精品解析：云南曲靖市罗平县第一中学2025-2026学年高三下学期开学测验数学试题

绝密★启用前 云南曲靖市罗平县第一中学2025-2026学年高三下学期开学测验 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】易知，又， 所以. 2. 已知 ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当时，，所以， 当时，，即，所以或，则或， 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知定义在上的偶函数，满足，且当时，若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数性质可得函数的周期为4，再根据周期性和对称性及单调性即可判断大小. 【详解】因为是R上的偶函数，故； 由，令得，故的周期； 当时，，是增函数，故在上单调递增. 又因为，即. ，即,  由，得， 所以 ， 且，即. 即,且在上单调递增，所以,即. 4. 已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由前项和的定义及等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，， 所以， 即， 解得 或 ， 又因为，所以 . 5. 已知圆锥的底面半径为2，母线长为，则该圆锥的内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆半径， 设内切球半径为，内切球球心为I，连接. 则. 所以，解得， 则该圆锥的内切球的半径为 . 6. 袋子中有3个除颜色外完全一致的球，分别为红色、黄色、蓝色，小明从袋中有放回地随机摸球4次，则3种颜色的球都被摸出来的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】每次摸球有3种颜色可选，摸4次，结果总数（种）. 设A=“4次摸球中3种颜色都出现”，则 第一步：从3种颜色中选1种作为出现2次的颜色，有种选法； 第二步：从4次摸球中选2次摸该颜色，有种选法； 第三步：剩下2次摸另外2种颜色，有种排列方式. 因此，（种）. 于是，. 7. 定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的新定义求得，从而确定正确答案. 【详解】因为，， 所以， 故中元素的个数为. 故选：B. 8. 已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（ ） A. 2026 B. 1013 C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 【详解】因为且，所以， 因为，所以关于直线对称， 则原函数关于点对称，所以 所以， 令，则，即， 所以， 所以的周期为， 又，即，所以的周期也为， 由得， 由得，所以， 由得，所以， 又，所以， 所以， 所以， 又 ， 所以. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知G为的重心（三角形三条中线的交点），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】因为G为的重心，利用重心的性质依次判断ABCD即可. 【详解】G为的重心（三角形三条中线的交点）， ，而不一定相等， 故不能推出，A错误； 如图：设的中点分别为 则，，，B正确； ，； 同理可得,，C错误； ，D正确. 故选：BD 10. 正方体棱长为2，分别为、的中点，分别为线段、上的动点， 为所在平面内的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面交于点，则 C. 若 为中点，与平面所成的角相等，则 面积的最大值为 D. 若 点到平面的距离等于的长，则 点轨迹为椭圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据锥体的体积的求法判断A的真假；根据平面的性质确定点的位置，判断B的真假；分析 点在平面的轨迹，再求 面积的最大值，判断C的真假；利用椭圆的第二定义，判断D的真假. 【详解】如图： 对于A：设点 到平面的距离为， 则，且， 又，所以与点到平面的距离相等，故， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B：如图1，延长交的延长线于点，连接交于点，则点为平面与的交点． 因为 ，，所以四边形为平行四边形，所以． 又，所以，故，故B错误； 对于C：易知为 与平面所成的角，为与平面所成的角，由 为 中点，知， 以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 如图： 设， 则， 可得点 的轨迹方程为：（ ）， 所以，故C正确； 对于D: 方法一：以为原点建立空间直角坐标系， 如图： , 设平面的一个法向量为，则，取. 设，则， 所以 点到平面的距离， 因为，所以 点轨迹为椭圆. 方法二：作，垂足为，作，垂足为，连接， 如图： 设，则，，所以 点轨迹为椭圆. 故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 方程有三个不等实根 B. 是的一个极值点 C. 不等式 的解集为 D. 当时，恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】由于当时，，利用导数研究在的单调性，结合奇函数的性质依次判断A,B,C选项即可，对于D，将问题转化为验证，令​，结合导数研究其单调性以及值域情况即可求解. 【详解】选项A，函数是定义在上的奇函数，所以， 当时， 当时， ，则 选项 A，当时， ， 令， 则 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，所以对恒成立，在上单调递增； 因此时，只有一个根， 由奇函数性质可知当时，，所以是一个根， 又，所以的根为共三个不等实根，A 正确； 选项 B，由A可得在上单调递增，没有极值点，B 错误 选项 C， 当时单调递增，且，所以的解集为， 当时，是奇函数，等价于，即， 因为 ，且对应，即 ， 所以时，的解集为， 综上，不等式 的解集为，C 正确 选项 D，当时，恒成立 即证： 化简得： 即： 令​， ， 令， 则 所以在上单调递增， 由于，， 所以存在，使得，即，即 当时，，单调递减；当时，单调递增， 所以， 令， 则， 由于在上单调递减，则，所以在上单调递减，则， 所以， 则， 即当时，恒成立，故D 正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】由条件概率公式可知 . 13. 不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【详解】不等式，即，化简得， 等价于，解得， 所以不等式的解集. 14. 在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，设，两圆半径为，根据内切圆性质可构建关于、的方程，求出后再结合三角变换和正弦定理可求的长. 【详解】 由题设，两圆半径相等，设内切圆半径为. 设圆为的内切圆，该圆与的切点为， 圆为的内切圆，该圆与的切点为，则为的平分线. 因为，故， 故，故（负值舍去）， 同理， 设，则，， 故且， 所以，即， 故，故（负值舍去）. 故，而为锐角， 故，而，因 为锐角， 故，， 所以 ， 在中，由正弦定理可得， 故，故，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是 与的交点，设，，． （1）用向量，，表示向量，并求AO的长； （2）求异面直线AO与BC所成的角的余弦值． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的线性运算表示向量，再利用数量积的运算求向量的模. （2）利用空间向量求异面直线所成角的余弦值. 【小问1详解】 由题意可知：点O是 的中点，则， 所以，， 故，所以. 【小问2详解】 ，， ，，， 又因为，所以， 又易知，所以， 所以异面直线AO与BC所成的角的余弦值为． 16. 已知数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）若首项为3的数列满足，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，再利用，求解，最后验证 是否满足，即可得解. （2）先利用累加法求得，然后利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由题意可得，当时，； 当时，， 因为 满足上式，所以的通项公式为 ； 【小问2详解】 因为，且 ， 所以当时，， 当时， 也符合上式，所以， 所以， 所以 . 17. 近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 （1）求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： （2）从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 【答案】（1），很强的线性正相关关系 （2） X 80 150 210 P 【解析】 【小问1详解】 由题意，，， 则， 由， 同理， 则， 则， 由接近1且为正，故变量x与y之间有很强的线性正相关关系. 【小问2详解】 由题意，X的可能取值为80、150、210， 则，， ， 故X的分布列为： X 80 150 210 P 则. 18. 已知圆 ，点，对于圆上的点，按照如下方式构造点；过点作直线垂直于轴，为点在轴上的射影，点满足（为常数，），直线交于点，其中为坐标原点，点异于点． （1）若 ，求的坐标； （2）证明：数列为等比数列； （3）已知，设及的面积分别为，，若存在正整数 ，使得，求所有可能的值． 【答案】（1） （2）因为 ， ，， 所以 ， ， 由得或 因此，， 因为 ，即， 所以， 因此 ， 又 ，所以 ， 因此，即数列 为等比数列． （3） 或． 【解析】 【分析】（1）根据，代入坐标运算，即可求解； （2）根据向量关系，并联立直线和圆的方程，求得点的坐标，再根据等比数列的定义证明； （3）根据（2）的结果求通项公式，表示点和的坐标，并代入求，同时将条件等式变形为的形式表示，并构造函数，判断函数的单调性，分情况代入数值求. 【小问1详解】 因为 ， ，， 所以 ， ， 由得或 因此 ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，即， 于是， 注意到 ，因此， 由 ， ， 得 ， 因此， 因为 ， 所以 ，即， 设，，， 则， 因为，， 所以 ， 所以 ，即单调递增． 又 ，， 所以或2， 若，则 ，， 当 时， ， 因此或3， 当时，，解得 ， 当时，，解得． 若，则 ，， 当 时，， 因此， 所以，解得（舍）， 综上， 或． 19. 一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． （1）当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率 ； （2）当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件和互斥事件概率公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【小问1详解】 设1号乘客坐在号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为， 则， ，， ，， 所以. 【小问2详解】 随机变量所有可能的取值为0，1，2，4； ， ， ， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 云南曲靖市罗平县第一中学2025-2026学年高三下学期开学测验 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知定义在上的偶函数，满足，且当时，若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是等比数列，公比 ，前 项和为，满足，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 5. 已知圆锥的底面半径为2，母线长为，则该圆锥的内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 袋子中有3个除颜色外完全一致的球，分别为红色、黄色、蓝色，小明从袋中有放回地随机摸球4次，则3种颜色的球都被摸出来的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（ ） A. 2026 B. 1013 C. 1 D. -1 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知G为的重心（三角形三条中线的交点），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 正方体棱长为2，分别为、的中点，分别为线段、上的动点，为所在平面内的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面交于点，则 C. 若为中点，与平面所成的角相等，则 面积的最大值为 D. 若点到平面的距离等于的长，则点轨迹为椭圆 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 方程有三个不等实根 B. 是的一个极值点 C. 不等式 的解集为 D. 当时，恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件满足，则______. 13. 不等式的解集是______. 14. 在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是 与的交点，设，，． （1）用向量，，表示向量，并求AO的长； （2）求异面直线AO与BC所成的角的余弦值． 16. 已知数列的前 项和. （1）求的通项公式； （2）若首项为3的数列满足，求数列的前 项和 17. 近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 （1）求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： （2）从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 18. 已知圆 ，点，对于圆上的点，按照如下方式构造点；过点作直线垂直于轴，为点在轴上的射影，点满足（为常数，），直线交于点，其中为坐标原点，点异于点． （1）若 ，求的坐标； （2）证明：数列为等比数列； （3）已知，设及的面积分别为，，若存在正整数 ，使得，求所有可能的值． 19. 一辆汽车上有 个座位，编号从1到 ．现在编号为1到 的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． （1）当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率 ； （2）当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $