精品解析：江苏徐州市第七中学2025-2026学年下学期高一3月学情调研数学试卷

徐州七中高一年级3月学情调研 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两边平方，可求得，再利用二倍角公式，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 即得，则， 故， 故选：A 2. 已知轮船在灯塔的北偏东45°方向上，轮船在灯塔的南偏西15°方向上，且轮船，与灯塔之间的距离分别是千米和千米，则轮船，之间的距离是（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出示意图，分析角度后，再利用余弦定理解题即可. 【详解】如图，由题意可知千米，千米，，由余弦定理可得，则千米． 故选：D. 3. （ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用正切两角差的公式计算即可. 【详解】因为， 所以， 故 . 4. 设，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平方关系和二倍角的正弦公式化简式子，再根据的范围，判断和的大小，去绝对值即可. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以， 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查平方关系和二倍角正弦公式的应用，以及，考查学生对三角恒等变换公式的掌握，属于基础题. 5. 已知锐角的终边与单位圆相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，， ，， 6. 在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（ ） A. ，有唯一解 B. ，，无解 C. ，有两解 D. ，有唯一解 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，由勾股定理逆定理即可判断；对于BCD，由正弦定理即可判断. 【详解】对于A，因为，所以是以为直角边的直角三角形，故A正确； 对于B，若，，则，解得， 所以有两个解，故B错误； 对于C，若，则，解得，所以无解，故C错误； 对于D，若，则，解得， 所以有两个解，故D错误. 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【详解】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C 8. 如图，在平面四边形中，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先在中，根据已知条件求出的长度.然后在中，利用余弦定理建立的关系，最后结合基本不等式求出的最小值. 【详解】在中，已知，，，即. 所以，同时.  在中，，根据余弦定理可得：，即.  由基本不等式（当且仅当时取等号）. 将代入中，得到. 设，则.解得，即. 当且仅当取得最值. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知锐角三角形三边长分别为，则实数的可能取值是（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先由三角形三边关系确定的范围，再借助余弦定理列出关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为是三角形的三边，则且，得， 设这个三角形中长为的边所对角分别为，显然长为的边所对角必为锐角， 而这个三角形为锐角三角形， 则由余弦定理得，即，解得， 所以实数的取值范围是，故BC正确，AD错误. 故选：BC 10. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式化简判断A，利用两角差的正切公式化简判断B，结合诱导公式，利用两角差的余弦公式求解判断C，通分利用辅助角公式、二倍角公式求解判断D. 【详解】对于A，由二倍角的余弦公式得，故A正确， 对于B，由两角差的正切公式得，故B正确， 对于C，由题意结合两角差的余弦公式得，故C错误， 对于D，由诱导公式得， 可得，故D正确. 故选：ABD 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项. 【详解】对于A，若，则由余弦定理得， 即，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故且， 故，所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用倍角公式化简后换元求值域 【详解】利用，代入原函数：. 令，则原函数转化为：，为开口向上的二次函数，对称轴; 对称轴在区间的右边，即在单调递减. 当(即)时，；当(即)时，， 所以函数的值域为 13. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件，先得到，根据二倍公式，诱导公式，以及同角三角函数基本关系，将所求式子化简整理，即可得出结果. 【详解】由得，解得， 则， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由三角函数值求三角函数值，涉及诱导公式，二倍角公式，以及同角三角函数基本关系即可，属于常考题型. 14. 已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式，方程可变形为，其中锐角满足，，则有，结合倍角公式求解即可. 【详解】， 其中锐角满足，， 方程在上有两个不同的实数解， 即方程在上有两个不同的实数解， 不妨设，由， 得，，， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平面向量共线及数量积的坐标表示. （1）根据，则，代入坐标计算出的值，再利用二倍角公式，求出； （2）根据，代入坐标即可得出，利用辅助角公式， 求出，再由同角三角函数关系，求出的值， 从而根据求出最终的值. 【小问1详解】 解：由题意知，，，， 所以，解得，即， 因此. 【小问2详解】 解：由，，， 所以， 化简得， 则. 因为，则，又， 所以，因此. 所以， 代入得. 16. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【小问1详解】 解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. 【小问2详解】 解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 17. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若边上的中线，，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先化简得到，再求出，最后求即可； （2）先得到，再得到方程，接着求出，最后求即可. 【详解】解：（1）因为，， 所以，因为， 所以，因为， 所以， 所以 （2）因为是边上的中线，所以， 所以， 所以，因为 所以， 所以， 【点睛】本题考查向量的加法、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式、三角形的面积公式，是基础题. 18. 已知函数已知. （1）求函数的周期、对称轴、对称中心; （2）求在上的单调区间与最值； （3）若对，不等式恒成立，试求的取值范围. 【答案】（1）;对称轴为：;对称中心为： （2）上单调递增，上单调递减；最大值3，最小值; （3） 【解析】 【分析】（1）法一：，再利用余弦函数的性质求解；法二：，利用正弦函数的性质求解； （2）法一：先判断上单调递增，上单调递减，再求解；法二：先判断上单调递增，上单调递减，再求解； （3）原不等式可化为恒成立，再转化为恒成立求解. 【小问1详解】 法一：. ， 所以， ，所以对称轴为：， ，所以对称中心为：， 法二：， 所以， ，所以对称轴为：， ，所以对称中心为：. 【小问2详解】 法一：，， 所以上单调递增，上单调递减， 所以上单调递增，上单调递减， ，，， 所以 法二：，， 所以上单调递增，上单调递减， 所以上单调递增，上单调递减， ，，， 所以； 【小问3详解】 ，而恒成立， 所以， 当取得最大值3时，， 所以. 19. 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式，其中，．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式．请你结合阅读材料解答下面的问题： （1）已知的三条边分别为，分别利用海伦公式和“三斜求积”公式求的面积； （2）中，，，的对边分别为，，，已知的面积为，其内切圆半径为，，，求，； （3）在中，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用海伦公式和“三斜求积”公式直接代入计算； （2）由内切圆半径公式，结合海伦公式化简计算； （3）由三角函数公式化简可得，再结合“三斜求积”公式可得最值. 【小问1详解】 依题意，， 所以的面积 是相等的. 【小问2详解】 设内切圆半径为，因为， 代入，，，可得，， 又，由海伦公式， 可得，整理可得， 代入可得，，联立，，又因为， 可得，． 【小问3详解】 ，，， 由正弦定理，可得， 由， 由“三斜求积”公式得，， 当且仅当，即时，面积取最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州七中高一年级3月学情调研 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知轮船在灯塔的北偏东45°方向上，轮船在灯塔的南偏西15°方向上，且轮船，与灯塔之间的距离分别是千米和千米，则轮船，之间的距离是（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 3. （ ） A. 1 B. C. D. 4 4. 设，则（ ）. A. B. C. D. 5. 已知锐角的终边与单位圆相交于点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（ ） A. ，有唯一解 B. ，，无解 C. ，有两解 D. ，有唯一解 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面四边形中，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知锐角三角形三边长分别为，则实数的可能取值是（ ） A. B. C. 7 D. 10. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为______. 13. 若，则__________. 14. 已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，且，求. 16. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 17. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若边上的中线，，求的面积. 18. 已知函数已知. （1）求函数的周期、对称轴、对称中心; （2）求在上的单调区间与最值； （3）若对，不等式恒成立，试求的取值范围. 19. 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式，其中，．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式．请你结合阅读材料解答下面的问题： （1）已知的三条边分别为，分别利用海伦公式和“三斜求积”公式求的面积； （2）中，，，的对边分别为，，，已知的面积为，其内切圆半径为，，，求，； （3）在中，，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $