精品解析：黑龙江大庆市第四中学2025-2026学年第二学期高二第一次检测数学试题

大庆四中2025～2026学年第二学期高二年级第一次检测数学学科试题 考试时间：120分钟 分值：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A. 81 B. 64 C. 27 D. 24 2. 设随机变量，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. -1 3. 5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 4. 已知随机变量X服从二项分布，则（ ） A. B. C. D. 5. 跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.36 C. 0.35 D. 0.45 6. 甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ） A. B. C. D. 7. 袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（ ） A. B. C. D. 8. 小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是(    ) A. 决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好 B. 若回归方程为，则变量y与x成负相关 C. 某校高三年级男生的身高(单位：cm)近似服从，随机选择一名该校高三年级的男生，则(若，则，) D. 样本相关系数的取值范围为，刻画了样本点集中于某条直线的程度，当时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系 10. 已知二项式展开式中二项式系数和为128，则下列结论中正确的是（ ） A. 二项展开式中各项的系数之和为 B. 二项展开式中二项式系数最大的项为 C. 二项展开式中无常数项 D. 二项展开式中含项的系数为945 11. 甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ） A. 若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 B. 若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 C. 若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 D. 若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________. 13. 某实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有______种. 14. 甲、乙两队参加知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分，则随机变量的数学期望为___________；用表示“甲、乙两个队总得分之和等于”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，则___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文宇说明，证明过程或演算步骤． 15. 为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的课程，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格. 选择课程 选择课程 男生 40 60 女生 20 80 （1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断选择课程与性别有关？ （2）现从男生的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，再从这5名男生中抽取3人做问卷调查，求这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多的概率. 附：. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔的单支售价及相应的日销售量进行了调查，单支售价（元）和日销售量（支）之间的数据如表所示； 单支售价（元） 1.4 1.6 1.8 2 2.2 日销售量（支） 13 11 7 6 3 （1）根据表格中的数据，求出关于的回归直线方程； （2）请由（1）所得的回归直线方程预测日销售量为18支时.单支售价应定为多少元？ 参考公式：.参考数据：. 17. 玉溪青花瓷起源于元末明初，与江西景德镇、浙江江山并称“中国三大青花瓷产地”．其采用玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为，． （1）求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率； （2）设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，求的分布列及期望． 18. 一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． （1）若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； （2）现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 19. 甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． （1）求第2局比赛甲胜的概率； （2）在的条件下，求甲胜的概率； （3）求比赛结束时甲胜的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆四中2025～2026学年第二学期高二年级第一次检测数学学科试题 考试时间：120分钟 分值：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A. 81 B. 64 C. 27 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步计数原理，每封信独立选择信箱，将各步的方法数相乘得到总方法数。 【详解】每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有种方法． 故选：A. 2. 设随机变量，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性进行求解即可. 【详解】由正态分布关于均值对称，知，解得. 故选：C 3. 5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】应用捆绑法计算求解. 【详解】将甲、乙视为一个整体，与其他3人共同组成4个“单位”，这4个单位的排列数为. 由于甲、乙两人内部可以互换位置，需额外乘以2，因此总排列数为：. 4. 已知随机变量X服从二项分布，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布概率公式计算求解. 【详解】∵随机变量X服从二项分布，∴， 故选：A． 5. 跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.36 C. 0.35 D. 0.45 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】设事件表示“随机抽取一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， 因为三个年级的教师人数之比为， 所以，，， 因为高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的， 所以，， 根据全概率公式可得. 故选：C 6. 甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用条件概率公式求解即可 【详解】事件表示甲乙两人都不去A景点，， 事件表示甲乙两人都去A景点，， 所以． 7. 袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，由，可得，然后根据超几何分布的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知均服从超几何分布，且， 由，得， 所以， 因为, , , 所以 , 故选：B 8. 小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设答对题的个数为，由条件可得，结合二项分布期望公式和方差公式求，，根据关系，结合期望性质和方差性质求，，由此可得的解析式，再根据二次函数性质求结论. 【详解】设答对题的个数为，由已知可得， 所以，， 因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以当时，取最大值，最大值为. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是(    ) A. 决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好 B. 若回归方程为，则变量y与x成负相关 C. 某校高三年级男生的身高(单位：cm)近似服从，随机选择一名该校高三年级的男生，则(若，则，) D. 样本相关系数的取值范围为，刻画了样本点集中于某条直线的程度，当时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系 【答案】ABD 【解析】 【详解】决定系数越大，对应分式越小，分母为定值(对已知数据而言，与经验回归方程无关)，则分子残差平方和越小，模型拟合效果越好，故A正确； 由回归方程可知，两个变量呈现线性相关，且随着x的增大，y减小，所以变量y与x成负相关，所以B正确； 因为学生身高近似服从正态分布，故均值为，标准差为，而范围在均值170的右侧距离到之间的区间，所以根据正态分布对称性可知：，所以可得 ，故C错误； 样本相关系数的取值范围为，刻画了样本点集中于某条直线的程度(线性相关性)，当时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但是不排除其他相关关系，故D正确. 10. 已知二项式展开式中二项式系数和为128，则下列结论中正确的是（ ） A. 二项展开式中各项的系数之和为 B. 二项展开式中二项式系数最大的项为 C. 二项展开式中无常数项 D. 二项展开式中含项的系数为945 【答案】CD 【解析】 【分析】由二项式系数和求得n，令x＝1可求得各项系数之和即可判断A，由二项式系数的性质可得二项式系数最大的项即可判断B，由展开式的通项中x的指数确定有无常数项即可判断C，运用通项公式分析得到含项的系数即可判断D． 【详解】因为二项式的展开式中二项式系数之和为128， 所以，得，所以二项式为， 则二项式展开式的通项， 对于A，令，可得二项展开式中各项系数之和为，故A错误； 对于B，第4项,第5项的二项式系数最大，此时，,则二项展开式中二项式系数最大的项为和，故B错误； 对于C，令，则无整数解，所以二项展开式中的常数项不存在，故C正确； 对于D，令，则，，所以D正确. 故选：CD. 11. 甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ） A. 若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 B. 若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 C. 若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 D. 若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二项分布及相互独立事件的概率计算公式逐项求解判断A、B、C，由二项分布及条件概率计算公式求解判断D. 【详解】对于A：若采用3局2胜制，可将比赛看作赛满3局处理，甲获胜则需在3局获胜2局或3局都胜， 其概率为，A正确； 对于B：若采用5局3胜制，甲以获胜则需在第4局比赛中获胜，且在前3局比赛中获胜2局， 其概率为，B错误； 对于C：若，则在5局3胜制中将比赛看作赛满5局处理，则甲获胜的概率为 ， 在3局2胜制中将比赛看作赛满3局处理，甲获胜的概率为 ， ，C正确； 对于D：由事件表示“甲获胜”，设事件表示“比赛局数为4局”， 事件C表示“比赛局数为3局”，事件D表示“比赛局数为5局”， 则，， ，， 所以，， ，，D正确； 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________. 【答案】1 【解析】 【详解】令，可得， 即. 13. 某实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有______种. 【答案】 【解析】 【详解】将5名党员按1，1，3分为三个组有种分法， 再把这三个组安排到A、B、C三个社区有， 由分步乘法计数原理有种不同的安排方法； 将5名党员按1，2，2分为三个组有种分法， 再把这三个组安排到A、B、C三个社区有， 由分步乘法计数原理有种不同的安排方法； 所以不同的安排方法共有. 14. 甲、乙两队参加知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分，则随机变量的数学期望为___________；用表示“甲、乙两个队总得分之和等于”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，则___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用二项分布期望公式可得；利用二项分布概率公式求出、，设乙队总得分为，利用独立事件概率公式求出、，则可求出. 【详解】由题意可得，则； ，， 设乙队总得分为，则 ， ， 则. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文宇说明，证明过程或演算步骤． 15. 为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的课程，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格. 选择课程 选择课程 男生 40 60 女生 20 80 （1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断选择课程与性别有关？ （2）现从男生的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，再从这5名男生中抽取3人做问卷调查，求这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多的概率. 附：. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能 （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格计算卡方值，并依据小概率值进行独立性检验即可； （2）根据分层随机抽样可得到选择课程和的人数，进而根据古典概型的概率计算公式求解即可. 【小问1详解】 零假设：选择课程与性别无关. 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为选择课程与性别有关. 【小问2详解】 选出的5名男生中，选择课程的人数为， 选择课程的人数为， 这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多有如下两种可能： 选择课程有3人，数选择课程有0人，此种有种选法； 选择课程有2人，数选择课程有1人，此种有种选法； 记“这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多”为事件, . 16. 小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔的单支售价及相应的日销售量进行了调查，单支售价（元）和日销售量（支）之间的数据如表所示； 单支售价（元） 1.4 1.6 1.8 2 2.2 日销售量（支） 13 11 7 6 3 （1）根据表格中的数据，求出关于的回归直线方程； （2）请由（1）所得的回归直线方程预测日销售量为18支时.单支售价应定为多少元？ 参考公式：.参考数据：. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）需要先计算样本数据的均值和，再根据给定公式计算回归系数和截距，从而得到关于的回归直线方程. （2）将销售量代入回归直线方程求出对应的单支售价. 【小问1详解】 对于给定的单支售价的数据1.4， 1.6， 1.8，2， 2.2，其均值； 对于销售量的数据13， 11，7，6，3，其均值. 已知，且，，，. 将这些值代入公式可得： 由，将，，代入可得： . 所以，关于的回归直线方程为. 【小问2详解】 当时，将其代入回归直线方程中，得到，解得. 所以，销售量为18支时，单支售价应定为元. 17. 玉溪青花瓷起源于元末明初，与江西景德镇、浙江江山并称“中国三大青花瓷产地”．其采用玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为，． （1）求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率； （2）设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，求的分布列及期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式和对立事件概率求解； （2）由题意得出，利用二项分布概率公式求出相应概率，进而得到分布列和期望． 【小问1详解】 设甲烧制的3个青花瓷中成品的个数为，则的对立事件为， ， ． 【小问2详解】 乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，乙烧制青花瓷的成品率， ， 的可能取值为， ， ， ， ， 的分布列为： X 0 1 2 3 P 的期望． 18. 一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． （1）若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； （2）现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 数学期望为1 【解析】 【小问1详解】 单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立， 因此单个志愿者通过培训考核的概率为， 则单个志愿者没有通过培训考核的概率为. 因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”， 因此所求概率. 【小问2详解】 由题意，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为， 分别计算概率得，， ，， 因此的分布列为： 所以数学期望为. 19. 甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． （1）求第2局比赛甲胜的概率； （2）在的条件下，求甲胜的概率； （3）求比赛结束时甲胜的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先把第１局作为互斥事件，再利用全概率公式计算求解； （2）先分别计算比赛进行3局时甲胜和乙胜的概率，求和得到，再利用条件概率公式计算求解； （3）按结束的局数分类，可能是，分别计算每种局数下甲胜的概率，再求和． 【小问1详解】 设表示第1局甲胜，表示第2局甲胜， 由全概率公式得． 【小问2详解】 表示比赛在第3局结束，即前2局无连续两胜，第3局形成连续连胜： 乙胜：序列为“甲、乙、乙”，概率为， 甲胜：序列为“乙、甲、甲”，概率为， ， 甲胜的概率为． 【小问3详解】 时，甲胜的概率为； 时，甲胜的概率为； 时，甲胜序列为“甲、乙、甲、甲”的概率为； 时，甲胜序列为“乙、甲、乙、甲、甲”或“甲、乙、甲、乙、甲”， 概率为， 甲胜的概率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $