专题06 平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质综合（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题06 平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质综合 考点01 平行四边形的判定与性质 考点02 矩形的判定与性质 考点03 菱形的判定与性质 考点04 正方形的判定与性质 考点01 平行四边形的判定与性质 1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形．下列结论中；①AB⊥AC；②∠DFE＝135°；③四边形AEFD是平行四边形；④四边形AEFD的面积为20．其中所有正确的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 2．如图，AC是▱ABCD的对角线，过点B作BG⊥AC交AD于点G，垂足为E，过点D作DH⊥AC交BC于点H，垂足为F，连接GH、EH．则下列结论：①BE＝DF；②四边形GBHD是平行四边形；③∠GAC＝∠DHC；④GH平分▱ABCD的周长；⑤S△ABE＝S△EHC，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF；④S△AEF．其中正确的有 　 　 ． 4．如图，在▱ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，延长BF⊥CD于点F，DE，BF交于H，延长BF与AD的延长线交于点G，下面给出四个结论：①BDBE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④△BCF≌△DCE；⑤线段BG与CD互相平分．其中正确的结论有 　 　 个． 5．如图，等边△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且AD＝CE，CD与BE交于点F，在BC上方作等边△BEG，连接AG，DG． （1）求证：四边形CDGE为平行四边形； （2）不添加任何辅助线，直接写出与∠AEG相等的角（不包括∠AEG）． 6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形． （2）若∠ABD＝90°，AB＝2BO＝4，求线段BE的长． 7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，连接DN，BN，BM，DM． （1）求证：△ABM≌△CDN； （2）求证：四边形BNDM是平行四边形． 8．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．若点E是BC中点，点F在直线CD上，连接AE，EF，且AE＝EF． （1）求证：AB＝CD； （2）当点F在线段CD上时，求证：∠AEF＝2∠EFC； （3）若AB＝4，AD＝5，DF＝1，求EF的长． 9．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积； （3）在（2）的条件下，平行线AD与EC间的距离为　 　 ． 10．在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2． ①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长； ②求证：CD＝CH． 考点02 矩形的判定与性质 11．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，动点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列结论中： ①四边形ABCD是矩形； ②当CD＝4OF时，点E是AB的中点； ③当AB＝3，BC＝4时，线段OF长度的最大值为2； ④当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形， 其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD，且AG＝BD，交CB的延长线于点G，连接FG，若AD⊥BD，下列结论：①DF∥BE；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④4S△BFC＝S▱ABCD，正确的有（　　） A．①②③④ B．①② C．①③ D．①②④ 13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D与点B对应，点D恰好落在AC上，过E作EF∥AB交BC的延长线于点F，连接BD并延长交EF于点G，连接CE交BG于点H．下列结论：①BD＝DG； ②；③CH＝EH；④．其中正确的有 　 　 （填正确的序号）． 14．如图，E是矩形ABCD的边AD上（端点除外）的动点，连接BE，CE，作▱BECF，连接AF，DF分别交BC于点G，H．下列五个结论： ①∠CED＝∠CBF； ②S▱BECF＝2S矩形ABCD； ③GH＝BG+CH； ④若▱BECF是矩形，则BC＝2AB； ⑤若点E是AD的中点，则▱BECF为菱形． 其中正确的结论是 　 　 （填写序号）． 15．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，M是边AC的中点，连接DM并延长至点N，使得MN＝DM，连接AN，CN，CD，且∠ADC＝∠DCN． （1）求证：四边形ADCN是矩形； （2）若∠BAC＝60°，BD＝2AD＝8，求点A到边BC的距离． 16．如题，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且DF＝BE，连接AF，BF．若CF＝3，BF＝4，DF＝5． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若∠DAB＝56°，求∠DFA的度数． 17．如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若BF＝16，DF＝8，求CD的长． 18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG⊥AB． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝20，EF＝8，求OE和BG的长． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，D为BC中点，四边形ACDE是平行四边形． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）过点E作EH⊥AB于点H，若∠HEB＝3∠HEA，求AH的长． 20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若BD＝8，AC＝4， ①求OE的长； ②求CE的长． 考点03 菱形的判定与性质 21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接AE，则下列结论：①AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；③OG∥AB；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBOS菱形ABCD中，正确的结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝20，BD＝10，点E、F分别在边AB、CD上（点E不与A、B重合）．且DE∥BF，DE、BF分别交AC于点P、Q，连结BP、DQ．给出下面四个结论：①四边形DPBQ是菱形；②AC平分四边形DEBF的周长；③若AP＝8，则四边形DPBQ的面积是20；④当DE⊥AB时，．上述结论中，正确结论的序号是　 　 ． 第23题 第24题 24．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，则下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④四边形BEFG是菱形；⑤EA平分∠GEF．其中错误的是 　 　 （填序号）． 25．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，过点D分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，连接AD，AD平分∠BAC． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）连接EF交AD于点O，若∠BAC＝60°，AE＝5，求AD的长． 26．如图1，在平行四边形ABCD中，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，且E，F分别在边AD，BC上，BE＝BF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）如图2，线段BD与线段EF交于点O，若DE＝10，BD＝16，求菱形BFDE的面积． 27．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接AC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求ED的长． 29．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点B，D作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）四边形BEDF能否是菱形？简要说明你的理由； （3）若DF＝EF，CE＝7，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积． 30．课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O． 求证：平行四边形ABCD是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6． ①求证：平行四边形ABCD是菱形； ②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若，求CE的长． 考点04 正方形的判定与性质 31．如图，已知四边形ABCD为正方形．，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②；③CG＝AE；④CG平分∠DCF．其中结论正确的序号有（　　） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 32．如图，正方形ABCD的边长为1，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②点G在运动过程中，始终满足∠GAD＝∠GFE；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值1；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 33．如图在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③FO＝FG；④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；⑤2OF2＝EF2；⑥若DF＝3，，则．其中正确的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 34．如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出4种情况：①若G为BD上任意一点，则AG＝EF；②若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；③若DG：BG＝1：4，则S△ADG；④若过点G作正方形GCNM交AB边于M，则BN+BGAB．则其中正确的是　 　 ． 35．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F在对角线BD上的位置如图所示，且BE＝DF，AC＝EF，连接AE，CE，CF，AF． （1）求证：四边形AECF是正方形； （2）若，，求AE的长． 36．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的一点，且AH＝DG＝CF＝BE． （1）求证：四边形EFGH为正方形； （2）若正方形EFGH的面积为4，连接FH，求FH的长． 37．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 38．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）∠EAF＝　 　 °（直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝3，求DF的长． 39．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数． 40．已知：正方形ABCD的边长为a，P是边CD上一个动点不与点C、点D重合，CP＝b，以CP为一边在正方形ABCD外作正方形PCEF，连接BF、DF． 观察计算：（1）如图1，当a＝4，b＝1时，四边形ABFD的面积为　 　 ； （2）如图2，当a＝4，b＝2时，四边形ABFD的面积为　 　 ； （3）如图3，当a＝m，b＝n时，四边形ABFD的面积为　 　 ； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积之间有怎样的关系？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质综合 考点01 平行四边形的判定与性质 考点02 矩形的判定与性质 考点03 菱形的判定与性质 考点04 正方形的判定与性质 考点01 平行四边形的判定与性质 1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形．下列结论中；①AB⊥AC；②∠DFE＝135°；③四边形AEFD是平行四边形；④四边形AEFD的面积为20．其中所有正确的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【解答】解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠BAC＝90°， ∴AB⊥AC， 故①正确； ∵△ABD，△ACE都是等边三角形， ∴∠DAB＝∠EAC＝60°， ∵△ABD和△FBC都是等边三角形， ∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°， ∴∠DBF＝∠ABC， 在△ABC与△DBF中， ， ∴△ABC≌△DBF（SAS）， ∴AC＝DF＝AE＝8， 同理可证：△ABC≌△EFC（SAS） ∴AB＝EF＝AD＝6， ∴四边形AEFD是平行四边形， 故③正确； ∴∠DFE＝∠DAE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°， 故②错误； 过A作AG⊥DF于G， ∴∠AGD＝90°， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°， ∴AGAD＝3， ∴S▱AEFD＝DF•AG＝8×3＝24， 故④错误． ∴正确的结论是①③， 故选：B． 2．如图，AC是▱ABCD的对角线，过点B作BG⊥AC交AD于点G，垂足为E，过点D作DH⊥AC交BC于点H，垂足为F，连接GH、EH．则下列结论：①BE＝DF；②四边形GBHD是平行四边形；③∠GAC＝∠DHC；④GH平分▱ABCD的周长；⑤S△ABE＝S△EHC，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EAB＝∠FCD，∠GAE＝∠FCH， ∵BG⊥AC，DH⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴△AEB≌△∠CFD（AAS）， ∴BE＝DF，AE＝CE，故①正确； ∵∠GAE＝∠FCH，∠AEG＝∠CFH， ∴△GAE≌△∠FCH（ASA）， ∴AG＝CH， ∴AD＝AG＝CB﹣CH，即GD＝BH， ∴四边形GBHD是平行四边形，故②正确； ∵∠GAC＝∠ACH，而∠ACH不一定等于∠DHC， 故③错误； ∵AG＝CH，GD＝HB， ∴AG+AB+BH＝GD+DC+CH， 故GH平分▱ABCD的周长， 故④正确； 如图，过点E作EM⊥AD，并延长ME交BC于点N， ∵AD∥BC， ∴MN⊥BC， 则S△ABE＝S△ABG﹣S△AEG， ， ∵AG＝CH， ∴S△ABE＝S△EHC， 故⑤正确，故正确的有4个， 故选：C． 3．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF；④S△AEF．其中正确的有 　①②③　 ． 【答案】①②③ 【解答】解：连接EC，作CH⊥EF于H． ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°， ∵EF∥BC， ∴∠EFC＝∠ACB＝60°， ∴△EFC是等边三角形， ∴CH，EF＝EC＝BD， ∵EF∥BD， ∴四边形BDEF是平行四边形， 故②正确， ∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF， ∴△ABD≌△BCF（SAS）， 故①正确， ∵S平行四边形BDEF＝BD•CH， 故③正确， ∵AC＝BC＝3，BD＝CF＝1， ∴CD＝2BD，AF＝2CF， ∵S△ABD1， ∴S△AEF•S△AEC•S△ABD， 故④错误， ∴①②③都正确， 故答案为：①②③． 4．如图，在▱ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，延长BF⊥CD于点F，DE，BF交于H，延长BF与AD的延长线交于点G，下面给出四个结论：①BDBE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④△BCF≌△DCE；⑤线段BG与CD互相平分．其中正确的结论有 　3　 个． 【答案】3． 【解答】解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC， ∴∠DBE＝∠BDE＝45°， ∴BE＝DE， ∴BDBE，故①正确； ∵DE⊥BC，BF⊥CD， ∴∠BEH＝∠DEC＝90°， ∴∠BHE+∠HBE＝90°＝∠HBE+∠C， ∴∠C＝∠BHE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C＝∠BHE，故②正确； ∵∠C+∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝∠HBE， 在△BHE和△DCE中， ， ∴△BHE≌△DCE（ASA）， ∴BH＝CD＝AB，故③正确， 在△BCF和△DCE中，只有三个角相等，没有边相等， ∴△BCF与△DCE不全等，故④错误． 若D点是AG的中点， ∵BG⊥CD，AB∥CD， ∴AB⊥BG， 则DBAG＝DG， ∴BF＝FG， ∵D点不一定是AG的中点， 则BF＝FG不一定成立 则线段BG与CD互相平分，不一定成立， 故⑤错误， 故答案为：3． 5．如图，等边△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且AD＝CE，CD与BE交于点F，在BC上方作等边△BEG，连接AG，DG． （1）求证：四边形CDGE为平行四边形； （2）不添加任何辅助线，直接写出与∠AEG相等的角（不包括∠AEG）． 【答案】（1）见解答； （2）∠ACD，∠DGE，∠ABG，∠CBE． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（SAS）， ∴CD＝BE，∠ACD＝∠CBE， ∵△BEG是等边三角形， ∴BE＝BG，∠EBG＝60°， ∴∠EBG＝∠ABC，CD＝GE， ∴∠EBG﹣∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE， ∴∠GBD＝∠EBC． 在△AGB和△CEB中， ， ∴△AGB≌△CEB（SAS）， ∴AG＝CE．∠GAC＝∠BCE＝60°， ∵AD＝CE， ∴AG＝AD， ∴△ADG是等边三角形， ∴DG＝AD， ∴DG＝CE， ∴四边形CDGE是平行四边形； （2）解：与∠AEG相等的角有∠ACD，∠DGE，∠ABG，∠CBE；理由如下： ∵四边形CDGE是平行四边形， ∴GE∥CD，∠ACD＝∠DGE， ∴∠ACD＝∠AEG，∠DGE＝∠AEG， ∵△ADC≌△CEB， ∴∠ACD＝∠CBE， ∴∠CBE＝∠AEG， ∵△AGB≌△CEB， ∴∠ABG＝∠CBE， ∴∠ABG＝∠AEG， ∴与∠AEG相等的角有∠ACD，∠DGE，∠ABG，∠CBE． 6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形． （2）若∠ABD＝90°，AB＝2BO＝4，求线段BE的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵E、F分别是AO、CO的中点， ∴OE＝OF， ∴四边形BFDE为平行四边形； （2）解：∵AB＝2BO＝4， ∴BO＝2， ∵∠ABD＝90°， ∴AO2， ∵点E为AO的中点， ∴BEAO． 7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，连接DN，BN，BM，DM． （1）求证：△ABM≌△CDN； （2）求证：四边形BNDM是平行四边形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC， ∴∠BAM＝∠DCN， ∵点M，N分别为OA、OC的中点， ∴， ∴AM＝CN， 在△ABM与△CDN中， ， ∴△ABM≌△CDN（SAS）； （2）∵△ABM≌△CDN， ∴BM＝DN，∠AMB＝∠CND， ∴180°﹣∠AMB＝180°﹣∠CND， ∴∠BMO＝∠DNO， ∴BM∥DN， ∵BM＝DN， ∴四边形BNDM是平行四边形． 8．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．若点E是BC中点，点F在直线CD上，连接AE，EF，且AE＝EF． （1）求证：AB＝CD； （2）当点F在线段CD上时，求证：∠AEF＝2∠EFC； （3）若AB＝4，AD＝5，DF＝1，求EF的长． 【答案】（1）（2）见解答． （3）EF的值为或． 【解答】（1）证明：连接AC， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠BCA（两直线平行，内错角相等）， 在△ABC和△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（ASA）， ∴AB＝CD． （2）证明：延长AE交DC的延长线于点G， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠GCE，∠BAE＝∠G， ∵E是BC中点， ∴EB＝EC， ∴△ABE≌△GCE（AAS）， ∴EG＝EA， ∵AE＝EF， ∴EG＝EA＝EF， ∴∠BAE＝∠G＝∠EFC， ∵∠AEF＝∠G+∠EFC， ∴∠AEF＝2∠EFC． （3）解：连接AF， ①当点F在边DC上时， 由（2）知：EG＝EA＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA，∠G＝∠EFG， ∵∠EAF+∠EFA+∠EFG+∠G＝180°， ∴∠EFG+∠EFA＝90°， ∴∠AFD＝∠AFG＝90°， 在Rt△AFD中，AD＝5，DF＝1， ∴AF2＝AD2﹣DF2＝52﹣12＝24， 在Rt△AFG中，AG2＝AF2+GF2， ∵△ABE≌△GCE， ∴CG＝AB＝4， 又∵AB＝CD＝4，DF＝1， ∴FG＝7， ∴AG2＝AF2+GF2＝24+49＝73， ∴， ∴； ∴EF的长为； ②当点F在边CD的延长线上时， 同①可得，GF＝9，AG2＝AF2+GF2＝24+81＝105， ∴AG， ∴EF， 综上所述，EF的长为或． 9．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积； （3）在（2）的条件下，平行线AD与EC间的距离为　　 ． 【答案】（1）见解析； （2）24； （3）． 【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中， ， ∴△AOE≌△COD（ASA）， ∴OD＝OE， 又∵AO＝CO， ∴四边形AECD是平行四边形； （2）解：∵AB＝BC，AO＝CO， ∴BO为AC的垂直平分线，BO⊥AC， ∴平行四边形AECD是菱形， ∵AC＝8， ∴， 在Rt△COD中，CD＝5， ∴， ∴DE＝2OD＝6， ∴， ∴四边形AECD的面积为24； （3）解：∵OD＝3，，∠AOD＝90°， ∴， 设平行线AD与EC间的距离为x， 则， 解得， 故答案为：． 10．在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2． ①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长； ②求证：CD＝CH． 【答案】（1）证明见解析；（2）①4；②证明见解析． 【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点， ∴AD∥BC，BO＝DO， ∴∠ADB＝∠CBD， 在△BOE与△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴DF＝BE且DF∥BE， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N， ∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4， ∴EN＝CN＝2， ∴DN4， ∵∠DBC＝45°，DN⊥BC， ∴∠DBC＝∠BDN＝45°， ∴DN＝BN＝4， ∴BE＝BN﹣EN＝4， ②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE， ∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°， ∴∠EDN＝∠ECG， ∵DE＝DC，DN⊥EC， ∴∠EDN＝∠CDN， ∴∠ECG＝∠CDN， ∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN， ∴∠CDB＝∠DHC， ∴CD＝CH． 考点02 矩形的判定与性质 11．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，动点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列结论中： ①四边形ABCD是矩形； ②当CD＝4OF时，点E是AB的中点； ③当AB＝3，BC＝4时，线段OF长度的最大值为2； ④当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形， 其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：①∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故①正确，符合题意； ②当点E在AB上时， 由①可知，四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∵点O，F分别是AC，CE的中点， ∴OF是△ACE的中位线， ∴AE＝2OF， ∵CD＝4OF， ∴CD＝AB＝2AE， ∴点E是AB的中点； 当点E在AD上时就不成立； 故②不正确，不符合题意； ③当点E与点D重合时，OF的值最大， ∵AD＝BC＝4， ∴AE的最大值是4， ∴OF2， 即线段OF长度的最大值是2，故③正确，符合题意； ④当∠COF＝60°时，∠OAB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠OBA＝60°， ∴∠FON＝60°， ∵∠BEN＞∠OAB， ∴∠OFN≠60°， ∴△OFN不是等边三角形，故④错误，不符合题意； 综上所述，其中正确的有2个， 故选：B． 12．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD，且AG＝BD，交CB的延长线于点G，连接FG，若AD⊥BD，下列结论：①DF∥BE；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④4S△BFC＝S▱ABCD，正确的有（　　） A．①②③④ B．①② C．①③ D．①②④ 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵E、F分别为边AB、CD的中点， ∴BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DF∥BE，故①正确； ∵AG∥DB且AG＝DB， ∴四边形ADBG是平行四边形， ∵AD⊥BD， ∴四边形ADBG是矩形，故②正确； 连接DG， ∵四边形ADBG是矩形， ∴DG过点E，AB＝GD． 若FG＝AB，则FG＝GD，显然FG与GD不相等，故③不正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵F为边CD的中点， ∴S△BFC＝S△BFD， ∴， ∴4S△BFC＝S▱ABCD，故④正确． 综上可知，正确的有①②④， 故选：D． 13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D与点B对应，点D恰好落在AC上，过E作EF∥AB交BC的延长线于点F，连接BD并延长交EF于点G，连接CE交BG于点H．下列结论：①BD＝DG； ②；③CH＝EH；④．其中正确的有 　①②③④　 （填正确的序号）． 【答案】①②③④． 【解答】解：连接DF、HF，如图所示： ∵∠ABC＝90°，BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， 由旋转得：△ABC≌△ADE， ∴AD＝AB，∠ADE＝90°，∠DEA＝∠DAE＝45°， ∴，∠BAE＝90°， ∵EF∥AB， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∴∠GFB＝90°，EF＝AB＝AD＝ED，∠DEF＝90°﹣∠AED＝45°， ∴∠GBF＝90°﹣∠ABD＝22.5°， ∵∠EDC＝∠EFC＝90°，ED＝EF，EC＝EC， ∴△EDC≌△EFC（HL）， ∴CD＝CF， ∴， ∴∠GFD＝90°﹣∠CFD＝67.5°＝∠FGD， ∴BD＝FD＝GD， ∴点D是BG的中点， 即BD＝DG，故①正确； ∵∠GDC＝∠ADB＝67.5°， ∴∠EDG＝90°﹣∠GDC＝22.5°， ∵△EDC≌△EFC， ∴， ∴DH＝EH， ∵∠HDC＝∠HCD＝67.5°， ∴DH＝CH， ∴CH＝EH＝DH，故③正确； ∵CH＝EH，∠EFC＝90°， ∴， ∵∠HDF＝∠DBF+∠DFB＝45°， ∴△HDF是等腰直角三角形， ∴， ∵CE＝2DH，BD＝DF， ∴，故②正确； 设DF交CE于O， ∵△HDF是等腰直角三角形，∠DHC＝∠FHC＝45°， ∴△DOH和△FOH都是等腰直角三角形， ∴OD＝OH＝OF， 设OD＝OH＝OF＝a， ∴DG＝DF＝2a，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 即，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④； 故答案为：①②③④． 14．如图，E是矩形ABCD的边AD上（端点除外）的动点，连接BE，CE，作▱BECF，连接AF，DF分别交BC于点G，H．下列五个结论： ①∠CED＝∠CBF； ②S▱BECF＝2S矩形ABCD； ③GH＝BG+CH； ④若▱BECF是矩形，则BC＝2AB； ⑤若点E是AD的中点，则▱BECF为菱形． 其中正确的结论是 　①③⑤　 （填写序号）． 【答案】①③⑤． 【解答】解：①如图1所示： 在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠CED+∠1+∠2＝180°， 在平行四边形BECF中，CE∥BF， ∴∠CBF+∠2+∠1＝180°， ∴∠CED＝∠CBF； 故结论①正确： ②∵四边形BECF是平行四边形， ∴S△EBC＝S△FEC， ∴S▱BECF＝2S△EBC， ∵S矩形ABCD＝BC•AB，S△EBCBC•AB， ∴S矩形ABCD＝2S△EBC， ∴S▱BECF＝S矩形ABCD， 故结论②不正确； ③过点F作FP⊥BC于点P，如图2所示： ∴∠FPB＝∠FPC＝90°， ∵S△EBCBC•AB，S△FECBC•FH， 又∴S△EBC＝S△FEC， ∴AB＝FH， 在矩形ABCD中，AB＝CD，∠ABP＝∠DCP＝90°， ∴AB＝FP＝CD，∠ABP＝∠DCP＝∠FPB＝∠FPC＝90°， 在△ABG和△FPG中， ∠ABP＝∠FPB＝90°，∠AGB＝∠FGP，AB＝FP， ∴△ABG≌△FPG（AAS）， ∴BG＝PG， 同理：△DCH≌△FPH（AAS）， ∴CH＝PH， ∴GH＝PG+PH＝BG+CH， 故结论③正确； ④连接EF交BC于点O，如图3所示： ∵▱BECF是矩形， ∴OE＝OF＝OB＝OC， 根据已知条件无法判定OE＝AB， ∴无法判定BC＝2AB， 故结论④不正确； ⑤若点E是AD的中点时，如图4所示： ∴AE＝DE， 在矩形ABCD中，∠BAE＝∠CDE＝90°，AB＝DC， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∴BE＝CE， ∴▱BECF为菱形， 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①③⑤． 故答案为：①③⑤． 15．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，M是边AC的中点，连接DM并延长至点N，使得MN＝DM，连接AN，CN，CD，且∠ADC＝∠DCN． （1）求证：四边形ADCN是矩形； （2）若∠BAC＝60°，BD＝2AD＝8，求点A到边BC的距离． 【答案】（1）见解答． （2）． 【解答】解：（1）证明：∵M是边AC的中点， ∴AM＝CM又∵MN＝DM（已知）， ∴四边形ADCN是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． ∴ADⅡCN（平行四边形的对边平行）． ∴∠ADC+∠DCN＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠ADC＝∠DCN（已知）， ∴∠ADC＝∠DCN＝90°． ∵四边形ADCN是平行四边形，且∠ADC＝90°， ∴四边形ADCN是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． （2）如图，过点A作AE⊥BC于点E， 由（1）可知，四边形ADCN是矩形， ∴MA＝MD＝MC＝MN，∠ADC＝90°， ∵∠BAC＝60°， ∴△MDA是等边三角形， ∴MA＝MD＝AD， ∴AC＝2MA＝2AD， ∵BD＝2AD＝8， ∴AC＝2AD＝8，AD＝4， ∴AB＝AD+BD＝12，， ∵∠ADC＝90°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°， ∴， ∵， ∴． 16．如题，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且DF＝BE，连接AF，BF．若CF＝3，BF＝4，DF＝5． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若∠DAB＝56°，求∠DFA的度数． 【答案】（1）见解答； （2）∠DFA＝28°． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，DF＝BE， ∴DC∥AB， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB于点E， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形BFDE是矩形， ∴∠BFC＝90°． 在Rt△BFC中，CF＝3，BF＝4， 由勾股定理得：， ∴AD＝BC＝5． ∵DF＝5， ∴AD＝DF＝5， ∴∠DAF＝∠DFA． ∵DC∥AB， ∴∠DFA＝∠FAB， ∴∠DAF＝∠FAB． ∵∠DAB＝56°， ∴∠DAF＝28°， ∴∠DFA＝28°． 17．如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若BF＝16，DF＝8，求CD的长． 【答案】（1）见详解； （2）CD＝10． 【解答】解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝CD＝AB， ∵CF＝BE， ∴CF+EC＝BE+EC， ∴EF＝BC， ∴EF＝AD， ∵AD∥BC， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴平行四边形AEFD是矩形； （2）在菱形ABCD中，BC＝CD， ∵BF＝16， ∴CF＝BF﹣BC＝16﹣CD， ∵在矩形AEFD中，∠F＝90°， ∵DF＝8， ∴在Rt△CFD中，， 解得：CD＝10． 18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG⊥AB． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝20，EF＝8，求OE和BG的长． 【答案】（1）见解答； （2）OE＝10，BG＝4． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴OB＝OD， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG⊥AB，EF⊥AB， ∴∠EFG＝90°，OG∥EF， ∴四边形OEFG为平行四边形， ∵∠EFG＝90°， ∴平行四边形OEFG为矩形； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝20，OB＝OD，AC⊥BD， ∵点E为AD的中点，AD＝20， ∴， 由（1）知，四边形OEFG是矩形， ∴FG＝OE＝10，∠EFG＝∠AFE＝90°，OG＝EF＝8， ∴， ∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝20﹣6﹣10＝4． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，D为BC中点，四边形ACDE是平行四边形． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）过点E作EH⊥AB于点H，若∠HEB＝3∠HEA，求AH的长． 【答案】（1）见解答． （2）． 【解答】（1）证明：∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AE∥CD，AE＝CD． ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴BD＝CD，AD⊥BC． ∴AE∥BD，AE＝BD， ∴四边形ADBE是平行四边形． 又∵∠ADB＝90°， ∴平行四边形ADBE是矩形． （2）解：不妨设∠HEA＝α，那么∠HEB＝3∠HEA＝3α， ∴∠BEA＝∠HEA+∠HEB＝4α， ∵四边形ADBE是矩形，AB＝4， ∴∠BEA＝4α＝90°，， ∴α＝22.5°， ∴∠OEB＝∠OBE＝α＝22.5°， ∴∠EOH＝∠OEB+∠OBE＝45°， ∵EH⊥AB， ∴∠OEH＝45°， ∴EH＝OH， ∵EH2+OH2＝OE2＝2OH2， ∴， ∴． 20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若BD＝8，AC＝4， ①求OE的长； ②求CE的长． 【答案】（1）见解答； （2）①2； ②． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CF＝BE， ∴CF+CE＝BE+CE， ∴EF＝BC＝AD， ∴四边形AEFD是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFD是矩形； （2）解：①∵四边形ABCD是菱形， ∴． 在Rt△ACE中，AC＝4， ∴； ②∵四边形ABCD是菱形，且AC＝4，BD＝8， ∴AC⊥BD，． 在Rt△BOC中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：． 在直角三角形ACE中，由勾股定理得：AC2＝AE2+CE2， ∴， 解得：． 考点03 菱形的判定与性质 21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接AE，则下列结论：①AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；③OG∥AB；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD， ∵CD＝DE， ∴DE＝AB， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴BD∥AE， ∴AC⊥AE， 故①正确； ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AG＝DG，BG＝EG， 在△DEG和△ABG中， ， ∴△DEG≌△ABG（SSS）， 故②正确； ∵四边形ABDE是平行四边形，四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，AG＝GD， ∴OD是△ABD中位线， ∴OG∥AB， 故③正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴BD＝AE，AB＝DE， ∴BD＝AE＝AB＝DE， ∴四边形ABDE是菱形， 故④正确， 综上所述，正确的是①②③④， 故选：A． 22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBOS菱形ABCD中，正确的结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC＝CD，AD∥BC，BD＝2DO， 又∵BE＝CD， ∴AD＝BE， ∴四边形ADBE是平行四边形， 当BD＝AD时，四边形ADBE为菱形，故③不正确， ∴AE＝BD， ∴AE＝2DO，故①正确； ∵四边形ADBE是平行四边形，四边形ABCD是菱形， ∴AE∥BD，AC⊥BD， ∴AE⊥AC， 即∠CAE＝90°，故②正确； ∵四边形ADBE是平行四边形， ∴S△ABE＝S△ABDS菱形ABCD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴S△ABOS菱形ABCD， ∴S四边形AEBO＝S△ABE+S△ABOS菱形ABCD，故④正确； 正确的结论个数有3个， 故选：C． 23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝20，BD＝10，点E、F分别在边AB、CD上（点E不与A、B重合）．且DE∥BF，DE、BF分别交AC于点P、Q，连结BP、DQ．给出下面四个结论：①四边形DPBQ是菱形；②AC平分四边形DEBF的周长；③若AP＝8，则四边形DPBQ的面积是20；④当DE⊥AB时，．上述结论中，正确结论的序号是　①②③④　 ． 【答案】①②③④． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴DF∥BE，AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC ∴∠DAP＝∠BCQ． ∵DE∥BF， ∴四边形BEDF为平行四边形， ∴DF＝BE，DE＝BF，∠EDF＝∠EBF， ∴∠ADP＝CBQ， ∴△ADP≌△CBQ（ASA）， ∴DP＝BQ，AP＝CQ， ∴四边形DPBF为平行四边形， ∵AC垂直平分BD， ∴PD＝PB， ∴DPBQ为菱形，故①正确； ∵DE＝BF，PD＝PB， ∴DE﹣DP＝BF﹣BQ，即EP＝QF， ∴DP+DF+QF＝BQ+BE+EP，即AC平分四边形DEBF的周长，故②正确； ∵AC＝20，AP＝8，AP＝CQ ∴PQ＝20﹣8﹣8＝4， ∴四边形DPBQ的面积是，故③正确； ∵在菱形ABCD中，AC＝20，BD＝10， ∴AO＝10，BO＝5， ∴． ∵DE⊥AB， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②③④． 24．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，则下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④四边形BEFG是菱形；⑤EA平分∠GEF．其中错误的是 　④　 （填序号）． 【答案】④． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DOBD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD， 又∵BD＝2AD， ∴OB＝BC＝OD＝DA，且点E 是OC中点， ∴BE⊥AC， 故①正确， ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EF∥CD，EFCD， ∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点， ∴GEAB＝AG＝BG， ∴EG＝EF＝AG＝BG， 故②正确， ∵BG＝EF，AB∥CD∥EF， ∴四边形BGFE是平行四边形， ∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE， ∴△BGE≌△FEG（SSS）， 故③正确， ∵EF∥CD∥AB， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF， ∵AG＝GE， ∴∠GAE＝∠AEG， ∴∠AEG＝∠AEF， ∴AE平分∠GEF， 故⑤正确， 若四边形BEFG是菱形， ∴BE＝BGAB， ∴∠BAC＝30°， 与题意不符合， 故④错误， 故答案为：④． 25．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，过点D分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，连接AD，AD平分∠BAC． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）连接EF交AD于点O，若∠BAC＝60°，AE＝5，求AD的长． 【答案】（1）见解答； （2）． 【解答】（1）证明：∵DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F， ∴∠ADE＝∠FAD，四边形AEDF是平行四边形， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴平行四边形AEDF是菱形； （2）解：∵四边形AEDF是菱形，连接EF交AD于点O，∠BAC＝60°，AE＝5， ∴AD⊥EF，AO＝DO，EO＝FO，AE＝AF＝5， ∴△AEF是等边三角形， ∴EF＝AE＝5， ∴， 在Rt△AEO中，由勾股定理得：， ∴． 26．如图1，在平行四边形ABCD中，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，且E，F分别在边AD，BC上，BE＝BF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）如图2，线段BD与线段EF交于点O，若DE＝10，BD＝16，求菱形BFDE的面积． 【答案】（1）见解答； （2）96． 【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC， ∴∠AEB＝∠EBF， ∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线， ∴∠EBF∠ABC，∠ADF∠ADC， ∴∠AEB＝∠EBF＝∠ADF， ∴BE∥DF， 又∵AD∥BC， ∴四边形BFDE是平行四边形， 又∵BE＝BF， ∴四边形BFDE是菱形； （2）解：∵四边形BFDE是菱形，BD＝16， ∴BD⊥EF，OEEF，ODBD＝8，菱形BFDE的面积EF•BD， 在Rt△ODE中，DE＝10， ∴OE6， ∴EF＝12， ∴菱形BFDE的面积＝96． 27．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵OE＝CD， ∴平行四边形OCED是矩形， ∴∠COD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝2，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2， ∴OA＝OC＝1， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD， 由（1）可知，四边形OCED是矩形， ∴CE＝OD，∠OCE＝90°， ∴AE， 即AE的长为． 28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接AC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求ED的长． 【答案】（1）见解答． （2）6． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD， ∴AB＝AD， 又∵BA＝BC， ∴AD∥BC，且AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD为菱形． （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵DE∥AC， ∴DE⊥BD， ∵AD∥BC，DE∥AC， ∴四边形ACED为平行四边形， ∴CE＝AD＝BC＝5， ∴BE＝BC+CE＝10， 在Rt△BDE中，由勾股定理得： DE6． 29．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点B，D作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）四边形BEDF能否是菱形？简要说明你的理由； （3）若DF＝EF，CE＝7，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）证明见解答； （2）四边形BEDF不能是菱形，理由见解答； （3）平行四边形ABCD的面积为95． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴BE∥DF，∠CEB＝∠AFD＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CB∥AD，且CB＝AD， ∴∠BCE＝∠DAF， 在△BCE和△DAF中， ， ∴△BCE≌△DAF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形． （2）解：四边形BEDF不能是菱形， 理由：∵四边形BEDF是平行四边形， ∴点E与点F不能重合， ∵BE⊥AC于点E， ∴BE＜BF， ∴BE≠BF， ∴四边形BEDF不能是菱形． （3）解：由（1）得△BCE≌△DAF， ∴CE＝AF＝7，BE＝DF， ∵DF＝EF，AB＝13， ∴BE＝EF， ∴AE＝7+EF＝7+BE， ∵∠AEB＝90°， ∴AE2+BE2＝AB2， ∴（7+BE）2+BE2＝132， 解得BE＝5或BE＝﹣12（不符合题意，舍去）， ∴BE＝DF＝EF＝5， ∴AC＝CE+AF+EF＝7+7+5＝19， ∴S△ABC＝S△CDA19×5， ∴S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝295， ∴平行四边形ABCD的面积为95． 30．课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O． 求证：平行四边形ABCD是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6． ①求证：平行四边形ABCD是菱形； ②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若，求CE的长． 【答案】（1）（2）见解答； ②4． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝CB， ∵BD⊥AC， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AB＝AD， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵AD2＝52＝32+42＝OA2+OD2， ∴∠AOD＝90°， ∴BD⊥AC， ∴平行四边形ABCD是菱形； ②∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BCD， ∴∠ACD＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠E+∠COE， ∴∠ACD＝∠E+∠COE， ∵， ∴∠ACD＝2∠E， ∴∠COE＝∠E， ∴OC＝CE， 由①得OC＝4， ∴CE＝4． 考点04 正方形的判定与性质 31．如图，已知四边形ABCD为正方形．，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②；③CG＝AE；④CG平分∠DCF．其中结论正确的序号有（　　） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【解答】解：如图，过E作EM⊥BC，过E作EN⊥CD于N， ∴∠EMC＝∠ENC＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠MCN＝90°， ∴四边形EMCN是矩形， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ECM＝∠ECN＝45°， ∴EM＝EN， ∴四边形EMCN是正方形， ∴∠MEN＝90°， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF＝90°， ∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG是正方形，故①正确； ∴DE＝DG， ∵∠MDG＝90°， ∴∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∠DAE＝45°，∠BCD＝90°， ∴∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，故③正确， ∵∠DCF＝90°， ∴∠GCF＝∠DCG＝45°， ∴CG平分∠DCF，故④正确； ∵∠ADC＝90°，AD＝CD， ∴， ∴，故②错误； 综上所述：正确的序号有①③④． 故选：A． 32．如图，正方形ABCD的边长为1，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②点G在运动过程中，始终满足∠GAD＝∠GFE；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值1；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，G是对角线BD上一动点， ∴∠C＝90°，∠CBG＝∠CDG＝∠ADG＝45°，AD＝DC， ∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F， ∴∠GEC＝∠GED＝∠GFC＝∠GFB＝90°， ∴四边形GFCE是矩形，∠EGD＝∠EDG＝45°，∠FGB＝∠CBG＝45°， ∴，， ∵G为BD的中点， ∴DG＝BG， ∴GE＝GF， ∴四边形GFCE是正方形， 故①正确； 如图，四边形GFCE是矩形，连接GC， ∴EF＝GC， 在△ADG与△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG＝∠DCG， ∵四边形CFGE是矩形， ∴CE＝FG，CG＝EF， 在△EFG和△GCE中， ， ∴△EFG≌△GCE（SSS）， ∴∠EFG＝∠ECG， ∴∠GAD＝∠GFE， 故②正确； ∵∠EGD＝∠EDG＝45°， ∴GE＝ED， ∵四边形GFCE是矩形， ∴GF＝CE， ∴GE+GF＝ED+CE＝CD＝1，即GE+GF的值为定值1， 故③正确； ∵EF＝GC， ∴当CG最小时，EF最小， ∴当CG⊥BD时，CG最小，在Rt△BCD中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段EF的最小值为， 故④正确； ∴正确的有①②③④， 故选：D． 33．如图在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③FO＝FG；④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；⑤2OF2＝EF2；⑥若DF＝3，，则．其中正确的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴OD＝OC，∠ODC＝∠OCB＝45°，∠DOC＝90°，CD＝BC， ∵∠EOF＝90°， ∴∠DOC＝∠EOF＝90°， ∴∠DOC﹣∠COF＝∠EOF﹣∠COF，即∠DOF＝∠COE， ∴△DOF≌△COE（ASA），故①正确； ∵△DOF≌△COE， ∴DF＝CE，OF＝OE， ∴CD﹣DF＝BC﹣CE，即CF＝BE，故②正确； ∵OF＝OE，∠EOF＝90°， ∴△OEF是等腰直角三角形， ∴∠OFE＝45°， ∴若需证FO＝FG，则需证， 而题目条件无法证明∠FOG＝67.5°，故③不正确； ∵△DOF≌△COE， ∴S△DOF＝S△COE， ∴S四边形CEOF＝S△COE+S△COF＝S△DOF+S△COF＝S△DOC， ∵正方形ABCD， ∴， ∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故④正确； ∵∠EOF＝90°， ∴OF2+OE2＝EF2， ∴2OF2＝EF2，故⑤正确； ∵DF＝3，， ∴， ∴，， ∴， ∴S△OEF＝S四边形CEOF﹣S△CFE＝6， ∴，即OE2＝12， ∴．故⑥正确． ∴综上所述，其中正确的有①②④⑤⑥，正确的个数是5． 故选：D． 34．如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出4种情况：①若G为BD上任意一点，则AG＝EF；②若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；③若DG：BG＝1：4，则S△ADG；④若过点G作正方形GCNM交AB边于M，则BN+BGAB．则其中正确的是　①②④　 ． 【答案】①②④． 【解答】解：连接AC，AC与BD相交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°，AD＝DC，∠ADG＝∠CDG＝45°， ∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F， ∴∠GEC＝∠GFC＝90°， ∴四边形GFCE是矩形， ∴EF＝GC， 在△ADG与△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴AG＝GC， ∴AG＝EF，故①正确； 若点G为BD的中点，则BG＝DG， ∵GE⊥CD，GF⊥BC， ∴GE∥BC，FG∥CD， ∴GE和FG为△BCD的中位线， ∴，， ∵BC＝CD， ∴GE＝FG， 由①可知四边形CEGF是矩形， ∴四边形CEGF是正方形，故②正确； 若DG：BG＝14，则， ∴， ∴，故③错误； 若四边形GCNM为正方形，则CN＝CG，∠GCN＝∠BCD＝90°， ∴∠BCN+∠BCG＝∠DCG+∠BCG， ∴∠BCN＝∠DCG， 又∵CB＝CD， ∴△BCN≌△DCG（SAS）， ∴BN＝DG， ∴BD＝DG+BG＝BN+BG， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 35．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F在对角线BD上的位置如图所示，且BE＝DF，AC＝EF，连接AE，CE，CF，AF． （1）求证：四边形AECF是正方形； （2）若，，求AE的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）4． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∴BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形AECF是菱形， 又∵AC＝EF， ∴菱形AECF是正方形； （2）解：∵AC⊥BD， ∴△OAB是直角三角形， 在Rt△OAB中，AB，OB， 由勾股定理得：OA， 由（1）可知：四边形AECF是正方形， ∴OE＝OA， 在Rt△OAE中，由勾股定理得：AE4． 36．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的一点，且AH＝DG＝CF＝BE． （1）求证：四边形EFGH为正方形； （2）若正方形EFGH的面积为4，连接FH，求FH的长． 【答案】（1）见解答． （2）FH的长为． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， 又∵AH＝DG＝CF＝BE， ∴AB﹣BE＝BC﹣CF＝CD﹣DG＝DA﹣AH， ∴AE＝BF＝CG＝DH， ∴△HAE≌△EBF≌△FCG≌△GDH， ∴HE＝EF＝FG＝GH，∠HEA＝∠EFB， ∴四边形EFGH是菱形， ∵∠B＝90°， ∴∠BEF+∠BFE＝90°， ∴∠AEH+∠BEF＝90°， ∴∠HEF＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形EFGH是正方形． （2）解：∵正方形EFGH的面积为4， ∴，∠HEF＝90°， ∴， ∴FH的长为． 37．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， 得矩形EMCN， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9． ∵CG＝3， ∴CE＝6， 连接EG， ∴EG3， ∴DEEG＝3． ∴正方形DEFG的边长为3． 38．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）∠EAF＝　45　 °（直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝3，求DF的长． 【答案】（1）45； （2）①见解答；②2． 【解答】（1）解：∵∠C＝90°， ∴∠CFE+∠CEF＝90°， ∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°， ∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF， ∴∠AFEDFE，∠AEFBEF， ∴∠AEF+∠AFE（∠DFE+∠BEF）270°＝135°， ∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°， 故答案为：45； （2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示： 则∠AGE＝∠AGF＝90°， ∵AB⊥CE，AD⊥CF， ∴∠B＝∠D＝90°＝∠C， ∴四边形ABCD是矩形， ∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A， ∴AB＝AG，AD＝AG， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形； ②解：设DF＝x， ∵BE＝EC＝3， ∴BC＝6， 由①得四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝6， 在Rt△ABE与Rt△AGE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）， ∴BE＝EG＝6， 同理，GF＝DF＝x， 在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2， 即32+（6﹣x）2＝（x+3）2， 解得：x＝2， ∴DF的长为2． 39．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q， ∵∠DCA＝∠BCA， ∴EQ＝EP， ∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°， ∴∠QEF＝∠PED， 在△EQF和△EPD中， ， ∴△EQF≌△EPD（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形； （2）如图2中，在Rt△ABC中，ACAB＝4， ∵CE＝2， ∴AE＝CE， ∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形， ∴四边形DECG是正方形， ∴CG＝CE＝2； （3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时， ∠DEC＝45°+40°＝85°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝5°， ∵∠ECF＝45°， ∴∠EFC＝130°， ②如图4，当DE与DC的夹角为40°时， ∵∠DEF＝∠DCF＝90°， ∴∠EFC＝∠EDC＝40°， 综上所述，∠EFC＝130°或40°． 40．已知：正方形ABCD的边长为a，P是边CD上一个动点不与点C、点D重合，CP＝b，以CP为一边在正方形ABCD外作正方形PCEF，连接BF、DF． 观察计算：（1）如图1，当a＝4，b＝1时，四边形ABFD的面积为　16　 ； （2）如图2，当a＝4，b＝2时，四边形ABFD的面积为　16　 ； （3）如图3，当a＝m，b＝n时，四边形ABFD的面积为m2 ； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积之间有怎样的关系？ 【答案】（1）16； （2）16； （3）m2； （4）相等． 【解答】解：（1）四边形ABFD的面积＝42（4+1）×1（4+1）×1＝16； 故答案为：16； （2）四边形ABFD的面积； 故答案为：16； （3）四边形ABFD的面积； 故答案为：m2； （4）∵正方形ABCD的面积＝a2；四边形ABFD的面积； 故四边形ABFD的面积等于正方形ABCD的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $