福建德化第二中学2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题

**基本信息** 2025-2026学年高三下学期4月月考数学试卷，全面覆盖集合、复数、立体几何等核心知识，解答题融合统计应用（如考研报考人数回归分析）与导数综合（极值点、不等式证明），体现数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、复数模、空间向量夹角|基础题注重概念辨析，如第5题结合分布列考期望方差| |多选|3/18|数列递推、直三棱柱线面关系|第10题多角度考查空间角与距离，体现直观想象| |填空|3/15|条件概率、“α等差数列”新定义|第14题曲线对称性与面积，考查数学抽象| |解答|5/77|抛物线轨迹、统计案例（线性回归+正态分布）、解三角形、导数综合、立体几何体积|第16题结合实际数据考统计应用，第18题导数分层设计（极值点讨论、不等式证明），体现逻辑推理与数学建模|

2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x≤1}，则A∪B＝（　　） A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2] C．[﹣2，1] D．[﹣2，2] 2．已知复数z＝3a﹣2+（a﹣2）i（a∈R），若z为实数，则|z|＝（　　） A．2 B．5 C．4 D．1 3．已知A（2，3，﹣1），B（2，6，2），C（1，4，﹣1），则向量与的夹角为（　　） A．45° B．90° C．30° D．60° 4．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 5．设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足Y＝2X﹣1，则下列结论错误的是（　　） X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.4 q 0.2 0.2 A．q＝0.1 B．E（X）＝2，D（Y）＝6.2 C．E（X）＝2，D（X）＝1.8 D．E（Y）＝3，D（Y）＝7.2 6．设直线l：3x+2y﹣6＝0，P（m，n）为直线l上动点，则（m﹣1）2+n2的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．已知，则α+β＝（　　） A． B． C． D． 8．设函数f（x）＝（x﹣a）2（x﹣b）（a≠b），对任意x∈R，f（1﹣x）+f（1+x）＝2f（1）．若对任意x∈（2，4），都有f（﹣1+x）f（1+x）＜0，则f（x）的极小值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，a2＝8，an+1＝4an﹣3an﹣1（n≥2），则下列说法正确的有（　　） A．数列{an+1﹣an}为等差数列 B．数列{an+1﹣3an}为等比数列 C． D． 10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AC，AA1，AB的中点．则下列结论正确的是（　　） A．直线B1C与平面DEF所成角为60° B．平面DEF与平面ABC的夹角为45° C．EF与AC1所成角的大小为60° D．直线B1C1到平面DEF的距离为 11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于点P，Q，下列说法正确的有（　　） A．当点C为线段PQ的中点时，直线l的斜率为 B．若A（﹣1，0），则∠QF2A＝2∠QAF2 C．|PF1|•|PF2|＞|PO|2（O为坐标原点） D．若直线l的斜率为，且，则|PF1|+|QF1|＝|PB|+|QB| 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件A：蓝色骰子的点数为5或6；事件B：两骰子的点数之和大于9，则在事件B发生的条件下事件A发生的概率P（A|B）＝　 　 ． 13．若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足，则称x1，x2，x3成一个“α等差数列”．已知集合M＝{x‖x|≤2026，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“α等差数列”的个数为　 　 ． 14．已知曲线C：x2﹣|x|＝λ（y2﹣|y|），给出下列四个结论： ①对任意λ∈R，曲线C关于x轴、y轴、原点对称； ②当λ＝1时，曲线C是由两条直线和一个正方形组成的图形； ③当λ＝﹣1时，曲线C上任意两点距离的最大值为； ④当λ＜0时，曲线C围成的区域面积最小值为4． 其中所有正确结论的序号是 　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知点P到点F（2，0）的距离比它到直线l：x+1＝0的距离大1． （1）求点P的轨迹方程； （2）直线n过点M（4，0），且与点P的轨迹相交于A，B两点（A在第一象限），若，求直线n的方程． 16．（15分）某大学为了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码t 1 2 3 4 5 报考人数y 30 65 95 135 175 （1）经分析，y与t存在显著的线性相关性，求y关于t的线性回归方程t，并预测2025年的报考人数； （2）每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布N（370，152），录取方案：总分在400分以上的直接录取；在[355，400]之间的进入面试环节，录取其中的50%；低于355分的不予录取．请预测2025年报考该专业考生中被录取的人数（最后结果四舍五入，保留整数）． 参考数据：． 参考公式：回归方程x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973． 17．（15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2bcosC＝0． （1）求tanC+3tanB的值； （2）若△ABC的面积为，求B； （3）若b＝2，当角A最大时，求△ABC的面积． 18．（17分）已知函数． （1）讨论f（x）的极值点个数； （2）证明：∀n∈N*，； （3）若关于x的方程有两个不同实根x1，x2，求a的取值范围，并证明：． 19．（17分）已知三棱锥Pi﹣ABC（i＝1，2，⋯，24）的体积为Vi（i＝1，2，⋯，24），在△ABC中，AB＝2，Q是△ABC内一点，∠AQB＝120°，记V． （1）若AQ⊥CQ，AB⊥AC，∠ACQ＝30°，Pi（i＝1，2，⋯，24）到平面ABC的距离为i，求V； （2）若Q是△ABC的重心，且对任意i＝1，2，…，24，均有||＝i． （i）求V的最大值； （ii）当V最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组（aj，1，aj，2，⋯，aj，24）（j＝1，2，…，5）满足对任意j＝1，2，…，5，i＝1，2，…，24，均有|aj，i|，且对任意1≤j1＜j2≤5，j1，j2∈N均有0，若Si，求的值． （参考公式： 参考答案 一．选择题 1．B． 2．C． 3．D． 4．D． 5．B． 6．A． 7．C． 8．A． 二．多选题 9．BCD． 10．BD． 11．BCD． 三．填空题 12．． 13．1012． 14．①②③． 四．解答题 15．解：（1）根据题意可得点P到点F（2，0）的距离等于它到直线l：x+2＝0的距离， 所以点P的轨迹为以F（2，0）为焦点，以l：x+2＝0为准线的抛物线， 所以p＝4， 所以点P的轨迹方程为y2＝8x； （2）根据题意可设直线的方程为x＝my+4，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，得y2﹣8my﹣32＝0， 则Δ＝64m2+128＞0，y1+y2＝8m，y1y2＝﹣32， 因为， 所以（4﹣x1，﹣y1）＝2•（x2﹣4，y2），所以y1＝﹣2y2， 因为点A在第一象限，所以y1＞0，y2＜0， 则，解得， 所以直线n的方程为2x﹣y﹣8＝0． 16．解：（1）因为，， ． 所以，． 所以． 当t＝6时，，即预测2025年的报考人数为208； （2）因为P（355≤X≤400）＝P（μ﹣σ≤X≤μ+2σ） 0.8186， P（X＞400）＝P（X＞370+2×15）＝P（X＞μ+2σ） 0.02275， 208×（0.8186×0.5+0.02275）＝89.8664≈90人． 17．解：（1）∵a+2bcosC＝0， 由正弦定理可得：sinA+2sinBcosC＝0， ∴sin（B+C）+2sinBcosC＝0，∴sinCcosB+3sinBcosC＝0， 两边同时除以cosBcosC， 可得：tanC+3tanB＝0； （2）因为，则3asinB＝c， 结合正弦定理得，3sinAsinB＝sinC， 在△ABC中，sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC， 即3sinBsinBcosC+3sinBcosBsinC＝sinC， 两边同时除以cosC，整理可得， 所以， 即tan2B﹣2tanB+1＝0， 解得tanB＝1，又B∈（0，π）， ∴． （3）∵a+2bcosC＝0，∴， ∴2a2+b2﹣c2＝0，∴， ∴， 当且仅当时等号成立，此时A取到最大值， ∵b＝2，∴当A最大时， 此时． 18．解：（1）函数的定义域为（0，+∞）， 导函数， 当a≤1，由x＞0可得， 函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，函数f（x）没有极值点， 令f′（x）＝0，可得x2﹣2x（a﹣1）+1＝0， 方程x2﹣2x（a﹣1）+1＝0的判别式Δ＝4（a﹣1）2﹣4＝4a2﹣8a， 当0≤a≤2时，x2﹣2x（a﹣1）+1≥0，f′（x）≥0， 函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，函数f（x）没有极值点， 当a＜0时，由x＞0可得2x（a﹣1）＜0，所以x2﹣2x（a﹣1）+1＞0， 故f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，函数f（x）没有极值点， 当a＞2时，方程x2﹣2x（a﹣1）+1＝0有两个不同的根， 设其根为， 因为（a﹣1）2＞a2﹣2a＞0，所以，所以x1＞0， 当0＜x＜x1时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，x1）上单调递增， 当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（x1，x2）上单调递减， 当x2＜x＜+∞时，f′（x）＞0，函数f（x）在（x2，+∞）上单调递增， 所以函数在x＝x1时，取极大值，当x＝x2时，取极小值， 综上，当a≤2时，函数f（x）没有极值点， 当a＞2时，函数f（x）有两个极值点，为其极大值点，为其极小值点； （2）证明：由（1）当a＝1时，函数在（0，+∞）上单调递增， 所以当x＞1时，， 取可得，，即， 所以，…，， 所以lnln， 所以∀n∈N*，； （3）因为， 所以方程可化为lnx＝（a+1）x， 所以， 由已知方程有两个解不同的实数解x1，x2， 设，则， 当x＞e时，h′（x）＜0，函数在（e，+∞）上单调递减， 当0＜x＜e时，h′（x）＞0，函数在（0，e）上单调递增， 且当0＜x＜1时，h（x）＜0，当x＞1时，h（x）＞0， 又h（1）＝0，，当x→+∞时，h（x）→0， 函数h（x）的大致图象如下： 所以，故， 所以a的取值范围；下证． 证明：设x1＞x2，则1＜x2＜e＜x1，故， 由已知lnx2＝（a+1）x2，lnx1＝（a+1）x1， 所以lnx1+lnx2＝（a+1）（x1+x2），lnx1﹣lnx2＝（a+1）（x1﹣x2）， 所以， 所以， 令，则t＞1， 所以， 由（1）当a＝2时，函数在（0，+∞）上单调递增， 所以当x＞1时，， 所以，故， 所以， 所以． 19．解：（1）如图，在△ACQ中，． 因为AC⊥AB，AQ⊥CQ，所以∠QAB＝∠ACQ＝30°， 所以在△ABQ中，∠QBA＝180°﹣∠AQB﹣∠QAB＝30°＝∠QAB， 所以在△ABQ中，， 所以AC＝4，所以△ABC的面积为， 又因为Pi（i＝1，2，⋯，24）到平面ABC的距离为i 所以i， 所以． （2）（i）因为Q是△ABC的重心， 所以△ABC的面积为， 在△ABQ中，由余弦定理得，AB2＝AQ2+BQ2﹣2AQ•BQcos∠AQB， 即AQ2+BQ2+AQ•BQ＝12， 由基本不等式知，AQ2+BQ2+AQ•BQ＝12≥3AQ•BQ， 所以AQ•BQ≤4， 故，等号当且仅当AQ＝BQ＝2时成立， 又由Q是△ABC的重心知，， 所以， 所以， 所以•， 所以，等号当且仅当AQ＝BQ＝2， 且QPi⊥平面ABC时成立，所以V的最大值为； （ii）由（i）知，，所以对任意j＝1，2，…，5，i＝1，2，…，24， 均有， 故，因为Si＝a1，i+a2，i+⋯+a5，i， 则 所以， 由于任意l≤j1＜j2≤5，j1，j2∈N均有， 所以0， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $