期中培优：正方形的性质4种高频考点专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

期中培优：正方形的性质4种高频考点专项训练 期中培优：正方形的性质4种高频考点专项训练 考点目录 利用正方形的性质求角度 利用正方形的性质求线段长 利用正方形的性质求面积 正方形的性质与折叠问题综合 考点一 利用正方形的性质求角度 例1．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图所示，已知四边形和均是正方形，其中，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得到，进而求出的度数，再根据四边形的内角和为和平角的性质得到，利用． 【详解】解：四边形和均是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 例2．（25-26八年级下·山东日照·月考）如图，正方形中，，直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，进而根据三角形内角和及角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图，点E为正方形外一点，且，连接，交于点F，连接，．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】根据正方形性质和已知得，求出 ，由三角形外角的性质得，通过证明得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴ ∴． 例4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和角之间的关系，计算即可求解． 【详解】解：如图， 两个正方形， ，， ， ， ， ． 变式1．（25-26八年级下·山东潍坊·月考）如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由正方形的性质可知，，，，再结合平行的性质和等边对等角，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 正方形， ，，， ， ， ， ， ， ． 变式2．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在正方形中，为上一点．若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是关键． 由正方形的性质可得．根据三角形的内角和定理求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 变式3．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，为正方形对角线，延长至点E，使，连接，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得的度数，由等边对等角和三角形外角的性质可得，，据此求解即可． 【详解】解：∵为正方形对角线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式4．（2026·安徽合肥·一模）如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则α的度数是______． 【答案】 【分析】由五边形是正五边形，则，所以，又四边形是正方形，所以，最后通过三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 考点二 利用正方形的性质求线段长 例1．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，正方形的边长等于4，点、分别在、边上，点关于的对称点恰好是边的中点，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由轴对称的性质可得，求出；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由轴对称的性质可得， ∵正方形的边长等于4， ∴， ∵点是边的中点， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 例2．（25-26八年级下·北京房山·期中）如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】设正方形边长为，利用勾股定理解出即可． 【详解】解：设正方形边长为， ，即， 解得（负值已舍去）， 故正方形的周长为． 例3．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）如图，正方形中，E，F分别是，边上的点，，，于点，则的长为___________． 【答案】 【分析】由正方形的性质并结合题意可得，，由勾股定理可得，再证明，即可得证． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 例4．（25-26八年级下·上海崇明·期中）如图，正方形的边长为6，E是的中点，，与交于点F，则的长为__________． 【答案】 【分析】由正方形的性质得出，，由E是的中点，得出，由勾股定理得出，证明，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1．（25-26八年级下·上海松江·期中）如图，已知正方形的边长为6，P是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】连接，由正方形的性质可得，，，证明四边形是矩形，得出，，从而可得是等腰直角三角形，即可得出，结合题意求出，，从而可得，，再证明，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 变式2．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在正方形中，为中点，连接，将沿所在的直线翻折到正方形所在的平面内得，连接、，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，过点作交的延长线于点，设，利用正方形和折叠的性质推导角度关系，证明以及是等腰直角三角形，进而得出与的数量关系即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ， ∵四边形是正方形， ，， 设，则 ， 沿所在的直线翻折得， ，，，， ，，， ，， 为中点， ， ， ， ， ，， ，，， ， 又， ， ， 又， 是等腰直角三角形， 设， 则， 在和中， ， ， ， ， ． 变式3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，已知正方形的边长为3，点E是正方形的边上的一点，点A关于的对称点为F，若，则的长为_______． 【答案】1 【分析】利用轴对称的性质，得到对应边相等、对应角相等；延长交于点，连接，通过证明得到是的中点，在直角三角形中，设未知数利用勾股定理列方程求解． 【详解】解： 四边形是正方形， ， 点关于的对称点为点 ，， 延长交于点，连接， 又 （） ， 设，， 在中， 解得 ． 变式4．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形的边长为8，点是的中点，垂直平分且分别交、于点、，则_____． 【答案】 1 【分析】连接、，根据勾股定理和正方形的性质解题即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵垂直平分， ∴， 由题意知，点是的中点， ∴， 设，则有， ∵， ，， ∴， 解得， ∴． 考点三 利用正方形的性质求面积 例1．（25-26八年级下·北京·月考）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 【答案】B 【分析】利用勾股定理，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 例2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据正方形的性质，得，，，从而，利用“”，得，则，进而阴影部分，同理可求另一阴影部分的面积，相加即可求解． 【详解】解：如图所示： 三个边长分别是3，4，5的正方形， ，，， ，， ， ()， ， 则， 正方形的边长为4， ， 即第2个和第3个正方形重叠部分的面积为4， 同理可得第1个和第2个正方形重叠部分的面积为， 则图中阴影部分的面积和为． 故选：B． 例3．（25-26八年级下·青海西宁·月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】通过两个小正方形的面积，分别求出正方形的边长，则可求最大的正方形的边长，再用大正方形面积减去两个小正方形面积求解即可． 【详解】解：∵小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为， ∵大一点的正方形的面积为， ∴大一点的正方形的边长为， 则最外边的大正方形的边长为， ∴， ∴， 则留下的阴影部分的面积为 ． 例4．（25-26八年级下·陕西安康·月考）如图，在中，，，，则正方形的面积是______． 【答案】16 【分析】根据已知条件利用勾股定理求得的长，从而利用正方形面积公式即可求得结果． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∴． 变式1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y，根据题意，得，，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y， 根据题意，得，，， 故， 故， 故剩余图形的面积为， 故选：C． 变式2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若，，则（   ） A．50 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】连接，即可利用勾股定理的几何意义解答． 本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边． 【详解】解：连接，根据勾股定理，得， 由正方形的性质，得， 故， 又，， 则， 故选：B． 变式3．（2026·广东中山·模拟预测）如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】42 【分析】本题主要考查正方形的性质，根据经过正方形中心的直线把这个正方形分成面积相等的两部分解答即可． 【详解】解：∵边长分别为8，4，2的正方形的面积为：64，16和4， ∴三个正方形的面积和为, ∵三点分别是正方形的中心， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：42． 变式4．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是_______． 【答案】4 【分析】本题考查了利用平方差公式求面积，数形结合，正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键．由题意得出，表示出，即可得出答案． 【详解】解：如图， 大正方形与小正方形的面积之差是8， ， 由图可知： ， 故答案为：4． 考点四 正方形的性质与折叠问题综合 例1．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数；②由，可得；③由，可得的面积的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得是等腰三角形，即可证得，易证得四边形是菱形；⑤由菱形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可得． 【详解】解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得： 故，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ，故②错误． ， ，与同高， ，故③错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 故四边形是菱形，故④正确． 四边形是菱形， ， ， ， ， 同理可得．故⑤正确． 综上，正确的结论有①④⑤． 例2．（2026·黑龙江大庆·一模）如图，正方形的边长为4，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点．和的平分线，相交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用等面积法求出点H到的距离即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， ， 将沿直线翻折得， ，， ， 又， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， 设点H到的距离为h， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 例3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________． 【答案】 【分析】连接，求出正方形的边长为4，由正方形的性质可得，则，由折叠的性质可得，，可证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为16， ∴； 如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 变式4．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 【分析】利用矩形和折叠的性质可得，，设，则，在中，根据勾股定理可得；连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：当与重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 如图，连接， 当四边形为正方形时，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 变式1．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形是边长为18的正方形纸片，为边上的点，．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与边交于点M、N，则的长是（   ） A．4 B．4.25 C．5 D．5.5 【答案】A 【分析】连接，依据垂直平分，即可得到，设，则，依据勾股定理可得方程，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， 由折叠可得，B，关于对称，即垂直平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵中，， 中，， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 变式2．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②正确； ，故③错误； ， ， ，， ， ，故④正确； ∴①②④正确， 故选：B． 变式3．（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 设，则， 四边形的面积为6， ， 即， 解得， ， ， 由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的面积为：． 变式4．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】利用折叠的性质得到线段与角的等量关系，先通过勾股定理列方程求出的长度，再依次求出、的长度，结合的条件判定为等腰直角三角形，进而求出的长度，接着用面积法求出边上的高，再通过勾股定理求出、的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵纸片沿、折叠，点、重合于点， ∴，， ∴，，，，， ∴，且、、三点共线． 设，则，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即． 在中，由勾股定理得． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得． 在中，由勾股定理得． 过点作于点， ∵， ∴，解得． 在中，由勾股定理得． ∴． 在中，由勾股定理得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：正方形的性质4种高频考点专项训练 期中培优：正方形的性质4种高频考点专项训练 考点目录 利用正方形的性质求角度 利用正方形的性质求线段长 利用正方形的性质求面积 正方形的性质与折叠问题综合 考点一 利用正方形的性质求角度 例1．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图所示，已知四边形和均是正方形，其中，则度数为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·山东日照·月考）如图，正方形中，，直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图，点E为正方形外一点，且，连接，交于点F，连接，．若，则的度数为_______． 例4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 变式1．（25-26八年级下·山东潍坊·月考）如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在正方形中，为上一点．若，则（   ）． A． B． C． D． 变式3．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，为正方形对角线，延长至点E，使，连接，则的度数为_____． 变式4．（2026·安徽合肥·一模）如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则α的度数是______． 考点二 利用正方形的性质求线段长 例1．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，正方形的边长等于4，点、分别在、边上，点关于的对称点恰好是边的中点，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 例2．（25-26八年级下·北京房山·期中）如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 例3．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）如图，正方形中，E，F分别是，边上的点，，，于点，则的长为___________． 例4．（25-26八年级下·上海崇明·期中）如图，正方形的边长为6，E是的中点，，与交于点F，则的长为__________． 变式1．（25-26八年级下·上海松江·期中）如图，已知正方形的边长为6，P是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 变式2．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在正方形中，为中点，连接，将沿所在的直线翻折到正方形所在的平面内得，连接、，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，已知正方形的边长为3，点E是正方形的边上的一点，点A关于的对称点为F，若，则的长为_______． 变式4．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形的边长为8，点是的中点，垂直平分且分别交、于点、，则_____． 考点三 利用正方形的性质求面积 例1．（25-26八年级下·北京·月考）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 例2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·青海西宁·月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为___________． 例4．（25-26八年级下·陕西安康·月考）如图，在中，，，，则正方形的面积是______． 变式1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若，，则（   ） A．50 B．60 C．100 D．110 变式3．（2026·广东中山·模拟预测）如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_______． 变式4．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是_______． 考点四 正方形的性质与折叠问题综合 例1．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 例2．（2026·黑龙江大庆·一模）如图，正方形的边长为4，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点．和的平分线，相交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________． 变式4．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 变式1．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形是边长为18的正方形纸片，为边上的点，．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与边交于点M、N，则的长是（   ） A．4 B．4.25 C．5 D．5.5 变式2．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式3．（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 变式4．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $