6.1 平行四边形的性质同步练习2025-2026学年 北师大版八年级数学下册

6.1《平行四边形的性质》 一、单选题 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于点E,若AB=5,BC=3,则EC的 长() D A B A.1 B.1.5 C.2 D.3 2.如图，在平行四边形ABCD中，BD=CD,∠C=70°，AE⊥BD于点E,则∠DAE的度数为() D 、E B A.20° B.25 C.30° D.35° 3.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,BC=4,∠ABC=60°，点E是边AB上的一点，点F 是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC,点A的对应点为点C,点 D的对应点为点G,则CF的长度为() B B.4 C. D.3 4.在平行四边形ABCD中，AD=8,AE平分∠BAD交边BC于点E,DF平分∠ADC交边BC于 点F,若点E与点F的距离为2，则AB的长为() A.2 B.5 C.2或5 D.3或5 5.如图，P是平行四边形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、 △PCD、△PDA,设它们的面积分别是S、S、S、S4,给出如下结论：①S,+S,=S2+S4,②若 S,=2S,则S2=2S4,③若S1+S3=5,则ABCD的面积为10；④S+S2=S,+S4.其中正确的() A S S2 A.①③ B.②③ C.①② D.②④ 二、填空题 6.在平行四边形ABCD中，LA:LB=3:2,则∠C= 7.如图，平行四边形ABCD中以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB、BC于F、G,分别 以点F、G为圆心，大于)FG长为半径作弧，两弧交于点H,连接BH并延长，与AD交于点E ,若AB=10,DE=6,CE=8,则BE的长为 H B G 8.如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交CD和AB于点 E、F,且AB=7,BC=4,LBCD=30°，那么图中阴影部分的面积为 D B 9.在平行四边形ABCD中，AB<BC,已知∠B=30°，AB=5,将△ABC沿AC翻折至△AB/C, 使点B落在平行四边形ABCD所在的平面内，连接B'D,若△AB/D是直角三角形，则BC的长 为 10.如图，在平面直角坐标系中，E是BC的中点，已知A(0,4),B(-2,0),C(8,0),D(4,4),点 P是线段BC上的一个动点，当BP的长为」 时，以点P,A,D,E为项点的四边形是平 行四边形 A BO E PC衣 三、解答题 11.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于0点，点E,F在对角线AC上， BE∥DF,BD平分LEBC. A D E F C (1)若LBAD=100°，∠ABE=20°，求∠ADB的度数； (2)若AE=2,OF=3,求AC的长. 12.已知平行四边形ABCD是中心对称图形，点E是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点E关 于平行四边形ABCD对称中心的对称点F. .E A E B B 图1 图2 (1)如图1，点E在平行四边形ABCD的边AD上； (2)如图2，点E在平行四边形ABCD外. I3.如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且AD=DE,F为线段DE上一点，且 ∠AFE=∠B. ○ ⊙ E (1)求证：∠AFD=LECD; (2)求证：△AFD≌△DCE; (3)若∠B=60°，CD=DF,BE=2,求AE. 14.如图，在平行四边形ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、LADC,交AC于点E、G. D E B C (1)求证：△AGD≌△CEB; (2)连接BG、DE,证明BG∥DE; (3)过点E作EF⊥AB,垂足为F.若平行四边形ABCD的周长为56，EF=6,求△ABC的面积. 15.如图，在平行四边形ABCD中，LBAC=90°，∠B=60°，AB=6.动点P从点A出发沿AD以 1cm/s速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以4cmIs速度沿射线CB运动，当点P到达终 点时，点？也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒. D←—P A CQ→ B (1)用含t的代数式表示BQ=: (2)当PQ⊥BC时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A,B,P,Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由· 16,如图1，在平行四边形80D中，4ELsC于B,E恰为C的中点E-2. 图1 图2 图3 (1)求证：AD=AE; (2)如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F,连结AF,求证：DF-EF=√2AF; (③)请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合)时，作EF⊥DP于点F, 连结AF,线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论. 参考答案 一、单选题 1.C 平行四边形ABCD,AB=5,BC=3, ∴.AB=DC=5,BC=AD=3,DC∥AB, ∴.∠EAB=∠DEA, ,∠DAB的平分线AE交CD于点E, ∴.∠DAE=∠EAB, ∴.∠DAE=∠EAB=LDEA, ∴.AD=DE=3, ∴.EC=DC-DE=5-3=2, 故选：C 2.A 解：BD=CD,∠C=70°， ∴.∠DBC=∠C=70°， ,四边形ABCD为平行四边形， .AD∥BC, ∴.∠ADE=∠DBC=70°， ,AE⊥BD, .∠AED=90°， .∴.∠DAE=90°-70°=20°， 故选：A, 3.C 解：如图，作CK⊥AB于K,过E点作EP⊥BC于P. ---------D B LABC=60°，BC=4, ∴.BK=2,CK=V42-22=25, ,C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离， ∴.点E到CD的距离是2√3， ,四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,ZD=ZABC,ZA=ZBCD, 由折叠可知，AD=CG,∠D=∠G,LA=LECG, .BC=GC,ZABC=ZG,ZBCD ZECG, ∴.LBCE=LGCF, 在△BCE和△GCF中， [∠ABC=∠G ∠BCE=LGCF, BC=GC ∴.△BCE≌aGCF(ASA); ∴CE=CF, .∠ABC=60°，∠EPB=90°， .∠BEP=30°， .'BE =2BP, 设BP=m,则BE=2m, ∴.EP=VBE2-BP2=√5m, 由折叠可知，AE=CE, AB=6, ∴.AE=CE=6-2m, BC=4, ∴.PC=4-m, 在Rt△ECP中， 由勾股定理得(4-m)2+3m=(6-2m)2, 解得m, 57 ∴.EC=6-2m=6-2×2= 42 CF=EC= 7 故选C. 4.D 解：①如图1，在平行四边形ABCD中， D G 图1 BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB, ∴.∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC, ,AE平分∠BAD交边BC于点E,DF平分∠ADC交边BC于点F, ∴.∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF, .∴.∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF, ∴.AB=BE,CF=CD, :EF=2, .BC=BE+CF-EF =2AB-EF =8, ∴.AB=5; ②如图2：在平行四边形ABCD中， A B EF 图2 .BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB, .∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC, ,AE平分∠BAD交边BC于点E,DF平分∠ADC交边BC于点F, .∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF, .∴.∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF, ∴AB=BE,CF=CD, EF=2, :BC BE+CF EF 2AB+EF =8, ∴AB=3; 综上所述：AB的长为3或5， 故选：D. 5.A 解：：四边形ABCD是平行四边形， :AB=CD,AD=BC, 设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h、h、h、h,hag hac分别为平行四边形的AB边和 BC边的高 则S-4BS-BC-,S号CD-,S号4D-h,hw=A+有，hc=么+九 ABh+CDh=AB.hAB,BC·h+AD·h,=BC.hac, 又：S年行西这形ABcn=AB:hB=BC:hC, :S2+S4=S,+S,故①正确； 根据S,=2S,只能判断h,=2h,不能判断h2=2h,即不能得出S2=2S4,故②错误； 根据S,+S,=S2+S4,S,+S,=5,能得出ABCD的面积为5×2=10，故③正确； 由题意只能得到S2+S4=S,+S,无法得到S,+S2S,+S4,故④错误； 故选：A. 二、填空题 6.108° 解：：四边形ABCD是平行四边形，∠A:∠B=3:2, ∠A=∠C,∠A+∠B=180°， .∠A=108°，∠B=72°， ∠C=108°， 故答案为：108°， 7.85 解：由作法得BE平分∠ABC, ∠ABE=LCBE, ”四边形ABCD为平行四边形， .'AD /BC,AD=BC CD=AB=10, .∠AEB=LCBE, .∠ABE=LAEB, :AE=AB=10, AD=AE+DE=10+6=16, 在△CDE中， CE=8,DE=6,CD=10, .CE2+DE2 CD2, ∴△CDE为直角三角形，LCED=90°， AD∥BC, ∠BCE=90°， 在RtABCE中，BE=√BC2+CE2=162+82=85. 故答案为：8√5. 8.73 解：如图所示，过点D作DP⊥AB于点P, 四边形ABCD是平行四边形， D E P FB ∴.∠DAB=LBCD=30°，AD=BC=4, ∴.DP=5AD=2, 2 ∴.AP=VAD2-DP2=V42-22=2√5， ,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O, ∴.AB∥CD,A0=C0, ∴.LEC0=LFA0, 又∠E0C=LF0A, .△EOC≌△FOA(AAS ∴.S4Eoc=S.Fo4 同理：SBOr=S.DOE 阴影部分面积面积S.m)ABx PD=×7×2V5=7N5, 1 2 故答案为：75. 9.2或3 ①当∠B'AD=90°，AB<BC,延长B'A交BC于点G, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AD=BC, .∴.LB'AD=LB'GC=90°， .·△ABC沿AC翻折至△AB/C, .AB=AB'=V3,∠B=LAB'C=30°，BC=BC “4G=548=5,cc-9 2 2 B'G=AB'+AG=V5+5_35 22 在RtaB'GC中，B'C2=B'G2+CG2, 设GC=x, ∴.B'C=2x, +, 解得：x=2 ∴.B'C=3, ∴.BC=3; B A D B ②当LAB'D=90°时，设AD交B'C于点O, 四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AD=BC, ,△ABC沿AC翻折至△AB/C, .'BC=BC,22=ZBCA, ∴.AD=BC=B'C, ,AD∥BC, ∴.∠BCA=∠1， ∴.∠BCA=∠1=∠2， ∴.A0=C0, ∴.D0=B'0, ∴.∠3=∠4， ZAOC ZDOB', ∴.∠1=∠2=∠3=∠4， ∴.AC∥B'D, ∴.∠BAC=∠BAC=90°， LB=30°，AB=√5， 4c=8c, 设AC=x, ∴.BC=2x, ∴.BC2=AC2+AB2, (2x2=x2+3 解得：x=1, ∴.BC=2. 2 B 综上所述，当BC的长为2或3时，△AB/D是直角三角形. 10.1或9 解：A0,4),B(-2,0),C(8,0),D(4,4, ∴.AD∥BC,AD=4,OB=2,OC=8, .BC=10, E是BC的中点， BE=CE-BC-7x10-5, 当EP=AD=4时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形， 分两种情况： ①当点P在点E的左侧时，BP=BE-EP=5-4=1; ②当点P在点E的右侧时，BP=BE+EP=5+4=9; 综上所述，当BP的长为1或9时，以点P,A,D,E为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：1或9. 三、解答题 11.(1)解：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC, ∴.∠ABC=180°-∠BAD=180°-100°=80°， .LABE=20°， ∴.∠EBC=LABC-∠ABE=80°-20°=60°， ,BD平分∠EBC, .∠CBD=)∠EBC=30, 2 AD∥BC, ∴.LADB=∠CBD=30°； (2),BE∥DF, ∴.∠BEO=∠DFO,∠EBO=∠FDO, 四边形ABCD是平行四边形， ∴.B0=D0,A0=C0, ∴.△BOE≌△DOF(AAS, ∴.0E=0F=3, ∴.A0=AE+0E=2+3=5, .∴.AC=2A0=10. 12.(1)解：如图1，点F即为所求； A E B 图1 (2)解：如图2，点F即为所求. E A M B 图2 13.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠B+∠ECD=180°； ,∠AFE=LB,LAFE+LAFD=I80°， ∴.∠AFD=∠ECD; (2)证明：.四边形ABCD是平行四边形 .AD∥BC, ∴.LADF=LDEC, 由(1)知：∠AFD=∠ECD, AD DE, .∴.△AFD≌△DCE(AAS): (3)解：，△AFD≌△DCE, .'AF =CD .CD DF, ∴.AF=DF, .∠B=LAFE=60°， .LADF=LDAF=30°； .AD DE, ∴.LDAE=LDEA=75°， ∴.LEAG=45°； ,四边形ABCD是平行四边形 ∴.AD∥BC, ∴.∠DAE=LAEB, ∴.∠DEA=LAEB; ZAFE ZB,AE=AE ∴.△ABE≌△AFE, ∴.EF=BE=2; 如图，过E作EG⊥AF于G, 则∠AEG=∠EAG=45°， ∴.AE=EG,∠GEF=LAEF-LAEG=30°； 在Rt-EGF中，FG=EF=l,由勾股定理得EG:VEF-FG=5, 在RtAEGA中，AG=EG=V3,由勾股定理得AE=√AG2+EG2=√6. A D 14.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,AD=BC,∠ABC=LADC, :BE、DG分别平分LABC、LADC, :.∠EBC=∠ABC,∠ADG=∠ADC, 21 2 ∠EBC=∠ADG, ADI BC, .∠GAD=∠ECB, 在△AGD和aCEB中， ∠GAD=∠ECB AD=CB ∠ADG=∠CBE ∴.△AGD≌ACEB(ASA (2)解：：△AGD≌△CEB, ∠AGD=LCEB,BE=DG, :∠DGE=LBEG, BE∥DG, :BE=DG, :四边形BEDG是平行四边形， BG∥DE; (3)解：作EQ⊥BC, D F E ○ :口ABCD的周长为56 .AB+BC=28 :BE平分∠ABC, E0=EF=6, -5m=5e+5x方6B+BC=4. 15.(1)解：∠BAC=90°，∠B=60°，AB=6 .BC=2AB=12 点Q从点C出发，以4cms速度沿射线CB运动， 当Q在线段CB上时， .BQ=BC-CQ=12-41(0≤1≤3 动点P从点A出发沿AD以1cms速度向终点D运动，AD=BC=I2, .1≤12， 当0在CB的延长线上时，BQ=CQ-BC=41-12(3<1≤12)； (2)解：过点A作AH⊥BC于H, D←—P →HBE :四边形ABCD是平行四边形，∠BAC=90°，∠ABC=60°， ∠ACB=30°，AD∥BC,∠DAB=120°， .BC=2AB=12,AC=6V5, :∠ACB=30°，AH⊥BC, 4h=4C=35,CH=9, .PQ⊥BC,AH⊥BC, ..POll AH 又AD‖BC, :四边形AHQP是平行四边形， :AP =H .t=9-41, 125 9 (3)解：存在， 当AB为边时， :四边形ABQP是平行四边形， :AP=BO, t=12-41, 12 5, 当AB为对角线时， :四边形APBQ是平行四边形， :AP=BO, t=4t-12, t=4, 综上所述：的值为号或4 16,)证明：能-2 ∴.AE=2BE; :E是BC中点， ∴.BC=2BE, 即AE=BC; 又，四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC=AE; 故AD=AE. (2)证明：作AG⊥AF,交DP于G;(如图2) 图2 AD∥BC, .∴.∠ADG=∠DPC, .∠AEP=LEFP=90°， .LPEF+LEPF=∠PEF+LAEF=90°， 即∠ADG=∠AEF=LFPE, 又AE=AD,∠FAE=LGAD=90°-∠EAG, .△AFE≌△AGD, ∴.AF=AG,即△AFG是等腰直角三角形，且EF=DG, .FG=2AF,DF=DG+GF=EF +FG, 故DF-EF=√2AF; (3)解：如图3， G B 图3 ①当EP在线段BC上时，有DF+EF=√2AF, 证明方法类似(2) ②如图3-1中，点F在PD上，DF+EF=√2AF· G A B E 图3-1 理由：将aAEF绕点A逆时针旋转90°得到△ADG ∴.△AEF≌△ADG, 同(1)可得：DG=EF,AG=AF, GF=√2AF, 则DF+EF=√2AF. ③如图3-2，点F在PD的延长线上，EF-DF=V2AF, G A久 D B 图3-2 证明方法类似(2). 综上所述，DF、EF与AF之间的数量关系为：DF+EF=√2AF、EF-DF=V2AF