精品解析：河南省南阳市淅川县第二教育集团2026年九年级阶段性评价 数 学

九年级阶段性评价 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 我国是最早使用负数的国家，早在西汉初年，人们就用红色算筹来记收入金额，黑色算筹来记支出金额．如果收入元记作元，那么支出元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据正负数表示具有相反意义的量，可知支出元记作元，故选B． 2. 年马年春晚被广泛称为“目前含AI量最高”的一届春晚．除夕当天，豆包AI互动总数达亿次，其中帮助用户生成超万张新春主题头像．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：亿． 3. 如图为放置在水平实验台上的锥形瓶，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案． 【详解】解：由三视图的定义，知该锥形瓶的主视图与左视图相同． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘法对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A：，故A选项错误； 选项B：，故B选项错误； 选项C：，故C选项正确； 选项D：，故D选项错误； 5. 已知直线，将正六边形按如图所示的位置摆放，直线，分别经过B，C两点．若，则∠2的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 在正六边形中，． ∵， ∴． ∴． ∴． 6. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况得出不等式，求解即可． 【详解】解：由题意，得，解得， ∴的值可以为． 7. 如图，已知，与相交于点．若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，由此列方程即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，经检验符合题意． 8. 年春节档电影题材丰富，满足观众多样化观影需求，其中以《飞驰人生3》《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》《熊出没·年年有熊》最受欢迎（如图）．小鼎和小成分别从这四部电影中随机选择一部观看，两人恰好选中同一部电影观看的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过列表或画树状图即可得出结果． 【详解】解：记四部电影从左到右依次为，，，．由题意，画树状图如下： 由树状图，可知共有种等可能的结果，其中符合题意的结果有种， 则（两人恰好选中同一部电影观看）． 9. 如图1，在中，，动点P从点A出发，沿的路线运动到点C停止，过点P作于点M．设点P运动的路程为x，，y与x之间的函数关系图象如图2所示，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，知当点P运动到点B时，，，即，，确定当时，，即，此时点P在BC边上，记此时点P的位置为，此时点M与点C重合，结合题意求解即可． 【详解】解：由题意，知当点P运动到点B时，，，即，． 由题图2得：当时，，即， 此时点P在边上，记此时点P的位置为， 如图，此时点M与点C重合． ∴，． ∴． ∵， ∴． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在y轴、x轴上，D为边上一点，且点D的横坐标为4，连接，将矩形沿折叠，点A的对应点为E，交对角线于点F．若F为的中点，平分，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点G．过点E作于点H．证明得，，再证明得，从而，根据勾股定理求出，由面积法求出，再由勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点G．过点E作于点H． 由折叠的性质，知，，． ∵F为的中点， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，． ∵， ∴， ∴， ∴点E的坐标为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：________ 【答案】 2（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴（答案不唯一）． 12. 《全民阅读促进条例》于年月日正式施行，全民阅读首次有了国家立法保障．为了解某社区居民每月的阅读量情况，社区人员随机抽取了名居民进行调查，并将调查数据绘制成如图所示的统计图．若该社区有名居民，则每月阅读量不低于本的人数约为______． 【答案】 【解析】 【分析】由样本所占比例乘以总数即可得出结果． 【详解】解：由题意，得每月阅读量不低于本的人数约为． 13. 若实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】综合考查了数轴的有关内容，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法．根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴， ∴的取值范围为． 14. 如图，在中，O为边上一点，以点O为圆心，长为半径的半圆经过点A，D，交的延长线于点E．若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点O作于点M，过点D作于点N，连接，得出四边形为矩形，再由等腰三角形的性质得出，设，再由平行四边形的性质及勾股定理建立方程得出，确定，结合图形求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点M，过点D作于点N，连接， ∴四边形为矩形． ∵， ∴， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 在中，， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴． 15. 如图，在正方形中，．为平面内一点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，则线段的最小值为______，最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先连接，利用正方形的性质与旋转的性质，证明，推得，从而确定点在以为圆心、为半径的圆上运动；再根据点的位置，求出线段的最小值为、． 【详解】解：如解图，连接． ∵四边形为正方形， ∴， 由旋转的性质，知，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，如解图， 当点在边上，即点位于点处时，的长最小，最小值为， 当点在的延长线上，即点位于点处时，的长最大，最大值为， 综上所述，线段的最小值为，最大值为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简 （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算负指数幂、算术平方根、绝对值，再进行实数的混合运算即可； （2）先通分计算括号内分式，再进行因式分解化简即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 为促进学生健康成长，提高身体素质，某校开展了“1分钟跳绳”打卡活动．为了解该校七、八年级学生“1分钟跳绳”的情况，老师从七、八年级学生中各随机抽取了8名学生进行“1分钟跳绳”比赛，并将测试成绩（1分钟跳绳个数）进行整理，绘制成如下统计图表． 跳绳测试成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 170 172.5 a 50 八年级 170 b 180 93.75 根据以上信息，回答下列问题． （1）表中______，______； （2）结合表中数据分析，哪个年级的“1分钟跳绳”情况较好？请说明理由． 【答案】（1）175，172.5 （2） 解：七年级的“1分钟跳绳”情况较好．理由： 因为七、八年级跳绳比赛成绩的平均数和中位数相同，七年级跳绳比赛成绩的方差比八年级的小，所以从整体来看，七年级的跳绳比赛成绩较稳定，“1分钟跳绳”情况较好．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）众数是指一组数据中出现次数最多的数据，观察统计图，寻找出现次数最多的数据即可；中位数是指把一组数据按照从小到大（或大到小）的顺序排列，处于中间位置的数或中间两个数据的平均数，结合统计图排序计算即可； （2）结合七、八年级跳绳成绩的平均数、中位数、众数和方差的大小关系判断即可． 【小问1详解】 解：观察统计图，七年级8名同学跳绳成绩出现次数最多的是175，所以；八年级8名同学跳绳成绩从小到大排序后，处在中间的两个数据分别为170和175，它们的平均数是172.5，所以； 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，，O为上一点，以点O为圆心，长为半径的圆与相切于点B． （1）尺规作图：在直线的右侧作，交于点D．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 如解图所示，即为所求作． （2） 为等边三角形．理由如下： 如图，连接． ∵与相切于点B， ∴． ∵，， ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据作已知角的等角的作法作图即可； （2）由圆的切线的性质，得到，则，再根据圆周角定理得到，再结合，即可得出结论． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别在轴、轴的正半轴上，，轴，为的中点，双曲线经过点，双曲线经过点，连接并延长交双曲线于点． （1）求的值． （2）连接，求证：四边形为菱形． 【答案】（1） （2） 证明：由（），得点的纵坐标为． ∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（）利用等腰三角形三线合一确定点的坐标关系，结合双曲线的，求出过点的双曲线的值； （）先根据双曲线方程求出点坐标，证得对角线互相平分得平行四边形，再结合邻边相等的条件证得菱形． 【小问1详解】 解：设点的坐标为， ∵，为的中点， ∴ ∵轴，双曲线经过点， ∴，点， ∵双曲线经过点， ∴． 【小问2详解】 略 20. 宇树科技机器人从去年的《秧》到今年的《武》，在舞台上“舞”出了新高度，是前沿科技和中国功夫的完美融合．某公司计划购买A，B两种型号的机器人用于分拣货物．已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣的货物，且A型机器人分拣货物所用的时间与B型机器人分拣货物所用的时间相同． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别分拣多少货物． （2）该公司计划购买A，B两种型号的机器人共10台，且购进一台A型机器人花费25万元，购进一台B型机器人花费20万元．若要求这两种型号的机器人每小时分拣的货物不少于，则该公司如何购进这两种型号的机器人才能使花费最低？最低花费是多少？ 【答案】（1）A型机器人每小时分拣货物，B型机器人每小时分拣货物． （2）该公司购进3台A型机器人，7台B型机器人才能使花费最低，最低花费为215万元 【解析】 【分析】（1）设A型机器人每小时分拣货物，则B型机器人每小时分拣货物．根据A型机器人分拣货物所用的时间与B型机器人分拣货物所用的时间相同列出分式方程求解即可得出答案． （2）设购进A型机器人a台，则购进B型机器人台．由这两种型号的机器人每小时分拣的货物不少于得出a的取值范围，设总花费为W万元，则．然后根据一次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A型机器人每小时分拣货物，则B型机器人每小时分拣货物． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． ∴． 答：A型机器人每小时分拣货物，B型机器人每小时分拣货物． 【小问2详解】 解：设购进A型机器人a台，则购进B型机器人台． 由题意，得， 解得． 设总花费为W万元，则． ∵， ∴W随a的增大而增大． ∴当a取最小值，即时，W最小，最小值为（万元）． （台）． 答：该公司购进3台A型机器人，7台B型机器人才能使花费最低，最低花费为215万元． 21. 某数学兴趣小组开展主题为“测量校园树木的高度”的综合与实践活动． 活动主题 测量校园树木的高度 实物与测量示意图 实践操作 （1）图1为小组成员制作的两个完全相同的简易测高仪，两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中为了便于校正竖直位置，在点B，处各悬挂一个相同的铅锤． （2）图2为测量示意图，小组成员甲手持测高仪将C端朝上，D端朝下，调整他到树的距离，使得A，C和树顶M恰在一条直线上，铅锤下端刚好接触地面，接触点记为E． （3）小组成员乙将另一个测高仪端朝下，D1端朝上，调整他到树的距离，使得和树顶M恰在一条直线上，铅锤下端刚好接触地面，接触点记为F 测量数据 ，，（接头处及木条宽度忽略不计）．， 备注 图中所有点在同一平面内 解决问题 求树木的高 【答案】树木的高为 【解析】 【分析】延长交MN于点H，则，设，则，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，再由相似三角形的判定和性质得出，，然后结合图形求解即可． 【详解】解：如解图，延长交MN于点H，则． 设，则． ∵， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴， 解得． ∴． ∴． 根据题意得：． ∴． 答：树木的高为． 22. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，P是抛物线上的任意一点，设点P的坐标为，过点P作轴于点M，作轴于点N． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当时，是否存在一点P，使得的长度最大？若存在，求出m的值及的最大值；若不存在，请说明理由． （3）若在矩形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而增大，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）存在， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出．确定当时，，然后确定，结合二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得出抛物线的对称轴为直线，设点C关于对称轴对称的点为D，则，然后结合函数图象分情况分析即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 存在．∵点P的坐标为，为抛物线上任意一点， ∴． 令， 解得或． ∴． ∴当时，． ∴． ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点C关于对称轴对称的点为D，则． 如图，分情况讨论： ①当时，此时y随x的增大而增大． ②当时，抛物线不在矩形内部，不符合题意． ③当时，此时y随x的增大而增大． ④当时，抛物线不在矩形内部，不符合题意． ⑤当时，y随x的增大而减小，不符合题意． 综上所述，m的取值范围为或． 23. 在中，，O为的中点，F是边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点O作交直线于点E，连接． 【问题初探】 （1）如图1，若，则线段之间的数量关系为______． 【类比探究】 （2）如图2，若，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，，点F在运动的过程中，若的某一条边恰好平分的面积时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）解：，理由： 如图，过点O作于点M，作于点N， ∵， ∴四边形是矩形，。 同理， ∵， ， ， ∵， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （3）3或 【解析】 【分析】（1）过点O作于点M，作于点N，根据全等三角形的判定得出，再由其性质即可求解； （2）过点O作于点M，作于点N，根据矩形的性质及相似三角形的判定和性质即可求解； （3）分两种情况讨论：①当边平分的面积，即平分时，记交于点G，过点O作于点M；②当边平分的面积，即平分时，记交于点G，过点F作交于点H，过点O作于点M，过点E作交的延长线于点N，根据矩形的性质及全等三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：过点O作于点M，作于点N， ∵， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵O为的中点， ， 同理， ∵， ， ∵， ， ， ， ∵， ∴， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 分两种情况讨论：①当边平分的面积，即平分时， 记交于点G， 过点O作于点M， 如图，得， 由（2）知， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ； ②当边平分的面积，即平分时，记交于点G， 过点F作交于点H，过点O作于点M，过点E作交的延长线于点N， 如图4，则四边形为矩形， ， ， ， 设，则， ∴， ∵G为的中点，， ∴， ∵， ∴， ， ∵， 同理：， 由（2）知， ∴， ， ， 解得， 综上所述，的长为3或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性评价 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 我国是最早使用负数的国家，早在西汉初年，人们就用红色算筹来记收入金额，黑色算筹来记支出金额．如果收入元记作元，那么支出元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 年马年春晚被广泛称为“目前含AI量最高”的一届春晚．除夕当天，豆包AI互动总数达亿次，其中帮助用户生成超万张新春主题头像．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图为放置在水平实验台上的锥形瓶，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，将正六边形按如图所示的位置摆放，直线，分别经过B，C两点．若，则∠2的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 如图，已知，与相交于点．若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 8. 年春节档电影题材丰富，满足观众多样化观影需求，其中以《飞驰人生3》《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》《熊出没·年年有熊》最受欢迎（如图）．小鼎和小成分别从这四部电影中随机选择一部观看，两人恰好选中同一部电影观看的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，在中，，动点P从点A出发，沿的路线运动到点C停止，过点P作于点M．设点P运动的路程为x，，y与x之间的函数关系图象如图2所示，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在y轴、x轴上，D为边上一点，且点D的横坐标为4，连接，将矩形沿折叠，点A的对应点为E，交对角线于点F．若F为的中点，平分，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：________ 12. 《全民阅读促进条例》于年月日正式施行，全民阅读首次有了国家立法保障．为了解某社区居民每月的阅读量情况，社区人员随机抽取了名居民进行调查，并将调查数据绘制成如图所示的统计图．若该社区有名居民，则每月阅读量不低于本的人数约为______． 13. 若实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围为______． 14. 如图，在中，O为边上一点，以点O为圆心，长为半径的半圆经过点A，D，交的延长线于点E．若，，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在正方形中，．为平面内一点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，则线段的最小值为______，最大值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简 （1）计算：． （2）化简：． 17. 为促进学生健康成长，提高身体素质，某校开展了“1分钟跳绳”打卡活动．为了解该校七、八年级学生“1分钟跳绳”的情况，老师从七、八年级学生中各随机抽取了8名学生进行“1分钟跳绳”比赛，并将测试成绩（1分钟跳绳个数）进行整理，绘制成如下统计图表． 跳绳测试成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 170 172.5 a 50 八年级 170 b 180 93.75 根据以上信息，回答下列问题． （1）表中______，______； （2）结合表中数据分析，哪个年级的“1分钟跳绳”情况较好？请说明理由． 18. 如图，在中，，O为上一点，以点O为圆心，长为半径的圆与相切于点B． （1）尺规作图：在直线的右侧作，交于点D．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，试判断的形状，并说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别在轴、轴的正半轴上，，轴，为的中点，双曲线经过点，双曲线经过点，连接并延长交双曲线于点． （1）求的值． （2）连接，求证：四边形为菱形． 20. 宇树科技机器人从去年的《秧》到今年的《武》，在舞台上“舞”出了新高度，是前沿科技和中国功夫的完美融合．某公司计划购买A，B两种型号的机器人用于分拣货物．已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣的货物，且A型机器人分拣货物所用的时间与B型机器人分拣货物所用的时间相同． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别分拣多少货物． （2）该公司计划购买A，B两种型号的机器人共10台，且购进一台A型机器人花费25万元，购进一台B型机器人花费20万元．若要求这两种型号的机器人每小时分拣的货物不少于，则该公司如何购进这两种型号的机器人才能使花费最低？最低花费是多少？ 21. 某数学兴趣小组开展主题为“测量校园树木的高度”的综合与实践活动． 活动主题 测量校园树木的高度 实物与测量示意图 实践操作 （1）图1为小组成员制作的两个完全相同的简易测高仪，两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中为了便于校正竖直位置，在点B，处各悬挂一个相同的铅锤． （2）图2为测量示意图，小组成员甲手持测高仪将C端朝上，D端朝下，调整他到树的距离，使得A，C和树顶M恰在一条直线上，铅锤下端刚好接触地面，接触点记为E． （3）小组成员乙将另一个测高仪端朝下，D1端朝上，调整他到树的距离，使得和树顶M恰在一条直线上，铅锤下端刚好接触地面，接触点记为F 测量数据 ，，（接头处及木条宽度忽略不计）．， 备注 图中所有点在同一平面内 解决问题 求树木的高 22. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，P是抛物线上的任意一点，设点P的坐标为，过点P作轴于点M，作轴于点N． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当时，是否存在一点P，使得的长度最大？若存在，求出m的值及的最大值；若不存在，请说明理由． （3）若在矩形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而增大，请直接写出m的取值范围． 23. 在中，，O为的中点，F是边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点O作交直线于点E，连接． 【问题初探】 （1）如图1，若，则线段之间的数量关系为______． 【类比探究】 （2）如图2，若，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，，点F在运动的过程中，若的某一条边恰好平分的面积时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $