湖北黄冈市蕲春县第一高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

蕲春一中2026年春季高一年级期中考试 数学试题 一､选择题：本题共8个小题.每小题5分，共40分､在每小题只有一个选顶是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量且，则（ ） A. B. C. D. 10 3. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，已知正三角形ABC的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点M为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C. 若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 10. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，，（为坐标原点），点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，则（ ） A. B. C. 的坐标为 D. 在方向上的投影向量为 11. 我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知.且则的值等于______. 13. 设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 14. 已知向量满足，若对任意的实数，都有，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共67分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，若，且，求ab. 16. 已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． （1）求z； （2）设，若在第二象限，求实数t的取值范围； （3）若复数z是方程的一个根，求的值． 17. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“3:00”）变化符合函数，其中，， （1）求函数的表达式 （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 18. 定义平面凸四边形为没有内角度数大于180°的四边形.如图，已知平面凸四边形ABCD中，，，. （1）若四边形ABCD被对角线BD分为面积相等的两部分，且； ①求CD的长； ②若，求的值. （2）若，求四边形ABCD面积的最大值. 19. 由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有，则可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式. （1）利用结论，求出的值；（提示：） （2）在切比雪夫多项式中证明：； （3）设函数，其中a，.若对任意a，，总存在，使得，求实数的取值范围. 蕲春一中2026年春季高一年级期中考试 数学试题 一､选择题：本题共8个小题.每小题5分，共40分､在每小题只有一个选顶是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】CD 【11题答案】 【答案】ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四､解答题：本题共5小题，共67分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）；（2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1） （2）①在港内停留的最长时间是16个小时②应在23时停止卸货，离开港口 【18题答案】 【答案】（1）①；② （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 由题意可知， 令，则；令，则， 所以. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $