2025-2026学年人教版八年级数学下册期中专题复习 平行四边形的性质与判定（讲义）

专题05 平行四边形的性质与判定 考点01（★★★）平行四边形的性质、判定 6 考点02（★★★）矩形的性质、判定 7 考点03（★★★）菱形的性质、判定 8 考点04（★★★）正方形的性质、判定 10 考点05（★★★）平行四边形的综合运用 11 1．平行四边形的概念 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的定义既是性质，又是判定． 平行四边形的基本元素：边、角、对角线． 2．平行四边形的性质 （1）平行四边形的对边平行且相等； （2）平行四边形的对角相等，邻角互补； （3）平行四边形的对角线互相平分． 3．两条平行线之间的距离 （1）定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离． （2）性质： ①两条平行线之间的距离处处相等； ②夹在两条平行线间的平行线段相等． 4．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 5．矩形的定义： （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形． （2）矩形的定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角．二者缺一不可． 6．矩形的性质： （1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分． （2）矩形的性质： ①矩形的对边平行且相等； ②矩形的对角相等且四个角都是直角； ③矩形的对角线互相平分且相等； ④矩形是轴对称图形，对边中点所确定的直线是它的对称轴，矩形有两条对称轴． ⑤矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． 7．矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形． 8．菱形的定义： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形． （2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法． 9．菱形的性质： （1）菱形具有平行四边形的所有性质． （2）菱形的四条边都相等． （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴． 10．菱形的面积： （1）菱形的面积=底×高． （2）菱形的面积=两条对角线乘积的一半． 11．菱形的判定： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）四条边都相等的四边形是菱形． （4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 12．正方形的定义 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）； ②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）． 13．正方形的性质 （1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地： ①正方形的四个角都是直角，四条边都相等； ②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． （2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 14．正方形的判定 （1）根据正方形的定义． （2）有一组邻边相等的矩形是正方形． （3）有一个角是直角的菱形是正方形． （4）对角线互相垂直的矩形是正方形． （5）对角线相等的菱形是正方形． （6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． （7）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． （8）既是矩形又是菱形的四边形是正方形． 15．三角形的中位线及其性质 定义：连接三角形两边中点的线段（任意一个三角形都有三条中位线）． 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 16．直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线． 1．平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等，相邻两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差； 2．利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决． 3．不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形． 4．菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等． 5．三角形的中位线 （1）三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系．三角形的中位线定义为证明两条直线平行、两条线段之间的数量关系提供了一个重要依据． （2）三角形的中位线与中线的区别：三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段．学-科网 （3）当遇到中点时，可考虑构造三角形的中位线来解决问题，这种思路方法就是我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，知道三角形的中位线也就等于知道了三角形两边的中点． ►考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高◄ 考点01（★★★）平行四边形的性质、判定 1．平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了新的理论依据． 2．平行四边形的判定 （1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形． （2）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形． （3）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形． 【例1】　（2025秋•张店区期末）已知，如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点．求证： （1）四边形EFPQ是平行四边形； （2）BG＝2GE，CG＝2GF． 【例2】　（2025秋•钢城区期末）如图，在四边形ABCD中，点E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形． （2）若∠EFB＝90°，BF＝3，EF＝1，求BC的长． 【例3】　（2025秋•宿松县期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，连接AE，AF，CE，CF，∠BAE＝∠DCF．求证： （1）△ABE≌△CDF． （2）四边形AECF是平行四边形． 考点02（★★★）矩形的性质、判定 1．判定矩形的常见思路 2．用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． 3．用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． 4．矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等． 【例4】　（2026•北京模拟）如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若BF＝16，DF＝8，求CD的长． 【例5】　（2026•天山区校级一模）如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长． 【例6】　（2026•合肥模拟）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积． 考点03（★★★）菱形的性质、判定 1．菱形的面积： （1）菱形的面积=底×高． （2）菱形的面积=两条对角线乘积的一半． 2．菱形的判定： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）四条边都相等的四边形是菱形． （4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的． 【例7】　（2025秋•元宝区校级期末）如图，已知E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，AD的中点，∠BAC＝90°． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若∠B＝60°，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积． 【例8】　（2026•鼓楼区校级模拟）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 【例9】　（2025秋•浦东新区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F，连接BE、DF． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若AB＝6，AD＝8，∠ABD＝90°，求菱形BEDF的面积． 考点04（★★★）正方形的性质、判定 1．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形，正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质． 2．判定是否为正方形，可以先证平行四边形，再加矩形、菱形的条件；或先证矩形，再加菱形的条件；或先证菱形，再加矩形的条件． 【例10】　（2025春•平乡县期中）在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F在对角线BD上的位置如图所示，且BE＝DF，AC＝EF，连接AE，CE，CF，AF． （1）求证：四边形AECF是正方形； （2）若，，求AE的长． 【例11】　（2025春•遵义校级期中）如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的一点，且AH＝DG＝CF＝BE． （1）求证：四边形EFGH为正方形； （2）若正方形EFGH的面积为4，连接FH，求FH的长． 【例12】　（2025春•西安校级期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）若BE＝DG，求证：AD＝AE； （3）在（2）的条件下，已知BE＝2，求OG的长． 考点05（★★★）平行四边形的综合运用 综合运用不仅包括各特殊四边形的性质、判定的综合运用，还包括三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线性质等重要的平面几何知识的运用． 【例13】　（2025秋•泰山区期末）如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点． （1）求证：四边形DEFG为平行四边形； （2）若DG⊥BH，AD＝4，EF＝3，求线段HG的长度． 【例14】　（2025春•德阳期中）（1）如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，求证：∠PMN＝∠PNM． （2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F． （3）若（2）中的∠A+∠ABC＝130°，则∠F的大小为多少？ 【例15】　（2025春•广丰区期末）【三角形中位线定理】 已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系； 【应用】 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数； 【拓展】 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG． 求证：BD＝AC． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平行四边形的性质与判定 考点01（★★★）平行四边形的性质、判定 6 考点02（★★★）矩形的性质、判定 9 考点03（★★★）菱形的性质、判定 13 考点04（★★★）正方形的性质、判定 18 考点05（★★★）平行四边形的综合运用 23 1．平行四边形的概念 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的定义既是性质，又是判定． 平行四边形的基本元素：边、角、对角线． 2．平行四边形的性质 （1）平行四边形的对边平行且相等； （2）平行四边形的对角相等，邻角互补； （3）平行四边形的对角线互相平分． 3．两条平行线之间的距离 （1）定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离． （2）性质： ①两条平行线之间的距离处处相等； ②夹在两条平行线间的平行线段相等． 4．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 5．矩形的定义： （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形． （2）矩形的定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角．二者缺一不可． 6．矩形的性质： （1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分． （2）矩形的性质： ①矩形的对边平行且相等； ②矩形的对角相等且四个角都是直角； ③矩形的对角线互相平分且相等； ④矩形是轴对称图形，对边中点所确定的直线是它的对称轴，矩形有两条对称轴． ⑤矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． 7．矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形． 8．菱形的定义： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形． （2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法． 9．菱形的性质： （1）菱形具有平行四边形的所有性质． （2）菱形的四条边都相等． （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴． 10．菱形的面积： （1）菱形的面积=底×高． （2）菱形的面积=两条对角线乘积的一半． 11．菱形的判定： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）四条边都相等的四边形是菱形． （4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 12．正方形的定义 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）； ②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）． 13．正方形的性质 （1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地： ①正方形的四个角都是直角，四条边都相等； ②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． （2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 14．正方形的判定 （1）根据正方形的定义． （2）有一组邻边相等的矩形是正方形． （3）有一个角是直角的菱形是正方形． （4）对角线互相垂直的矩形是正方形． （5）对角线相等的菱形是正方形． （6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． （7）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． （8）既是矩形又是菱形的四边形是正方形． 15．三角形的中位线及其性质 定义：连接三角形两边中点的线段（任意一个三角形都有三条中位线）． 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 16．直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线． 1．平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等，相邻两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差； 2．利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决． 3．不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形． 4．菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等． 5．三角形的中位线 （1）三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系．三角形的中位线定义为证明两条直线平行、两条线段之间的数量关系提供了一个重要依据． （2）三角形的中位线与中线的区别：三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段．学-科网 （3）当遇到中点时，可考虑构造三角形的中位线来解决问题，这种思路方法就是我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，知道三角形的中位线也就等于知道了三角形两边的中点． ►考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高◄ 考点01（★★★）平行四边形的性质、判定 1．平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了新的理论依据． 2．平行四边形的判定 （1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形． （2）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形． （3）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形． 【例1】　（2025秋•张店区期末）已知，如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点．求证： （1）四边形EFPQ是平行四边形； （2）BG＝2GE，CG＝2GF． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）证明EF是△ABC的中位线，PQ是△BCG的中位线，由三角形中位线定理即可得出EF∥PQ，EF＝PQ，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出对角线互相平分GE＝GP，GF＝GQ，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵BE，CF是△ABC的中线， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC且EFBC， ∵P，Q分别是BG，CG的中点， ∴PQ是△BCG的中位线，BG＝2GP，CG＝2GQ， ∴PQ∥BC且PQBC， ∴EF∥PQ且EF＝PQ， ∴四边形EFPQ是平行四边形． （2）由（1）得：四边形EFPQ是平行四边形， ∴GE＝GP，GF＝GQ， ∵BG＝2GP，CG＝2GQ， ∴BG＝2GE，CG＝2GF． 【例2】　（2025秋•钢城区期末）如图，在四边形ABCD中，点E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形． （2）若∠EFB＝90°，BF＝3，EF＝1，求BC的长． 【答案】（1）证明：∵DB，CE交于点F，DF＝FB， ∴F是DB的中点， ∵E是AB的中点， ∴EF∥AD， ∴CF∥AD， ∵AF∥CD， ∴四边形AFCD是平行四边形． （2）． 【分析】（1）因为DF＝FB，所以F是DB的中点，而E是AB的中点，根据三角形中位线定理得EF∥AD，即CF∥AD，因为AF∥CD，所以四边形AFCD是平行四边形； （2）由F是DB的中点，E是AB的中点，EF＝1，根据三角形中位线定理AD＝2EF＝2，由平行四边形的性质得CF＝AD＝2，而∠CFB＝∠EFB＝90°，BF＝3，根据勾股定理得． 【解答】（1）证明：∵DB，CE交于点F，DF＝FB， ∴F是DB的中点， ∵E是AB的中点， ∴EF∥AD， ∴CF∥AD， ∵AF∥CD， ∴四边形AFCD是平行四边形． （2）解：∵F是DB的中点，E是AB的中点，EF＝1， ∴AD＝2EF＝2， ∵四边形AFCD是平行四边形， ∴CF＝AD＝2， ∵∠CFB＝∠EFB＝90°，BF＝3， ∴， ∴BC的长是． 【例3】　（2025秋•宿松县期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，连接AE，AF，CE，CF，∠BAE＝∠DCF．求证： （1）△ABE≌△CDF． （2）四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）∵△ABE≌△CDF， ∴∠AEB＝∠CFD，AE＝CF， ∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，则∠ABE＝∠CDF，再利用ASA即可证明△ABE≌△CDF； （2）由全等三角形的性质可得AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，则可证明∠AEF＝∠CFE，得到AE∥CF，据此可证明结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）∵△ABE≌△CDF， ∴∠AEB＝∠CFD，AE＝CF， ∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 考点02（★★★）矩形的性质、判定 1．判定矩形的常见思路 2．用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． 3．用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． 4．矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等． 【例4】　（2026•北京模拟）如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若BF＝16，DF＝8，求CD的长． 【答案】（1）见详解； （2）CD＝10． 【分析】（1）由CF＝BE，可得EF＝BC，即EF＝AD，结合AD∥BC，可得四边形AEFD是平行四边形，再结合AE⊥BC，可得平行四边形AEFD是矩形； （2）在菱形ABCD中，BC＝CD，可得CF＝BF﹣BC＝16﹣CD，在Rt△CFD中，有，即可求解． 【解答】解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝CD＝AB， ∵CF＝BE， ∴CF+EC＝BE+EC， ∴EF＝BC， ∴EF＝AD， ∵AD∥BC， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴平行四边形AEFD是矩形； （2）在菱形ABCD中，BC＝CD， ∵BF＝16， ∴CF＝BF﹣BC＝16﹣CD， ∵在矩形AEFD中，∠F＝90°， ∵DF＝8， ∴在Rt△CFD中，， 解得：CD＝10． 【例5】　（2026•天山区校级一模）如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）3． 【分析】（1）证明四边形BECD是平行四边形，根据题意得到BC＝DE，根据矩形的判定定理证明； （2）根据矩形的性质得到∠ABD＝90°，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理计算即可． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵BE＝AB， ∴BE＝CD， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵AD＝BC，AD＝DE， ∴BC＝DE， ∴▱BECD是矩形； （2）如图， ∵CD＝3， ∴AB＝BE＝3． ∵AD＝6，∠ABD＝90°， ∴BD3， ∴CE＝3， ∴AC3． 【例6】　（2026•合肥模拟）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由在平行四边形ABCD中，得到DF∥EB，AB＝CD，由CF＝AE，可得DF＝BE，根据矩形的判定即可求证． （2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得AD＝FD＝5，由勾股定理可求出DE＝4，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DF∥EB，AB＝CD， 又∵CF＝AE， ∴DF＝BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形． （2）解：∵AF平分∠DAB，DC∥AB， ∴∠DAF＝∠FAB，∠DFA＝∠FAB， ∴∠DAF＝∠DFA， ∵DF＝5， ∴AD＝FD＝5， ∵AE＝CF＝3，DE⊥AB， ∴， ∴矩形BFDE的面积是：DF•DE＝5×4＝20． 考点03（★★★）菱形的性质、判定 1．菱形的面积： （1）菱形的面积=底×高． （2）菱形的面积=两条对角线乘积的一半． 2．菱形的判定： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）四条边都相等的四边形是菱形． （4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的． 【例7】　（2025秋•元宝区校级期末）如图，已知E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，AD的中点，∠BAC＝90°． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若∠B＝60°，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）∵E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，AD的中点， ∴AD∥BC，AD＝BC，AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，点E为BC的中点， ∴， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）． 【分析】（1）由平行四边形性质得到AD∥BC，AD＝BC，结合题意得到AF＝EC，证明四边形AECF是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到AE＝AF，即可得出结论； （2）过点A作AH⊥BC于点H，证△ABE是等边三角形，得出AB＝BE＝2，BC＝4，由勾股定理求出AH的长，再由平行四边形的面积公式即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，AD的中点， ∴AD∥BC，AD＝BC，AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，点E为BC的中点， ∴， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：如图，过点A作AH⊥BC于点H， 由（1）得：四边形AECF是菱形， ∴AE＝EC， ∵点E是边BC的中点， ∴BE＝EC， ∴AE＝BE， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB＝BE＝2， ∴BC＝2BE＝4， ∵∠AHB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BAH＝90°﹣60°＝30°， ∴， 在直角三角形ABH中，由勾股定理得：， ∴． 【例8】　（2026•鼓楼区校级模拟）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形．再证平行四边形OCED是矩形，则∠COD＝90°，得AC⊥BD，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2，再由勾股定理得OD，然后由矩形的性质得CE＝OD，∠OCE＝90°，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵OE＝CD， ∴平行四边形OCED是矩形， ∴∠COD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝2，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2， ∴OA＝OC＝1， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD， 由（1）可知，四边形OCED是矩形， ∴CE＝OD，∠OCE＝90°， ∴AE， 即AE的长为． 【例9】　（2025秋•浦东新区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F，连接BE、DF． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若AB＝6，AD＝8，∠ABD＝90°，求菱形BEDF的面积． 【答案】（1）在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F，连接BE、DF． 由题意可得：OB＝OD，AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO． ∵EF⊥BD， ∴∠EOD＝∠FOB＝90°． 在△EOD和△FOB中， ， ∴△EOD≌△FOB（ASA）， ∴OE＝OF． 又OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形． ∵EF⊥BD， ∴平行四边形BEDF是菱形； （2）． 【分析】（1）先证三角形全等得到对角线互相平分，再结合对角线垂直判定菱形； （2）利用直角三角形锐角互余和等边对等角知识得到BE的长度，进而求出菱形的对角线长度得到面积． 【解答】解：（1）在平行四边形ABCD中，OB＝OD，AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO． ∵EF⊥BD， ∴∠EOD＝∠FOB＝90°． 在△EOD和△FOB中， ， ∴△EOD≌△FOB（ASA）， ∴OE＝OF． 又OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形． ∵EF⊥BD， ∴平行四边形BEDF是菱形； （2）∠ABD＝90°，AB＝6，AD＝8， ． ∴BE＝DE，． ∴∠EBD＝∠EDB． ∵∠ABD＝90°， ∴∠EBD+∠ABE＝90°，∠BAD+∠EDB＝90°， ∴∠ABE＝∠BAD， ∴AE＝BE＝DE，即E是AD的中点， ∴． ∵BE＝4，， ∴， ∴EF＝2OE＝2×3＝6， ∴． 考点04（★★★）正方形的性质、判定 1．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形，正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质． 2．判定是否为正方形，可以先证平行四边形，再加矩形、菱形的条件；或先证矩形，再加菱形的条件；或先证菱形，再加矩形的条件． 【例10】　（2025春•平乡县期中）在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F在对角线BD上的位置如图所示，且BE＝DF，AC＝EF，连接AE，CE，CF，AF． （1）求证：四边形AECF是正方形； （2）若，，求AE的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）4． 【分析】（1）根据菱形性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再根据BE＝DF得OE＝OF，由此可判定四边形AECF是平行四边形，进而根据AC⊥BD得平行四边形AECF是菱形，然后根据AC＝EF得菱形AECF是正方形； （2）在Rt△OAB中，由勾股定理求出OA，根据正方形性质OE＝OA，进而在Rt△OAE中，由勾股定理即可求出AE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∴BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形AECF是菱形， 又∵AC＝EF， ∴菱形AECF是正方形； （2）解：∵AC⊥BD， ∴△OAB是直角三角形， 在Rt△OAB中，AB，OB， 由勾股定理得：OA， 由（1）可知：四边形AECF是正方形， ∴OE＝OA， 在Rt△OAE中，由勾股定理得：AE4． 【例11】　（2025春•遵义校级期中）如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的一点，且AH＝DG＝CF＝BE． （1）求证：四边形EFGH为正方形； （2）若正方形EFGH的面积为4，连接FH，求FH的长． 【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， 又∵AH＝DG＝CF＝BE， ∴AB﹣BE＝BC﹣CF＝CD﹣DG＝DA﹣AH， ∴AE＝BF＝CG＝DH， ∴△HAE≌△EBF≌△FCG≌△GDH， ∴HE＝EF＝FG＝GH，∠HEA＝∠EFB， ∴四边形EFGH是菱形， ∵∠B＝90°， ∴∠BEF+∠BFE＝90°， ∴∠AEH+∠BEF＝90°， ∴∠HEF＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形EFGH是正方形． （2）FH的长为． 【分析】（1）由正方形的性质，结合已知可证明△HAE≌△EBF≌△FCG≌△GDH，可得HE＝EF＝FG＝GH，∠HEA＝∠EFB＝∠FGC＝∠GHD，从而可得∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，即可证得结论； （2）由正方形的EFGH面积可得边长，根据勾股定理计算，即可得FH的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， 又∵AH＝DG＝CF＝BE， ∴AB﹣BE＝BC﹣CF＝CD﹣DG＝DA﹣AH， ∴AE＝BF＝CG＝DH， ∴△HAE≌△EBF≌△FCG≌△GDH， ∴HE＝EF＝FG＝GH，∠HEA＝∠EFB， ∴四边形EFGH是菱形， ∵∠B＝90°， ∴∠BEF+∠BFE＝90°， ∴∠AEH+∠BEF＝90°， ∴∠HEF＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形EFGH是正方形． （2）解：∵正方形EFGH的面积为4， ∴，∠HEF＝90°， ∴， ∴FH的长为． 【例12】　（2025春•西安校级期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）若BE＝DG，求证：AD＝AE； （3）在（2）的条件下，已知BE＝2，求OG的长． 【答案】（1）∵矩形ABCD， ∴∠BAF＝∠ABE＝90°， ∵EF⊥AD， ∴四边形ABEF是矩形， ∵AE平分∠BAD， ∴EF＝EB， ∴四边形ABEF是正方形； （2）∵AE平分∠BAD， ∴∠DAG＝∠EAB， ∵DG⊥AE于点G， ∴∠AGD＝∠ABE＝90°， 在△AGD和△ABE中， ， ∴△AGD≌△ABE（AAS）， ∴AD＝AE； （3）． 【分析】（1）根据角平分线的性质证得EF＝EB，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得△AGD≌△ABE，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）由（1）可知四边形ABEF是正方形，得，再由（2）可知△AGD≌△ABE，得DG＝BE＝AB＝AG＝2，即可得，再推出∠GOE＝∠OEG＝45°得OG＝EG即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵矩形ABCD， ∴∠BAF＝∠ABE＝90°， ∵EF⊥AD， ∴四边形ABEF是矩形， ∵AE平分∠BAD， ∴EF＝EB， ∴四边形ABEF是正方形； （2）证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠DAG＝∠EAB， ∵DG⊥AE于点G， ∴∠AGD＝∠ABE＝90°， 在△AGD和△ABE中， ， ∴△AGD≌△ABE（AAS）， ∴AD＝AE； （3）解：由（1）可知四边形ABEF是正方形， ∴BE＝AB＝2，∠FAE＝∠FEA＝45°， ∴， 由（2）可知△AGD≌△ABE， ∴DG＝BE＝AB＝AG＝2， ∴， ∵DG⊥AE， ∴∠GOE＝∠OEG＝45°， ∴． 考点05（★★★）平行四边形的综合运用 综合运用不仅包括各特殊四边形的性质、判定的综合运用，还包括三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线性质等重要的平面几何知识的运用． 【例13】　（2025秋•泰山区期末）如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点． （1）求证：四边形DEFG为平行四边形； （2）若DG⊥BH，AD＝4，EF＝3，求线段HG的长度． 【答案】（1）∵点D、E分别为AB、AC的中点，点G、F分别为BH、CH的中点， ∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线， ∴DE∥BC，，GF∥BC，， ∴DE∥GF，DE＝GF， ∴四边形DEFG为平行四边形； （2）． 【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥BC，，GF∥BC，，则DE∥GF，DE＝GF，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得DG＝EF＝3，再由勾股定理求出BG的长，再根据G为BH中点即可求答案． 【解答】（1）证明：∵点D、E分别为AB、AC的中点，点G、F分别为BH、CH的中点， ∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线， ∴DE∥BC，，GF∥BC，， ∴DE∥GF，DE＝GF， ∴四边形DEFG为平行四边形； （2）解：∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG＝EF＝3， ∵DG⊥BH， ∴∠DGB＝90°， ∴， ∵G为BH中点， ∴线段BH的长度为， ∴GH． 【例14】　（2025春•德阳期中）（1）如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，求证：∠PMN＝∠PNM． （2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F． （3）若（2）中的∠A+∠ABC＝130°，则∠F的大小为多少？ 【答案】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点， ∴PM是△DBC的中位线， ∴PMBC， 同理可得：PN是△DBA的中位线， ∴PNAD， ∵AD＝BC， ∴PM＝PN， ∴∠PMN＝∠PNM； （2）证明：由（1）可知：PM是△DBC的中位线， ∴PM∥BC， ∴∠PMN＝∠F， 同理可得：∠PNM＝∠AEN， ∴∠AEN＝∠F； （3）25°． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到PMBC，PNAD，得出PM＝PN，根据等腰三角形的性质得到∠PMN＝∠PNM； （2）根据三角形中位线定理得到PM∥BC，根据平行线的性质证明即可； （3）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算得到答案． 【解答】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点， ∴PM是△DBC的中位线， ∴PMBC， 同理可得：PN是△DBA的中位线， ∴PNAD， ∵AD＝BC， ∴PM＝PN， ∴∠PMN＝∠PNM； （2）证明：由（1）可知：PM是△DBC的中位线， ∴PM∥BC， ∴∠PMN＝∠F， 同理可得：∠PNM＝∠AEN， ∴∠AEN＝∠F； （3）解：∵PM∥BC， ∴∠MPD＝∠DBC， ∵PN是△DBA的中位线， ∴PN∥AD， ∴∠PNB＝∠A， ∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠DBC+∠ABD+∠A＝130°， ∵PM＝PN， ∴∠PMN＝∠PNM＝25°， ∴∠F＝∠PMN＝25°． 【例15】　（2025春•广丰区期末）【三角形中位线定理】 已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系； 【应用】 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数； 【拓展】 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG． 求证：BD＝AC． 【答案】见试题解答内容 【分析】【三角形中位线定理】根据三角形中位线定理即可得到结论； 【应用】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可； 【拓展】取DC的中点H，连接MH、NH，则MH、NH分别是△ACD、△BCD的中位线，由中位线的性质定理可得MH∥AC且MHAC，NH∥BD且NHBD，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【解答】解：【三角形中位线定理】DE∥BC，DEBC； 理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC； 【应用】连接BD，如图所示， ∵E、F分别是边AB、AD的中点， ∴EF∥BD，BD＝2EF＝4， ∴∠ADB＝∠AFE＝45°， ∵BC＝5，CD＝3， ∴BD2+CD2＝25，BC2＝25， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°； 【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH． ∵M、H分别是AD、DC的中点， ∴MH是△ADC的中位线， ∴MH∥AC且MHAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）， 同理可得NH∥BD且NHBD． ∵EF＝EG， ∴∠EFG＝∠EGF， ∵MH∥AC，NH∥BD， ∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM， ∴∠HMN＝∠HNM， ∴MH＝NH， ∴AC＝BD． 学科网（北京）股份有限公司 $