北京市北京学校、人大附中通州校区2025-2026学年下学期高二数学期中练习

北京学校、人大附中通州校区 2025~2026学年度第二学期 高二年级数学期中练习 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题．每小题4分，共40分．在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 2. 用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 18 D. 24 3. 已知随机变量的分布列如下表： 0 1 则随机变量的方差为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“对任意，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）． A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 6. 已知为函数的导函数，的图象的大致形状如图所示，则下列关于函数的信息，正确的是（ ） A. B. C. 在处取得最小值 D. 在处取得极小值 7. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位）与时间（单位）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时雨强（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为（ ） A. B. C. D. 8. 某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 函数是定义在上的偶函数．其图象如图所示，．设是的导函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 若曲线在点处的切线与直线平行，且对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在的展开式中，的系数为___________． 12. 已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，请举出一个有“巧值点”的函数___________． 13. 在10件产品中，有8件合格品，2件次品．从这10件产品中任意抽出3件检查，则抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有___________种． 14. 一个盒子里装有质地、大小和形状都相同的6个球，其中红球3个，黄球2个，白球1个．现从中任取两个球，记事件“取出的两球颜色不同”，事件“取出一个红球，一个白球”则___________． 15. 设函数，给出下列四个结论： ①函数的值域是； ②，方程恰有4个实数根： ③存在，使得： ④若实数，且． 则的最大值为． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. （1）已知二项式的展开式共有6项． ①求此二项展开所有项的二项式系数和； ②求此二项展开式中二项式系数最大的项． （2）已知．求的值． 17. 已知函数的图象过点，且． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间： （3）求函数在上的最大值和最小值． 18. 中秋晚会计划演出6个节目，其中歌曲、舞蹈和小品各2个 （1）求分别满足下列条件的节目单排法的种数： ①两个歌唱节目分别安排在开头和结尾； ②两个歌唱节目不相邻； ③两个歌唱节目相邻且两个舞蹈节目不相邻． （2）晚会定好节目单后，由于情况有变，需要增加魔术和机器人表演两个节目．但是不能改变原来节目的相对顺序，问新的节目演出顺序可能有多少种？ 19. 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）： 男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12； 女生：5，5，6，7，8，9，11，13． 假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立． （1）根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率； （2）现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求的分布列和数学期望； （3）现增加一名女生得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为．若女生的阅读量为8本，写出方差与的大小关系．（结论不要求证明） 20. 已知函数，． （1）当a＝1时，求函数的单调递增区间； （2）求函数的极值点； （3）当a>0时，判断函数的零点个数，并说明理由． 21. 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若对，都有恒成立，求的取值范围； （3）已知，若，且满足，使得，求证：． 北京学校、人大附中通州校区 2025~2026学年度第二学期 高二年级数学期中练习 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题．每小题4分，共40分．在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】B 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】(答案不唯一) 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】③④ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1）①②，（2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）的递减区间为，递增区间为， （3）最大值为、最小值为 【18题答案】 【答案】（1）①②③ （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 0 1 2 期望为 （3） 【20题答案】 【答案】（1）； （2）当时，函数无极值点； 当时，函数的极小值点为，无极大值点； （3）当时，函数没有零点；当时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点.理由如下： 由(2)知，当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当即时， ，由函数的单调性可知函数没有零点； 当即时， ，函数的单调性可知函数有1个零点； 当即时， ，又， 由零点存在性定理，存在，使得 令，则， 所以在单调递减，所以，所以 所以，由零点存在性定理，存在，使得 所以函数有2个零点. 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3） 因为，要证，只需证明， 由（2）可知，要证，只需证明， 因为，，且函数在区间上单调递增， 所以只需证明， 又因为，即证， 令， 即， 注意到， 因为， 则在上单调递减，所以在恒成立， 所以，即满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $