4.4简单的三角恒等变换 课件-2027届高三数学一轮复习

第四章　三角函数、解三角形 第4节　简单的三角恒等变换 1.会根据相关公式进行化简和求值. 2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题. 课标要求 例1 (1)(2026·哈尔滨调研)若<θ<，则等于(　　) A.sin B.cos C.－sin D.－cos A 考点一　三角函数式的化简 ∵<θ<， ∴<<<<， ∴cos θ>0，cos<0，sin>0， ∴ ＝－cos， ∴ ＝＝sin. (2)·＝____________.  原式＝· ＝· ＝·. 感悟提升 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，二看名，三看式子结构与特征. 2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点. 训练1 (1)2等于(　　) A.2cos 2 B.2sin 2 C.4sin 2＋2cos 2 D.2sin 2＋4cos 2 B 2 ＝2 ＝2 ＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|. ∵<2<π，∴cos 2<0， ∵sin 2＋cos 2＝sin<2＋<π， ∴sin 2＋cos 2>0， ∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2. (2)已知0<θ<π，则＝____________.  原式＝ ＝ ＝＝－cos θ. -cos θ 角度1　给角求值 C 考点二　三角函数式的求值 ＝ ＝＝cos 30°＝. 例2 (1)(2026·南昌调研)等于(　　) A. B. C. D.1 (2)tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)＝_________.  -1 tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)＝·cos 10° ＝×2sin(20°－30°)＝＝－＝－1. 角度2　给值求值 例3 (1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝____________.  由题知tan(α＋β)＝＝＝－2， 即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β)， 又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1， 可得sin(α＋β)＝±. - 由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z， 2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z， 得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π， k＋m∈Z. 又tan(α＋β)<0， 所以α＋β是第四象限角， 故sin(α＋β)＝－. (2)(2023·新高考Ⅰ卷改编)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝__.  法一　依题意，得 所以sin αcos β＝， 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， 所以cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×. 法二(积化和差公式)　由条件，知 cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)] ＝， 解得sin(α＋β)＝， 则cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β) ＝1－2×. 1.教材母题 人教A必修一P225例8与P226练习T4，T5题给出了两组公式: (1)积化和差公式: ①sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin (α－β)]， ②cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin (α－β)]， ③cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos (α－β)]， ④sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos (α－β)]. 和差化积与积化和差 教考衔接 (2)和差化积公式: ①sin θ＋sin φ＝2sincos， ②sin θ－sin φ＝2cossin， ③cos θ＋cos φ＝2coscos， ④cos θ－cos φ＝－2sinsin. 2.应用上述公式可实现三角函数式的积与和的相互转化. 典例 (1)sin 20°＋sin 40°－sin 80°＝____________;  0 sin 20°＋sin 40°－sin 80° ＝2sin 30°·cos 10°－cos 10° ＝cos 10°－cos 10°＝0. (2)(sin 20°－sin 40°)2＋3sin 20°cos 50°＝____________.  (sin 20°－sin 40°)2＋3sin 20°cos 50° ＝(－2cos 30°sin 10°)2＋(sin 70°－sin 30°) ＝3sin210°＋sin 70°－ ＝(1－cos 20°)＋sin 70°－ ＝cos 20°＋cos 20°－ ＝. 角度3　给值求角 例4 已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－，则2α＋β的值为(　　) A. B.π C. D. A 因为α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－， 所以sin α＝，cos α＝，sin(α＋β)＝， α∈，α＋β∈， 所以2α＋β∈，则sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝××， 所以2α＋β＝，故选A. 感悟提升 1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可. 2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解. 感悟提升 3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则: (1)已知正切函数值，选正切函数;已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数;若角的范围是，选正、余弦皆可; (2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好;若角的范围为，选正弦较好. 训练2 (1)(2026·深圳模拟)已知＝3，则＝(　　) A. B. C.2 D.3 C 因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，＝3， 所以sin αcos β＋cos αsin β＝3sin αcos β－3cos αsin β， 即4cos αsin β＝2sin αcos β，则＝2. (2)(2025·九江模拟)已知cos，则sin等于(　　) A.－ B. C.－ D. C 法一　因为cos， 所以sin＝sin ＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－. 法二(换元法) 令t＝＋α，则α＝t－，cos t＝， 所以sin＝sin ＝sin＝cos 2t＝2cos2t－1＝－. (3)(2025·北京卷)已知α，β∈[0，2π]，且sin(α＋β)＝sin(α－β)，cos(α＋β)≠cos(α－β)，写出满足条件的一组α＝______________，β＝______________.  因为sin(α＋β)＝sin(α－β)， cos(α＋β)≠cos(α－β)， 所以α＋β，α－β的终边关于y轴对称，且不与y轴重合， 故α＋β＋α－β＝π＋2kπ，k∈Z且α＋β≠＋mπ，m∈Z， 即α＝＋kπ，k∈Z， 故取α＝，β＝可满足题设要求. (答案不唯一) (答案不唯一) 例5 (2026·重庆调研)设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝sin. (1)求函数f(x)，g(x)的解析式; 考点三　三角恒等变换的综合应用 ∵f(x)＋g(x)＝sin＝sin x＋cos x，① ∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数， ∴f(－x)＋g(－x)＝sin(－x)＋cos(－x)， 即－f(x)＋g(x)＝－sin x＋cos x，② 联立①②，解得f(x)＝sin x，g(x)＝cos x. (2)设h(x)＝f·g(x)，x∈.当h(x)＝时，求x的值. ∵h(x)＝sin·cos x＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋(1＋cos 2x) ＝sin， 当h(x)＝时，sin，得sin. ∵0≤x≤，∴≤2x＋≤， ∴2x＋，∴x＝0或x＝. 感悟提升 1.进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用. 2.形如y＝asin x＋bcos x化为y＝·sin(x＋φ)，可进一步研究函数的性质. 训练3 已知f(x)＝sin＋2sin·cos. (1)求f的值; 由题意得 f(x)＝sin＋2sincos ＝sin－2sincos ＝sin－2sincos ＝sinsin ＝sin 2xcos －cos 2xsin cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x ＝sin， 故f＝sin＝0. (2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值. ∵α∈，∴2α＋∈， 又∵f(α)＝，∴f(α)＝sin， 又∵sin<， ∴2α＋∈， ∴cos＝－＝－， ∴sin 2α＝sin ＝sincos －cossin ＝××. 一、单选题 1.(2026·咸阳模拟)已知α∈(0，π)，cos(π－α)＝－，则sin＝(　　) A. B. C. D. A 因为α∈(0，π)，cos(π－α)＝－，所以cos α＝， 所以α为锐角，则cos α＝1－2sin2， 解得sin. 2.＝(　　) A. B.1 C. D. A . 3.化简等于(　　) A.1 B.－1 C.cos α D.－sin α A 原式＝＝ ＝＝1. 4.已知tan α，tan β是方程x2－4x－3＝0的两根，且α，β∈，则α＋β的值为(　　) A. B. C. D. C 由题意， 则tan(α＋β)＝＝1， 因α，β∈，则π<α＋β<2π，故α＋β＝. 5.(2026·齐齐哈尔模拟)已知cos，则sin等于(　　) A.－ B. C. D.－ B ∵cos， 可得sin＝－cos ＝－cos＝1－2cos2＝1－2×. 6.(2026·秦皇岛模拟)已知tan(α－β)＝－，tan，则cos 2α＝(　　) A.－ B. C.－ D. D tan，解得tan β＝－， 又tan(α－β)＝＝－，解得tan α＝－， 所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝. 7.(2026·安徽A10联盟质检)已知2sin α－cos β＝，sin β－2cos α＝2，sin(α－β)＝，则＝(　　) A. B.7 C.－ D.－7 C 由2sin α－cos β＝得cos2β－4cos βsin α＋4sin2α＝2;① 由sin β－2cos α＝2得sin2β－4sin βcos α＋4cos2α＝4，② ①＋②得sin αcos β＋cos αsin β＝－， 由sin(α－β)＝得sin αcos β－cos α·sin β＝， 则有 则∴ ＝＝－.故选C. 二、多选题 8.(2026·岳阳质检)计算下列各式，结果为的是(　　) A.sin 15°cos 15° B.cos215°－sin215° C. D. BC 对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误; 对于B，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故B正确; 对于C，，故C正确; 对于D，＝ tan(45°＋15°)＝tan 60°＝，故D错误. 9.(2026·武汉阶段考)已知0<β<α<，且sin(α－β)＝，tan α＝5tan β，则(　　) A.sin αcos β＝ B.sin βcos α＝ C.sin 2αsin 2β＝ D.α＋β＝ BC ∵tan α＝5tan β，即， ∴sin αcos β＝5cos αsin β， ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝4cos αsin β＝， ∴sin βcos α＝，B正确; sin αcos β＝，A错误; sin 2αsin 2β＝2sin αcos α·2sin βcos β＝4sin αcos β·sin βcos α＝4××，C正确; sin(α＋β)＝sin αcos β＋sin βcos α＝， ∵0<β<α<， ∴0<β＋α<， ∴α＋β＝， D错误.故选BC. 三、填空题 10.已知α∈，若sin＋cos＝0，则α＝____________.  由sin＋cos ＝－cos 2α＋(cos α＋sin α)＝0， 所以cos 2α＝cos2α－sin2α ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝(cos α＋sin α)， 又α∈， 所以cos α－sin α＝，得cos， 而α＋∈， 所以α＋，得α＝. 11.(2026·青岛模拟)已知tan(2α－β)＝，tan(α－β)＝1，则tan＝____________.  由tan(2α－β)＝，tan(α－β)＝1， 则tan α＝tan[(2α－β)－(α－β)]＝＝－， 所以tan 2α＝＝－， 则tan＝＝－. 12.已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝______，2α－β＝__________.  因为cos α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝. 又因为α，β均为锐角，sin β＝， 所以sin α＝，cos β＝， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β ＝××. 因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0，所以0<2α<， 又β为锐角，所以－<2α－β<， 又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝. 四、解答题 13.(2026·天津模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx的最小正周期为4π. (1)求ω的值; 由f(x)＝sin ωx＋cos ωx ＝2sin， 又因为函数f(x)的最小正周期为4π， 所以T＝＝4π，解得ω＝. (2)设α，β∈，f，f，求cos(α＋β)的值. 由(1)得f(x)＝2sin， 则f＝2sin α＝，则sin α＝， 又因为α，β∈，所以cos α＝，又因为f＝2sin， 则cos β＝，所以sin β＝， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝××. 14.已知2sin α＝2sin2－1. (1)求sin αcos α＋cos 2α的值; 由已知得2sin α＝－cos α， 所以tan α＝－. sin αcos α＋cos 2α＝ ＝. (2)已知α∈(0，π)，β∈，且tan2β－6tan β＝1，求α＋2β的值. 由tan2β－6tan β＝1， 可得tan 2β＝＝－， 则tan(α＋2β)＝ ＝＝－1. 因为β∈，所以2β∈(0，π)， 又tan 2β＝－>－，则2β∈， 因为α∈(0，π)，tan α＝－>－， 则α∈，则α＋2β∈， 所以α＋2β＝. $