福建省莆田市城厢区南门学校2025-2026学年八年级下学期数学期中阶段测评试题

**基本信息** 融合《周髀算经》勾股定理史、《算法统宗》秋千问题等文化素材与网店利润计算等生活情境，通过基础（如平行四边形证明）、提升（如“倍矩形”探究）、创新（如图形剪拼）三层设计，考查二次根式、四边形、方程等知识，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次根式、一元二次方程、勾股定理|第3题以赵爽弦图等图形辨析勾股定理证明，渗透文化传承| |填空题|6/24|特殊四边形性质、方程根与系数关系|第14题正方形重叠面积计算，考查空间观念| |解答题|9/86|四边形综合、函数模型、图形变换|21题构建利润方程模型，24题通过剪拼探究矩形与正方形转化，25题从课本例题拓展正方形综合证明，体现知识迁移与创新思维|

南门学校八年级下学期数学期中阶段测评 （满分：150分：考试时间:120分钟） 注意：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上相应的位置。 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．若代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是（   ） A． B． C． D． 3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 4．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 5．在平行四边形中，，则的度数为 （ ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，以正五边形的边为边作正方形，延长交于点H，则的度数为（     ）.    A． B． C． D． 第7题 第8题 8．如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边形，对角线，，过点作于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 9．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为（    ）尺. A．10 B．12.5 C．14.5 D．16 10．如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　 ） A．2 B． C．1 D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。 11．如图，数轴上点表示的实数是_______． 12．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，若则 =________． 13．如图，矩形的对角线，相交于点，．．若，，则四边形的周长为______． 第11题 第12题 第13题 第14题 14．如图，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线的交点重合放置.若正方形A的面积为4，则阴影部分面积为________． 15．已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为_________． 16．如图，在中，，，为边上一动点，以为边作平行四边形，则对角线的最小值为___． 第15题 三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤。 17．（本题8分）计算：0 18．（本题8分）解方程： 19．（本题8分）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E、F为上的两点且． 求证： 20．（本题8分）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理，求需要绿化的空地的面积． 21．（本题8分）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1) （4分）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ (2) （4分）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 22．（本题10分）如图，在四边形的四条边上分别取，，，四点，顺次连接所得四边形为四边形的内接四边形． (1) （5分）如图，矩形，，点在线段上且，四边形是矩形的内接平行四边形，求的长度； (2) （5分）如图，平行四边形中，点在线段上，请你在图中画出平行四边形的内接菱形，点在边上；（尺规作图，保留痕迹） 23．（本题10分）从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究． 设原矩形长为，宽为． 【特例感知】（1）（4分）已知原矩形，，其2倍矩形长为______，宽为______； 【类比探究】（2）（3分）上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由； 【一般验证】（3）（3分）求证：无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在． 24．（本题12分）综合与实践 矩形和正方形是特殊的平行四边形，我们可以通过如下方式获得矩形和正方形． 【操作1】有一张三角形纸片，顶点分别是，，．部分数据如图①所示．如图②，分别在，上取点，，再沿过点，分别与垂直的虚线剪开，得到①，②，③三块，若这三块能拼接成如图③所示的矩形． (1) （4分）的长为 ；(2)求点到的距离； 【操作2】（4分）如图④，将沿，折叠后，点和点在点处重合，点落在点处．若四边形为正方形，，，求的面积； 【操作3】（4分）如图，在四边形中，，点，，，分别为四条边的中点，与的和为与之间距离的2倍． 嘉嘉说：我可以将四边形分成三块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形； 淇淇说：我可以将四边形分成四块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形． 请你帮嘉嘉、淇淇设计裁剪方式，使裁剪后的图形能够拼成一个正方形．（用虚线在图中画出裁剪线，在剪出的每一部分图形上标注序号，并画出拼接后的正方形，在正方形相应位置标注对应的序号） 嘉嘉的做法： 淇淇的做法： 25．（本题14分）【课本再现】人教版第88页第15题 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） 证明过程如下：取边中点G，连接．在正方形中， ∵E是边的中点，G是边的中点， ∴， ∴． ∵是正方形外角的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 【问题解决】 （1）（4分）如图1，四边形是正方形，E是边的任一点，，交正方形外角的平分线于点F，结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由； （2）（5分）如图2，连接AF交DC与点G.连接点EG，求证AG平分∠DGE； （3）（5分）如图3，连接正方形ABCD的对角线BD，交AF于H，请探究AB，DH，CF的数量关系，并证明． 答案第2页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 《南门学校八年级下学期数学期中阶段测评》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B B B D C B C C 11．． 12．/30度 13． 14． 15． 16． 17．2 18．（1）-4或2． 19．证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∴； 20．∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°， ∵AB=8，BC=17， ∴在Rt△ABC中，AC2+AB2=BC2， ∴AC2+82=172， ∴AC=15， 又∵CD=9，AD=12， ∴92+122=81+144=225=152， ∴CD2+AD2=AC2 即AD⊥C D， ∴S四边形ABCD=S△ABC+ S△ACD =×8×15+×9×12=114(m2)． 21．（1）解：降价8元，每件利润为（元）， 销售量为（件）， 利润为（元）， 答：降价8元，每天销售T恤衫的利润为1152元； （2）解：设每件T恤衫降价x元，则销售价为元， 每件利润为元， 销售量为件， 由题意得， 整理得， 解得， ∵优惠最大， ∴取， 销售价为（元）． 答：每件T恤衫的销售价应该定为75元． 22．（1）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，由（）知：， ∴， 作法：作，连接，再作的垂直平分线，交于，得四边形即为所求作的内接菱形； （3）解：如图，当与重合，则与重合时，此时的长最小，过作于， 在中， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 即当的长最短时，的长为． 23．解：（1）设其2倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 解得或（不符合题意，舍去）， 故答案为12，2； （2）不存在， 理由：设其倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴方程组无解， ∴不存在； （3）设其2倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程有解， 又，， ∴方程有正数解， ∴方程组有正数解， ∴无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在． 24．（1）解：根据题意可知，这三块能拼接成如图③所示的矩形， 即， ∴． （2）解：如解图，过点作于点， 在中，； 在中，， ∴， 即， 解得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴点到的距离为． （3）解：由折叠的性质，得，，， ∴， ∵四边形为正方形，，， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． （4）解：嘉嘉的方法： 淇淇的方法： 25．（1）解：（1），证明如下： 取的中点K，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，K为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②证明：延长，并在延长线上截取DH=BE，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴（）， ∴， 由①知， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴（）， ∴， ∴平分； （3）CF+2DH=​AB $