6.2 平行四边形的判定同步练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

6.2《平行四边形的判定》 一、单选题 1.如图，在△ABC中，∠B=52°，分别以点A,C为圆心，BC,AB长为半径画弧，两弧在直线 BC上方交于点D,连接AD,CD,则∠D的度数是() A D A.32° B.38 C.48° D.52° 2.如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AB=CD,E、F是对角线BD上的两点，如果再添加一个 条件，使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是() A A.AB=CF B.BE=FD C.BF=DE D.∠1=∠2 3.如图，点P是平行四边形ABCD内的一点，过点P作直线EF、GH分别平行于AB、BC,与 平行四边形ABCD的边分别交于G、F、H、E.则图中平行四边形的个数为() G B A.10个 B.9个 C.8个 D.7个 4.如图，平行四边形ABCD中以点B为圆心，适当长为半径作弧，交B4,BC于F,G,分别以 点F,G为圆心大于FG长为半作孤，两藏交于点H,作BH交4D于点，连接CE,若 AB=10,DE=6,CE=8,则BE的长为() A E A.2√41 B.40W2 C.4v5 D.8√5 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=6,BC=16,E是BC的中点.点P以每秒1个单位 长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发， 沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t为()秒时，以 点P,O,E,D为顶点的四边形是平行四边形 A B C A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2 二、填空题 6.如图所示，在口DEBF中，A、C分别为边ED、BF上的点，请在目前图形中添加一个条件 ,使四边形ABCD是平行四边形. E A D 7.已知一副直角三角板如图放置，点C在ED的延长线上，∠ACB=∠EAD=90°，∠E=45°， LB=60°，AB∥EC,若AD=2,则DC的长为 8.如图，在四边形ABCD中，AD=12,D0=OB=5,AC=26,∠ADB=90°.则四边形ABCD的 面积是 D 0 B 9.如图，在平行四边形ABCD中，LBCD=I20°，连接BD,过点A作AE∥BD交CD的延长线于 点E,过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F,若CF=2,则AB=一· E A D B ▣ C 10.如图，在△ABC中，AB>AC,LA=30°，AC=4,点E为AC的中点，点F为边AB上的一个 动点，将三角形沿EF折叠，点A的对应点为A,当以E,F,A,C为项点的四边形是平行四 边形时，线段AF的长为 E 三、解答题 I1.如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,点E,F分别为A0,CO的中点. A D E B (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若平行四边形ABCD的面积为20，直接写出四边形BEDF的面积 I2.如图：△ABD,△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形，点P在△ABD内. (1)求证：四边形PEDC为平行四边形； (2)若△APB中，AB=3,PA=√5，PB=2,求四边形PEDC的面积. 13.如图，在口ACFD中，点B,E分别在AC,DF上，AB=FE,AF分别交BD,CE于点M, N. E D M B (I)求证：四边形BCED是平行四边形； (2)已知DE=6,连接BN,若BN平分∠DBC,求CN的长. 14.如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD中点，延长BE,CD相交于点F,连结AF,BD. F E B (1)求证：四边形ABDF是平行四边形， (2）)连结CE,若BC=2CD,EF=4,DF=3,求CE的长度. 15.如图，四边形ABCD中，AB∥CD,F为AB上一点，DF与AC交于点E,DE=FE. C F B (1)求证：四边形AFCD是平行四边形； (2)若CD=2V10,BC=6CE=12,BC⊥AC,求BF的长. 16.在Rt△ABC中，LACB=90°，D是斜边AB上的一点，作DE⊥BC,垂足为E,延长DE到F ,连接CF,使LA=∠F. F E B (1)求证：四边形ADFC是平行四边形. (2)连接CD,若CD平分∠ADE,CF=I0,CD=12,求四边形ADFC的面积. 17.如图，在四边形ABCD中，AD∥CB,E为BD中点，延长CD到点F,使DF=CD. A D E B (1)求证：AE=CE; (2)求证：四边形ABDF为平行四边形： (3)若CD=1,AF=2,∠BEC=2LF,求四边形ABDF的面积. 18.如图所示，四边形ABCD为平行四边形，点P是CD边上一点，连接AP、BP,且AP和BP分 别平分∠DAB和∠CBA. 图 图2 图3 备用图 (1)如图1，求∠APB的度数； (2)如图2，如果AD=5,AP=8,求△APB的周长. (3)如图3，点E、F在线段AB上，连接PE、PF,若∠EPF=60°，AE=BF,PE=20,PF=12,求 DC的长度 参考答案 一、单选题 1.D 解：由题意得：AD=BC,CD=AB, ∴四边形ABCD是平行四边形， .∠D=LB=52°， 故选：D. 2.A 解：，四边形ABCD是平行四边形， :AB=CD,LABD=∠CDB; 又：BE=DF, △ABE≌△CDF(SAS, :AE CF,ZAEB=ZCFD, :ZAEF ZCFE AE∥CF; ∴.四边形AECF是平行四边形，故B正确； 四边形ABCD是平行四边形， :AB=CD,ZABD=ZCDB 又：BF=DE, .BF EF DE-EF :BE=DF △ABE≌△CDF(SAS, :AE=CF,LAEB=∠CFD; .∠AEF=LCFE; AE∥CF; .四边形AECF是平行四边形，故C正确； 四边形ABCD是平行四边形， :AB=CD,ZABD=ZCDB 又∠1=∠2， △ABE≌△CDF(ASA, :AE =CF,ZAEB=ZCFD .∠AEF=∠CFE; AE∥CF; ∴.四边形AECF是平行四边形，故D正确； 添加AB=CF后，不能得出△ABE≌△CDF,进而得不出四边形AECF平行四边形， 故选：A. 3.B 解：，·平行四边形ABCD, .AD∥BC,AB∥CD, ,过点P作直线EF、GH分别平行于AB、BC, ∴.EF∥AB∥CD,GH∥AD∥BC, ∴.四边形AGPE,ABFE,AGHD,GBCH,EPHD,PFCH,EFCD,GBFP均为平行四边形， ∴.加上平行四边形ABCD共9个. 故选B. 4.D 解：如图，过点A作AJ∥EC交BC于J. A :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, :ZAEB ZEBC, AJ∥EC,AE∥JC, :四边形ACE是平行四边形， :AJ=EC, :BE平分∠ABC, ∠ABE=LEBC, ∠ABE=∠AEB, :AB=AE=10,AJ=EC=8,AE=JC=10, :DE=6, .AD=BC=16, BJ=BC-JC=16-10=6, ..AB2=B2+AJ2, ∠AJB=90°， AJ∥EC, ∠BCE=LBJA=90°， BE=VBC2+EC2=V162+82=8V5, 故选：D 5.C 解：，E是BC的中点， :BE=CE=BC=8, 2 由题意可知：AP=t,则DP=6-t,CQ=3t, ①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t, ∴.31-8=6-1， 解得：t=3.5; ②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t, .8-3t=6-t, 解得：t=1, ∴.当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P,Q,E,D，,为顶点的四边形是平行四边形， 故选：C P'P D B O E O 二、填空题 6.AD=BC 解：添加条件AD=BC, :四边形DEBF是平行四边形， ED∥BF, 即AD∥BC, AD=BC :四边形ABCD是平行四边形. 故答案为：AD=BC· 7.2√6-√2 解：过点C作CF⊥AB于F,过点A作AH⊥EC于H, B AB∥EC, AH上AB, .AH∥CF, 四边形AHCF是平行四边形， ∴.AF=CH,AH=CF, ∠E=45°， ∴.△ADH是等腰直角三角形， ..AH2+DH2=2AH2=AD2=4, ∴.CF=AH=DH=V2, .∠CAB=30°， ∴.AC=2CF=2√2， ..CH=AF=AC2-CF2=26, .∴.CD=CH-DH=2√6-√2. 故答案为：2√6-√2 8.120 0D=0B=5 :BD=10 又：∠ADB=90°，AD=12 :A0=√AD2+D02=V122+52=13 :AC=26 .0C=13 0A=0C :0D=0B :四边形ABCD是平行四边形 :BC=AD=12 :四边形ABCD的面积：AD×DB=12x10=120 故答案为：120. 9.2 解：四边形ABCD是平行四边形，， .AB∥CD,AB=CD, .AE∥BD, ∴.四边形ABDE是平行四边形， .'AB=DE, .'CE=CD+DE=AB+AB=2AB .∠BCD=120°， .LECF=60°， EF⊥BC, ∴.∠CEF=30°， ∴.CE=2CF-2×2=4, ∴AB=2, 故答案为：2 10.2或25 解：如图1，四边形A'CEF是平行四边形， ,AC=4,点E为AC的中点， ∴AE=CE=5AC=2, 由折叠得A'E=AE=2, A'F∥CE,A'F=CE, ∴.A'F∥AE,A'F=AE, .四边形A'EAF是平行四边形， ∴.AF=A'E=2; ⊙ 图1 如图2，四边形A'CFE是平行四边形，作CG⊥AB于点G, ,∠AGC=90°，∠A=30°， 0G=号AC=2, 2 .A'E=AE=2, ..CF=A'E=2, ..CF=CG, ∴点F与点G重合， ∴.AF=VAC2-CG2=2V5, 综上所述，线段AF的长为2或2√5， 故答案为：2或2√5. 4--- FG B 图2 三、解答题 11.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形， ∴.A0=C0,B0=D0, ,E,F分别是A0,CO的中点， 50-40,0-c0. ∴.E0=F0, ∴四边形BEDF是平行四边形： (2)解：，平行四边形ABCD的面积为20， Scw×20=10, 点E,F分别为A0,C0的中点，A0=C0, EF=TAC, 2 1 .Sm-S4c=5x10=5. 2 由(1)可知，四边形BEDF是平行四边形， ∴.S平行图边形BEDF=2SBEr=2×5=10. 12.(1)证明：：△APE,△ABD是等边三角形， AE=AP,AD=AB,LEAP=LDAB=60°， .∠EAD=LPAB, ∴.AEAD≌△PAB(SAS), :DE=BP, :PC=PB, :DE=PC, 同理PE=CD, ·四边形PEDC是平行四边形. (2)解：如图所示，过C作CH垂直EP的延长线于H, :AB=3,PA=5,PB=2, :.PA2+PB2=AB2, .∠APB=90 又：LAPE=∠BPC=60°， ∠EPC=150°， ·∠CPH=30°，而∠PHC=90° :.CH=-CP=IPB=1, 2 又PE=PA=V5 ∴S平行图边形PEc=CH×EP=1xV5=√5. 13.(1)证明：，四边形ACFD是平行四边形， ∴.AC=DF,AC∥DF, .AB=FE, ∴.AC-AB=DF-FE,即BC=DE, ∴.四边形BCED是平行四边形； (2)解：，BN平分∠DBC, ∴.∠DBN=∠CBN, 由(1)得：四边形BCED是平行四边形， ∴.BC=DE=6,EC∥DB, ∴.∠CNB=∠DBN, ∴.∠CNB=∠CBN, .∴.CN=BC=6. 14.(1)证明：由题意得，AB∥CF, .∠ABE=LDFE, 又：点E为AD的中点， :AE =DE, 在△ABE和△DFE中， ∠ABE=∠DFE ∠AEB=∠DEF, AE=DE ∴.△ABE≌△DFEAAS :AB DF 又AB∥DF, :四边形ABDF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； (2)解：，四边形ABDF为平行四边形， .'BE=EF AB DF =3, .在平行四边形ABCD中，BC=2CD, ..BC=2CD=2AB=6,CF=CD+DF=AB+DF=6, ∴BC=CF=6,即△CBF是等腰三角形， BE=EF, ∴CE⊥BF, ,EF=4, ..CE =CF2-EF2 =25. 15.(1)证明：，AB∥CD, .∴.∠EDC=LEFA,LECD=LEAF, 在△ECD和△EAF中， ∠EDC=∠EFA ∠ECD=∠E.AF, DE=FE ∴.△ECD≌aEAF(AAS), .∴.CD=AF, .CD∥AF,CD=AF, ∴.四边形AFCD是平行四边形. (2)解：，BC=6CE=12, ∴.CE=2, 四边形AFCD是平行四边形， .AE CE=2,AF=CD=210, ∴.AC=2AE=4, BC⊥AC, ∠ACB=90°， ∴.AB=VAC2+BC2=V42+122=4V0, ∴.BF=AB-AF=410-2V10=210, ∴.BF的长是2√10. 16.(1)证明：.∠ACB=90°， ∴.AC⊥BC, .DE⊥BC, ∴.AC∥DF, ∴.∠A=∠BDF, ∠A=LF, ∴.∠BDF=∠F, ∴.CF∥AB, 又AC∥DF, ∴.四边形ADFC是平行四边形； (2)解：CD平分∠ADE, ∴.LADC=LFDC, 在△ADC和△FDC中， 「LA=∠F ∠ADC=∠FDC, CD=CD ∴.△ADC≌△FDC(AAS), ∴.AD=DF, 由(1)得，四边形ADFC是平行四边形， ∴.Ss边形ADFe=2S.cDF,AD=CF=DF=10, 设EF=x,则DE=10x, 在RtACED中，由勾股定理得CE2=CD2-DE2, 在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2=CF2-EF2, .122-10-x)2=102-x2, 解得x=4 , CE-VCF-EF0-) 14)2 48 ∴S6Dre=2Sce=2x)×DF.CE=2xx10x48-96. 2 5 17.(1)证明：AD∥BC, .LDAC=∠BCA, E为BD中点， ∴DE=BE, 在△ADE和△CBE中， T∠DAC=∠BCA ∠AED=∠CEB DE=BE ∴△ADE≌△CBE(AAS, ∴.AE=CE; (2)由(1)得：AE=CE,BE=DE, 四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD, .DF=CD, .AB∥DF,AB=DF, 四边形ABDF为平行四边形； (3).四边形ABDF为平行四边形， .∠F=∠DBA,BD=AF=2,AB=DF, ,LBEC=2LF,LBEC=∠DBA+∠BAC, ∴.∠DBA=∠BAC, ∴.AE=BE=DE, ∴∠EAD=∠EDA, .∠BAD=∠BAE+∠EAD=×180°=90°， .AB=CD=1, ∴.AD=√BD2-AB2=5, .DF=AB=1, ∴.四边形ABDF的面积=DF×AD=√5. 18.(1),四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC,AB∥CD, ∴∠DAB+∠CBA=18O°，∠BAP=∠APD,∠ABP=∠BPC, ,AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA, .∠BAP=∠DAB,∠ABP=∠ABC, 2 .∠APD+∠BPC=∠BAP+∠ABP=)∠DAB+∠ABC=∠DAB+∠ABC)=90, 2 ∴.∠APB=180°-（∠APD+∠BPC=90° (2),四边形ABCD为平行四边形， .∴.AD=BC=5,AB=CD, .AP和BP分别平分∠DAB和LCBA, ∠BAP=LDAP,∠ABP=∠CBP, .∠BAP=∠APD,∠ABP=∠BPC, ∴.∠DAP=∠APD,∠CBP=∠BPC, ∴.AD=PD=5=CB=CP, ..AB=CD=DP+CP=5+5=10, .∠APB=90°， ∴.BP=√AB2-AP2=6, .△4PB的周长为10+6+8=24； (3)如图，在AD上截取AM=AE,连接MP,在BC上截取BN=BF,连接NP,连接MN,过 点M作MQ⊥NP,交NP延长线于点Q, ∴.∠MQP=90°， AE BF, ∴.AM=BN, AD∥BC, ∴.四边形ABNM是平行四边形， .'MN=AB, AP和BP分别平分∠DAB和LCBA, ∴.∠BAP=∠DAP,∠ABP=∠CBP, 又AP=AP,BP=BP, .'.△APE≌△APM,ABPF≌△BPN, ∴.PE=PM=20,PF=PN=12,∠APE=∠APM,∠BPF=∠BPN, .∠APB=90°，∠EPF=60°， .∴.∠APE+∠BPF=90°-60°=30°=LAPM+LBPN, .∴.∠MPN=120°， .∴.∠MPQ=60°， .∴.∠QMP=90°-∠MPQ=30°， .P0=PM=10, ∴.MQ=VMP2-PQ2=V202-102=10√5，NQ=NP+PQ=12+10=22, MW=VM02+N02=V105+222=28, ..AB=CD, .∴.MN=CD=28.