精品解析：北京市八一学校教育集团2025-2026学年高二下学期期中练习数学试卷

北京市八一学校教育集团2025-2026学年高二下学期期中练习数学试卷 2026.04 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题纸交回． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知等差数列，，则公差d等于（ ） A. B. C. 3 D. -3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用公式，即可求解. 【详解】由题意，等差数列，， 可得等差数列的公差. 故选：B. 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，所以A错误；，所以B错误； ，所以C正确；，所以D错误. 3. 在数列中，已知，则等于（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系式，依次求解. 【详解】由条件可知，，，. 4. 下列函数中，在区间上的平均变化率最大的时（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解. 【详解】对于A，在上的平均变化率为， 对于B，在上的平均变化率为， 对于C, 在上的平均变化率为， 对于D，在上的平均变化率为， 故在上的平均变化率最大， 故选：B 5. 某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 7种 D. 9种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】分3类，买1本书，买2本书，买3本书， 各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种). 故选：C 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数公式求解. 【详解】，，，，，，，. 7. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】m函数值的正负排除D，求出导函数确定函数的单调性，用排除法得正确结论． 【详解】，当时，，，排除D． 则， 单调递减，单调递增，排除BC， 故选：A. 8. “为等比数列”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列定义逐一分析充分性和必要性即可得解. 【详解】若为等比数列，则， 所以，即一定是等比数列，故必要性成立； 若为等比数列，则， 所以，即不一定是等比数列，故充分性不成立． 故“为等比数列”是“为等比数列”的必要不充分条件. 故选：B 9. 记为数列的前n项和.若，则（ ） A. 有最大项，有最大项 B. 有最大项，有最小项 C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的性质可判断得有最大项，再分析的正负情况可判断得有最大项，从而得解. 【详解】根据题意，， 对于二次函数，，其开口向下，对称轴为， 则当时，取得最大值， 所以当时，有最大值为16，所以有最大项. 又由可解得， 则当时，，当时，，当时，， 所以当或8时，最大， 则有最大项，有最大项. 故选：A. 10. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在，再由函数的单调性及可得不等式的解集. 【详解】因为单调递增，且，， 所以存在唯一，使得， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且， 所以由可得， 故选：A 11. 已知函数，若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，按分类，结合函数单调性、极值讨论函数的零点是否符合题设要求即可得解. 【详解】显然，否则函数有两个零点，不符合题意， 函数，求导得， 当时，由，得或，函数在上单调递增， ，则函数在上有一个零点，不符合题意； 当时，由，得或，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，当时，取得极大值， 而，则在上有唯一零点， 因为有且只有一个零点，且，则当且仅当，于是， 所以实数的取值范围是. 故选：A 12. 设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得图象与直线，共4个交点，分别利用导数研究函数与函数，可得大致图象，据此可得答案. 【详解】， 由题则图象与直线，共4个交点. 令，则，. 则在上单调递增，在上单调递减，. 又，据此可得大致图象如下. 令，则，又，据此可得大致图象如下. 由图易得图象与直线有1个交点，则图象与直线有3个交点. 则. 故选：B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 13. =______ 【答案】60 【解析】 【分析】根据排列数公式计算即可. 【详解】5×4×3＝60． 故答案为60． 【点睛】本题主要考查了排列数公式，属于基础题． 14. 在等比数列中，，则前5项之积为________． 【答案】32 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可得出答案. 【详解】解：由等比数列的性质可得， 则． 故答案为：32. 15. 曲线在处的切线斜率为___________． 【答案】1 【解析】 【详解】， 16. 从4名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有___________种．（用数字作答） 【答案】16 【解析】 【详解】. 17. 若函数在定义域内有递减区间，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可知在内能成立，利用参变量分离法，转化为 在上能成立，设，利用换元法分析可得答案． 【详解】根据题意，函数，其导数， 若函数在定义域内存在单调递减区间， 则在上有解； 若，变形可得， 则在上能成立， 设，则，则， 则必有， 故的取值范围为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题． 18. 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”． （1）以下函数与存在“点”的是__________．（填写序号） ①函数与； ②函数与； ③函数与． （2）已知，若函数与存在“点”，则实数的取值范围为__________． 【答案】 ①. ② ②. 【解析】 【分析】第一空根据是否有解即可判断；第二空由得到，构造函数，利用导数研究函数的图象与性质即可求出结果. 【详解】(1)①因为函数与，所以，， 由题意得，无解，故不存在“点”； ②函数与，所以，， 由题意得，解得，故为函数与的一个“点”； ③函数与，所以，， 由题意得，无解，故不存在“点”； (2)函数与，则与， 由题意得，则， 令，则， 令，则， 所以时，则，故单调递增； 时，则，故单调递减； 所以在处取得极小值，也是最小值， ，且时，， 所以实数的取值范围为. 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 19. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求的通项公式： （2）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意求出和的值，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式； （2）根据题意得出，故，利用分组求和计算即可. 【小问1详解】 方法1：设等差数列的公差为，， 因为，所以， 又，所以，解得， 因为，所以的通项公式为； 方法2：设等差数列的公差为， 故，，所以； 【小问2详解】 因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以， 因为，所以， 则 ， 所以数列的前项和为. 20. 已知函数在时取得极值． （1）求a的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为； （3）-8 【解析】 【分析】（1）求导，由得到方程，求出，检验后得到结论； （2）在（1）基础上，得到函数单调区间； （3）由（1）知为极小值点，计算出极小值和端点值，比较后得到最小值. 【小问1详解】 ，由题意得， 即，解得， 故， 令得或，令得， 故为极小值点，满足要求； 【小问2详解】 由（1）可知，， 或时，，时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问3详解】 由（1）知为极小值点，， 又，， 显然，故在区间上的最小值为-8 21. 已知函数． （1）判断在上的单调性，并证明； （2）求在上的零点个数． 【答案】（1）在上单调递增，证明见解析； （2）一个. 【解析】 【分析】（1）先判断单调性，再求导函数根据导函数正负证明函数单调性； （2）结合函数单调性及极值结合零点存在定理得出零点个数. 【小问1详解】 在上单调递增，证明如下： 因为， 所以， 又因为，从而， 所以， 所以在上单调递增． 【小问2详解】 由(1)知：， 因为， 令，得． 与在区间上的情况如下： 0 + 极小 因为，， 所以由零点存在定理及单调性可知，在上恰有一个零点． 22. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方； （3）若函数有两个零点，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过求函数在某点的导数得到切线斜率，进而得出切线方程； （2）根据曲线与直线的位置关系转化为函数的最值问题，通过求导判断函数单调性来确定最值. （3）通过求导判断函数的单调性，根据单调性确定函数的极值点，再结合函数零点的情况来确定参数的取值范围.分别对不同情况下的值进行讨论，分析函数的最大值情况以及零点满足的条件，从而得出的取值范围. 【小问1详解】 已知当时，，对求导得. 计算，将代入得. 计算，将代入得. 根据点斜式方程，所以切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，其定义域为. 因为曲线总在直线的下方等价于，即. 设函数，对求导得. 令，即，解得. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值，. 由于， 则，即，所以曲线总在直线的下方. 【小问3详解】 ， 分情况讨论. 当，即时. 此时的导数. 根据的单调性，在上，单调递增； 在上，单调递减. 所以. 对于，有，所以恰有一个零点，不符合题意. 当，即时.因为，根据的单调性， 在上， ， 单调递增； 在上， ，单调递减. 知， 因为有两个零点，且满足，得，. 又因为此时，所以. 由于，即，移项得到. 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 又因为，所以. 当，即时. 根据的单调性， 在上， ， 单调递增； 在上， ， 单调递减，知. 因为有两个零点，且满足，得，. 所以. 由于，即，移项得到. 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 又因为，所以. 综上，的取值范围为. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 23. 对于无穷数列、，，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中、分别表示中的最大项和最小项．已知数列的前项和为，数列是数列的“收缩数列”． （Ⅰ）写出数列的“收缩数列”； （Ⅱ）证明：数列的“收缩数列”仍是； （Ⅲ）若，求所有满足该条件的数列． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ），． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据定义求出； （Ⅱ）首先证明满足，然后根据定义求的“收缩数列”即可证； （Ⅲ）由已知等式，得，时得，时，，否定和后证得，因此猜想，．然后进行证明，用反证法：假设是首次不符合的项，则，分三种情况否定：，，． 【详解】解：（Ⅰ）由可得为递增数列，所以， 所以． （Ⅱ）因为， ， 所以， 所以． 又因为，所以， 所以的“收缩数列”仍是． （Ⅲ）由可得 当时，； 当时，，即，所以； 当时，，即（*）， 若，则，所以由（*）可得，与矛盾； 若，则，所以由（*）可得， 所以与同号，这与矛盾； 若，则，由（*）可得. 猜想：满足的数列是： ．． 经验证，左式， 右式. 下面证明其它数列都不满足题设条件. 由上述时的情况可知，时，是成立的. 假设是首次不符合的项，则， 由题设条件可得（*）， 若，则由（*）式化简可得与矛盾； 若，则，所以由（*）可得 所以与同号，这与矛盾； 所以，则，所以由（*）化简可得. 这与假设矛盾. 所以，所有满足该条件的数列的通项公式为，． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是理解新定义，并能应用新定义求解．难点是第（Ⅲ）小题，求满足条件的数列，采取从特殊到一般，归纳与猜想、证明的思路求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市八一学校教育集团2025-2026学年高二下学期期中练习数学试卷 2026.04 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题纸交回． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知等差数列，，则公差d等于（ ） A. B. C. 3 D. -3 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在数列中，已知，则等于（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 11 4. 下列函数中，在区间上的平均变化率最大的时（ ） A. B. C. D. 5. 某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 7种 D. 9种 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 8. “为等比数列”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 记为数列的前n项和.若，则（ ） A. 有最大项，有最大项 B. 有最大项，有最小项 C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项 10. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 13. =______ 14. 在等比数列中，，则前5项之积为________． 15. 曲线在处的切线斜率为___________． 16. 从4名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有___________种．（用数字作答） 17. 若函数在定义域内有递减区间，则实数的取值范围是________． 18. 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”． （1）以下函数与存在“点”的是__________．（填写序号） ①函数与； ②函数与； ③函数与． （2）已知，若函数与存在“点”，则实数的取值范围为__________． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 19. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求的通项公式： （2）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． 20. 已知函数在时取得极值． （1）求a的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间上的最小值． 21. 已知函数． （1）判断在上的单调性，并证明； （2）求在上的零点个数． 22. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方； （3）若函数有两个零点，且，求的取值范围. 23. 对于无穷数列、，，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中、分别表示中的最大项和最小项．已知数列的前项和为，数列是数列的“收缩数列”． （Ⅰ）写出数列的“收缩数列”； （Ⅱ）证明：数列的“收缩数列”仍是； （Ⅲ）若，求所有满足该条件的数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $