期中专题复习 专题01 二次根式及其性质（讲义）2025-2026学年人教版数学八年级下册

专题01 二次根式及其性质 考点01（★★★）二次根式有意义的条件 3 考点02（★★）最简二次根式 4 考点03（★★★）二次根式的性质与化简 4 考点04（★）在实数范围内分解因式 5 1．二次根式 一般地，我们把形如（）的式子叫作二次根式．二次根式也是代数式． 说明： （1）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （2）式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性． 2．形如的式子有无意义的条件 类型 条件 字母表示 有意义 被开方数（式）为非负数 有意义a≥0 无意义 被开方数（式）为负数 无意义a<0 3．二次根式的性质 （1）； （2）； （3）． 说明：中的可以是任意实数，但计算结果不一定是． （计算结果依据的符号而定）． 1．与的相同点与不同点 不同点 表示的意义 表示a的算术平方根的平方． 表示a的平方的算术平方根． 包含的运算顺序 先开方再平方 先平方再开方 的取值范围 a为任意实数 结果的表达形式 相同点 结果都是非负数，且当时，． 2．在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件． ►考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高◄ 考点01（★★★）二次根式有意义的条件 1．判断一个式子是不是二次根式，一是含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．二是被开方数为非负数． 2．求一个式子中某个字母的取值范围，要综合考虑不同位置字母的取值范围． 【例1】　（2026•丰泽区一模）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【例2】　（2025秋•合江县期末）使式子有意义的x的取值范围是（　　） A．x≤3 B．x≤3且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜3且x≠﹣2 【例3】　（2025秋•岳麓区校级期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 【例4】　（2025秋•西固区校级期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2且x≠0 B．x≠0 C．x≥﹣2 D．x≥﹣2且x≠0 考点02（★★）最简二次根式 最简二次根式必须满足： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【例5】　（2026春•赣州校级月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【例6】　（2025秋•锦江区校级期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【例7】　（2025秋•大东区期末）下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【例8】　（2025秋•惠州期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 考点03（★★★）二次根式的性质与化简 1．二次根式的化简中，下列性质用得特别多，要注意两者的区别和联系 ； ． 2．化简特殊的带有字母的二次根式时，应先分析字母的正负性． 【例9】　（2025秋•郯城县期末）下列选项正确的是（　　） A．|﹣2|＝﹣2 B．﹣（﹣2）＝2 C． D． 【例10】　（2025秋•石家庄校级期末）已知1≤x≤3，则化简后的结果是（　　） A．2 B．4﹣2x C．﹣2 D．2x﹣4 【例11】　（2025秋•娄星区期末）化简的结果是（　　） A．﹣6 B．6 C．±6 D． 【例12】　（2025秋•桥东区期末）若，则a的值可以是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 考点04（★）在实数范围内分解因式 在有理数范围内分解因式的方法和公式，在实数范围内仍然适用．在实数范围内分解因式时，常常把正数a转化为，以便于使用平方差公式或完全平方公式分解因式． 【例13】　（2025秋•武冈市期末）（在实数范围内分解因式）x2y2﹣5＝　　 ． 【例14】　（2025秋•闵行区期末）在实数范围内分解因式：x2﹣8＝　　 ． 【例15】　（2025•新华区校级一模）实数范围内分解因式：2x4﹣8＝　　 ． 【例16】　（2025•淮北三模）在实数范围内分解因式：3x2﹣15＝　　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式及其性质 考点01（★★★）二次根式有意义的条件 3 考点02（★★）最简二次根式 4 考点03（★★★）二次根式的性质与化简 6 考点04（★）在实数范围内分解因式 8 1．二次根式 一般地，我们把形如（）的式子叫作二次根式．二次根式也是代数式． 说明： （1）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （2）式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性． 2．形如的式子有无意义的条件 类型 条件 字母表示 有意义 被开方数（式）为非负数 有意义a≥0 无意义 被开方数（式）为负数 无意义a<0 3．二次根式的性质 （1）； （2）； （3）． 说明：中的可以是任意实数，但计算结果不一定是． （计算结果依据的符号而定）． 1．与的相同点与不同点 不同点 表示的意义 表示a的算术平方根的平方． 表示a的平方的算术平方根． 包含的运算顺序 先开方再平方 先平方再开方 的取值范围 a为任意实数 结果的表达形式 相同点 结果都是非负数，且当时，． 2．在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件． ►考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高◄ 考点01（★★★）二次根式有意义的条件 1．判断一个式子是不是二次根式，一是含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．二是被开方数为非负数． 2．求一个式子中某个字母的取值范围，要综合考虑不同位置字母的取值范围． 【例1】　（2026•丰泽区一模）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】二次根式有意义即被开方数非负． 【解答】解：当x﹣3≥0时，有意义， ∴x≥3， 故选：D． 【例2】　（2025秋•合江县期末）使式子有意义的x的取值范围是（　　） A．x≤3 B．x≤3且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜3且x≠﹣2 【答案】B 【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可． 【解答】解：由条件可知3﹣x≥0，且2+x≠0， 解得：x≤3且x≠﹣2， 故选：B． 【例3】　（2025秋•岳麓区校级期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 【答案】B 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可． 【解答】解：若二次根式有意义，则x﹣6≥0， 解得x≥6， 故选：B． 【例4】　（2025秋•西固区校级期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2且x≠0 B．x≠0 C．x≥﹣2 D．x≥﹣2且x≠0 【答案】D 【分析】根据分式、二次根式有意义的条件即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：， ∴x≥﹣2且x≠0， 故选：D． 考点02（★★）最简二次根式 最简二次根式必须满足： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【例5】　（2026春•赣州校级月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确最简二次根式的判定要求，首先是根指数为2的根式，其次满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【解答】解：根据最简二次根式的定义逐项分析判断如下： 对于选项A：，被开方数含有小数，不是最简二次根式，不符合题意； 对于选项B：，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 对于选项C：是二次根式，被开方数6不含分母，且6分解为2×3，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，符合题意； 对于选项D：的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，不符合题意； 故选：C． 【例6】　（2025秋•锦江区校级期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误； B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确； C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D错误； 故选：B． 【例7】　（2025秋•大东区期末）下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义，即可解答． 【解答】解：A、2，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、是最简二次根式，故C符合题意； D、3，故D不符合题意； 故选：C． 【例8】　（2025秋•惠州期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解答】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、是最简二次根式，故此选项符合题意； C、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因数25，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 考点03（★★★）二次根式的性质与化简 1．二次根式的化简中，下列性质用得特别多，要注意两者的区别和联系 ； ． 2．化简特殊的带有字母的二次根式时，应先分析字母的正负性． 【例9】　（2025秋•郯城县期末）下列选项正确的是（　　） A．|﹣2|＝﹣2 B．﹣（﹣2）＝2 C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的定义、相反数的定义、二次根式的性质、立方根的定义分别计算判断即可． 【解答】解：A、|﹣2|＝2，故此选项不符合题意； B、﹣（﹣2）＝2，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、2，故此选项不符合题意； 故选：B． 【例10】　（2025秋•石家庄校级期末）已知1≤x≤3，则化简后的结果是（　　） A．2 B．4﹣2x C．﹣2 D．2x﹣4 【答案】A 【分析】由已知可得1﹣x≤0，3﹣x≥0，再根据二次根式的性质化简即可求解． 【解答】解：∵1≤x≤3， ∴1﹣x≤0，3﹣x≥0， ∴原式＝x﹣1+3﹣x＝2． 故选：A． 【例11】　（2025秋•娄星区期末）化简的结果是（　　） A．﹣6 B．6 C．±6 D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义，，结果应为非负数． 【解答】解：根据算术平方根的定义可知： ， 故选：B． 【例12】　（2025秋•桥东区期末）若，则a的值可以是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】二次根式的性质有：，据此列不等式求解即可． 【解答】解：∵， ∴a﹣1≤0， ∴a≤1， ∴若，则a的值可以是1． 故选：D． 考点04（★）在实数范围内分解因式 在有理数范围内分解因式的方法和公式，在实数范围内仍然适用．在实数范围内分解因式时，常常把正数a转化为，以便于使用平方差公式或完全平方公式分解因式． 【例13】　（2025秋•武冈市期末）（在实数范围内分解因式）x2y2﹣5＝　　 ． 【答案】． 【分析】利用平方差公式进行分解即可． 【解答】解：利用平方差公式进行分解可得： 原式． 故答案为：． 【例14】　（2025秋•闵行区期末）在实数范围内分解因式：x2﹣8＝　（x+2）（x﹣2）　 ． 【答案】（x+2）（x﹣2） 【分析】根据二次根式的性质，8＝（）2＝（2）2，运用平方差公式将多项式因式分解． 【解答】解：x2﹣8， ＝x2﹣（2）2， ＝（x+2）（x﹣2）． 故本题答案为：（x+2）（x﹣2）． 【例15】　（2025•新华区校级一模）实数范围内分解因式：2x4﹣8＝　2（x2+2）（x）（x）　 ． 【答案】2（x2+2）（x）（x） 【分析】实数包括有理数和无理数，先运用提公因式法和平方差公式得出2（x2+2）（x2﹣2），后一个括号还能运用平方差公式进行分解． 【解答】解：原式＝2（x2+2）（x2﹣2） ＝2（x2+2）（x）（x）． 故答案为：2（x2+2）（x）（x）． 【例16】　（2025•淮北三模）在实数范围内分解因式：3x2﹣15＝　3（x）（x）　 ． 【答案】3（x）（x） 【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝3（x2﹣5）＝3（x）（x）， 故答案为：3（x）（x） 学科网（北京）股份有限公司 $