简单的三角恒等变换 课件-2027届高三数学一轮复习

第25讲 简单的三角恒等变换 1 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余 弦、正切公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化 积、半角公式,这三组公式不要求记忆）. 课 标 要 求 2 探究点一 三角函数式的化简 例1（1）化简： ________. ［思路点拨］分子化为完全平方式，分母利用切化弦及诱导公式变 形后，再利用二倍角的正弦、余弦公式以及诱导公式化简即可； [解析] 原式 . 课 堂 考 点 探 究 3 （2）化简： ________. ［思路点拨］根据同角三角函数的基本关系化切为弦，化简整理后 结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系计算可得结果. [解析] . 课 堂 考 点 探 究 4 [总结反思] 1.三角函数式的化简要遵循的“三看”原则: ①一看“角”;②二看“函数名称”;③三看“结构特征”. 2.三角函数式化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降 幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的 规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次. 课 堂 考 点 探 究 5 变式题（1）化简： ( ) A. B. C. D. ， ， ，， 原式 ，故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 6 （2）化简： ① _____； [解析] 原式 . 课 堂 考 点 探 究 7 ② _____． [解析] 原式 . 课 堂 考 点 探 究 8 探究点二 三角函数式的求值 角度1 给值求值 例2（1）[2025·武汉4月调研]若，则 的值为 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据已知条件及两角和的正切公式求出 ，再根据 二倍角的余弦公式和同角三角函数的基本关系将 化为关于 的式子，代入正切值即可求解. √ 课 堂 考 点 探 究 9 [解析] 由，可得，即 ，解 得，所以 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 10 （2）[2024· 新课标Ⅱ卷］已知 为第一象限角， 为第三象限角， ,，则 _ _____． ［思路点拨］思路一：根据两角和的正切公式得 ， 再缩小 的取值范围，最后结合同角三角函数的平方关系即可 得到答案； 思路二：利用弦化切的方法及两角和的正弦公式即可得到答案. 课 堂 考 点 探 究 11 [解析] 方法一：由题得 . ,, , , ,, ,即 ,, . 课 堂 考 点 探 究 方法二： 为第一象限角， 为第三象限角， ， ， ， ， 则 . 课 堂 考 点 探 究 13 [总结反思] 给值求值是指已知某个角的三角函数值（或三角函数式的值）求与 该角相关的其他三角函数值（或三角函数式的值）的问题,解题关键 是“变角”,使角相同或具有某种关系. 课 堂 考 点 探 究 14 变式题（1）已知，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 15 （2）[2025·安徽合肥二模]已知，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 16 [解析] 因为 ，所以 ， 所以 ，所以， 所以，所以 ，所以 ， 所以 ， 故选C. 课 堂 考 点 探 究 17 角度2 给角求值 例3 [2025·湖北武汉5月模拟] ____. ［思路点拨］先切化弦、通分，再根据两角差的正弦公式、二倍角 的正弦公式和诱导公式即可求解. [解析] 原式 . 课 堂 考 点 探 究 18 [总结反思] 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其 变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值. 课 堂 考 点 探 究 19 变式题 计算: ___. 4 [解析] , , , , 同理可得 ， . 课 堂 考 点 探 究 20 角度3 给值求角 例4 已知, . （1）求 的值; ［思路点拨］ 根据,得到 ,结合同角三角函数 的平方关系求得 的值,然后由两角差的余弦公式求解即可; 课 堂 考 点 探 究 21 解：因为,所以,又 ,所以 , 所以 . 课 堂 考 点 探 究 22 （2）若,,求 的值. ［思路点拨］ 由（1）可知 ,然后由两角差的正切公式求解 的值，进而可得 的值. 解：由（1）可知 ,所以 , 因为,所以 . 课 堂 考 点 探 究 23 [总结反思] 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时有以下原则: （1）已知正切函数值,则选正切函数. （2）已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数. 若角的取值范围是 ,则选正、余弦函数皆可;若角的取值范围是 ,则选余弦函数较好;若角的取值范围为 ,则选正弦函数较好. 课 堂 考 点 探 究 24 变式题（1）[2025·福建漳州二检]已知 ，若 ，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 25 [解析] 由题意知 ，即 ，即 . 因为，所以，所以 ，即 . 因为，所以，所以 ， 所以 ，故选A. 课 堂 考 点 探 究 （2）若，，且， ， 则 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 27 [解析] ， , 符号相同， 又，，. 由 可得， ，，， . ，得， ，故选A. 课 堂 考 点 探 究 28 探究点三 三角恒等变换的综合应用 例5 已知向量，， . （1）求 的值； ［思路点拨］结合平面向量减法运算的坐标表示以及模长的坐标公 式可得 ，进而通过两边同 时平方结合同角三角函数的平方关系以及两角差的余弦公式的逆用 即可求出结果； 课 堂 考 点 探 究 29 解：因为向量， ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 即 ， 即 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 30 （2）若，，且，求 的值. ［思路点拨］结合角的取值范围以及同角三角函数的平方关系求出 和 的值，进而利用两角和的正弦公式凑角即可求出 结果. 解：因为，，所以 ，所以 . 因为，，所以 , 所以 . 课 堂 考 点 探 究 31 [总结反思] （1）进行三角恒等变换时要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其 要注意角之间的关系,注意公式的逆用和变形使用. （2）把化为 的形式,可进 一步研究函数的周期性、单调性、最值等. 课 堂 考 点 探 究 32 变式题 已知函数 . （1）求函数在区间 上的最值; 解：由题意得 . 因为,所以,所以 , 所以 , 故函数在区间上的最大值为,最小值为 . 课 堂 考 点 探 究 （2）若,,求 的值. 解：因为, , 所以,所以 , , 所以 . 课 堂 考 点 探 究 34 探究点四 三角恒等变换的实际应用 例6 [2026·唐山五校联考] 如图，矩形花园 中， ，，是 的中点，在该花园中有一 花圃，其形状是以为直角顶点的，其中 ， 分别落在线段和线段 上，记 （1）求 的取值范围. ［思路点拨］首先利用 的三角函数表示和 ，再结合三角形的 面积公式、二倍角公式以及角 的取值范围，即可求面积 的取值范围； ，的周长为 ， 的面积为 . 课 堂 考 点 探 究 35 解：由题图可知，在中， ，在 中， ， . 由得 ， ， . 课 堂 考 点 探 究 36 （2）当 为何值时，的值最小？并求 的最小值. ［思路点拨］根据（1）得到， ，利用勾股定 理得到，表示出的周长 ，利用换元法， 令，将转化为关于的函数，结合 的取值范围求最值即可. 课 堂 考 点 探 究 37 解：由（1）知,，在 中， ， . 令，则 ，其 中 ， , ， , . 课 堂 考 点 探 究 38 且， 当 ,即时，的周长 取得最小值 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 应用三角恒等变换解决实际问题的步骤 课 堂 考 点 探 究 40 变式题 某地进行老旧小区改造，有半径为60米， 圆心角为 的一块扇形空置地（如图），现欲从中 规划出一块三角形绿地，其中在 上， ，垂足为，，垂足为 ，设 ， . 课 堂 考 点 探 究 41 （1）求，（用 表示）； 解：在中， ， 米， 所以 （米）. 又，所以 ，在 中，可得 （米）. 课 堂 考 点 探 究 42 （2）当在 上运动时，求这块三角形绿地的最大面积以及取到最 大面积时 的值. 课 堂 考 点 探 究 43 解：由题可知 ， 所以 的面积 ， 课 堂 考 点 探 究 44 因为，所以 ，故当 ，即时， 的面积有最大值， 即三角形绿地的最大面积是 平方米，此时 . 课 堂 考 点 探 究 例1 ［配例1使用］已知 ，则 _______． [解析] 原式 .因为 ，所以，所以， 所以原式 . 【备选理由】例1是三角函数式的化简，考查二倍角的正弦、余弦公 式，三角函数值在各象限内的符号规律等基础知识，考查学生的运 算求解能力； 教 师 备 用 习 题 46 例2 ［配例2使用］[2025·湖南长沙南雅中学月考]若 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由，解得，所以 .故选A. √ 【备选理由】例2是给值求值问题，考查正、余弦齐次式的计算，考 查利用和角的正切公式化简、求值等基础知识，考查学生的化归转 化能力； 教 师 备 用 习 题 47 例3 ［配例3使用］ _______． [解析] . 【备选理由】例3是给角求值问题，考查二倍角公式、辅助角公式等基础 知识，考查学生的运算求解能力； 教 师 备 用 习 题 48 例4 ［配例4使用］[2025·河北石家庄一中二模]已知 ，， ， ，则 ( ) A. B. C. D. √ 【备选理由】例4是给值求角问题，考查用差角 的正弦公式化简、求值，考查学生的化归转化与运算求解能力； 教 师 备 用 习 题 49 [解析] 依题意得， ，两式平 方相加得，即， 由 ，，得，则，即 ， 故，即 ，即 ，两边平方整理得 ， 又，所以，故，所以 .故 选C. 教 师 备 用 习 题 50 例5 ［配例6使用］如图，扇形的半径为1，圆心角为 ，平行四 边形的顶点在扇形的弧上，在半径上，，在半径 上，记平行四边形的面积为， . （1）用 表示平行四边形的面积 . 【备选理由】例5是三角恒等变换的实际应用问题， 考查学生的应用意识. 教 师 备 用 习 题 51 解：如图，分别过点，作的垂线， ， 垂足分别为，，则四边形 为矩形，所以 ，. 在 中， ， . 在 中， ，所以 ， 所以 . 因为为平行四边形 的高，所以平行四边形 的面积 ， . 教 师 备 用 习 题 52 （2）当 取何值时，平行四边形 的面 积 最大？并求出这个最大面积. 解：由（1）知， ，故当，即时， 取得最大值，最大值 为 . . 因为 ，所以 教 师 备 用 习 题 53 作业手册 54 1. ( ) A. B. C. D. [解析] .故选A. √ ◆ 基础热身 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 2.[2025·广东佛山二调]若，则 ( ) A. B. C. D. [解析] . 故选A. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 3.已知，， ， 均为锐角，则 ( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为，， ， 均为锐角， 所以， ，可得 ， 故，则 .故选C. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 4.[2025·安徽合肥A10联盟预测]已知，则 ( ) A. B. C. D. [解析] .故选A. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 5.[2026·湖南衡阳一中月考]已知 , ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由 ，得 ，所以 ， 又因为，所以, ，所以 .故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 6.（多选题）[2025·河北邯郸模拟]已知 ，则( ) A. B. C. D. √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 [解析] ， 选项A正确； ， 选项B不正确； ， 选项C正确； ， ， 选项D正 确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.已知平面向量，，若 ，则 __. [解析] 由，，且 ，得 ，所以 ， 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 8.化简： ______. [解析] . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 9.已知 . （1）求 的值； 解：由已知得 ，所以 ，故 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 （2）若，，且，求 的值． 解：由，可得 ， 则 . 因为，所以，又 ，所以 . 因为， ，所以， 则，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 10.化简 的结果为( ) A. B.1 C. D.2 [解析] 原式 .故选B. √ ◆ 综合提升 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 11.已知 , , 均为锐角，且,, ，则 ( ) A. B. C. D.或 [解析] 由题可知 ，故 . 因为 为锐角，且，所以， 同理可得 , ，故， 所以 ，故选A. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 12.（多选题）[2025·浙江杭州二中模拟]已知 ， ，， ，则下列结论正确的是 ( ) A. B. C. D. √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 [解析] 由 ，得 ，又 ，所以 ，故，故A错误； 因为 ，所以，则 ， 故 ，故 B正确； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 因为，，所以 ，又因 为 ，所以 ，故C错误； ， 因为，，所以，则 ， 故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.已知，则 _______. [解析] 由 ，可得 ， 则 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 14.已知，，且，则 __. [解析] 根据二倍角公式得 ， .又因为 ，所以 ， 所以 ，整理得 ，所以 ， 又因为，，则，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 15.已知, ，函数 . （1）求函数 的最小正周期； 解：由题意知 ，所以函数的最小正周期 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 （2）若锐角 , 满足, ，求 . 解：由，得，又因为 是锐角，所以 . 因为 , 均是锐角，所以 ，又 ，所以，则 ， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 74 16.（多选题）[2025·丽水模拟]如图所示，在平面直 角坐标系中，以为顶点，以 轴非负半轴为始边的 锐角 与钝角 的终边与单位圆分别交于, 两点. 若点的横坐标为，点的纵坐标为 ，则下列结 论正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ ◆ 能力拓展 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 [解析] 由 为锐角，得，由 为钝角， 得 . 因为 ,所以, 所以, ,. 因为 ,所以,所以 , ， ，A选项正确 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 76 ，B选项错误 ，C选项正确 ，D选项正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.[2025·河南五市二联] 如图，已知扇形的半径 ， ，点在（不含端点）上，点，分别在， 上， 且，，则 的面积的最大值为_ ___. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 78 [解析] 如图，连接，过点作 的垂线，垂足 为，设 ，易知四边形 为矩形， , , . ， ，所以 , 故 ，所以 ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 79 由 二倍角公式可知 ， ，故 ， 由辅助角公式可知 , 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 又点在（不含端点）上，所以 ，故 当时， 的面积取得最大值，最大值为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 课堂考点探究 例1（1）<m></m> （2）<m></m> 变式题（1）B （2）①<m></m> ②<m></m> 例2（1）A （2）<m></m> 变式题（1）D （2）C 例3<m></m> 变式题 4 例4（1）<m></m>. （2）</m>. 变式题（1）A （2）A 例5（1）</m>.（2）</m>. 变式题（1）函数<m></m>在区间<m></m>上的最大值为<m></m>,最小值为<m></m>.（2）</m>. 例6（1）</m>.（2）当<m><m></m>时，<m><m></m>取得最小值<m></m>. 变式题（1）<m></m>. </m. （2）三角形绿地的最大面积是<m></m>平方米，此时<m></m>. 答 案 核 查 82 基础热身 1.A 2.A 3.C 4.A 5.C 6.ACD 7.<m></m> 8.<m></m> 9.（1）<m><m></m>.（2）</m>. 综合提升 10.B 11.A 12.BD 13.<m></m> 14.<m></m> 15.（1）最小正周期<m></m> . （2）<m></m>. 能力拓展 16.ACD 17.<m></m> 答 案 核 查 83 $