精品解析：湖北襄阳市第四中学2025-2026学年高一年级下学期期中学情质量检测数学试题

襄阳四中2025级高一年级下学期期中学情质量检测 数 学 试 题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算可得，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 3. 设是非零向量，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过向量的平方等于向量模长的平方，及数量积的定义求解. 【详解】将平方后，得， 则，，，推出； 若，则或，此时或， 不能推出，故是的充分不必要条件. 4. 在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】在中，， 又可得，从而； 利用余弦定理和面积公式可将化为， 所以，从而，故是等边三角形. 5. 已知复数满足，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】复数，根据题意求得，再计算即可得答案. 【详解】设复数，则，因为，所以， 因为，所以，即， 所以. 6. 已知向量满足，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，求得，再对两边同时平方求出， 【详解】由得=，由，得 又所以 故选：D 7. 在中，角 ，，，所对的边分别为，，，，点为上一点且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，由正弦定理表示出的表达式，则可得的表达式，结合三角函数的恒等变换化简，可得，利用正弦函数的性质，即可求得答案. 【详解】在中，设 ，由于，则 ， ， 因为，故, 在中，由正弦定理得, 即； 在中，由正弦定理得, 即； 故 ， 因为，所以，则， 故当，即时，取到最小值， 即的最小值为， 故选：B. 8. 17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中， 若三个内角均小于， 则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，将向量放在坐标系中，将问题转化为点到，，三点的距离之和，再利用费马点的性质即可求解. 【详解】，，和是平面内两个互相垂直的向量， 不妨设，，， 则，表示点到点的距离， ，表示点到点的距离， ，表示点到点的距离， 表示点到，，三点的距离之和， 由费马点的性质可知，当时，点到三角形三个顶点的距离之和最小， 点，关于轴对称，点在轴上，如图， 在中，，又， ，解得，故点的坐标为， ，，， 此时，， 的最小值是. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量坐标为 【答案】BCD 【解析】 【详解】解：选项，由向量的模长公式，所以错误； 选项，由，可得，因为，则由向量共线的坐标公式， 可得，所以，因此正确； 选项，由，，当时，由向量垂直的坐标公式， 可得，所以，因此正确； 选项，由投影向量坐标公式可得在上的投影向量为，又，， 代入得投影向量，所以正确. 10. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A. 若，则符合条件的有两个 B. 若点为的重心，则 C. 若点为所在平面内的动点，且，，则点的轨迹经过的垂心 D. 已知是内一点，若分别表示的面积，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦定理求得，再结合即可判定；对于B，根据重心为中线交点判断即可；对于C，根据判断；对于D，设的中点分别为，进而得，再结合面积公式判断. 【详解】对于A，由正弦定理可知，即，解得， 又，所以，故A只有一解，所以三角形一解，故A错误； 对于B，因为点为的重心，设中点为，则，故B正确； 对于C，因为， 所以， 所以，所以点的轨迹经过的垂心，故C正确； 对于D，因为，所以， 设的中点分别为，如图，则，即， 所以，故D正确． 11. 在△ABC中，角的对边分别为，且 则下列说法正确的是（ ） A. 为钝角三角形 B. C. 若为边的中点，则|AM|的取值范围为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据余弦定理代入求解即可.选项B：根据向量的数量积以及余弦定理代入求解.选项C：根据中线长公式以及三边关系求解.选项D：根据正弦定理以及均值不等式求解即可. 【详解】对于A，因，，由余弦定理得， 整理得，即角为钝角，所以是钝角三角形，A正确； 对于B， . 而，，B错误； 对于C，由中线长公式，​，则. 在△ABC中，有，且，则得，解得， 进而，即得​，故，C正确； 对于D：由正弦定理，​，​， 则等价于 ,即，即,也即(*)， 因，则​​， 故，当且仅当时取等. 即(*)成立 ,故不等式恒成立，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内． 13. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 【答案】 【解析】 【详解】已知，，，则， 由正弦定理得，则， ， 已知，， ，故． 14. 已知非零向量，，满足：，且不等式恒成立，则实数的最大值为__________. 【答案】4. 【解析】 【分析】法一：采用数形结合，可判断的终点是在以AB为直径的圆上，从而分离参数转化成恒成立问题即可得到答案. 法二：（特殊值法）可先设，，，利用找出的轨迹，从而将不等式恒成立问题转化为函数问题求解. 【详解】法一：作出相关图形，设,，由于，所以，且这两个向量共起点，所以的终点是在以AB为直径的圆上，可设，所以由图可知，，所，等价于,,所以，答案为4. 法二：（特殊值法） 不妨设，，，则，，，由于可得整理得，可得圆的参数方程为：，则相当于恒成立，即求得，即求的最大值即可， ，所以，因此.故答案为4. 【点睛】本题主要考查向量的相关运算，参数方程的运用，不等式恒成立问题，意在考查学生的综合转化能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大. 四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数z是纯虚数，求m的值： （2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值； （2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或. 当时， ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； 【小问2详解】 当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数. 所以由韦达定理可得， 解得. 16. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，且. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果； （2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值. 【详解】（1）因为，则，则，故，， ，所以，为锐角，则， 因此，； （2）显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故. 17. 在菱形中，，，，. （1）若，求的值； （2）求的值； （3）若在线段上的动点，问是否为定值?若是，求该定值；若不是，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）不是定值，取值范围为. 【解析】 【分析】（1）以，为基底，利用向量线性运算表示，对比即可得出与的值； （2）利用数量积的定义结合第一问的结论可求的值； （3）以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据在线段上，可得，，结合坐标计算即可得出范围. 【小问1详解】 因为，，所以, 又因为，所以，，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 在菱形中，，所以，所以 【小问3详解】 以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 由菱形边长为，，得，，，， 因为，易得，由可得， 在线段上，则 ，. ，，所以，又， 所以，又因为，所以. 故不是定值，取值范围为 . 18. 如图所示，在△ABC中，，AD是∠BAC的平分线，且. （1）求k的取值范围； （2）若，求k为何值时，BC最短. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）（方法一）利用正弦定理在△ABC和△ACD中分别建立等式,通过整理便可得到k关于角的关系式； （方法二）AD将△ABC一分为二,即以AD为界将△ABC分成两个三角形,通过面积相等建立等式； （方法三）利用余弦定理在△ABC和△ACD中分别建立等式,通过整理便可得到k关于角的关系式； （2）在,由余弦定理可得,根据三角形面积公式可得,则,记,则,可整理为,进而求得满足最值的条件即可 【详解】（1）方法一：由AD是∠BAC的平分线,可得,则, 在△ABC中,由正弦定理得①, 在△ACD中,由正弦定理得②, 由①②得, 又,, 所以,则, 因为,所以 方法二：由, 得, 又,,整理得, 因为,所以 方法三：在△ADC中,, 在△ABD中,, 又,则, 解得, 因为,所以 （2）由余弦定理得, 因为,所以,即, 故, 记,则, （其中）, 故当时,y取得最小值3,此时, 又由（1）知, 而, 则,故, 即当时,BC最短 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,考查角平分线定理的应用,考查三角形中的最值问题 19. 若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． （1）若，，求的值； （2）若为锐角三角形， ①若，求的值； ②若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）在中，由内角和得，结合正弦定理得​，整理得​，代入数值计算得结果； （2）①利用三角形中正弦定理及三角恒等变换得化简得原式等于，代入​得结果；②可证，由，将转化为关于的函数，结合锐角三角形得到的范围，换元用对勾函数求得的值域，再取倒数得到的范围. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理可得，所以. 【小问2详解】 ①由（1），同理可得， 又在中，，可得， 同理可得， 所以 ； ②由前可知，且，所以， 下面将简记作，则， 由正弦定理可得，即， 所以， 整理可得 ，记，则 已知​，故，又为锐角三角形，因此，，且​，因此： ， 令，由得，化简得：，  整理得： 换元，，化简得：，​ 由对勾函数性质， 在的最小值为（时取得），端点值趋近， 因此： ，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2025级高一年级下学期期中学情质量检测 数 学 试 题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 3. 设是非零向量，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 5. 已知复数满足，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知向量满足，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 7. 在中，角 ，，，所对的边分别为，，，，点为上一点且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中， 若三个内角均小于， 则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量坐标为 10. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A. 若，则符合条件的有两个 B. 若点为的重心，则 C. 若点为所在平面内的动点，且，，则点的轨迹经过的垂心 D. 已知是内一点，若分别表示的面积，则 11. 在△ABC中，角的对边分别为，且 则下列说法正确的是（ ） A. 为钝角三角形 B. C. 若为边的中点，则|AM|的取值范围为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 13. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 14. 已知非零向量，，满足：，且不等式恒成立，则实数的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数z是纯虚数，求m的值： （2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 16. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 17. 在菱形中，，，，. （1）若，求的值； （2）求的值； （3）若在线段上的动点，问是否为定值?若是，求该定值；若不是，求的取值范围. 18. 如图所示，在△ABC中，，AD是∠BAC的平分线，且. （1）求k的取值范围； （2）若，求k为何值时，BC最短. 19. 若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． （1）若，，求的值； （2）若为锐角三角形， ①若，求的值； ②若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $