期中培优：特殊四边形与全等三角形的性质综合应用复习讲义-2025-2026学年 人教版八年级数学下册

该初中数学讲义以“解题原理-思路步骤-组合规律”为框架构建特殊四边形与全等三角形综合应用知识体系，通过表格梳理不同四边形固有性质，用思维导图呈现“证全等-推边角”转化思想，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层设计的例题与变式训练，如菱形与动点结合的综合题（例1），培养推理意识与几何直观，通过“一线三等角”等模型化方法指导，帮助基础学生掌握步骤，优秀学生深化思维，为教师精准教学提供系统支持。

期中培优：特殊四边形与全等三角形的性质综合应用复习讲义 期中培优：特殊四边形与全等三角形的性质综合应用复习讲义 知识点解析 一、解题原理 1. 图形性质叠加原理 特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）自带边相等、角相等、对角线特殊、平行、垂直、平分等固定性质； 全等三角形核心为对应边相等、对应角相等。 综合题就是利用四边形提供等角、等边、平行、垂直条件，证明三角形全等；再由全等反推线段、角度、位置关系。 1. 等量代换原理 借助四边形性质给出公共角、对顶角、内错角、同旁内角、相等线段，作为全等判定的边角条件，实现线段转移、角度转移。 1. 模型化原理 常结合一线三等角、手拉手、直角互余、中点模型、折叠旋转等几何模型，固化边角关系，降低推理难度。 1. 转化思想 证线段相等、角相等、线段平行/垂直、线段和差、周长面积，均可转化为： 证三角形全等 → 得对应边角相等 → 完成推导。 二、解题思路 步骤 1：梳理特殊四边形固有条件 根据图形类型，直接提取已知隐含条件： - 平行四边形：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分； - 矩形：四个直角、对角线相等且平分； - 菱形：四边相等、对角线垂直平分、对角线平分内角； - 正方形：兼具矩形 + 菱形所有性质； - 等腰梯形：两腰相等、底角相等、对角线相等。 步骤 2：寻找全等所需三组条件 结合平行线性质（内错角相等）、公共边、公共角、对顶角、直角、角平分线、中点，凑齐全等判定条件： 、、、、（直角三角形专用）。 步骤 3：证明三角形全等 规范书写全等推理过程，锁定对应顶点顺序。 步骤 4：利用全等性质二次推导 由全等得： 对应边相等、对应角相等， 进而求解：线段长度、角度大小、位置关系（垂直/平行）、线段和差、图形面积、线段比值等。 步骤 5：分类与特殊情况分析 遇动点、折叠、旋转类综合，需分类讨论，避免漏解； 遇多组三角形，分清主次，优先证核心全等。 三、高频组合规律 1. 平行四边形 + 全等 利用对边平行→内错角相等，搭配公共边/平分线段，常用 AAS、SAS； 1. 矩形 + 全等 自带直角，多为直角三角形全等，常用 HL、ASA； 1. 菱形 + 全等 四边相等、角平分线多，易凑等边 + 等角，常用 SAS； 1. 正方形 + 全等 直角 + 等边最多，是全等综合最高频载体，模型最多。 四、常见考法与破题关键 1. 证明线段相等/平行 四边形给平行等角 → 证全等 → 对应边相等； 1. 证明角度相等、角平分线 四边形内角关系 → 全等对应角相等； 1. 线段和差、最值问题 全等转移线段，拼接转化为特殊四边形边长； 1. 动点、折叠综合 折叠必出全等 + 轴对称，结合四边形边角性质求解。 例题分析 例1．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图1，已知菱形和菱形的边长分别为，点在同一条直线上，点在边上，连接． (1)如图1，当时，连接，，．把四边形、和的面积分别记作，则①_____，_____（用含的代数式表示） ②请直接写出满足的关系式：_____； (2)如图2，当时，点是的中点，连接，．请判断的形状，并说明理由； (3)如图3，当时，点是的中点，连接，． ①用含的代数式表示；②连接，四边形可能成为平行四边形吗？若可能，请探究此时满足什么关系；若不可能，请说明理由． 例2．（2026·山东青岛·一模）如图1，在中，为上一点，使，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：四边形是菱形． 例3．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在中，垂直平分，点F是线段上的一点，连接并延长交边于点G，过点A作于点H，满足． (1)求证：①； ②； (2)若，，求的长． 例4．（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知四边形为正方形． (1)若正方形边长为6，如图1，E，F分别在边上，于H，且，则的长为_______． (2)如图2，M、N分别是正方形边上的点，若平分，，，求正方形的边长； (3)如图3，E、F分别在边上，当F为的中点，于H，在直线上E点的两侧有点D、G，满足，且，求的度数． 变式训练 变式1．（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践：      (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由． 变式2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，中，E为边上的一个动点（不与B、C重合），过点E作直线的垂线，垂足为F，与的延长线相交于点G． (1)如图1，若E为中点，求证：． (2)如图2，若，，，当点E在线段上运动时，的长度是否改变?若不变，求；若改变，请说明理由． (3)在（2）的条件下，H为直线上的一点，若，若A、B、E、H四点构成一个平行四边形，求的值． 变式3．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）在菱形中，点M是边上一点，，，连接． (1)如图1，当时，则的度数为________． (2)如图2，，求的度数（含的代数式表示）． (3)如图3，，，，点P，Q分别是边上两个动点，且，连接，则的最小值为________（直接写答案） 变式4．（2026·四川南充·一模）如图，O为正方形内一点，连接并延长交边于E，过点O的直线与边分别交于F，G． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，将所在直线绕点O顺时针旋转使得，若，，求的长． 实战演练 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）阅读与理解 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图．由于其作图工具是一把没有刻度的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、延长已知线段、连接已知两点．解决单尺作图问题，需要在分析已知图形性质的基础上，借助直尺不断构造新的线段与点，进而作出所求图形． 如图1，已知菱形中，点是边上的一点．现要用单尺作图，在边上求作一点，使．作法如下：如图2， 第1步：连接； 第2步：连接交于点； 第3步：作射线交于点．点即为所求作的点． 上述作法可以用菱形的轴对称性来理解——即菱形关于对角线所在直线对称，所求作的点与点也关于直线对称，由此可自然得到上述作法… 任务：请用单尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (1)类比操作： 如图3，点是菱形边上的一点，连接．求作，使，且点在边上； (2)拓展探究： ①如图4，点是菱形边上的一点．求作边上的点，使； ②如图5，四边形是平行四边形，点在上，，作的平分线． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标； (2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长． ②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：特殊四边形与全等三角形的性质综合应用复习讲义 期中培优：特殊四边形与全等三角形的性质综合应用复习讲义 知识点解析 一、解题原理 1. 图形性质叠加原理 特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）自带边相等、角相等、对角线特殊、平行、垂直、平分等固定性质； 全等三角形核心为对应边相等、对应角相等。 综合题就是利用四边形提供等角、等边、平行、垂直条件，证明三角形全等；再由全等反推线段、角度、位置关系。 1. 等量代换原理 借助四边形性质给出公共角、对顶角、内错角、同旁内角、相等线段，作为全等判定的边角条件，实现线段转移、角度转移。 1. 模型化原理 常结合一线三等角、手拉手、直角互余、中点模型、折叠旋转等几何模型，固化边角关系，降低推理难度。 1. 转化思想 证线段相等、角相等、线段平行/垂直、线段和差、周长面积，均可转化为： 证三角形全等 → 得对应边角相等 → 完成推导。 二、解题思路 步骤 1：梳理特殊四边形固有条件 根据图形类型，直接提取已知隐含条件： - 平行四边形：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分； - 矩形：四个直角、对角线相等且平分； - 菱形：四边相等、对角线垂直平分、对角线平分内角； - 正方形：兼具矩形 + 菱形所有性质； - 等腰梯形：两腰相等、底角相等、对角线相等。 步骤 2：寻找全等所需三组条件 结合平行线性质（内错角相等）、公共边、公共角、对顶角、直角、角平分线、中点，凑齐全等判定条件： 、、、、（直角三角形专用）。 步骤 3：证明三角形全等 规范书写全等推理过程，锁定对应顶点顺序。 步骤 4：利用全等性质二次推导 由全等得： 对应边相等、对应角相等， 进而求解：线段长度、角度大小、位置关系（垂直/平行）、线段和差、图形面积、线段比值等。 步骤 5：分类与特殊情况分析 遇动点、折叠、旋转类综合，需分类讨论，避免漏解； 遇多组三角形，分清主次，优先证核心全等。 三、高频组合规律 1. 平行四边形 + 全等 利用对边平行→内错角相等，搭配公共边/平分线段，常用 AAS、SAS； 1. 矩形 + 全等 自带直角，多为直角三角形全等，常用 HL、ASA； 1. 菱形 + 全等 四边相等、角平分线多，易凑等边 + 等角，常用 SAS； 1. 正方形 + 全等 直角 + 等边最多，是全等综合最高频载体，模型最多。 四、常见考法与破题关键 1. 证明线段相等/平行 四边形给平行等角 → 证全等 → 对应边相等； 1. 证明角度相等、角平分线 四边形内角关系 → 全等对应角相等； 1. 线段和差、最值问题 全等转移线段，拼接转化为特殊四边形边长； 1. 动点、折叠综合 折叠必出全等 + 轴对称，结合四边形边角性质求解。 例题分析 例1．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图1，已知菱形和菱形的边长分别为，点在同一条直线上，点在边上，连接． (1)如图1，当时，连接，，．把四边形、和的面积分别记作，则①_____，_____（用含的代数式表示） ②请直接写出满足的关系式：_____； (2)如图2，当时，点是的中点，连接，．请判断的形状，并说明理由； (3)如图3，当时，点是的中点，连接，． ①用含的代数式表示；②连接，四边形可能成为平行四边形吗？若可能，请探究此时满足什么关系；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)等腰直角三角形，见解析； (3)①；②． 【分析】（1）①根据正方形的判定和性质进行解答即可；②根据的代数式之间的关系进行解答即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形是判定与性质证明，，即可得到结论； （3）①根据含角的直角三角形的性质进行解答即可；②根据四边形是平行四边形，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，菱形和菱形的边长分别为， ∴四边形是正方形， ∴， ∴菱形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ （2）是等腰直角三角形， 理由：延长交于点， 四边形和是菱形，， 图2四边形和是正方形， ， ， 在和中， 又， ， 又， ， 是等腰直角三角形； （3）①同（2）可证，， ， 图3 ②四边形是菱形， 是等边三角形， ， ， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ． 例2．（2026·山东青岛·一模）如图1，在中，为上一点，使，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行得到，，由得到，即可证明； （2）先证明四边形是平行四边形．得到，，再由得到，，即可证明四边形是平行四边形．结合得到，即可证明平行四边形是菱形． 【详解】（1）证明：， ， 四边形是平行四边形， ，． ； ， ． ； ， 在和中， ． （2）证明：，， 四边形是平行四边形． ，， 四边形是平行四边形． ，， ， 四边形是平行四边形． ， ， 又， 平行四边形是菱形． 例3．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在中，垂直平分，点F是线段上的一点，连接并延长交边于点G，过点A作于点H，满足． (1)求证：①； ②； (2)若，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①：因为垂直平分，所以；又因为，所以；结合平行四边形中，再利用，判定，进而得到． ②：由，设，则 ，即得． （2）可得，证明，得，求出，设，由勾股定理得，解方程可得． 【详解】（1）证明：①， ，， ，， 和是直角三角形， 又， ∴， ． ②， ∴设，， 又， ， ， ． （2）解：连接， ， ， 垂直平分，， ， 又， ， ∴在和中， ， ∴， ， 在中，， ∴， 设， 在中，， ， 解得， ． 例4．（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知四边形为正方形． (1)若正方形边长为6，如图1，E，F分别在边上，于H，且，则的长为_______． (2)如图2，M、N分别是正方形边上的点，若平分，，，求正方形的边长； (3)如图3，E、F分别在边上，当F为的中点，于H，在直线上E点的两侧有点D、G，满足，且，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过证明，即可求出； （2）延长交于点，设正方形的边长为，证明，推出，根据平分，，推出，利用勾股定理建立方程求解即可； （3）连接，，同理（1）得，推出，由点F为的中点，得到；证明，推出，易证是的中位线，从而证明，再证明，推出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，进而证明是等腰直角三角形，即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：延长交于点， 设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∵正方形中，，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 整理得，即， ∵，即， ∴， 解得（负值舍去）， ∴正方形的边长为； （3）解：连接，， 同理（1）得， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∵正方形中，， ∴，即； ∵， ∴， ， ， ，即点是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ， ∵， ， ， ∵， ∴， ， ， ，， ， ， ，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 变式训练 变式1．（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践：      (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)图见解析；理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质，结合对顶角相等，即可得解； （2）观察可得：，即可得出比值； （3）将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形，即可得解． 【详解】（1）解：， ， 是边上的中点， ， ， ； （2）解：如图5，由操作知，点为中点，将四边形绕点旋转得到四边形， ， ； （3）解：如图所示，四边形即为所求的平行四边形； 理由如下：将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形， ，， ， ∴点在同一直线上， 同理，点在同一直线上，点在同一直线上，点在同一直线上， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 变式2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，中，E为边上的一个动点（不与B、C重合），过点E作直线的垂线，垂足为F，与的延长线相交于点G． (1)如图1，若E为中点，求证：． (2)如图2，若，，，当点E在线段上运动时，的长度是否改变?若不变，求；若改变，请说明理由． (3)在（2）的条件下，H为直线上的一点，若，若A、B、E、H四点构成一个平行四边形，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的长度不变，为 (3)或 【分析】（1）结合平行四边形的性质得，再证明，即可作答． （2）过点C作于点N，结合平行四边形的性质得，证明四边形为平行四边形，又因为，即四边形为矩形，故，然后运用勾股定理列式得，即可作答． （3）先理解题意，分两种情况分别画图求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴． 在和中 ， ∴， ∴． （2）解：的长度不变， 过点C作于点N，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， 即， ∵，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴． ∴； （3）解：∵点E在线段上运动，H为直线上的一点， ∴以A，B，E，H为顶点的平行四边形有两种情况， 第一种情况，如图： 过点B作交的延长线于M，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 第二种情况，如图： 过点B作交的延长线于M，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 变式3．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）在菱形中，点M是边上一点，，，连接． (1)如图1，当时，则的度数为________． (2)如图2，，求的度数（含的代数式表示）． (3)如图3，，，，点P，Q分别是边上两个动点，且，连接，则的最小值为________（直接写答案） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】对于（1）（2）：延长到点E，使，连接，因为菱形中，所以可通过角的推导得到．可得，得，，得，得，由,即可得到的度数． 对于（3）：因为要找的最小值，所以可利用平移变换，将平移，使Q点与P点重合，转化为求两点之间线段最短的问题．先根据，结合（2）的结论确定点N的位置，再通过平移构造出对应线段，最后利用勾股定理计算最小值． 【详解】（1）延长到点E，使，连接， 则， ∵菱形中，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）延长到点E，使，连接， 则， ∵菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴； （3）延长到点E，使， 在上取点G，使，连接， 过点N，G分别作于点F，于点I， 过点N作于点H， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当点Q在上时， ， 此时取得最小值， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故最小值为． 变式4．（2026·四川南充·一模）如图，O为正方形内一点，连接并延长交边于E，过点O的直线与边分别交于F，G． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，将所在直线绕点O顺时针旋转使得，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点C作分别交于点H，点M，可证明四边形是平行四边形，得到，则；证明，得到，可推出，即，则可证明； （2）过点D作交于点Q，则；证明四边形是平行四边形，得到；则可求出，；延长到点P，使得，连接，则，证明，得到，证明，得到；设，则，由勾股定理得，解方程可推出，则． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作分别交于点H，点M， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，过点D作交于点Q， ∴； 同理可证明四边形是平行四边形， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，延长到点P，使得，连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 实战演练 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）阅读与理解 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图．由于其作图工具是一把没有刻度的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、延长已知线段、连接已知两点．解决单尺作图问题，需要在分析已知图形性质的基础上，借助直尺不断构造新的线段与点，进而作出所求图形． 如图1，已知菱形中，点是边上的一点．现要用单尺作图，在边上求作一点，使．作法如下：如图2， 第1步：连接； 第2步：连接交于点； 第3步：作射线交于点．点即为所求作的点． 上述作法可以用菱形的轴对称性来理解——即菱形关于对角线所在直线对称，所求作的点与点也关于直线对称，由此可自然得到上述作法… 任务：请用单尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (1)类比操作： 如图3，点是菱形边上的一点，连接．求作，使，且点在边上； (2)拓展探究： ①如图4，点是菱形边上的一点．求作边上的点，使； ②如图5，四边形是平行四边形，点在上，，作的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析②见解析 【分析】（1）结合菱形的性质可证，由全等三角形性质即可得证； （2）①结合菱形的性质可证，由全等三角形性质即可得证；②结合平行四边形的性质可判定四边形是平行四边形，再判定即可得证. 【详解】（1）解：连接，交于点O， 连接并延长交于点G， 连接，如图，则，为所求； （2）解：①连接，交于点， 连接并延长交于点，如图，则点为所求； ②连接，交于点，连接， 连接并延长交于点， 如图，为所作． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标； (2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长． ②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得到不等式组，求出，进而得到，即可得出A、D两点坐标； （2）①连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，证明，得到，，再根据等腰直角三角形的性质，证明，，，从而推出是等腰直角三角形，然后证明，得到，即可求解． ②分两种情况讨论：当点在原点右侧时，过点作交延长线于点，先证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，即可得出数量关系；当点在原点左侧时，过点作交于点，同理求证即可． 【详解】（1）解：， ，解得：， ， ， ； （2）解：①如图，连接，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∵ ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴ ②当点在原点右侧时，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 当点在原点左侧时，过点作交于点， 同理可证，四边形是平行四边形，， ，， ， ， 即， 综上可知，、、三条线段之间的数量关系为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $