7.4 二项分布与超几何分布讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

本讲义聚焦高中数学“二项分布与超几何分布”核心知识点，系统梳理从n重伯努利试验、独立重复试验到二项分布的概念、概率公式及均值方差，再延伸至超几何分布的模型特征，构建完整知识支架。 资料以题型分层设计为特色，结合重阳节敬老、篮球投篮等生活实例，通过辨析练习培养数学思维与模型表达能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与问题解决能力。

第7章第4节 二项分布与超几何分布 题型1 n重伯努利试验与二项分布 题型2 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 题型3 二项分布的均值（数学期望）与方差 题型4 超几何分布 ▉题型1 n重伯努利试验与二项分布 【知识点的认识】 1、二项分布： 一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则 P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记 pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）． 2、独立重复试验： （1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验． （2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率． （3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的． （4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）pk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式． 【解题方法点拨】 独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样． 1．已知随机变量，则P（X≤1）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：随机变量， 则． 故选：D． 2．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有k名女性的可能性最大，则k的值为（　　） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 【答案】D 【解答】解：已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有k名女性的可能性最大， 抽到的女性人数为X，则， 若抽到k名女性的可能性最大，则 即解得8≤k≤9， 又k∈N+，故k＝8或9． 故选：D． 3．设随机变量X服从二项分布，则函数存在零点的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为函数存在零点， 则（2）2﹣4X≥0， 所以X≤5， 则P（X≤5）＝1﹣P（X＝6）＝1， 故选：C． 4．已知随机变量X～B（3，p），若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：随机变量X～B（3，p）， 则P（X＝k）， P（X＝2）+P（X＝3）2p3+3p2，， 令f（x）＝﹣2x3+3x2，， 则f'（x）＝﹣6x2+6x＞0，即f（x）在上单调递增， 当x时，f（x）取得最小值，当x＝1时，函数f（x）＝1， 故的取值范围是． 故选：B． 5．已知随机变量ξ～B（16，0.5），若ξ＝2η+3，则D（η）等于（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【解答】解：随机变量ξ～B（16，0.5）， ∴D（ξ）＝16×0.5×0.5＝4， ∵ξ＝2η+3，∴ηξ， ∴D（η）＝（）2D（ξ）1． 故选：A． （多选）6．随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，则（　　） A． B． C．E（X）＝E（Y） D．D（X）＝D（Y） 【答案】ABC 【解答】解：对于A：由X∼N（2，4），所以，故A正确； 对于B：由，所以，故B正确； 对于C：由，所以E（X）＝E（Y），故C正确； 对于D：由，所以D（X）＞D（Y），故D错误． 故选：ABC． （多选）7．下列说法正确的是（　　） A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B．对于随机事件A与B，若，P（B|A）＝0.7，则事件A与B独立 C．若随机变量X～B（6，p），E（X）＝4.8，若P（X＝k）最大，则D（kX+1）＝24 D．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则 【答案】BCD 【解答】解：对于A，把数据从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，因为10×70%＝7， 则这组数据的第70百分位数为，故A错误； 对于B，，又，所以P（AB）＝P（A）P（B），即事件A与B相互独立，故B正确； 对于C，因为随机变量X～B（6，p），所以E（X）＝np＝6p＝4.8，故p＝0.8，又，当P（X＝k）最大时，k＝5； 又D（X）＝np（1﹣p）＝6×0.8×（1﹣0.8）＝0.96， 此时D（kX+1）＝D（5X+1）＝52×D（X）＝25×0.96＝24，故C正确； 对于D，因为随机变量ξ服从正态分布N（0，1），所以正态曲线关于直线ξ＝0对称，又因为P（ξ＞1）＝p，所以P（ξ＜﹣1）＝p，所以，故D正确． 故选：BCD． （多选）8．下列命题中，正确的有（　　） A．若随机变量X～N（2，σ2），P（X＞1）＝0.68，则P（2≤X＜3）＝0.18 B．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第70%分是7 C．若随机变量，则 D．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.97，rB＝﹣0.99，则A组数据比B组数据的相关性较强 【答案】AC 【解答】解：对于A中，若随机变量X～N（2，σ2），且P（X＞1）＝0.68， 根据正态分布曲线的对称性，可得P（X＞3）＝1﹣0.68＝0.32， 所以P（2≤X＜3）＝0.5﹣0.34＝0.18，所以A正确； 对于B中，数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共有10个数据， 则10×70%＝7，所以数据的70%分位数为，所以B不正确； 对于C中，若随机变量，可得，所以C正确； 对于D中，若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.97，rB＝﹣0.99， 因为|rA|＜|rB|，所以B组数据比A组数据的相关性较强，所以D不正确． 故选：AC． 9．5个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，检验后放回，连续抽检3次，则抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：用X表示3次抽检中抽到次品的次数，则X是一个随机变量， 每次抽检抽到次品的概率为，由题意知，故连续抽检3次， 记抽到次品的概率为p，抽到正品的概率为q，则，， 抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为． 故答案为：． 10．已知随机变量X～N（μ，σ2），Y～B（8，p），且，则p＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为随机变量X～N（μ，σ2），且， 所以μ＝3，即E（X）＝3， 因为Y～B（8，p）， 所以E（Y）＝8p， 因为E（X）＝E（Y）， 所以8p＝3， 解得． 故答案为：． ▉题型2 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 【知识点的认识】 一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq． 【解题方法点拨】 例：在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则随机事件A在一次试验中发生的概率的范围是 　　 ． 解：由题设知p（1﹣p）2p2（1﹣p）， 解p≤1， 故答案为：[，1]． 本题是典型的对本知识点进行考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比较简单的题型一般出现在选择填空题中． 11．一质点在数轴上从原点出发连续跳动，其中第i（i∈N*）次向右或向左跳动i个单位长度，每次向右跳动的概率为，向左跳动的概率为，若某次跳动后距离原点不小于3个单位长度即停止跳动，则恰好跳动4次后停止跳动的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：恰好跳动4次后停止跳动，则前4次跳动的方向依次为左右左左，或右左右右， 因为每次向右跳动的概率为，向左跳动的概率为， 所以所求概率为． 故选：D． 12．某篮球爱好者每次投3分篮投中的概率为0.8，他连续投3次，得分为6分的概率是（　　） A．0.64 B．0.512 C．0.384 D．0.128 【答案】C 【解答】解：篮球爱好者投3分篮3次得6分，则其投中2次， 又因为每次投3分篮投中的概率为0.8， 所以得分为6分的概率为0.384． 故选：C． （多选）13．某人忘记了一个电话号码的最后一位数字，若他随意地拨号，则下列说法中正确的是（　　） A．第1次就接通电话的概率是 B．若已知最后一位数字是奇数，则第1次就接通电话的概率是 C．拨号不超过3次接通电话的概率是 D．若已知最后一位数字是奇数，则拨号不超过3次就接通电话的概率是 【答案】ACD 【解答】解：第1次就接通电话的概率是，故A正确， 若已知最后一位数字是奇数， 则第1次就接通电话的概率是，故B错误， 拨号不超过3次接通电话的概率是，故C正确， 若已知最后一位数字是奇数，则拨号不超过3次就接通电话的概率是，故D正确． 故选：ACD． 14．在一个盒子中装有4张卡片，卡片上的编号依次为1，2，3，4，现从中有放回地抽取m次卡片，每次仅抽取1张，记这m次抽取的卡片的最大编号为X，则使得成立的最小的m的值为　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：因为 所以 ， 由，得， 令， 则f（m）在m∈N*时单调递减， 又， 所以m的最小值为3． 故答案为：3． 15．已知A，B，C3人进行射击比赛，且A，B，C一次射击命中10环的概率分别为0.9，0.9，0.95，若他们每人射击一次，则至少有2人命中10环的概率为 　0.981　 ． 【答案】0.981． 【解答】解：3人中至少有2人命中10环，即2人命中10环或3人命中10环， 所求的概率为P＝0.9×0.9×（1﹣0.95）+2×（1﹣0.9）×0.9×0.95+0.9×0.9×0.95＝0.981． 故答案为：0.981． 16．某射手每次射击命中目标的概率均为0.9，且各次射击结果相互独立．若该射手射击5次，则恰好命中3次的概率为 　0.0729　 ．（用数字作答） 【答案】0.0729． 【解答】解：某射手每次射击命中目标的概率均为0.9，且各次射击结果相互独立， 该射手射击5次，设X＝“该射手射击5次命中次数”， 则恰好命中3次的概率为： ． 故答案为：0.0729． 17．某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，恰好投进3个球的概率为　　 .（用数值作答） 【答案】． 【解答】解：篮球运动员投球的命中率是， 则投球4次，恰好投进3个球的概率为． 故答案为：． 18．某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛．已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m道试题的概率为f（m），则当m＝　13或14　 时，f（m）取得最大值． 【答案】13或14． 【解答】解：由题意得，且m∈N， 则， 故， 又因为m∈N， 所以m＝13或m＝14， 即当m＝13或m＝14时，f（m）取得最大值． 故答案为：13或14． 19．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P（ξ＝4）＝　　 ． 【答案】 【解答】解：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验， 故ξ～B（5，）． 即有P（ξ＝k）（）k×（）5﹣k，k＝0，1，2，3，4，5． ∴P（ξ＝4）（）4×（）1． 故答案为： 20．某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为． （1）求比赛三局甲获胜的概率； （2）求甲获胜的概率； （3）设甲比赛的次数为X，求X的数学期望． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：记甲n局获胜的概率为 Pn，n＝3，4，5， （1）比赛三局甲获胜的概率是：P3； （2）比赛四局甲获胜的概率是：P4； 比赛五局甲获胜的概率是：P5； 甲获胜的概率是：P3+P4+P5． （3）记乙n局获胜的概率为 Pn′，n＝3，4，5． P3′，P4′；P5′； 故甲比赛次数的分布列为： X 3 4 5 P（X） P3+P3′ P4+P4′ P5+P5′ 所以甲比赛次数的数学期望是：EX＝3（）+4（）+5（ ）． ▉题型3 二项分布的均值（数学期望）与方差 【知识点的认识】 二项分布： 一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则 P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记 pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）． ﹣均值（数学期望）：，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率． ﹣方差：． 【解题方法点拨】 ﹣使用二项分布的均值和方差公式来计算相关概率分布的期望和方差． 21．统计与概率在数学领域中有重要的应用价值，下列说法正确的是（　　） A．相关系数r的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 B．甲、乙两箱中均装有红、白两种颜色的球，小球除颜色外完全相同，甲箱中有8颗红球，2颗白球，分别从甲箱和乙箱中摸一个球，在甲箱中摸出白球的情况下乙箱摸出红球的概率为，则乙箱中红、白两种球数量不相等 C．离散型随机变量X服从二项分布，记作X～B（50，0.2），则D（X）＝8 D．离散型随机变量X服从超几何分布，记作X～H（6，4，9），变量Y＝2X+1，则E（Y）＝13 【答案】C 【解答】解：对于A，相关系数r的绝对值越接近于0，两个变量之间的线性相关性越弱，故A错误； 对于B，根据题意，甲乙中摸出哪种颜色的球互不影响，即相互独立，若在甲箱中摸出白球的情况下乙箱摸出红球的概率为， 则乙箱中白球，红球数量相等，故B错误； 对于C，离散型随机变量X服从二项分布，记作X～B（50，0.2），则D（X）＝np（1﹣p）＝8，故C正确； 对于D，离散型随机变量X服从超几何分布，记作X～H（6，4，9）， 则E（X）， 又变量Y＝2X+1，则E（Y）＝E（2X+1）＝2E（X）+1＝2，故D错误． 故选：C． 22．某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为X，且X服从二项分布，则以下说法错误的是（　　） A． B． C．E（4X+1）＝10 D． 【答案】D 【解答】解：因为X～， 所以E（X）＝9，D（X）＝9， 故A正确，B正确； 所以E（4X+1）＝4E（X）+1＝410，故C正确； 所以P（X＝2），故D错误． 故选：D． 23．已知随机变量X～B（n，p），且E（X）＝12，D（X），当P（X＝i）取得最大值时，i＝（　　） A．12或13 B．13 C．11或12 D．12 【答案】D 【解答】解：由题意可知，np＝12，， 解得n＝20，， 若P（X＝i） 取得最大值， 则， 解得， 又i∈N*，所以i＝12． 故选：D． 24．已知随机变量ξ～B（16，p），则“D（ξ）＝3”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：因为随机变量ξ∼B（16，p）， 所以D（ξ）＝16p（1﹣p）， 若D（ξ）＝3，则16p（1﹣p）＝3， 解得或， 所以“D（ξ）＝3”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 25．若投掷一枚图钉，每次针尖向上的概率都是，连续投掷3次，记针尖向上的次数为随机变量X，则（　　） A． B． C．E（2X+1）＝3 D． 【答案】C 【解答】解：因为， 所以P（X＝2），故A错误； ，故B错误； ，， 所以E（2X+1）＝2×1+1＝3，，故C正确，D错误． 故选：C． 26．设随机变量，且E（X）＞1．若8名党员中有名男党员，从这8人中选4名代表，记选出的代表中男党员人数为Y，则P（Y＝3）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为， 则，解得或， 又因为E（X）＝3p＞1， 则， 可得， 则， 所以． 故选：A． 27．已知随机变量X～B（n，p），若D（2X）＝2E（X），则p＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：随机变量X～B（n，p），D（2X）＝2E（X）， 则4D（X）＝2E（X），即2D（X）＝E（X）， 故2np（1﹣p）＝np，解得p． 故选：D． 28．已知随机变量X服从二项分布B（5，0.4），则E（X）＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：随机变量X服从二项分布B（5，0.4）， 则E（X）＝5×0.4＝2． 故选：B． 29．甲同学每次投篮命中的概率为p，在投篮6次的实验中，命中次数X的均值为2.4，则X的方差为（　　） A．1.24 B．1.44 C．1.2 D．0.96 【答案】B 【解答】解：根据题意可得命中次数X服从二项分布，即X～B（6，p）， 即可得均值为E（X）＝6p＝2.4， 解得p＝0.4， 所以X的方差为D（X）＝6×0.4×（1﹣0.4）＝1.44． 故选：B． （多选）30．已知随机变量，则（　　） A． B．当P（X＝k）取最大值时，k＝5 C．E（2X+2）＝10 D．D（2X）＝10 【答案】ABD 【解答】解：随机变量， ， 对于A，，故A正确； 对于B，，由二项式系数的性质， 当k＝5时，是中的最大值，此时P（X＝k）取得最大值，故B正确； ∵，∴E（2X+2）＝2E（X）+2＝12， ，则，故C错误，D正确． 故选：ABD． ▉题型4 超几何分布 【知识点的认识】 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P（X＝K），k＝m，m+1，m+2，...，r． 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N+M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 【解题方法点拨】 超几何分布的求解步骤： （1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否有冥想的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分． （2）算概率：可以直接借助公式，也可利用排列、组合及概率知识求解． （3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来． 31．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（　　） A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为X C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X 【答案】B 【解答】解：对于A，将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X，则X服从二项分布； 对于B，从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，选出女生的人数为X，则X服从超几何分布； 对于C，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X，则X服从二项分布； 对于D，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是第一次摸出黑球时的次数，则X不服从超几何分布． 故选：B． （多选）32．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为14、21、14，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行某项兴趣调查．已知抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3人做进一步的深入访谈，用X表示抽取的3人中感兴趣的学生人数，则（　　） A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人 B．随机变量 C．随机变量X的数学期望为 D．若事件A＝“抽取的3人都感兴趣”，则 【答案】AC 【解答】解：因为甲、乙、丙三个社团的人数之比为14：21：14＝2：3：2， 所以用分层抽样的方法从三个社团中抽取7人，则各组中抽取的人数分别为2，3，2，所以A选项正确； 因为抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣， 所以抽取的3人中感兴趣的学生人数X～H（3，5，7），所以B选项错误； 所以X的数学期望为E（X），所以C选项正确； 若事件A＝“抽取的3人都感兴趣”，则P（A），所以D选项错误． 故选：AC． （多选）33．一个袋子中装有N（N＝5n，n∈N*）个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比40%．现从袋子中随机摸出3个球，用X，Y分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数．则（　　） A．E（X）＝E（Y） B．若N＝20，则 C．若N＝20，则 D．∀N＝5n，n∈N*，P（X＝2）＞P（Y＝2） 【答案】ABD 【解答】解：对于A，A正确； 对于B，N＝20，，B正确； 对于C，N＝20，，C错误； 对于D，，， ，因此∀N＝5n，n∈N*，P（X＝2）＞P（Y＝2），D正确． 故选：ABD． （多选）34．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（　　） A．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分，则X服从超几何分布 B．若X表示取出的黑球的个数，则X服从超几何分布 C．若X表示取出白球的个数，则 D．若X表示取出黑球的个数，则P（X≥3） 【答案】BD 【解答】解：对于A，B，均根据超几何分布的定义可得，故A错误，B正确； 对于C，P（X＝2），故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD． 35．一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则P（X＝1）＝ 　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意可知，批产品共有7件，其中5件正品，2件次品， 根据超几何分布的概率公式，可知． 故答案为：． 36．从含有6件正品和4件次品的正品中任取3件，记X为所抽取的次品数，则E（X）＝　　 ． 【答案】 【解答】解：X的所有可能取值为0，1，2，3， 则， 故． 故答案为：． 37．幸福农场生产的某批次20件产品中含有n（3≤n≤13）件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件． （1）若n＝3，求取出的产品中次品不超过1件的概率； （2）记f（n）＝P（X＝3），则当n为何值时，f（n）取得最大值． 【答案】（1）取出的产品中次品不超过1件的概率是；（2）当n＝6时，f（n）取得最大值． 【解答】解：（1）记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A， 则P（A）＝P（X＝0）+P（X＝1） C ； 即取出的产品中次品不超过1件的概率是； （2）∵， ∵f（n﹣1）； 若1， 则n（14﹣n）＞（n﹣3）（21﹣n）， 解得n＜6.3； 故当n＜6.3时，f（n）＞f（n﹣1）；当n＞6.3时，f（n）＜f（n﹣1）； 故当n＝6时，f（n）取得最大值． 即当n＝6时，f（n）取得最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章第4节 二项分布与超几何分布 题型1 n重伯努利试验与二项分布 题型2 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 题型3 二项分布的均值（数学期望）与方差 题型4 超几何分布 ▉题型1 n重伯努利试验与二项分布 【知识点的认识】 1、二项分布： 一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则 P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记 pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）． 2、独立重复试验： （1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验． （2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率． （3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的． （4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）pk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式． 【解题方法点拨】 独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样． 1．已知随机变量，则P（X≤1）＝（　　） A． B． C． D． 2．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有k名女性的可能性最大，则k的值为（　　） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 3．设随机变量X服从二项分布，则函数存在零点的概率是（　　） A． B． C． D． 4．已知随机变量X～B（3，p），若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知随机变量ξ～B（16，0.5），若ξ＝2η+3，则D（η）等于（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 （多选）6．随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，则（　　） A． B． C．E（X）＝E（Y） D．D（X）＝D（Y） （多选）7．下列说法正确的是（　　） A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B．对于随机事件A与B，若，P（B|A）＝0.7，则事件A与B独立 C．若随机变量X～B（6，p），E（X）＝4.8，若P（X＝k）最大，则D（kX+1）＝24 D．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则 （多选）8．下列命题中，正确的有（　　） A．若随机变量X～N（2，σ2），P（X＞1）＝0.68，则P（2≤X＜3）＝0.18 B．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第70%分是7 C．若随机变量，则 D．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.97，rB＝﹣0.99，则A组数据比B组数据的相关性较强 9．5个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，检验后放回，连续抽检3次，则抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为 　　 ． 10．已知随机变量X～N（μ，σ2），Y～B（8，p），且，则p＝　　 ． ▉题型2 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 【知识点的认识】 一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq． 【解题方法点拨】 例：在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则随机事件A在一次试验中发生的概率的范围是 　　 ． 解：由题设知p（1﹣p）2p2（1﹣p）， 解p≤1， 故答案为：[，1]． 本题是典型的对本知识点进行考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比较简单的题型一般出现在选择填空题中． 11．一质点在数轴上从原点出发连续跳动，其中第i（i∈N*）次向右或向左跳动i个单位长度，每次向右跳动的概率为，向左跳动的概率为，若某次跳动后距离原点不小于3个单位长度即停止跳动，则恰好跳动4次后停止跳动的概率为（　　） A． B． C． D． 12．某篮球爱好者每次投3分篮投中的概率为0.8，他连续投3次，得分为6分的概率是（　　） A．0.64 B．0.512 C．0.384 D．0.128 （多选）13．某人忘记了一个电话号码的最后一位数字，若他随意地拨号，则下列说法中正确的是（　　） A．第1次就接通电话的概率是 B．若已知最后一位数字是奇数，则第1次就接通电话的概率是 C．拨号不超过3次接通电话的概率是 D．若已知最后一位数字是奇数，则拨号不超过3次就接通电话的概率是 14．在一个盒子中装有4张卡片，卡片上的编号依次为1，2，3，4，现从中有放回地抽取m次卡片，每次仅抽取1张，记这m次抽取的卡片的最大编号为X，则使得成立的最小的m的值为　　 ． 15．已知A，B，C3人进行射击比赛，且A，B，C一次射击命中10环的概率分别为0.9，0.9，0.95，若他们每人射击一次，则至少有2人命中10环的概率为 　　 ． 16．某射手每次射击命中目标的概率均为0.9，且各次射击结果相互独立．若该射手射击5次，则恰好命中3次的概率为 　　 ．（用数字作答） 17．某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，恰好投进3个球的概率为　　 .（用数值作答） 18．某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛．已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m道试题的概率为f（m），则当m＝　　 时，f（m）取得最大值． 19．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P（ξ＝4）＝　　 ． 20．某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为． （1）求比赛三局甲获胜的概率； （2）求甲获胜的概率； （3）设甲比赛的次数为X，求X的数学期望． ▉题型3 二项分布的均值（数学期望）与方差 【知识点的认识】 二项分布： 一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则 P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记 pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）． ﹣均值（数学期望）：，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率． ﹣方差：． 【解题方法点拨】 ﹣使用二项分布的均值和方差公式来计算相关概率分布的期望和方差． 21．统计与概率在数学领域中有重要的应用价值，下列说法正确的是（　　） A．相关系数r的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 B．甲、乙两箱中均装有红、白两种颜色的球，小球除颜色外完全相同，甲箱中有8颗红球，2颗白球，分别从甲箱和乙箱中摸一个球，在甲箱中摸出白球的情况下乙箱摸出红球的概率为，则乙箱中红、白两种球数量不相等 C．离散型随机变量X服从二项分布，记作X～B（50，0.2），则D（X）＝8 D．离散型随机变量X服从超几何分布，记作X～H（6，4，9），变量Y＝2X+1，则E（Y）＝13 22．某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为X，且X服从二项分布，则以下说法错误的是（　　） A． B． C．E（4X+1）＝10 D． 23．已知随机变量X～B（n，p），且E（X）＝12，D（X），当P（X＝i）取得最大值时，i＝（　　） A．12或13 B．13 C．11或12 D．12 24．已知随机变量ξ～B（16，p），则“D（ξ）＝3”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．若投掷一枚图钉，每次针尖向上的概率都是，连续投掷3次，记针尖向上的次数为随机变量X，则（　　） A． B． C．E（2X+1）＝3 D． 26．设随机变量，且E（X）＞1．若8名党员中有名男党员，从这8人中选4名代表，记选出的代表中男党员人数为Y，则P（Y＝3）＝（　　） A． B． C． D． 27．已知随机变量X～B（n，p），若D（2X）＝2E（X），则p＝（　　） A． B． C． D． 28．已知随机变量X服从二项分布B（5，0.4），则E（X）＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 29．甲同学每次投篮命中的概率为p，在投篮6次的实验中，命中次数X的均值为2.4，则X的方差为（　　） A．1.24 B．1.44 C．1.2 D．0.96 （多选）30．已知随机变量，则（　　） A． B．当P（X＝k）取最大值时，k＝5 C．E（2X+2）＝10 D．D（2X）＝10 ▉题型4 超几何分布 【知识点的认识】 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P（X＝K），k＝m，m+1，m+2，...，r． 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N+M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 【解题方法点拨】 超几何分布的求解步骤： （1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否有冥想的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分． （2）算概率：可以直接借助公式，也可利用排列、组合及概率知识求解． （3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来． 31．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（　　） A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为X C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X （多选）32．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为14、21、14，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行某项兴趣调查．已知抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3人做进一步的深入访谈，用X表示抽取的3人中感兴趣的学生人数，则（　　） A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人 B．随机变量 C．随机变量X的数学期望为 D．若事件A＝“抽取的3人都感兴趣”，则 （多选）33．一个袋子中装有N（N＝5n，n∈N*）个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比40%．现从袋子中随机摸出3个球，用X，Y分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数．则（　　） A．E（X）＝E（Y） B．若N＝20，则 C．若N＝20，则 D．∀N＝5n，n∈N*，P（X＝2）＞P（Y＝2） （多选）34．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（　　） A．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分，则X服从超几何分布 B．若X表示取出的黑球的个数，则X服从超几何分布 C．若X表示取出白球的个数，则 D．若X表示取出黑球的个数，则P（X≥3） 35．一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则P（X＝1）＝ 　　 ． 36．从含有6件正品和4件次品的正品中任取3件，记X为所抽取的次品数，则E（X）＝　 ． 37．幸福农场生产的某批次20件产品中含有n（3≤n≤13）件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件． （1）若n＝3，求取出的产品中次品不超过1件的概率； （2）记f（n）＝P（X＝3），则当n为何值时，f（n）取得最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $