精品解析：湖北黄冈市蕲春县第一高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

蕲春一中2026年春季高一年级期中考试 数学试题 一､选择题：本题共8个小题.每小题5分，共40分､在每小题只有一个选顶是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再判断即可. 【详解】因为，所以，则. 故选：B 2. 设，向量且，则（ ） A. B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直、平行列方程，求得，进而求得正确答案. 【详解】由于， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：C 3. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求得，再由正弦二倍角及同角三角函数的基本关系，可将原式化简为，代入求值即可. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以. 故选：B． 4. 在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合正弦定理，根据三角形有两解的条件列不等式求解即可. 【详解】因为三角形有两个解，所以， 所以，所以，即AC的取值范围是. 故选：A 5. 已知定义在上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的函数，确定函数的奇偶性及在上的单调性，再逐项分析判断. 【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递减， 则函数在区间上单调递减， 又，即是偶函数， ，又在上递增，则， 而在区间上单调递增，则， 因此，则， 所以. 故选：B 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的解析式和奇偶性的定义，得到函数为奇函数，再由，结合选项，即可求解. 【详解】化简函数为， 可得，所以为奇函数． 由，所以只有选择A符合． 故选：A. 7. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由推导可得的平分线垂直于边BC，进而可得，再由给定面积导出得解. 【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、， 以、为邻边作平行四边形，则，显然， 因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即， 于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，， 而，因此有，从而得， 所以是等腰直角三角形. 故选：D 8. 如图，已知正三角形ABC的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点M为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点，连接，建立平面直角坐标系，设，，根据平面向量的数量积的坐标表示及辅助角公式可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】连接交于点，连接， 在正三角形ABC中，由于O为三角形ABC的中心，且三角形ABC的边长为， 则为中点，且，，， 以为原点，平行于的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 则， 由于，设，， 则，， 所以， 由于，则. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C. 若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，也满足，A错误． 对于B，因为，，所以，B正确． 对于C，复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，C正确． 对于D，复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，D正确． 10. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，，（为坐标原点），点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，则（ ） A. B. C. 的坐标为 D. 在方向上的投影向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】由平面向量的数量积的运算，结合投影向量的运算及向量的模的运算即可求解. 【详解】已知平面内点，点，所以， 又，所以，所以， 又因为，所以，即， 所以，所以，故B错误； 因为点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点， 所以， 即，故C正确； 对于A，， 则，故A错误； 对于D，在方向上的投影向量为， 故D正确. 故选：CD. 11. 我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理和正弦的和差公式可判断B；利用特殊值可判断C错误；设，在两边同乘向量，根据数量积定义即可判断D. 【详解】对A，由余弦定理知，， ， 上述三个等式相加得，A正确； 对B，因为， 所以，B正确； 对C，当时，式子左边，右边， 由得， 此时，只有当时，等式才成立，由于角的任意性，所以等式不一定恒成立，C错误； 对D，设，则， 则， 因为，所以， 即， 整理得，D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知.且则的值等于______. 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式化简并结合平方关系和商数关系即可求解. 【详解】原式， 已知 ，即 ，与 联立方程组， 解得：，即， 又因为 ，且 ，所以 是第三象限角， 因此. 故答案为：. 13. 设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的规律，结合二次函数知识可得答案. 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以的取值范围是. 14. 已知向量满足，若对任意的实数，都有，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用数量积与模的关系结合二次不等式恒成立计算得，再根据向量不等式计算即可. 【详解】因为，所以对任意的实数恒成立， 即， 所以，所以. 所以， 当且仅当与反向时等号成立，即的最小值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共67分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，若，且，求ab. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）由结合换底公式可得，结合，运算得解. 【详解】（1） （2）由，且， 设，则，解得或． 又，则，所以，即，① 又，从而，则，② 由①②解得，所以. 16. 已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． （1）求z； （2）设，若在第二象限，求实数t的取值范围； （3）若复数z是方程的一个根，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用已知求得，可得z； （2）结合（1），利用在第二象限，可得t所满足的条件，进而求得实数t的取值范围； （3）利用实系数方程的根的性质可得，计算可求得的值． 【小问1详解】 设． 因为为实数，所以，故， 又， 因为它是纯虚数，所以其实部为0，即，故． 【小问2详解】 由（1）知，所以其共轭复数为． 因此． 因为在第二象限，所以 由，得． 由，得，得． 综上，． 【小问3详解】 因为方程系数为实数，所以另一个根为． 于是． 故，，所以． 17. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“3:00”）变化符合函数，其中，， （1）求函数的表达式 （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 【答案】（1） （2）①在港内停留的最长时间是16个小时②应在23时停止卸货，离开港口 【解析】 【分析】（1）结合五点法求解即可. （2）①由（1）的结论，利用正弦函数性质解不等式即可； ②求出吃水深度的函数关系，借助单调性求解不等式. 【小问1详解】 由数据可知，，，，， 由，解得，所以 . 【小问2详解】 ①由题意可得，时就可以进出港， 由 ，可得， 所以，， 解得，，因为， 因此或，所以该船可以进港， 则可以离港，又在到这段时间内，水深最浅时为， 且该时刻水深为7米，大于6.5米， 所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时. ②由题意可得，吃水深度，则要求为 ，， 当，时， 单调递增， 又当时， ，则由，，解得， 所以该船应在23时停止卸货，离开港口. 18. 定义平面凸四边形为没有内角度数大于180°的四边形.如图，已知平面凸四边形ABCD中，，，. （1）若四边形ABCD被对角线BD分为面积相等的两部分，且； ①求CD的长； ②若，求的值. （2）若，求四边形ABCD面积的最大值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由余弦定理可得，，又，结合题目数据可得，最后在中，由余弦定理可得答案；②如图，以为原点，建立平面直角坐标系，由可得M坐标，然后由数量积坐标表示可得答案； （2）由余弦定理可得，结合及三角函数值域可得，据此可得答案. 【小问1详解】 ①如图，在中，，，， 由余弦定理可得， 注意到，所以， 又，得， 即， 又因为四边形ABCD为凸四边形，，故， 则在中，由余弦定理可得，所以. ②由①，如图，以为原点，建立平面直角坐标系， 所以，，，D，则. 设，由， 得， 则 则. 【小问2详解】 在三角形和三角形中，由余弦定理得， 则， 四边形面积为：， 即，所以 ， 当且仅当，即，时，取最小值， 则， 所以四边形面积的最大值为. 19. 由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有，则可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式. （1）利用结论，求出的值；（提示：） （2）在切比雪夫多项式中证明：； （3）设函数，其中a，.若对任意a，，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，建立方程，根据同角三角函数平方式，化简方程为一元二次方程，可得答案； （2）利用赋值法，表示出常数项与各项系数和，根据绝对值不等式，可得答案； （3）由参数表示函数在给定区间上的最值，根据绝对值不等式，可得答案. 【小问1详解】 ，，， 所以， 即，由，解得. 【小问2详解】 由题意可知， 令，则；令，则， 所以. 【小问3详解】 法一： 由题意可知. 其中表示在上的最大值，是一个含有a，b的表达式. 是关于a，b函数的最小值. 令，则时，，， 当且，即且时， 由切比雪夫多项式的定义可知道时，. 结合切比雪夫多项式，. 当或时，， ， 故，当且仅当，时取到等号. 综上可得，实数的取值范围是. 法二： 记，则，，， 所以， 从而，当且仅当，时等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蕲春一中2026年春季高一年级期中考试 数学试题 一､选择题：本题共8个小题.每小题5分，共40分､在每小题只有一个选顶是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量且，则（ ） A. B. C. D. 10 3. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，已知正三角形ABC的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点M为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C. 若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 10. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，，（为坐标原点），点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，则（ ） A. B. C. 的坐标为 D. 在方向上的投影向量为 11. 我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知.且则的值等于______. 13. 设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 14. 已知向量满足，若对任意的实数，都有，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共67分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，若，且，求ab. 16. 已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． （1）求z； （2）设，若在第二象限，求实数t的取值范围； （3）若复数z是方程的一个根，求的值． 17. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“3:00”）变化符合函数，其中，， （1）求函数的表达式 （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 18. 定义平面凸四边形为没有内角度数大于180°的四边形.如图，已知平面凸四边形ABCD中，，，. （1）若四边形ABCD被对角线BD分为面积相等的两部分，且； ①求CD的长； ②若，求的值. （2）若，求四边形ABCD面积的最大值. 19. 由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有，则可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式. （1）利用结论，求出的值；（提示：） （2）在切比雪夫多项式中证明：； （3）设函数，其中a，.若对任意a，，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $