精品解析：北京市十一学校2025-2026学年高一下学期教与学诊断（期中考试）数学试卷

北京市十一学校2025-2026学年高一下学期教与学诊断（期中考试）数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 命题人：周晓玥 朱燕 石宜民 一、选择题（只有一个选项正确，每题4分，共32分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数图象的对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的最小正周期是．则在上的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 6. 函数在上的图像大致为 A. B. C. D. 7. 将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象．则在（ ）上单调递增． A. B. C. D. 8. 在△ABC中，若，则△ABC是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 二、填空题（每题5分，共50分） 9. 的定义域为_______________． 10. 已知为坐标原点，点的初始位置坐标为．线段OP绕点逆时针旋转后，点所在位置的坐标为______________． 11. 已知锐角满足．则______________． 12. 函数，的值域为________． 13. 关于的方程的解集为______________． 14. 若，，，则a，b，c的大小关系为_____________．（用“”连接） 15. 若，并且均为锐角，且，则________． 16. 已知函数的图象上相邻的最高点和最低点之间的距离，且在上单调递减，则实数的最大值为______________． 17. 已知，则________． 18. 已知函数，下列说法正确的是______________． ①，有成立； ②，使得； ③，有恒成立； ④的所有对称轴组成的集合为． 三、解答题（共68分） 19. 化简下列各式． （1）； （2）． 20. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求的对称轴方程； （3）若方程在有且仅有一个实根，求实数的取值范围． 21. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若，，求的值． 22. 某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 2 （1）填写表中的空格，并直接写出的解析式； （2）将图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象．若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围． 23. 对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则称． （1）写出集合和； （2）取，，写出两个中的元素、，使得； （3）证明：对任意，存在，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市十一学校2025-2026学年高一下学期教与学诊断（期中考试）数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 命题人：周晓玥 朱燕 石宜民 一、选择题（只有一个选项正确，每题4分，共32分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】因为，故. 2. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合:方程 的解为，因此． 集合:方程的解为，因此． 所有中的元素（偶数倍的 ）都属于，但 中存在不属于的元素（如等奇数倍的），因此 ． 3. 下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 4. 函数图象的对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 对于A，令，得，A错误； 对于B，令，得，B错误； 对于C，令，得，C正确； 对于D，令，得，D错误． 5. 已知函数的最小正周期是．则在上的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最小正周期求出，再根据余弦函数的单调性求解即可. 【详解】已知函数的最小正周期是， 则，则函数. 当，. 因为余弦函数在单调递减，因此函数在​时取最小值， 最小值为 ，即在区间的最小值为. 6. 函数在上的图像大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】由于，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除C选项.由于，所以排除D选项.由于，所以排除B选项. 故选A. 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性、特殊点，属于基础题. 7. 将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象．则在（ ）上单调递增． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角平移变换得，再整体还原求解函数单调递增区间即可； 【详解】函数， 所以将的图象向右平移个单位长度得， 再将所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到， 又 令，解得， 所以在上单调递增. 8. 在△ABC中，若，则△ABC是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和与差的余弦公式可得，再结合诱导公式化简计算得出结果． 【详解】因为 所以， 因为 则 又， 所以, 所以 所以. 又为△ABC的内角，所以. 所以，故△ABC为等腰三角形. 故选：C. 二、填空题（每题5分，共50分） 9. 的定义域为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，结合函数图象解出即可得. 【详解】由题意可得，故， 则， 即该函数定义域为. 10. 已知为坐标原点，点的初始位置坐标为．线段OP绕点逆时针旋转后，点所在位置的坐标为______________． 【答案】 【解析】 【分析】设点在角的终边上，根据任意角的三角函数的定义可得，再根据题意可知转动后点在角的终边上，且，根据正余弦的和角公式求出即可； 【详解】设点在角的终边上，又， 所以， 线段OP绕点逆时针旋转后，此时点在角的终边上，且， 所以此时点的横坐标为， 纵坐标为， 即点坐标为. 11. 已知锐角满足．则______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦差角公式即可求解. 【详解】由于是锐角，所以， 又因为，所以，， 则根据余弦差角公式得. 12. 函数，的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式将原函数化为，结合的范围求出的区间，再根据正弦函数的单调性与最值，确定的取值范围，进而得到的值域为． 【详解】， 由，得， 当，即时， ， 当，即时，， 所以函数的值域为． 13. 关于的方程的解集为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】结合余弦的二倍角公式将方程转化为，进一步转化为解方程即可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以或 显然无解； 方程的解为或 所以，原方程的解为或 14. 若，，，则a，b，c的大小关系为_____________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】的最小正周期为，先利用周期性把角度转化到同一个单调区间，再利用单调性比较大小． 【详解】，，， ，， ，， 在区间上单调递增， 因为， 所以，即． 15. 若，并且均为锐角，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意知，，，进而得，，再根据，结合余弦差角公式求得，最后根据余弦函数性质即可求得答案. 【详解】因为均为锐角，且，即， 所以，，， 所以 因为， 所以， ， 所以， 因为， 所以 16. 已知函数的图象上相邻的最高点和最低点之间的距离，且在上单调递减，则实数的最大值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，解得，再求函数单调递减区间得，根据题意得，再结合集合关系求得的范围即可得答案. 【详解】由题意知，函数最高点的纵坐标为,最低点的纵坐标为， 设函数的最小正周期为，则， 因为函数的图象上相邻的最高点和最低点之间的距离， 所以，即，解得， 所以， 令，解得， 即函数的单调递减区间为， 因为函数在上单调递减， 所以且，所以， 所以，解得，即， 所以实数的取值范围为，即实数的最大值为. 17. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用和，将原式化为关于的二次齐次式，再通过弦化切转化为关于的分式方程，结合分母不为零的条件解得，最后用正切二倍角公式求出的值． 【详解】由， 得， 即，化简得， 所以，解得， 所以． 18. 已知函数，下列说法正确的是______________． ①，有成立； ②，使得； ③，有恒成立； ④的所有对称轴组成的集合为． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】借助诱导公式可将原函数化简；对①：借助诱导公式计算是否等于即可得；对②：由，，可得存在，使得，即可举出符合要求的例子；对③：结合复合函数单调性计算即可得；对④：计算可得，即可得也是的对称轴. 【详解】； 对①： ，故，有成立，故①正确； 对②：， ， 又该函数连续，故存在，使得， 取，，由①知，，有成立， 故，故②正确； 对③：当时，单调递增，且， 由在上单调递减，故在上单调递减； 当时，单调递减，且， 由在上单调递增，故在上单调递减； 故在上单调递增， 故，有恒成立，故③正确； 对④： ，， 故也是的对称轴，故④错误. 三、解答题（共68分） 19. 化简下列各式． （1）； （2）． 【答案】（1）1； （2） 【解析】 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式． 20. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求的对称轴方程； （3）若方程在有且仅有一个实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图象可得出的值以及函数的最小正周期，可求出的值，结合以及的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式； （2）由可解得函数的对称轴方程； （3）由可得，由求出的取值范围，数形结合可得出关于的不等式，解之即可. 【小问1详解】 由图可知，函数的最小正周期为，又， 所以，所以， 因为，可得， 所以，则， 因为，故，因此. 【小问2详解】 由可得， 故函数的对称轴方程为. 【小问3详解】 由可得，即， 由可得， 令，则，如下图所示： 因为方程在有且仅有一个实根，则， 解得，即实数的取值范围是. 21. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若，，求的值． 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为． （2）最大值为，最小值为． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用平方展开、降幂公式和余弦和差公式，将原函数化简为标准正弦型函数，再根据正弦型函数的周期公式求最小正周期，结合正弦函数的单调区间列不等式，求解得到函数的单调递增区间． （2）由（1）的化简结果，先根据的区间确定内层函数的取值范围，再结合正弦函数在该区间内的单调性与最值点，分别计算出函数在区间上的最大值和最小值． （3）先由​求出的值，再根据​的范围确定的象限，求出其余弦值，最后利用余弦差角公式，将转化为，代入公式计算得出结果． 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期， 由，得， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 由（1）得， 由，得， 当，即时，， 当，即时，， 所以在区间上的最大值为，最小值为． 【小问3详解】 由，得， 因为，所以， 所以， 所以 ． 22. 某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 2 （1）填写表中的空格，并直接写出的解析式； （2）将图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象．若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； 0 0 2 0 0 （2）【解析】 【分析】（1）结合题意与正弦函数性质建立方程求解参数，得到函数解析式，再逐步求出函数值补全表格即可. （2）将给定式子转化为，再分别求解左右两侧的最小值，建立不等式，得到参数范围即可. 【小问1详解】 由题意得，则， 而，解得，，则解析式为， 当时，解得，此时， 当时，解得，此时， 当时，此时，则补全后的表格如下， 0 0 2 0 0 【小问2详解】 若存在，使得对任意， 都有成立， 则， 由已知得，因为， 所以，则， 得到，可得， 将图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍， 再将所得图象上各点向右平移个单位长度，可得， 则，且令， 则， 令，由二次函数性质得对称轴为， 由题意得，则，即， 当时，解得，此时在上单调递增， 且，得到，解得，矛盾，故排除； 当时，解得， 此时， 可得，解得，符合题意； 当时，解得，此时在上单调递减， 而，可得，解得，矛盾，故排除， 综上可得，实数的取值范围为. 23. 对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则称． （1）写出集合和； （2）取，，写出两个中的元素、，使得； （3）证明：对任意，存在，使得． 【答案】（1）， （2），（答案不唯一） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合与的公式，写出集合和即可； （2）设，由题意可得，由此可得出两个满足题设条件的元素、； （3）任取，设，令，只需证明，即可证明结论成立. 【小问1详解】 由题意得，． 【小问2详解】 设，由以及可得， 故满足题设条件的两个元素可以为，. 【小问3详解】 对任意，设， 则、、、均为非负整数，且． 令，则， 所以，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $