7.1 条件概率与全概率公式讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

本讲义聚焦高中数学“条件概率与全概率公式”核心知识点，从条件概率的定义与计算切入，通过乘法公式建立交事件概率关系，再以全概率公式整合多原因事件概率，最终用贝叶斯公式实现逆概率推理，构建递进式学习支架。 资料以题型为导向，结合航展参观、AI视频鉴定等生活实例设计练习题，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过逻辑递进的题型培养推理能力（数学思维），用概率公式精准表达数量关系（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过实例巩固，查漏补缺。

第7章第1节 条件概率与全概率公式 题型1 求解条件概率 题型2 条件概率乘法公式及应用 题型3 全概率公式 题型4 贝叶斯公式 ▉题型1 求解条件概率 【知识点的认识】 ﹣条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记作P（A|B）． ﹣计算：其中P（B）＞0． 【解题方法点拨】 ﹣计算条件概率时，确定事件B的发生对事件A的影响，通过交事件的概率和条件事件的概率进行计算． 1．已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A． B． C． D． 2．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则P（B|A）＝（　　） A． B． C． D． 3．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则P（B|A）＝（　　） A． B． C． D． 4．第15届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有1人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（　　） A． B． C． D． 5．从编号1～7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则P（B|A）＝（　　） A． B． C． D． 6．甲、乙两个科研小组，针对某技术难题同时进行科研攻关，已知甲、乙两个小组攻克该技术难题的概率分别为，且两个小组各自独立进行科研攻关，在该技术难题被攻破的前提条件下，甲科研小组攻破了该技术难题的概率为（　　） A． B． C． D． 7．已知随机事件A，B互相独立，满足，，则（　　） A． B． C． D． 8．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.1．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.9，即在该视频是伪造的情况下，它有90%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.4，即在该视频是真实的情况下，它有40%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 ▉题型2 条件概率乘法公式及应用 【知识点的认识】 ﹣条件概率乘法公式：． 【解题方法点拨】 ﹣使用条件概率乘法公式计算交事件的概率，适用于涉及条件概率的复合事件问题． 9．已知事件A，B满足P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则（　　） A．若B⊆A，则P（AB）＝0.5 B．若A与B互斥，则P（A+B）＝0.7 C．若A与B相互独立，则 D．若P（B|A）＝0.2，则A与B不相互独立 10．已知随机事件A，B满足：，，则下列选项错误的是（　　） A．若，则A与B相互独立 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B互斥，则 D．若，则 11．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（　　） A． B． C． D． 12．若，则P（A|B）＝（　　） A． B． C． D． 13．已知P（B|A），P（A），则P（A∩B）＝（　　） A． B． C． D． （多选）14．已知随机事件A，B满足，，P（B|A）＝P（B），则（　　） A．事件A与事件B相互独立 B． C． D． （多选）15．设A，B为随机事件，且P（A），P（B）是A，B发生的概率．P（A），P（B）∈（0，1），则下列说法正确的是（　　） A．若A，B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B） B．若P（AB）＝P（A）P（B），则A，B相互独立 C．若A，B互斥，则A，B相互独立 D．与相等 （多选）16．已知分别为随机事件A，B的对立事件，P（A）＞0，P（B）＞0，则下列说法正确的是（　　） A． B．P（AB）≤P（B|A） C．若A，B独立，则P（A|B）＝P（A） D．若A，B互斥，则P（A|B）+P（B|A）＝1 （多选）17．下列说法中错误的是（　　） A．P（B|A）＝P（A|B） B．P（（B∪C）|A）＝P（B|A）+P（C|A） C．P（AB）＝P（B|A）•P（A） D．P（B|A）•P（A）≥P（A）+P（B） 18．设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，则P（A）＝ 　　 ． ▉题型3 全概率公式 【知识点的认识】 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 P（B）． 19．跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（　　） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 20．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测．依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示．若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（　　） A． B． C． D． 21．已知，，，则P（N）＝（　　） A． B． C． D． 22．志愿者甲参加第21届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（　　） A． B． C． D． 23．甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（　　） A． B． C． D． 24．某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为，则智能客服的回答被采纳的概率为（　　） A． B． C． D． 25．甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动．已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9．若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（　　） A． B． C． D． ▉题型4 贝叶斯公式 【知识点的认识】 贝叶斯公式：若事件A1，A2，…，构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任何一个不为零的时间B，都有： ． 【解题方法点拨】 贝叶斯公式和全概率公式的联系： （1）各原因下条件概率已知，用全概率公式求事件发生概率； （2）事件已发生，求是某种原因造成的概率，用贝叶斯公式． 26．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01．今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（　　） A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8 （多选）27．下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． （多选）28．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A、B存在如下关系，P（A|B）．某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6，如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（　　） A．第二天去甲餐厅的概率为0.54 B．第二天去乙餐厅的概率为0.44 C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 （多选）29．若某市场销售的某种产品中，甲品牌、乙品牌的市场占有比例为2：8，优质品率分别为40%、90%，在该市场中任意买一件这种产品，则下列结论中正确的有（　　） A．买到的是甲品牌产品的概率为0.2 B．若已知买到的产品是乙品牌，则这件产品是优质品的概率是0.9 C．买到的是优质品的概率为0.8 D．若已知买到的是优质品，则这件产品是甲品牌的概率是0.5 30．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是 　　 ；如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率是 　　 ． 31．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为 　　 ． 32．假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和0.2．由于随机干扰，当传送信号0时，接收到信号为0的概率为0.8，当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9．求： （1）当接收到信号0时传送的信号是0的概率； （2）在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在n次传递中，0出现的次数为X，求E（X）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章第1节 条件概率与全概率公式 题型1 求解条件概率 题型2 条件概率乘法公式及应用 题型3 全概率公式 题型4 贝叶斯公式 ▉题型1 求解条件概率 【知识点的认识】 ﹣条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记作P（A|B）． ﹣计算：其中P（B）＞0． 【解题方法点拨】 ﹣计算条件概率时，确定事件B的发生对事件A的影响，通过交事件的概率和条件事件的概率进行计算． 1．已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意，P（B），则P（）＝1﹣P（B）， 又由P（A|），则P（A）＝P（）P（A|）， 而P（A），则P（AB）＝P（A）﹣P（A）， 而P（B），则P（B）＝P（B）﹣P（AB）， 故P（B|）． 故选：C． 2．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则P（B|A）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对（x，y）， 则总共有6×6＝36种可能，所以事件A包含的样本点个数有3×6＝18， 所以， 事件AB包含的基本事件有：（1，5），（3，3），（5，1）， 所以， 所以． 故选：A． 3．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则P（B|A）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对（x，y），则总共有6×6＝36种可能， 设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8， 所以事件A包含的样本点有3×6＝18个， 事件B包含的基本事件有：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）， 事件AB包含的基本事件有：（3，5），（5，3）， 所以，， 所以． 故选：D． 4．第15届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有1人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意，设事件A＝甲参观珠海国际航展中心，事件B＝甲与乙不到同一观展区， 航展共开辟了三处观展区，每人只能随机去一个展区，则， 因为每个观展区至少有1人，每人只参观一个观展区， 则先将4个人分为3组，再将这三组分配给三个展区， 基本事件的总数为， 若事件A、B同时发生，即甲参观珠海国际航展中心而乙没有参观珠海国际航展中心， 分2种情况讨论： 若参观珠海国际航展中心有2人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的参观情况种数为， 若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区， 此时，不同的参观情况种数为种， 因此，， 由条件概率公式可得． 故选：A． 5．从编号1～7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则P（B|A）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：第一次抽到3或6的概率为P（A）， 当第一次抽到3时：第二次可抽4，5，6，7，共4种情况； 当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况， 所以， ． 故选：A． 6．甲、乙两个科研小组，针对某技术难题同时进行科研攻关，已知甲、乙两个小组攻克该技术难题的概率分别为，且两个小组各自独立进行科研攻关，在该技术难题被攻破的前提条件下，甲科研小组攻破了该技术难题的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意，设事件A＝“甲科研小组攻破了该技术难题”，B＝“该技术难题被攻破”， 易得A⊆B，则P（AB）＝P（A）， P（B）， 故P（A|B）． 故选：A． 7．已知随机事件A，B互相独立，满足，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为随机事件A，B互相独立，所以P（A|B）＝P（A）， 因为P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB） ＝P（A）+P（B）﹣P（A）P（B） ，解得P（B）， 因为事件A，B互相独立，则事件A与也相互独立， 所以P（|A）＝P（）＝1． 故选：A． 8．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.1．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.9，即在该视频是伪造的情况下，它有90%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.4，即在该视频是真实的情况下，它有40%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【解答】解：根据题意，记“视频是AI合成”为事件A，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则P（A）＝0.1，P（）＝1﹣P（A）＝0.9， P（B|A）＝0.9，P（B|）＝0.4， 则P（B）＝P（A）×P（B|A）+P（）×P（B|）＝0.1×0.9+0.9×0.4＝0.45， P（AB）＝P（A）×P（B|A）＝0.1×0.9＝0.09， 由贝叶斯公式得：P（A|B）0.2． 故选：B． ▉题型2 条件概率乘法公式及应用 【知识点的认识】 ﹣条件概率乘法公式：． 【解题方法点拨】 ﹣使用条件概率乘法公式计算交事件的概率，适用于涉及条件概率的复合事件问题． 9．已知事件A，B满足P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则（　　） A．若B⊆A，则P（AB）＝0.5 B．若A与B互斥，则P（A+B）＝0.7 C．若A与B相互独立，则 D．若P（B|A）＝0.2，则A与B不相互独立 【答案】B 【解答】解：对于A，若B⊆A，则P（AB）＝P（B）＝0.2，所以A错误； 对于B，若A与B互斥，则P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.7，所以B正确； 对于C，若A与B相互独立，可得与相互独立， 所以，所以C错误； 对于D，由P（B|A）＝0.2，可得， 所以P（AB）＝0.1，所以P（AB）＝P（A）P（B），所以A与B相互独立，所以D错误． 故选：B． 10．已知随机事件A，B满足：，，则下列选项错误的是（　　） A．若，则A与B相互独立 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B互斥，则 D．若，则 【答案】C 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，，故A与B相互独立，A正确； 对于B，若A与B相互独立，则与B也相互独立， 则，B正确； 对于C，若A与B互斥，则P（AB）＝0， ，C错误； 对于D，因为， 由全概率公式可得，即，变形有， 所以，D正确． 故选：C． 11．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为，，则 ，即，所以，故B错误； ∵ ∴，∴， ∴，故A错误； ，∴，故C正确． 因为， ∵， ∴，∴，∴，故D错误． 故选：C． 12．若，则P（A|B）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为， 所以， 所以． 故选：D． 13．已知P（B|A），P（A），则P（A∩B）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵P（B|A），P（A）， ∴P（A∩B）＝P（A）P（B|A）． 故选：C． （多选）14．已知随机事件A，B满足，，P（B|A）＝P（B），则（　　） A．事件A与事件B相互独立 B． C． D． 【答案】AD 【解答】解：对于A，由P（B|A）＝P（B），得，即P（BA）＝P（B）P（A），事件A与事件B相互独立，A正确； 对于B，由选项A知，事件相互独立， 随机事件A，B满足，， 则，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确． 故选：AD． （多选）15．设A，B为随机事件，且P（A），P（B）是A，B发生的概率．P（A），P（B）∈（0，1），则下列说法正确的是（　　） A．若A，B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B） B．若P（AB）＝P（A）P（B），则A，B相互独立 C．若A，B互斥，则A，B相互独立 D．与相等 【答案】ABD 【解答】解：对于A：若A，B互斥，根据互斥事件的概率公式，则P（A∪B）＝P（A）+P（B），故A正确； 对于B：由相互独立事件的概念知，若P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B是相互独立事件，故B正确； 对于C：若A，B互斥，则A，B不一定相互独立， 例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A＝“正面朝上”，事件B＝“反面朝上”， 事件A与事件B互斥，但P（AB）＝0，， 所以不满足相互独立事件的定义，故C错误； 对于D：， ， 所以与相等，故D正确． 故选：ABD． （多选）16．已知分别为随机事件A，B的对立事件，P（A）＞0，P（B）＞0，则下列说法正确的是（　　） A． B．P（AB）≤P（B|A） C．若A，B独立，则P（A|B）＝P（A） D．若A，B互斥，则P（A|B）+P（B|A）＝1 【答案】BC 【解答】解：对于A：，故A错误； 对于B：由0＜P（A）≤1，故，故B正确； 对于C：若A，B独立，则，故C正确； 对于D：若A，B互斥，则P（A|B）＝P（B|A）＝0，即P（A|B）+P（B|A）＝0，故D错误． 故选：BC． （多选）17．下列说法中错误的是（　　） A．P（B|A）＝P（A|B） B．P（（B∪C）|A）＝P（B|A）+P（C|A） C．P（AB）＝P（B|A）•P（A） D．P（B|A）•P（A）≥P（A）+P（B） 【答案】ABD 【解答】解：对于A：中，，， 而P（A）与P（B）不一定相等，故A错误； 对于B：B，C为互斥事件时成立，故B错误； 对于C：由条件概率的乘法公式可知C正确； 对于D：P（B|A）•P（A）＝P（AB）≤P（A）+P（B），故D错误． 故选：ABD． 18．设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，则P（A）＝ 　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意可知，，将代入可以求得， ，将，，求得． 故答案为：． ▉题型3 全概率公式 【知识点的认识】 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 P（B）． 19．跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（　　） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 【答案】A 【解答】解：设事件A表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件B1，B2，B3分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， 因为三个年级的教师人数之比为3：3：4， 所以， 因为高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%， 所以P（A|B1）＝40%＝0.4，P（A|B2）＝30%＝0.3，P（A|B3）＝35%＝0.35， 所以P（A）＝P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3） ． 故选：A． 20．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测．依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示．若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设事件A：该观众私自携带应援物品；事件B：安检门亮灯提示， 则P（A），P（B|A），P（），P（B|）， ， 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为P（A|B）， 所以． 故选：B． 21．已知，，，则P（N）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由全概率公式知 ， 所以． 故选：A． 22．志愿者甲参加第21届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设“甲乘地铁”为事件A，“甲乘公交车”为事件B，“甲骑共享单车”为事件C，“甲按时到达文博会”为事件D， 则，，，，，， 则P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）•P（D|C） ， ， 所以若某一天甲按时到达文博会， 则他骑共享单车的概率为． 故选：C． 23．甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设第n次传球后球在甲手中的概率为P（n）， 则P（n+1）[1﹣P（n）]， 由题意可知，P（1）＝0， 所以P（2）（1﹣0）， P（3）（1）， P（4）， 即经过四次传球后，球回到甲手中的概率为． 故选：C． 24．某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为，则智能客服的回答被采纳的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件B， 则，， ，， 根据全概率公式， ． 故选：B． 25．甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动．已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9．若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：用事件A，B分别表示“周六跑步”，“周日跑步”， 则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”， 周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9． 则，， ， 所以． 故选：D． ▉题型4 贝叶斯公式 【知识点的认识】 贝叶斯公式：若事件A1，A2，…，构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任何一个不为零的时间B，都有： ． 【解题方法点拨】 贝叶斯公式和全概率公式的联系： （1）各原因下条件概率已知，用全概率公式求事件发生概率； （2）事件已发生，求是某种原因造成的概率，用贝叶斯公式． 26．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01．今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（　　） A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】D 【解答】解：设A表示该汽车是货车，B表示该汽车是客车， 则P（A），P（B）， 设E表示汽车中途停车修理， 则P（E|A）＝0.02，P（E|B）＝0.01， 今有一辆汽车中途停车修理，则由贝叶斯公式得该汽车是货车的概率为： P（A|E）0.8． 故选：D． （多选）27．下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解答】解：对于A，由全概率公式得P（A）＝P（B）P（A|B）+P（）P（A|），故A正确； 对于B，由全概率公式得P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|），故B错误； 对于C，由条件概率得P（A|B），故C错误； 对于D，由贝叶斯公式得，故D正确． 故选：AD． （多选）28．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A、B存在如下关系，P（A|B）．某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6，如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（　　） A．第二天去甲餐厅的概率为0.54 B．第二天去乙餐厅的概率为0.44 C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 【答案】AC 【解答】解：设A1为第一天去甲餐厅，A2为第二天去甲餐厅，B1为第一天去乙餐厅，B2为第二天去乙餐厅， 所以P（A1）＝0.4，P（B1）＝0.6，P（A2|A1）＝0.6，P（A2|B1）＝0.5， 因为P（A2|A1）0.6，P（A2|B1）0.5， 所以，P（A2）P（A1|A2）＝0.24，P（A2）P（B1|A2）＝0.3， 所以有P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（B1）P（A2|B1）＝0.4×0.6+0.6×0.5＝0.54，故选项A正确； ∵第二天去甲餐厅A2与第二天去乙餐厅B2为对立事件，∴P（B2）＝1﹣P（A2）＝0.46，故选项B不正确； 因为P（B1|A2），故选项C正确； P（A1|B2），故选项D不正确， 故选：AC． （多选）29．若某市场销售的某种产品中，甲品牌、乙品牌的市场占有比例为2：8，优质品率分别为40%、90%，在该市场中任意买一件这种产品，则下列结论中正确的有（　　） A．买到的是甲品牌产品的概率为0.2 B．若已知买到的产品是乙品牌，则这件产品是优质品的概率是0.9 C．买到的是优质品的概率为0.8 D．若已知买到的是优质品，则这件产品是甲品牌的概率是0.5 【答案】ABC 【解答】解：因为甲、乙品牌的市场占有比例为2：8， 所以买到的是甲品牌的概率为0.2，故A正确； 因为乙品牌的优质品率为90%， 所以若已知买到的产品是乙品牌， 则这件产品是优质品的概率为0.9，故B正确； 设买到的产品为甲品牌为事件A1， 买到的产品为乙品牌为事件A2，优质品为事件B， 则P（B）＝P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2）＝0.2×0.4+0.8×0.9＝0.8，故C正确； ，故D错误． 故选：ABC． 30．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是 　0.4　 ；如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率是 　0.3　 ． 【答案】0.4；0.3 【解答】解：设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”， 则P（A）＝0.2，P（D|A）＝0.4，P（B）＝0.4，P（D|B）＝0.3，P（C）＝0.4，P（D|C）＝0.5， D＝（D∩A）∪（D∩B）∪（D∩C）， 由全概率公式得：P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）＝0.2×0.4+0.4×0.3+0.4×0.5＝0.4， 如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得到他乘船迟到的概率为： P（B|D）0.3， 故答案为：0.4；0.3． 31．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为 　　 ． 【答案】 【解答】解：设“该学生第i次及格”为事件Ai，i＝1，2，显然A1，A2为样本空间的一个完备事件组，且已知P（A1）＝p，P（A2|A1）＝p，P（）＝1﹣p，P（A2|）． 由全概率公式得，P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（）P（A2|）（1+p）． 由贝叶斯公式得，P（A1|A2）． 故答案为：． 32．假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和0.2．由于随机干扰，当传送信号0时，接收到信号为0的概率为0.8，当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9．求： （1）当接收到信号0时传送的信号是0的概率； （2）在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在n次传递中，0出现的次数为X，求E（X）． 【答案】（1）； （2）E（X）＝0.66n． 【解答】解：（1）记A0＝“传送信号0”，A1＝“传送信号1”，B＝“接收信号0”． 可知P（A0）＝0.8，P（A1）＝0.2，P（B|A0）＝0.8，P（B|A1）＝0.1， 由贝叶斯公式得所求的概率为： ， 即当接收到信号0时传送的信号是0的概率为． （2）在一次传送中，接收到0的概率为P＝P（A0）P（B|A0）+P（A1）P（B|A1）＝0.8×0.8+0.2×0.1＝0.66， 每次传送都有相同的传送概率和接收概率，则有X∼B（n，0.66）， 所以E（X）＝0.66n． 学科网（北京）股份有限公司 $