北京市八一学校教育集团2025-2026学年高二下学期期中练习数学试卷

北京市八一学校教育集团2025-2026学年高二下学期期中练习数学试卷 2026.04 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题纸交回． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知等差数列，，则公差d等于（ ） A. B. C. 3 D. -3 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在数列中，已知，则等于（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 11 4. 下列函数中，在区间上的平均变化率最大的时（ ） A. B. C. D. 5. 某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 7种 D. 9种 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 8. “为等比数列”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 记为数列的前n项和.若，则（ ） A. 有最大项，有最大项 B. 有最大项，有最小项 C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项 10. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 13. =______ 14. 在等比数列中，，则前5项之积为________． 15. 曲线在处的切线斜率为___________． 16. 从4名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有___________种．（用数字作答） 17. 若函数在定义域内有递减区间，则实数的取值范围是________． 18. 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”． （1）以下函数与存在“点”的是__________．（填写序号） ①函数与； ②函数与； ③函数与． （2）已知，若函数与存在“点”，则实数的取值范围为__________． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 19. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求的通项公式： （2）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． 20. 已知函数在时取得极值． （1）求a的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间上的最小值． 21. 已知函数． （1）判断在上的单调性，并证明； （2）求在上的零点个数． 22. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方； （3）若函数有两个零点，且，求的取值范围. 23. 对于无穷数列、，，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中、分别表示中的最大项和最小项．已知数列的前项和为，数列是数列的“收缩数列”． （Ⅰ）写出数列的“收缩数列”； （Ⅱ）证明：数列的“收缩数列”仍是； （Ⅲ）若，求所有满足该条件的数列． 北京市八一学校教育集团2025-2026学年高二下学期期中练习数学试卷 2026.04 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题纸交回． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】A 【11题答案】 【答案】A 【12题答案】 【答案】B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 【13题答案】 【答案】60 【14题答案】 【答案】32 【15题答案】 【答案】1 【16题答案】 【答案】16 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】 ①. ② ②. 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为； （3）-8 【21题答案】 【答案】（1）在上单调递增，证明如下： 因为， 所以， 又因为，从而， 所以， 所以在上单调递增． （2）一个. 【22题答案】 【答案】（1） （2） 当时，，其定义域为. 因为曲线总在直线的下方等价于，即. 设函数，对求导得. 令，即，解得. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值，. 由于， 则，即，所以曲线总在直线的下方. （3） 【23题答案】 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）因为， ， 所以， 所以． 又因为，所以， 所以的“收缩数列”仍是． （Ⅲ），． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $