云南曲靖市罗平县第一中学2025-2026学年高三下学期考前模拟卷（2）数学

**基本信息** 聚焦立体几何、概率统计、数列、导数核心模块，通过新定义“组差数列”、导数零点证明等综合题，考查空间观念、数据意识及推理能力，适配三轮冲刺能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5题（约50分）|立体几何（面面平行证明）、概率统计（二项分布与条件概率）、数列（新定义“组差数列”）、导数（极值点与零点证明）|15题结合几何直观考查空间观念，16题通过学生学习强度数据体现数据意识，17题以新定义情境发展创新意识，19题导数证明强化逻辑推理，形成基础证明到创新应用的梯度设计|

绝密★启用前 云南曲靖市罗平县第一中学2025-2026学年高三下学期考前模拟卷（2） 数学 考试时间：120分钟 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数满足，则的虚部为(    ) A. B. C. D. 2.龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底所在的水平地面上选取，两点，测得米，，，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为   参考数据：取， A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3.若向量、满足，，则(    ) A. B. C. D. 4.已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 5.在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，若点，，，，均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为(    ) A. B. C. D. 6.已知数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，下列说法正确的个数是(    ) 数据，，，，的平均数是； 数据，，，，的平均数是； 若，，则数据，，，，的中位数大于数据，，，，的中位数； 若，，则数据，，，，的平均数大于数据，，，，的平均数． A. B. C. D. 7.已知函数，若恒成立，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.已知数列满足，则关于说法正确的是(    ) A. 无最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知函数，，，则(    ) A. ，的图象都关于点对称 B. ，的图象都关于直线对称 C. 将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D. 将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象 10.已知数列满足，是的前项和，则下列说法一定正确的是(    ) A. B. C. 是等比数列 D. 若，当为奇数时，满足的的最大值为 11.随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所如图，某公园内有一个以为圆心，半径为，圆心角为的扇形人工湖，、是分别由、延伸而成的两条健身步道为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与相切于点，且与、分别相交于、，另两条是分别和湖岸、垂直的、垂足均不与重合，在区域以内，扇形人工湖以外的空地铺上草坪，则(    ) A. 的范围是 B. 新增步道的长度可以为 C. 新增步道、长度之和不可能为 D. 当点为的中点时，草坪的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.将一个正边形顶点分别与其中心相连接，把这个多边形分成个不同的三角形区域，现给这些区域涂色，相邻区域涂不同颜色．若有种颜色可供选择，记所有不同涂色方案的种数为，则           ，           ． 13.已知函数的定义域，对图象上任意两点，，点恒在的图象上，若，则的值为          ． 14.在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差等比数列”此类数列求和，也可以用“裂项相消法”求解，例如，故的前项和已知数列满足，，则        ；记数列的前项和为，则        ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图：正八面体可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体． 证明：平面平面； 若，点为棱上的动点，则直线与平面所成的角的正弦值的范围． 16.本小题分 某市高三学生学习强度指数的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数 概率 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 从该市随机选取名高三的学生，记学习强度指数的人数为，求及的数学期望． 定义为在事件发生的条件下事件发生的优势．记事件“该学生学习有压力”勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力，事件“该学生困难应对”，求在事件发生的条件下事件发生的优势． 17.本小题分 在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． 若，判断是不是“组差数列”，并说明理由． 若是“组差数列，且为定值，证明：． 记的前项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数，使得恒成立． 18.本小题分 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的任一点． 若劣弧中点为如图，过点作出平面平面，请说明平面的作法，并证明平面平面； 现定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交点所形成的线段叫做两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直的距离当为半圆弧的中点如图所示，设平面平面，，，求异面直线与距离的最大值． 19.本小题分 已知函数，其中． 证明：在区间上存在唯一的极小值点； 若在定义域内不存在零点，求的取值范围； 当有两个不同的零点，时，证明：． 第2页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】   15.【答案】连接、、交于点，易知、、、四点共面，且为、、的中点， 则四边形、都是平行四边形，则，， 又以为面，面，则面， 因为面，面，则面， 又因为面，面，、面，， 则面面   16.【答案】解：由表可知，学习强度指数的概率为： ， 从该市随机选取名学生，记学习强度指数的人数为，则服从二项分布， 所以； 的数学期望为：； 由题意可知，事件为“该学生学习有压力”，事件为“该学生困难应对”． ，， 因为事件包含于事件中，所以， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 所以在事件发生的条件下事件发生的优势为：．   17.【答案】解：是“组差数列”，理由如下： 由，得， 当时，，则， 所以， 则数列是以为公差的等差数列，且， 故是“组差数列”． 因为是“组差数列， 所以数列是以为公差的等差数列， 则， 又为定值，所以可设，则， 所以， 所以数列是等差数列，且公差为， 则， 设， 则， 两式相减得，， 所以，即． 因为为“组差数列”， 所以数列是以为公差的等差数列， 则， 令，则， 对于任意正整数，均存在非负整数和整数，使得， 此时， 设这项中的最小值为， 因为，所以， 从而， 则， 令，由对任意的实数均成立，则．   18.【答案】连接，，，平面即为所求作的平面， 证明：在圆台中，平面，平面，， 为劣弧中点，为圆的半径，， 又，，平面平面， 又平面， 平面平面， 即平面   19.【答案】证明：函数的定义域为，， 令，则， 且，恒成立，故在上单调递增． 当时，，，， 从而任取极小正数，则， 根据零点存在定理，存在使得． 由于单调递增，故是唯一的，且当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，因此，是在上的唯一极小值点   证明：由可得，等价于． 不妨令，则，解得，则， 也即，设，． 当时，且，故，函数单调递增；当时，且，故，函数单调递减． 有两个不同零点，，不妨设，则等价于方程有两个不同根，， 其中，由的单调性可知． 要证明，即证明，即． 代入得，即，而， 且在上单调递减．等价于 又，是方程的根，满足， 故只需证明对任意成立， 设，，其中， 则， ． 不妨设，则． 设，其中，， ， ，，且各项系数均为负．故在上恒成立， 即在上单调递减，又， 当时，，在上单调递减． 又，当时，又，且， ，即，则在上恒成立， 在上单调递减．，故，， 即也即，又， 得，且在上单调递减，可得， 即故成立  第4页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $