于点，比较与的大小关系，并说明理由. 21. 已知为给定的正整数，，集合，设非空集合，.若对任意的，集合均恰有个不同的元素，其中，则称是的阶伴随子集. （1）设，写出2个的1阶伴随子集； （2）设，非空集合不存在1阶伴随子集，求中元素个数的最小值； （3）设和互为3阶伴随子集，求中元素个数的最大值. 北京市清华大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷 （高24级）2026.4 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】41 【13题答案】 【答案】（答案不唯一，在内的任意实数均可） 【14题答案】 【答案】 ①. ## ②. 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题共6道小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1） （2）选①：的最大值为1，不合题意 选②： 选③： 【17题答案】 【答案】（1） 因为，所以． 又因为，，平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以． （2）点存在，． 【18题答案】 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）1或 【20题答案】 【答案】（1）单减区间为，单增区间为 （2） （i），理由： 设， 于是． 当时，，于是．因此． 于是在上递减，． 因此． （ii），理由： 曲线在处的切线方程为 ， 与交点纵坐标为 ， 因此：， ， 作差得：； 由于包含一次式和，设，其中为待定常数， 对设定的原函数求导利用乘法求导法则： ， 对比系数， 得： 即，，则 ()， 代入化简得： 令 ，，， 求导得： 当时，由不等式， 得： ， 因此，在单调递增，，因此，故. 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3）240 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $