期中培优：特殊四边形的动点问题复习讲义-2025-2026学年 人教版八年级数学下册

该初中数学复习讲义通过知识框架图系统梳理了特殊四边形动点问题的知识体系，将图形性质不变、动静结合转化等五大核心解题原理与“梳理静态条件-设变量-分段讨论”等六步通用解题思路结构化呈现，清晰呈现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“原理-思路-题型”的递进式练习设计，如例1通过双动点运动构建平行四边形存在性问题，结合动静转化原理培养推理能力与模型意识。易错点总结与分层变式训练（如变式3菱形存在性探究）帮助不同层次学生掌握分类讨论方法，教师可据此实施精准复习教学，提升学生动态几何问题解决能力。

期中培优：特殊四边形的动点问题复习讲义 期中培优：特殊四边形的动点问题复习讲义 知识点解析 一、核心解题原理 1. 图形性质不变原理 平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形，边角、对角线、平行垂直、平分等固有性质恒定不变；动点只改变位置，不改变图形基础几何关系，是解题核心依据。 1. 动静结合转化原理 以静态固定边长、定角、定点为基础，将动点运动路程、运动时间、线段长度建立变量关系，把几何动态问题转化为代数方程、函数、不等式问题。 1. 特殊图形判定原理 动点运动过程中，满足特定边长、角度、对角线条件时，可构成特殊四边形（菱形、矩形、正方形）或特殊三角形（等腰、直角），利用判定定理列等式求解临界点。 1. 分类讨论原理 动点在线段、射线、折线上运动时，位置分段不同，图形结构、边角关系、列式形式不同，必须按运动区间分类，防止漏解、错解。 1. 等量代换与模型原理 结合全等、相似、勾股定理、一线三等角、直角互余、中点模型，实现动态线段、角度的等量转化，简化动态几何关系。 二、通用解题思路 步骤 1：梳理静态条件，锁定不变量 先提取题干固定条件： 固定边长、定角、对角线长度、定点位置、平行/垂直关系； 区分不变量与动点产生的变化量，以不变应万变。 步骤 2：设变量，表示动态线段 常设：动点运动时间 、运动路程 ； 结合速度，表示出动点分割后的各线段含参表达式，统一变量。 步骤 3：分段讨论，划分运动区间 根据动点起点、终点、转折点（拐点），划分不同运动阶段； 每一段内图形形状、位置关系稳定，单独列式，避免范围混淆。 步骤 4：结合特殊四边形判定列方程 题目求「何时为平行四边形/矩形/菱形/正方形」时： - 平行四边形：对边相等、对角线互相平分； - 矩形：有一个直角、对角线相等； - 菱形：邻边相等、对角线互相垂直； - 正方形：兼具矩形 + 菱形条件； 利用以上特殊条件，列出含变量的方程。 步骤 5：结合几何工具辅助计算 常用工具： 1. 平行线→内错角相等； 2. 直角图形→勾股定理、互余倒角； 3. 线段最值→二次函数、垂线段最短； 4. 面积问题→底高表示，构造函数求范围。 步骤 6：求解并检验取值范围 解方程求出时间、线段长后， 结合动点实际运动区间筛选有效解，舍去超出范围的增根。 三、常见题型对应方法 1. 动点构成特殊四边形存在性 抓判定条件，列边长等式，解方程求时刻； 1. 动态线段最值、周长、面积变化 用变量表示目标量，转化为一次/二次函数，利用单调性、顶点求最值； 1. 动点角度、位置关系变化 倒角 + 平行性质，锁定临界角度，求对应位置； 1. 双动点、多动点综合 分别表示两个动点线段，利用边长和差、比例关系联立求解。 四、易错点总结 1. 忽略动点在射线/直线上的延伸情况，漏解； 1. 未分段讨论，不同区间混用同一个解析式； 1. 混淆特殊四边形判定条件（如只用一组邻边相等判定菱形）； 1. 求出结果不验证运动范围，出现无效解。 例题分析 例1．（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①_______，_______，（用含的式子表示） ②求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当_______时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1)①，；②时，四边形是平行四边形 (2)或 【分析】（1）①由题意得，，结合，即可求解；②由，当时，四边形是平行四边形，列方程求解即可； （2）分两种情况：当点、在线段上时，当点、在线段的延长线上时，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，， ， ； ②，当时四边形是平行四边形，     ； （2）当点、在线段上时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 则， ， 解得； 当点、在线段的延长线上时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形 则， ， 解得； 综上所述，当或时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 例2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 【答案】(1) (2)为直角三角形， (3)的值为2或6或 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据直角的不同分情况讨论求解． （1）先根据菱形的性质得出，再根据，可得为等边三角形，从而可得出； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，从而可得为直角三角形，再利用勾股定理求得，然后利用求解； （3）分，，三种情况，分别得到关于的一元一次方程求解，求得的值． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为 ∴， ， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为； （2）如图1，12秒后点走过的路程为， 则12秒后点到达点， 即点与点重合； 12秒后点走过的路程为，而， ∴点到点的距离为， 此时点到达的中点，即点为的中点 是等边三角形，而为中线， ， 为直角三角形， 在中， ； （3）为等边三角形， ， 经过3秒后，点运动的路程为、点运动的路程为， 点从点开始运动， ∴， 点为的中点， ∴， ①若，且点在上，如图1， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ②若，且点在上，如图2， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ③若，即， ， 点在的垂直平分线上， 此时点在点处， ， ， ， 综上所述，的值为2或6或． 例3．（25-26八年级下·四川泸州·月考）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当或时，的长度为 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； （2）解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 例4．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动时间为回答下列问题： (1) ， (2)当 时，四边形为平行四边形； (3)如图，若四边形变为平行四边形，，动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度在边上做往返运动，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为．当为何值时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)，； (2)； (3)的值为或或． 【分析】（）利用二次根式有意义的条件即可求解； （）由于，所以当时，四边形为平行四边形，根据列出关于的方程，解方程即可； （）若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则，分当，，，时列方程求解即可． 【详解】（1）解：由， ∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：根据题意，得，，则． ∵，即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得． 故当时，四边形为平行四边形； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则， 当时，，， ∴， 解得（不合题意,舍去）； 当时，，， ∴， 解得； 当，，， ∴， 解得； 当时，，， ∴， 解得； 综上可得：的值为或或时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形． 变式训练 变式1．（24-25八年级下·山西太原·月考）综合与探究： 问题情境：复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，中，，中，． 探究： 将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边与边重合．动点从点出发以的速度向点运动，同时，动点从点出发以的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． ①若．判断四边形的形状，并说明理由； ②若，经过多长时间四边形为平行四边形． 【答案】①四边形是平行四边形，理由见详解② 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质． 探究：①证明，由，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形是平行四边形； ②设运动时间为，由题意得，列出方程，据此求解即可； 【详解】解：①四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②设运动时间为，四边形为平行四边形， ∴，，， 由题意得， ∴， 得． 变式2．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示 ． (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 【答案】(1) (2)当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； (3)当Q点的速度为时，四边形为菱形． 【分析】本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的判定及性质． （1）根据P点的速度以及时间结合的长表示即可； （2）只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）解：P从A点以向B点运动， 时，， ， ； 故答案为：； （2）解：作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， Q在上运动时间为， ， 运动时间最长为， 时，在边上， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， 只需即可，由（1）知：， 以的速度沿折线向终点运动， 运动时间为时，， ， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理， 只需，四边形是平行四边形， 由（1）知，， 则， ， 解得：， 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可， 由（1）知：， 由（2）知：，， ，， 解得：，， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 变式3．（25-26八年级下·江苏常州·月考）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 【答案】(1) (2)存在，， (3)或或或 【分析】（1）根据平行四边形的性质就可以知道，可以求出，从而可以求出的值． （2）要使为菱形，可以得出，由三角形的勾股定理就可以求出的值而求出的值． （3）分三种情况①当为菱形的边时，②当为菱形的边时，③当为菱形的边时，分别画图求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． （2）解：∵四边形为菱形，点是线段上一点， ， ， ， ∴，． （3）解：①当为菱形的边时，， 则，， ∴， ∴； ②当为菱形的边时，， ∵， ∴，解得或， ∴或， ∴或， ∴或； ③当为菱形的边时，，点P与点M关于对称， 过点P作， ∴， ∴， ∴， 综上，或或或． 变式4．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）在四边形中，，，点，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图，已知，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设，当时，求的值． (2)如图，若，，点，，，的速度都是，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 【答案】(1)①，为整数且；②； (2)，，，，为整数且． 【分析】（1）①分别找到，和，的周期以及，，，共同的周期即可求解；②找到当时，，，此时的位置，计算，的值即可求解； （2）找到，，，的周期，画出一个周期内，的距离，根据周期内有次，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出的值即可． 【详解】（1）解：①因为，回到初始位置的周期为，，回到初始位置的周期为， 又因为， 所以点，，，恰好同时回到初始位置的时间，为整数且； ②由①得，当时，，的位置为， 当时，， ，的位置为， 当时，， 所以； （2）因为以，，，为顶点的四边形是平行四边形仅与，的长度有关， 所以为一个周期， 如图，以时间为轴，，的距离，，的距离为轴，在同一直角坐标系中画出图象， 由图可得，在一个周期内有次，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 由，，解得，由，，解得， 再由对称性，得，， 所以的所有可能取值是，，，，为整数且． 实战演练 1．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【答案】(1)， (2)a的值为2或 【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． 【详解】（1）解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； （2）当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 2．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)6 (2) (3)12或4 (4)2或或8 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键． （1）由题意可得，即可； （2）分点点出发沿运动和点出发沿运动两种情况讨论即可； （3）分两种情况，结合梯形的面积公式分别求出t的值即可． （4）分两种情况，结合矩形的性质、平行四边形的性质分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：点Q与点C重合时， 由题意得：， 解得：， 即点Q与点C重合时，t的值为6； （2）解：当点Q沿运动时，； 由题意得：； 当点Q沿运动时，， ∴， 即； （3）解：∵面积为， ∴梯形的面积为 分两种情况： 当点Q沿运动时，如图， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时，如图， 同理：， 解得：， 此时，两点重合，两点重合； 综上所述，当平分面积时，t的值为12或； （4）解：分两种情况： 点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，当点Q在点H右侧时， 同理， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点H左侧时，如图，则四边形是矩形，即， ∴， 解得：； 综上所述，当时，t的值为2或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：特殊四边形的动点问题复习讲义 期中培优：特殊四边形的动点问题复习讲义 知识点解析 一、核心解题原理 1. 图形性质不变原理 平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形，边角、对角线、平行垂直、平分等固有性质恒定不变；动点只改变位置，不改变图形基础几何关系，是解题核心依据。 1. 动静结合转化原理 以静态固定边长、定角、定点为基础，将动点运动路程、运动时间、线段长度建立变量关系，把几何动态问题转化为代数方程、函数、不等式问题。 1. 特殊图形判定原理 动点运动过程中，满足特定边长、角度、对角线条件时，可构成特殊四边形（菱形、矩形、正方形）或特殊三角形（等腰、直角），利用判定定理列等式求解临界点。 1. 分类讨论原理 动点在线段、射线、折线上运动时，位置分段不同，图形结构、边角关系、列式形式不同，必须按运动区间分类，防止漏解、错解。 1. 等量代换与模型原理 结合全等、相似、勾股定理、一线三等角、直角互余、中点模型，实现动态线段、角度的等量转化，简化动态几何关系。 二、通用解题思路 步骤 1：梳理静态条件，锁定不变量 先提取题干固定条件： 固定边长、定角、对角线长度、定点位置、平行/垂直关系； 区分不变量与动点产生的变化量，以不变应万变。 步骤 2：设变量，表示动态线段 常设：动点运动时间 、运动路程 ； 结合速度，表示出动点分割后的各线段含参表达式，统一变量。 步骤 3：分段讨论，划分运动区间 根据动点起点、终点、转折点（拐点），划分不同运动阶段； 每一段内图形形状、位置关系稳定，单独列式，避免范围混淆。 步骤 4：结合特殊四边形判定列方程 题目求「何时为平行四边形/矩形/菱形/正方形」时： - 平行四边形：对边相等、对角线互相平分； - 矩形：有一个直角、对角线相等； - 菱形：邻边相等、对角线互相垂直； - 正方形：兼具矩形 + 菱形条件； 利用以上特殊条件，列出含变量的方程。 步骤 5：结合几何工具辅助计算 常用工具： 1. 平行线→内错角相等； 2. 直角图形→勾股定理、互余倒角； 3. 线段最值→二次函数、垂线段最短； 4. 面积问题→底高表示，构造函数求范围。 步骤 6：求解并检验取值范围 解方程求出时间、线段长后， 结合动点实际运动区间筛选有效解，舍去超出范围的增根。 三、常见题型对应方法 1. 动点构成特殊四边形存在性 抓判定条件，列边长等式，解方程求时刻； 1. 动态线段最值、周长、面积变化 用变量表示目标量，转化为一次/二次函数，利用单调性、顶点求最值； 1. 动点角度、位置关系变化 倒角 + 平行性质，锁定临界角度，求对应位置； 1. 双动点、多动点综合 分别表示两个动点线段，利用边长和差、比例关系联立求解。 四、易错点总结 1. 忽略动点在射线/直线上的延伸情况，漏解； 1. 未分段讨论，不同区间混用同一个解析式； 1. 混淆特殊四边形判定条件（如只用一组邻边相等判定菱形）； 1. 求出结果不验证运动范围，出现无效解。 例题分析 例1．（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①_______，_______，（用含的式子表示） ②求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当_______时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 例2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 例3．（25-26八年级下·四川泸州·月考）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 例4．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动时间为回答下列问题： (1) ， (2)当 时，四边形为平行四边形； (3)如图，若四边形变为平行四边形，，动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度在边上做往返运动，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为．当为何值时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？ 变式训练 变式1．（24-25八年级下·山西太原·月考）综合与探究： 问题情境：复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，中，，中，． 探究： 将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边与边重合．动点从点出发以的速度向点运动，同时，动点从点出发以的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． ①若．判断四边形的形状，并说明理由； ②若，经过多长时间四边形为平行四边形． 变式2．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示 ． (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 变式3．（25-26八年级下·江苏常州·月考）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 变式4．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）在四边形中，，，点，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图，已知，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设，当时，求的值． (2)如图，若，，点，，，的速度都是，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 实战演练 1．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 2．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $