6.3 三角形的中位线 同步练习 2025-2026学年 北师大版八年级数学下册

6.3《三角形的中位线》 一、单选题 1.如图，点D,E分别是AB,AC的中点，∠ABC的平分线BF交DE于点F,AB=8,BC=12, 则EF的长为() D 9 B A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于0点，点E是BC的中点，若AB=10, AC=12,AD=8,则△COE的周长是() A A.12 B.13 C.14 D.15 3.△ABC中，E是AB的中点，CD平分∠ACB,AD⊥CD于点D,若BC=I2,AC=8,则DE=() D A.1 B.2 C.4 D.8 4.如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ:BC等于() A.1:4 B.1:5 C.1:6 D.1:7 5.如图，△ABC称为第1个三角形，它的周长是1，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形， 再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，以此类推，则第2024个三角形的周 长为() B 1 1 1 C.2 1 A.204 B.2 D.220 二、填空题 6.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若DE=3,则BC= D 7.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连接BE,若AE=6,DE=5, ∠BEC=90°，则△BEC的周长是 8.如图，在平行四边形ABCD中，AD=18,E为AD上一动点，M,N分别为BE,CE的中点，则 MN的长为 E M 9.如图，在口ABCD中，∠C=I20°，AD=2AB=8,点H,G分别是边CD,BC上的动点，连接 AH,HG,点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF,则EF的最大值与最小值的差 为 H B C 10.如图，在△ABC中，AB=4V2cm,AC=6cm,LBAC=45°，在平面内将△ABC平移3V5cm得 到aDEF,其中点A和点B的对应点分别为点D和点E.若点P,Q分别是AC,DE的中点，则 PQ的最大值是 cm】 A D 三、解答题 11.如图，△ABC中，BC=20,AC=14,CE平分∠ACB,AE⊥CE,延长AE交BC于点F,D是 AB的中点，求DE的长. D 12.如图1，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C,连接CA ,CB分别取CA,CB的中点D、E. A D B 图1 图2 (1)测得DE的长为20m,则A、B两地的距离为 m. (2)如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E、F分别是BD和AC的中点，AD=3,BC=5,求 EF的长 13.如图，E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点. D (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)若BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,求四边形EFGH的周长. 14.如图，在△ABC中，AB=AC,AD1BC于点D,点E在AC边上，且∠CBE=45°，BE分别 交AC,AD于点E、F. E F A 图1 图2 (1)如图1，若AB=13,BC=10,求AF的长； (2)如图1，若EC=2AE,试判断AF与DF的数量关系，并说明理由. (3)如图2，若AF=BC,求证：BF2+EF2=AE2. 15.如图1，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上，AD=AE,连接 DC,点F、G、H分别为BC、DE、DC的中点. A D G E D B F 图1 图2 (1)观察猜想 图1中，线段GH与FH的数量关系是_，LGHF的度数为_； (2)探究证明 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接GF,BD,CE,判断△GHF的形状，并说 明理； (3)拓展延伸 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=2,AB=6,请直接写出△GHF面积的最大值. 16.【问题初探】 (1)李老师给出如下问题：平行四边形ABCD中，AC⊥CD,且AC=CD,点E是AB的中点， 点F为对角线4C上的点，且C,连接线段P.者CD=4,求F的长。 D A F E 图1 图2 小鹏同学考虑到点E是AB的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中 位线，所以想到连接BD与AC交于点O,请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题. 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你 解答. (2)如图3，△ABC中，BE平分LABC,AD⊥BE于D,BE=DE.求证：AE=3CE; D 图3 图4 【学以致用】 (3)如图4，在△ABC,AC>AB,D点在AC上，AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并 延长，与BA的延长线交于点G,连结GD,若LEFC=60°，DG=3,AC=5√5，求AB的长. 参考答案 一、单选题 1.B :点D、E分别是边AB、AC的中点，AB=8,BC=I2, ÷BD=AB=4,DE=号BC=6,DE∥BC, 2 :ZDFB=ZFBC :BF平分∠ABC, ∠DBF=LFBC, ∠DFB=LDBF, :.BD=DF=4, EF=DE-DF=6-4=2, 故选：B. 2.D 解：，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点， .40=0C=4C=6, ,点E是BC的中点， cE=BE=C-40=4,0E-4B=5, ∴.△C0E的周长是0C+CE+0E=6+4+5=15, 故选：D 3.B 解：如图，延长AD交BC于F, E D B ,CD平分∠ACB, ∴.∠ACD=LFCD, ,AD⊥CD, ∴.∠ADC=LFDC, 在△ACD和△FCD中， I∠ADC=∠FDC CD=CD ∠ACD=∠FCD ∴.△ACD≌△FCD(ASA ∴.AD=DF,AC=CF, E是AB的中点， DE是△ABF的中位线， DE-F-(BC-CF)-(BC-AC). ,BC=12,AC=8, DE=12-8刘=2. 故选：B. 4.A 连接DE,连接并延长EP交BC于点F, BD、CE是△ABC的中线， ∴.AE=BE,DP=BP, DE=BC,DE∥BC, 2 .ZEDB=ZDBF 在△DEP与△BFP中， I∠EDB=∠DBF DP=BP ∠EPD=∠BPF .∴.△DEP≌ABFP(ASA, ∴EP=FP,BF=DE=BC, .FC=BC, 2 Q是CE的中点， ∴.E0=C0, :.PO=IFC, 2 :P№-1 ·BC4' 故选：A. 5.B 解：△ABC周长为1， :每条中位线均为其对边的长度的？， ∴第2个三角形对应周长为？： 第3个三角形对立的周长为日： 第4个三角形对应的闲卡为分分日： 以此类推，第n个三角形对应的周长为 1 2023 第2024个三角形对应的周长为5，即、 22023, 故选：B. 二、填空题 6.6 解：点D、E分别是AB、AC的中点， DE-BC. ∴.BC=2DE=2×3=6, 故答案为：6. 7.24 解：：点D、E分别是AB、AC的中点，DE=5, BC=2DE=10, :E是AC的中点，BE⊥AC, :EC=AE=6, 在Rt△BEC中，BE=VBC2-EC2=8, △BEC的周长=BC+CE+BE=24, 故答案为：24. 8.9 解：如图，在平行四边形ABCD中，BC=AD=18. ~M,N分别为BE,CE的中点， :MN是△EBC的中位线， MN-BC-9. 故答案为：9. 9.5 解：如图，连接AG,AC,过A作AM⊥BC于M; D H B n M G 则LAMB=∠AMC=90°； ,四边形ABCD是平行四边形，且∠BCD=120°， .AB∥CD,BC=AD=8 ∴.∠B=180°-∠BCD=60°； ∴.∠BAM=90°-60°=30°； AD =2AB=8, ∴.AB=4, :.BM =14B=2, 2 由勾股定理得：AM=√AB2-BM2=2V3, MC=BC-BM=8-2=6, 由勾股定理得AC=√AM'+MC2=√2+36=4V5; 点E为AH的中点，点F为GH的中点， EF=TAG: 2 当G与C重合时，AG最长且为4√5，此时EF=2V3; 当G与M重合时，AG最短且为2√5，此时EF=V3; ∴EF的最大值与最小值的差为2√5-√5=√3. 故答案为：√5， 10.45 解：作CN⊥AB于N,取AB中点M,连接PM,MQ, D B :∠A=45°， :△ANC是等腰直角三角形， :AN CN= 5AC-35, AB=4v2cm, BN=AB-AN=√2， CB=VCN2+BN2=2√5， M、P分别是AB、AC中点， .PM是△ABC的中位线， PM=8c=5, 由平移的性质得到MQ=3V5, :PQ≤PM+MQ=4V5, ∴.P2的最大值是4√5cm. 故答案为：4V5. 三、解答题 11.解：AE⊥CE, :LAEC=LFEC=90°， 又：CE平分∠ACB, LACE ZFCE, 在△ACE和△FCE中， [∠AEC=∠FEC CE=CE ∠ACE=FCE △ACE≌△FCE(ASA), .AE=EF,FC=AC=14, :BF =BC-FC=6, 又D是AB的中点， .AD =BD DE是△ABF的中位线， 之6r=3. 12.(1)解：CA,CB的中点为D、E. .DE为△ABC的中位线， .DE=14B, .DE=20m, .∴.AB=40m; (2)如图，取CD的中点H,连接FH,连接AE,并延长AE交BC于K, B 点E是BD的中点， .'BE =DE AD∥BC, ∴.∠DAE=∠EKB,∠ADE=LEBK, .△AED≌△KEB, .AE EK, ,F为AC的中点， .EF∥CK, AD∥CK, EF∥AD, ,点H、F分别是CD和AC的中点，AD=3, “FH04D,FH=D=15, ∴.E,F,H三点共线， ,点H、E分别是CD和AK的中点，BC=5, EH=BC=2.5, ∴.EF=2.5-1.5=1. 13.(1)证明：，E,F分别是AB,BD的中点， .EF是△ABD的中位线， EF-AD.EF//AD, 同理可得HG=AD,HGIAD, ∴.EF=HG,EF∥HG, .四边形EFGH是平行四边形； (2)解：如图所示，连接BC, .BD⊥CD, ∴.∠BDC=90°， ,BD=4,CD=3, .'.BC=BD2+CD2=5; 同理可得EH=BC=2.5,FG=BC=2.5, EF-HG-TAD-3 ∴.四边形EFGH的周长=EF+HG+EH+FG=I1. 4 D B 14.(1)解：：AB=AC,AD⊥BC, :BD =CD BC=10, BD=5, Rt△ABD中，AB=I3, AD=VAB2-BD2=V132-52=12, RtA BDF中，∠CBE=45°， △BDF是等腰直角三角形， :DF=BD=5, AF=AD-DF=12-5=7; (2)AF=DF,理由如下： 证明：取BE的中点G,连接DG, C F AD G A B :AB=AC,AD⊥BC, :BD CD :D点为BC中点， :点G是BE的中点， ·DG是△BCE的中位线， DG=TEC, EC=2AE, :DG=AE,DG∥AE, ·∠AEF=LDGF,∠EAF=∠GDF, 在△DGF和△AEF中， 「∠AEF=∠DGF AE=DG ∠EAF=∠GDF △AEF≌△DGF(ASA), AF=DF; (3)证明：在BE上取点H,使得BH=EF,连接CF、CH, 夕 BD=CD,FD⊥BC, :CF =BF, LCFD=LBFD=45°，∠CFB=90°， 在△CHB和△AEF中， 「BH=EF ∠CBH=∠AFE=45°， BC=AF △AEF≌ACHB(SAS), AE=CH,LAEF=∠BHC, .∠CEF=∠CHE, :.CE=CH, :AE CE ,∠CFB=90°，CE=CH, :EF FH Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2=CH2, :.BF2+EF2=AE2. 15.(1)解：：点F,H分别是BC,CD的中点， FH∥BD,FH=BD, 2 :点H、G是CD,DE的中点， CGH-CE, AB=AC,AD=AE, :BD=CE ∴.GH=FH, FH∥BD, .∠DHF=LADC, GH∥CE, :∠DHG=LDCA, :∠BAC=120°， ∠ADC+∠ACD=60°， :∠GHF=∠DHF+∠DHG=∠ADC+∠DCA=60°， 故答案为：GH=FH,60°； (2)解：△GHF是等边三角形.理由如下： 由旋转知，LBAD=LCAE, AB=AC,AD=AE, △ABD≌△ACE(SAS, ∠ABD=∠ACE,BD=CE, 利用三角形的中位线得，FH=8D,GH=C,GH∥CE,FH∥BD, FH=GH,∠GHD=∠DCE,∠DHF=LADC,∠HFC=LDBC .△GHF是等腰三角形， LDHF ZDCB+ZHFC=ZDCB+ZDBC, .∠GHF=∠GHD+∠DHF=∠DCE+∠DCB+∠DBC =ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC ZACB+ZABD+ZDBC ZACB+ZABC, :∠BAC=120°， :∠ACB+LABC=60°， ∠GHF=60°， ∴.△GHF是等边三角形； (3)由(2)知，△6HF是等边三角形，GH=fm-D, FH最大时，△GHF面积最大， :点D在BA的延长线上时，BD最大， :BD=AB+AD=8, FH=4, ·.S,GHF最大= 4 H2= 5 ￥×42=45. 16.(1)连接BD,交AC于点0， :四边形ABCD是平行四边形， 04-0c装5 .AF=FO .AE=EB, &EF=280, :CD=4,C0=2,AC⊥CD :0D=V0C2+CD2=2V5=0B, ..EF=5; (2)如图1，延长BC交AD的延长线于点G, BE平分∠ABC,AD⊥BE, ∴.∠ABD=∠GBD,∠ADB=∠GDB=90°， 又BD=BD, ∴.△ABD≌△GBD(ASA), :AD=GD 取4C的中点F,连接Dr,则有nPcG,且DF-cG, .∴.∠EDF=LEBC, ∠BEC=∠DEF :BE=DE,在△DEF和aCEB中， DE=BE ∠EDF=∠EBC △BEC≌△DEF(ASA), :CE FE, .AF=FC,CE -1CF-IAC, 2 :AE =3CE E A D H D G E 图1 图2 (3)连接BD,取BD中点H,连接HE,HF, :E、F分别为BC和AD中点， EH和FH分别为△BDC和△ABD的中位线， :HE∥CD且E=CD,F∥AB且HF=4B, AB=CD, :HF =HE, :∠EFC=60°， LEFC=LFEH=60°， “△EFH是等边三角形， ∠HFE=60°=LAGE, :LAFG=∠EFC=60°，LEFC=LAEG=60° .△AGF是等边三角形， .AF FG=FD, .∠ADG=∠DGF=30°， ∠AGD=90°， 设AG=x,则AD=2x,在△ADG中，由勾股定理得，x2+32=(2x)2,解得x=√5， AG=3,AD=23,AC=53. :.CD=AC-AD=53-23=33, .AB=CD=33.