平面向量的数量积 课件-2027届高三数学一轮复习

第33讲 平面向量的数量积 1 【课标要求】 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义, 会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角. 5.能用坐标表示平面向量垂直. 课 标 要 求 2 1.平面向量的数量积 （1）向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量，（如图）， 是平 面上的任意一点，作， ，则 叫作向量与 的夹角. ②性质：当时，与同向；当 时，与 反向． ③向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作 . ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 3 （2）数量积概念 已知两个非零向量与,它们的夹角为 ,我们把数 量___________叫作向量与 的数量积（或内积）, 记作,即 ___________. 规定：零向量与任一向量的数量积为___,即 . 0 课 前 基 础 巩 固 4 （3）投影向量 如图，在平面内任取一点，作，，过点 作直线 的垂线，垂足为，则_____就是向量在向量 上的投影向量， 且 为与的夹角，为与 方向相同的单位 向量 . 课 前 基 础 巩 固 5 2.平面向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是 ,是与 方向相同的单位向量，则 ① ________. ② _________. ③当与同向时，______；当与反向时， ________. 特别地，_____或 _______. ④___ . 课 前 基 础 巩 固 6 3.平面向量数量积的运算律 已知向量，，和实数 . ①交换律：____________； ②数乘结合律：________________ ； ③分配律： ___________. 课 前 基 础 巩 固 7 4.平面向量数量积的有关结论 已知两个非零向量，，,为与 的夹角. 向量表示 坐标表示 向量 的长度 __________ ， 的数量积 , ____________ 与 垂直 ___________ _____________ 课 前 基 础 巩 固 8 向量表示 坐标表示 与 的夹角 , , _ ____________ 与 的关系 （当且仅当 时等号成 立） 续表 课 前 基 础 巩 固 9 常用结论 1.； ； . 2. . 3.若,则所在直线为 的平分线.#5.3 课 前 基 础 巩 固 10 4.已知非零向量， . （1）若与的夹角为锐角，则；若，则与 的夹 角为锐角或0； （2）若与的夹角为钝角，则；若，则与 的夹 角为钝角或 . 5.向量在向量上的投影向量为 .#5.5 课 前 基 础 巩 固 11 题组一 常识题 1.［教材改编］已知，，则____，与 夹 角的正弦值为___. 63 [解析] ， ， 设与的夹角为 ，则 ， 所以 . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 12 2.［教材改编］已知向量，，且，则 ___. 8 [解析] 向量，， 由 ，得，所以 . 课 前 基 础 巩 固 13 3.［教材改编］已知平面向量，满足，，且与 的 夹角为，则 ____. [解析] 因为，，且与的夹角为， 所以 . 课 前 基 础 巩 固 14 题组二 常错题 ◆ 索引：向量的模与数量积之间的关系掌握不牢致误;不理解向量 的数量积的几何意义致误;向量的数量积的有关性质应用不熟练致误. 4.已知向量,满足，，则 ____. 16 [解析] 由 ，两边平方可得 ， 所以 ， 所以 . 课 前 基 础 巩 固 15 5.若向量,满足，，设与 方向相同的单位向量为 ，则向量在向量 上的投影向量为______. [解析] 向量在向量上的投影向量为 . 课 前 基 础 巩 固 16 6.若平面四边形满足, ,则该四 边形的形状是______. 菱形 [解析] 平面四边形满足, 四边形 是平行四边形， 又,即, 该平行四边形的对角线互相垂直, 该四边形是菱形. 课 前 基 础 巩 固 17 探究点一 平面向量的数量积 例1（1）[2023·全国乙卷]正方形的边长是2，是 的中点， 则 ( ) A. B.3 C. D.5 ［思路点拨］思路一：以,}为基底表示, ，再结合数量积 的运算律运算求解； 思路二：建系，利用平面向量的坐标运算求解； 思路三：利用余弦定理求出 ，进而根据数量积的定义求解. √ 课 堂 考 点 探 究 18 [解析] 方法一：由题知 , 方法二：如图，以为原点，, 所在直线分别为 ,轴，建立平面直角坐标系， 则, , ,则, , 所以 .故选B. ,， 所以 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 19 方法三：由题意可得，,， 在 中，由余弦定理可得 ， 所以 . 故选B. 课 堂 考 点 探 究 20 （2）已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为 ， 则 ( ) A. B. C.0 D.1 ［思路点拨］由投影向量的概念求得, ，从而求出 ，再利用向量数量积的运算律展开运算即可. [解析] 因为平面向量，是两个单位向量， 所以在 上的投影向量为,,所以,, 所以 ,所以 ,故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 21 [总结反思] 解决向量数量积的运算问题的三种方法: （1）当已知向量的长度和夹角时,可利用定义法求解; （2）当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐 标时,可利用坐标法求解; （3）利用向量数量积的几何意义求解. 课 堂 考 点 探 究 22 变式题（1）[2025·湖南长沙雅礼中学模拟] 已知平面内三点 , ,，则向量在 上的投影向量为______. [解析] 因为,,，所以， ， 所以， ， 所以向量在上的投影向量为 . 课 堂 考 点 探 究 23 （2）[2025·黑龙江大庆一模]如图，在 中，,，点是边 上的动 点，则 的值( ) A.为16 B.为32 C.最大为32 D.与 的位置有关 √ 课 堂 考 点 探 究 24 [解析] 如图，取的中点为，连接 ， 因为,，所以， 又 为等腰三角形，所以 ， 所以 的值为32.故选B. 所以 ， 课 堂 考 点 探 究 25 探究点二 平面向量数量积的性质问题 微点1 平面向量的模 例2 [2024· 新课标Ⅱ卷]已知向量，满足, ，且 ,则 ( ) A. B. C. D.1 ［思路点拨］由得，由 , ，得 ，联立即可得解. √ 课 堂 考 点 探 究 26 [解析] 因为， 所以，得 . 因为，所以，即 ， 得. 由①②得，则 ,故选B. 课 堂 考 点 探 究 27 [总结反思] 求平面向量的模的两种方法 （1）公式法:或 ; ② ; ③若,则 . （2）几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边 形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 课 堂 考 点 探 究 28 微点2 平面向量的夹角 例3（1）[2023·全国甲卷]已知向量,,满足， ， 且，则, ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 29 ［思路点拨］首先由及, 得到 .思路一：利用已知及向量数量积的运算，求出 及，，进而求出， ； 思路二：由， 是单位正交向量，作出图形,在特殊三角形中表示 出已知和待求向量，用三角恒等变换求解； 思路三：由， 是单位正交向量，令，， 求出，从而求出， ，利用向量的坐标运算求解. 课 堂 考 点 探 究 30 [解析] 因为，所以 ， 即，即 ，所以 . 方法一：因为 ， 且 ， ， 所以， .故选D. ， 所以 ， 课 堂 考 点 探 究 31 方法二：如图，设，， ， 由题知，，， 所以 是等腰直角三角形， 边上的高，， 是等腰三角形， 则，， 三点共线， 所以 ， 则 ， 则，所以 ， . 课 堂 考 点 探 究 32 方法三：如图，令向量，的起点均为 ，终点 分别为，，以，的方向分别为， 轴的 正方向建立平面直角坐标系， 则 ，， ， 所以，， 则 ， . 课 堂 考 点 探 究 33 （2）已知向量，满足，且 ， ，则向量， 的夹角为______. ［思路点拨］先根据向量的坐标求出 ，再结合数量积的计算公 式求出,，从而得出向量， 的夹角. [解析] 由题意得 ， 又,， , 所以,，则向量，的夹角为 . 课 堂 考 点 探 究 34 [总结反思] 求平面向量的夹角的方法 （1）定义法:利用向量数量积的定义得, ,其中两向量 的夹角,的取值范围为 . （2）坐标法:若非零向量,,则 , . 课 堂 考 点 探 究 35 微点3 平面向量的垂直 例4（1）[2023· 新课标Ⅰ卷]已知向量， .若 ，则( ) A. B. C. D. ［思路点拨］思路一：根据,的坐标得到， ， 再根据向量垂直列出方程即可得到答案； 思路二：根据向量的坐标运算求出， ，再根据向量垂 直的坐标表示即可得到答案. √ 课 堂 考 点 探 究 36 [解析] 方法一：因为,， 所以 ，，又 ， 所以，即 ， 所以 ，故选D. 方法二：因为,， 所以 , ， 由 得， 即，所以 ，故选D. 课 堂 考 点 探 究 37 （2）[2025· 全国二卷] 已知平面向量, ，若 ,则 ____. ［思路点拨］根据条件得 ，再利用向量垂直的坐 标表示得到方程，解出 即可得到答案. [解析] 因为, ， ， 所以，解得 , 所以 . 课 堂 考 点 探 究 38 [总结反思] 当向量与是坐标形式,即,时,若要证明 , 则只需证明,即证明 课 堂 考 点 探 究 39 应用演练 1.已知向量,,,则实数 的值为( ) A. B. C. D.1 [解析] 方法一:因为向量, , 所以,, 又因为 , 所以,解得 .故选D. 方法二:由,得 , 得,所以,则, 故,解得 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 40 2.已知非零向量,,满足，，若为在 上的投影向 量，则向量, 夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. [解析] 由，为在上的投影向量， 得 ,,,， 所以, .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 41 3.[2026·山东济南摸底]已知向量,，若与 垂 直，则实数 的值为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知向量,，故 ， 又与垂直，所以 ， 可得，则， 解得 ，故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 42 4.[2025·湖南岳阳二模] 已知非零向量,，若 ，且 ，则与 的夹角为__. [解析] 由 可得 ， 故,，所以,， 又 , ,所以, . 课 堂 考 点 探 究 43 探究点三 与数量积有关的最值范围问题 例5（1）已知,,三点在半径为1的圆上运动，且 ，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］设的中点为，由条件得， ， 将表示成，根据 可得结果. √ 课 堂 考 点 探 究 44 [解析] 设的中点为，连接， 因为， ，所以， ， 所以 ， 又 ，所以 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 45 （2）已知向量,的夹角为,,若向量满足 , 则 的取值范围是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］建立平面直角坐标系,设, , ,可得,设,转化为圆心 到直 线的距离求解 的取值范围即可. √ 课 堂 考 点 探 究 46 [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系, 设,, , 则 , 即 , 点在圆 上或其内部 ,令,即 , 由题可知直线与圆有公共点, 则圆心 到直线的距离 , 解得 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 47 [总结反思] 数量积最值（范围）问题的解法 （1）坐标法：通过建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算转化为 代数问题处理. （2）向量法：运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关 向量知识解决. 课 堂 考 点 探 究 48 变式题（1）[2025·安徽蚌埠二模] 如图，六边形 与六边形 为全等的正六边形，且，点为正六边形 内的一点（包含边界），则 的取值范围是________. 课 堂 考 点 探 究 49 [解析] 过点作直线的垂线，垂足为， 则 ，, 所以. 据此可得，当点 与点重合时，取得最小值， 最小值为； 当点与点 重合时，取得最大值，最大值为. 所以 的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 50 （2）[2025·北京卷]已知平面直角坐标系中， , ,设，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] ，， ， 易知，两点在以原点为圆心， 为半径的圆上， 如图所示，取的中点，连接，则， 点在以 为圆心，1为半径的圆上， √ 课 堂 考 点 探 究 51 ， . 易知 ， , ， .故选D. 课 堂 考 点 探 究 例1 ［配例1使用］[2025·山西部分学校5月联考]已知向量，， 均 为单位向量，且，则 ( ) A.0 B. C.2 D. [解析] 由，得 ， 所以，可得. 由 ，得， 所以，可得 . 故 .故选D. √ 【备选理由】例1考查数量积的运算律、已知模求数量积等知识,考查 学生运算求解的核心素养. 教 师 备 用 习 题 53 例2 ［配例2、例3使用］[2025·福建福州部分学校最后一卷]已知平 面向量，满足，，向量 满足 ，则 的最小值为( ) A. B. C. D. [解析] ， , ， ,， 又, ，，. √ 【备选理由】例2考查向量夹角的计算、已知数量积求模等基础知 识，考查了数形结合思想以及运算求解能力. 教 师 备 用 习 题 54 ， ， . 如图，设 , ,, ， 则 , ， 在以 为圆心，1为半径的圆上， 教 师 备 用 习 题 设，则， 原问题转化为求在圆上的哪一点时， 最小，又， 当且仅当,, 三点共线且时， 最小,为 . 故选B. 教 师 备 用 习 题 例3 ［配例3使用］[2025·安徽合肥二模]已知向量 ， ，设，，则与 的夹角为 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为， ， 所以 ， ， √ 【备选理由】例3考查数量积的坐标运算、向量夹角的计算、平面向 量线性运算的坐标表示、利用坐标求模. 教 师 备 用 习 题 57 所以 ， ， . 设与的夹角为 ，则， 又，所以，即与 的夹角为 .故选C. 教 师 备 用 习 题 例4 ［配例3、例4使用］[2025·河南豫西北教研联盟（平许济洛）三 模]已知非零向量，满足，若，则与 的夹 角为( ) A. B. C. D. [解析] 因为，且 ， 所以，所以， 所以 ,， 又,，所以, .故选B. √ 【备选理由】例4考查向量夹角的计算、垂直关系的向量表示，考 查转化与化归思想和运算求解的核心素养. 教 师 备 用 习 题 59 例5 ［配例5使用］[2025·湖北汉川一中压轴]点 在边长为1的正三角 形的外接圆上，则 的最大值为( ) A. B. C. D. [解析] 如图，设正三角形外接圆的圆心为 ， 连接，，， ， 则， √ 【备选理由】例5考查用定义求向量的数量积,考查运算求解能力. 教 师 备 用 习 题 60 一方面，我们有 , ， 即 教 师 备 用 习 题 综合①②可知，的最大值是 .故选A. 另一方面，当 时， 有 ，满足题意， 此时 . 教 师 备 用 习 题 作业手册 63 1.已知向量，，则在 上的投影向量为( ) A. B. C. D. [解析] 在上的投影向量为 .故选C. √ ◆ 基础热身 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 2.[2026·广东惠州第一次调研]已知向量，满足， ， 与的夹角为，则 ( ) A.2 B.4 C. D. √ [解析] 方法一： ， 则 . 方法二：如图，设，， 则， ，，， 故 .故选C. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 3.[2025·河南郑州一模]设向量， ，则下列结论正 确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，,，， ，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，, ，， ，故C正确； 对于D，,，， 不成立， 故D错误.故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 4.[2025·广东汕头二模]在中，为边上的中线， ， ，则 的值为( ) A. B. C. D. [解析] 如图，因为为 边上的中线， 所以 ， 又， 所以 .故选D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 5.[2026·山东青岛入学适应性考]两个单位向量与满足 ， 则向量与 的夹角为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得，， 因为 ， 所以. 设与 的夹角为 ， ， 则,所以 .故选D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 6.（多选题）[2025·安徽皖南八校三联]已知向量， 满足 ， ，则( ) A.与的夹角为 B.与的夹角为 C. D. √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 [解析] 对于A,B，设与的夹角为 ，因为 ， 所以，得 ， 所以，所以 ，故A正确，B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ， 故 ，故D正确．故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 7.设向量，，且,则 ____. [解析] 由已知条件，得， 即，即 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 8.[2025·北京东城区一模] 已知向量，， 在正方 形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的 边长为1，则，_ __, ___. 0 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 [解析] 平移向量与共起点，易看出， 的夹角为 ， 所以， . 由图可得，，， ， ， 所以 ， ， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 9.已知向量， . （1）若，求实数的值及 ； 解：向量，，则 ， 由，得，解得 ， 所以，故 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 74 （2）若，求向量与 的夹角的余弦值. 解：， 由 ，得， 解得 ，则， 所以, ， 即向量与的夹角的余弦值为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 10.[2025·安徽皖江名校联盟联考]已知平面向量， 满足 ，，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 设，因为，所以 ， 又，所以， 所以点 在以为圆心，4为半径的圆上， 又（其中 为坐标原点）， 所以，即 .故选A. √ ◆ 综合提升 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 76 11.设圆的半径为2,,,为圆上的动点，且圆心到弦 的距离 为，则 的最大值为( ) A.3 B.5 C.6 D.9 √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 77 [解析] 如图，令直径，过作垂直于 的延长线， 垂足为，连接，， 易知 是等边三角形. 因为 ， 所以可看作在 上的投影向量的模与 的乘积. 由图可知当与重合时，在 上的投影向量的模最大， 所以的最大值为. 设为 的中点，则, ， 所以，故 的最大值为 .故选C. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 78 12.（多选题）[2025·福建南平三检]已知向量,满足 ， ，则( ) A.当时，与的夹角为 B.当时，在上的投影向量为 C.的最大值为 D. 的最小值为4 √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 79 [解析] 当时，可得, ， 又, ，所以,，故A错误； 由 ，可得， 又， ，所以，所以， 所以在 上的投影向量为，故B正确； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 设，的夹角为 ，则， ， 所以 ， 设 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以当时， ， 所以，故C正确； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 由C选项的分析知，当 时， ，所以，故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.[2026·大同一调] 已知，是单位向量，且.若平面向量 满足，则 的值为_ ___. [解析] 由题意，得，设向量， 的夹角为 ， 因为，所以，故 . 以为原点，的方向为 轴正方向建立如图所示的平 面直角坐标系， 使的起点与 重合，终点在第一象 限， 则，. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 83 设 ， 则故 所以，故 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.在中，，为的中点，为线段 上的 一个动点，则 的最小值为____. [解析] 在中，，所以, 因为为 的中点，所以, 又因为为线段 上的一个动点，所以 ， 所以 , 当且仅当，即为线段 的中点时取等号， 所以的最小值为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 85 15.在直角梯形中，， ， ，点是 边的中点. （1）若点满足，且，求 的值； 解：如图 ① 所示，由可得 ， 所以 ， 又，所以, ， 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 86 （2）若点是线段（含端点）上的动点，求 的取值范围. 解：方法一：以点为坐标原点，所在直线为轴， 所在直线 为轴建立平面直角坐标系，如图 ② 所示， 则,, , ，. 由点是线段 （含端点）上的动点， 可令,， 所以， 又 ，所以， 所以, . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 87 由二次函数的性质可得，当时，取得最小值 ； 当时，取得最大值8. 综上可得， 的取值范围是 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 88 方法二：取的中点，作，垂足为 ，如图 ③ 所示， 连接 ，则 ， 显然当点与点重合时，取得最大值3， 当点与点 重合时，取得最小值， 所以的取值范围是 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.已知是边长为2的正六边形 内（不包括边界）的一点， 则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：以为原点，的方向为 轴的正方向，建立如图① 所示的平面直角坐标系， 设，则， ， ， . √ ◆ 能力拓展 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 90 方法二：如图②，以,}为基底，则,， 且 , . 为正六边形内（不包括边界）的一点， , ， 则 ， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 方法三：作出正六边形 ，如图③所示， ,，. 由图可得，当位于 处时，,最大， 又， ， 故此时，， 则 ,； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 当位于处时，, 最小， 又，， 故此时, ， 则, 是正六边形内（不包括边界）的一点， 的取值范围为 .故选A. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.（多选题）已知向量，， 满足 ，则下列结论可能成立的有 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知， ，， 设， ，，不妨设，如图， 动点在以 为圆心，2为半径的圆上， 动点在以 为圆心，1为半 径的圆上， √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 94 且满足，圆 的方程是. 当点在圆 上运动时，由， 得，当且仅当 ，，三点共线且在, 之间时取等号. 由图易知，即 ， 故选项A不可能成立，选项B可能成立. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 设 ，则， 由 解得 ，又， ， ，故选项C，D均可能成立.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 【知识聚焦】 1.（2）<m></m> <m></m> 0 （3）<m></m> 2.<m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 3.<m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 4.<m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 【对点演练】 1.63 <m></m> 2.8 3.<m></m> 4.16 5.<m></m> 6.菱形 课堂考点探究 例1（1）B （2）B 变式题（1）<m></m> （2）B 例2 B 例3（1）D （2） <m></m> 例4（1）D （2）<m></m> 应用演练 1.D 2.B 3.A 4.<m></m> 例5（1）A （2）D 变式题（1）<m></m> （2）D 答 案 核 查 97 基础热身 1.C 2.C 3.C 4.D 5.D 6.ACD 7.<m></m> 8.<m></m> 0 9.（1）（2）<m></m>. 综合提升 10.A 11.C 12.BCD 13.<m></m> 14.<m></m> 15.（1）</m>. （2）<m></m>. 能力拓展 16.A 17.BCD 答 案 核 查 98 $