山东东营市河口区实验中学2025—2026学年第二学期学科阶段性测试 七年级数学试题

**基本信息** 立足七年级数学核心内容，融合《九章算术》文化素材与“一盔一带”社会热点，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，检测学生抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|命题与定理、不等式变形、平行线性质等|第6题以古文盈不足问题考查方程组建模，体现文化传承| |填空题|8题/28分|命题改写、二元一次方程定义、角平分线性质等|第16题通过错解分析考查方程组解的理解，强化推理意识| |解答题|7题/62分|方程组与不等式求解、几何证明、一次函数应用等|第23题结合“一盔一带”政策设计成本控制问题，第25题以三角尺和平行线动态变化考查探究能力，落实模型意识与创新意识|

2025—2026学年第二学期河口区实验中学学科阶段性测试 七年级数学试题 （分值：120分 时间：120分钟） 第I卷（选择题 共30分） 一．选择题（本题共10题，每题3分．共30分）． 1. 下列语句中，真命题是（ ） A. 若，则 B. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 C. 是的平方根 D. 相等的两个角是对顶角 2. 下列不等式变形正确的是（） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 如图，将一块直角三角板的顶点与直尺的一边重合，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤，能判定的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ③⑤ D. ②④⑤ 5. 不等式的解集在数轴上表示为（　　） A B. C. D. 6. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x，y的方程组与有相同的解，则m+n的值为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．﹣2 8. 在一次科技知识竞赛中，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得10分，不选或错选倒扣5分，如果得分不低于90分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 9. 在螳螂示意图中，，是等腰三角形，，，则（ ） A. B. C. D. 10．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣2x+1的图象相交于点P（a，3），下列说法错误的是（　　） A．k＞0，b＞0 B．关于x的方程kx+b＝3的解是x＝﹣1 C．关于x的不等式kx+b＜﹣2x+1的解集是x＜3 D．关于x的不等式kx+b≥3的解集是x≥﹣1 第II卷（非选择题 共90分） 二．填空题（本题共8题，11-14题每题3分，15-18题每题4分，共28分） 11. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式_____． 12. 若关于的方程是二元一次方程，则m的值为______． 13. 若不等式的解集是，则a的取值范围是________． 14. 如图，将木条与钉在一起，，要使木条与平行，木条旋转的度数至少是_________． 15. 一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为______． 16. 在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 17.某种商品的进价为元，出售标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最低可打______折． 18. 如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的是_________． 三．解答题（共7题，共计62分） 19. （12分）解二元一次方程组； （1）（2） 解不等式并把解集在数轴上表示出来； （3）； （4） 20. （7分）已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值． 21. （8分）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 22.（7分）小张骑自行车去外的外婆家，中途因道路施工推行了一段路，后到达外婆家．已知他骑车的平均速度是，推行的平均速度是，那么他骑车与推行各用多少时间？ 23.（8分）长沙交警正在全市范围内开展“一盔一带”安全守护行动，旨在提升摩托车、电动自行车骑乘人员和机动车驾乘人员的交通安全防护水平．某超市计划购进一批头盔用于销售．已知购进4个型头盔和3个型头盔需要315元，购进3个型头盔和4个型头盔需要350元． （1）求，两种型号的头盔单价分别为多少元； （2）若该商场准备购进100个这两种型号的头盔，总费用不超过4400元，则最多可购进型头盔多少个？ 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上一点，且的面积为6，请写出点P的坐标． (3)结合图象直接写出：的解集． 25. （10分）【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“一个含的之间三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线且，在三角形中，，，． （1）当三角形和平行线的位置如图1时，若，求的度数； 深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，∠1的度数不变，创新小组的同学把直线向上平移，求的度数； 【拓展应用】 （3）缜密小组在创新小组的基础上，将图形继续变化得到图3，若平分，求的度数． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A C C A A A C 一．选择题（共10小题） 1．下列语句中，真命题是（　　） A．若a2＝b2，则a＝b B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 C．﹣3是的平方根 D．相等的两个角是对顶角 【答案】C 【分析】根据等式的性质、平方根、对顶角和点到直线的距离进行判断即可． 【解答】解：A、若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，原命题是假命题； B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题； C、﹣3是的平方根，是真命题； D、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题； 故选：C． 【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理． 2．下列不等式变形正确的是（　　） A．若a＜b，则1+a＜1+b B．若a＜b，则ax2＜bx2 C．若ac＞bc，则a＞b D．若m＞n，则m﹣1＜n﹣1 【答案】A 【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．若a＜b，则1+a＜1+b，故选项A正确； B．若a＜b，当x＝0时，ax2＝bx2，故选项B不正确； C．若ac＞bc，当a＞b，c＜0时，ac＜bc，故选项C不正确； D．若m＞n，则m﹣1＞n﹣1，故选项D不正确． 故选：A． 【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 3．如图，将一块直角三角板的60°顶点与直尺的一边重合，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】B 【分析】结合图形，利用平行线的性质和平角的定义求解即可． 【解答】解：根据题意：AB∥CD， ∴∠1＝∠3＝70°， 又∠4＝60°， ∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣70°﹣60°＝50°，即∠2的度数为50°， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 4．如图，下列条件中：①∠D+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠D＝∠5；⑤∠1＝∠5，能判定AD∥BC的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．③⑤ D．②④⑤ 【答案】A 【分析】由平行线的判定方法，即可判断． 【解答】解：①由同旁内角互补，两直线平行判定AD∥BC，故①符合题意； ②由内错角相等，两直线平行判定AD∥BC，故②符合题意； ③由内错角相等，两直线平行判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故③不符合题意； ④由内错角相等，两直线平行AD∥BC，故④符合题意； ⑤∠1和∠5不是同位角，也不是内错角，∠1＝∠5不能判定AD∥BC，故⑤不符合题意． ∴能判定AD∥BC的有①②④． 故选：A． 【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行． 5．不等式﹣x﹣2≤0的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解出不等式的解集，然后将解集在数轴上表示出来即可． 【解答】解：﹣x﹣2≤0， 移项，得：﹣x≤2， 系数化为1，得：x≥﹣2， 解集在数轴上表示如下： ， 故选：C． 【点评】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 6．《九章算术•盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱：如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可． 【解答】解：设共有x人，物品的价格为y钱，根据题意得： ． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 7．若关于x，y的方程组与有相同的解，则m+n的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．3 D．﹣5 【答案】A 【分析】先根据题意得出相同的解是，然后分别代入方程mx+ny＝1和方程nx+my＝﹣7中得到关于m、n的方程组，直接相加即可求解． 【解答】解：根据题意得两个方程组相同的解是， 把代入方程mx+ny＝1和方程nx+my＝﹣7中，得，， ①+②，得3m+3n＝﹣6， ∴m+n＝﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 8．在一次科技知识竞赛中，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得10分，不选或错选倒扣5分，如果得分不低于90分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】首先设做对x道，则做错或不做的有（20﹣x）道，做对的题目共得10x分，做错的须扣5×（20﹣x）分，根据最后得分不低于90分可得不等式10x﹣5×（20﹣x）≥90，解不等式可得答案． 【解答】解：设做对x道，则做错或不做的有（20﹣x）道，根据题意得： 10x﹣5×（20﹣x）≥90， 解得x≥12， ∵x为整数， ∴至少应选对13道题． 故选：A． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决此题的关键是首先弄清题意，表示出做对题目的得分，做错题目的扣分，然后列出不等式． 9．在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠BCD＝（　　） A．16° B．28° C．44° D．45° 【答案】A 【分析】延长ED，交AC于F，根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACB＝28°，根据平行线的性质得出∠CFD＝∠A＝28°，由三角形外角的性质即可求得∠ACD的度数，于是得到结论． 【解答】解：延长ED，交AC于F， ∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°， ∴∠A＝∠ACB＝28°， ∵AB∥DE， ∴∠CFD＝∠A＝28°， ∵∠CDE＝∠CFD+∠ACD＝72°， ∴∠ACD＝72°﹣28°＝44°， ∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝16°， 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 10．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣2x+1的图象相交于点P（a，3），下列说法错误的是（　　） A．k＞0，b＞0 B．关于x的方程kx+b＝3的解是x＝﹣1 C．关于x的不等式kx+b＜﹣2x+1的解集是x＜3 D．关于x的不等式kx+b≥3的解集是x≥﹣1 【答案】C 【分析】运用待定系数法可求出交点坐标，和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解． 【解答】解：根据题意，把交点P（a，3）代入一次函数y＝﹣2x+1中得， ﹣2a+1＝3，解得，a＝﹣1， ∴P（﹣1，3）， 把点P（﹣1，3）代入一次函数图象y＝kx+b得，﹣k+b＝3， 根据一次函数y＝kx+b的图象可得，k＞0，b＞0，故A，B选项正确，不符合题意； 当kx+b＜﹣2x+1时，x＜﹣1，故C选项错误，符合题意； 当x≥﹣1时，kx+b≥3，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查两条直线的交点问题，掌握一次函数图象的性质即可求解． 二．填空题（共7小题） 11．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　 ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面即可． 【解答】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【点评】本题考查了把一个命题写成“如果⋯那么⋯”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面． 12．若关于x，y的方程2x|m|+（m﹣1）y＝3是二元一次方程，则m的值为 　﹣1　 ． 【答案】﹣1 【分析】根据二元一次方程的定义列出方程求解可得答案． 【解答】解：关于x，y的方程2x|m|+（m﹣1）y＝3是二元一次方程， ∴|m|＝1，m﹣1≠0． ∴m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】此题主要考查二元一次方程的概念，关键熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 13．若不等式（a﹣1）x＞1﹣a的解集是x＜﹣1，则a的取值范围是a＜1　 ． 【答案】a＜1 【分析】根据不等式的性质，两边同时除以一个负数，不等号的方向改变判断a的取值范围． 【解答】解：两边同时除以（a﹣1）得，x＜﹣1， 可见，a﹣1＜0， 解得a＜1． 故答案为a＜1． 【点评】本题考查了不等式的性质，解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 14．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝88°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是 　38°　 ． 【答案】38° 【分析】根据同位角相等，两直线平行，求解即可． 【解答】解：根据平行线的判定定理可知，当∠1＝∠2时，a∥b， ∵∠1＝88°，∠2＝50°， ∴∠1﹣∠2＝88°﹣50°＝38°， 所以要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是38°时，a∥b， 故答案为：38°． 【点评】此题考查了平行线判定，解题的关键是掌握平行线判定的方法． 15．一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1．若这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是x，个位数字是y，则列方程为　　 ． 【答案】． 【分析】根据“十位数字比个位数字的2倍大1，且这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵十位数字比个位数字的2倍大1， ∴x﹣2y＝1； ∵这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数， ∴10x+y﹣36＝10y+x． ∴根据题意可列出方程组． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 16．在解关于x，y的方程组时，甲把方程组中的a看成了﹣4，求得的解为；乙看错了方程组中的b，求得的解为．_________． 【答案】（1）6 【分析】（1）把代入方程4x﹣by＝1中即可求出b的值，把代入方程﹣4x+5y＝c中即可求出c的值，把代入方程ax+5y＝﹣1中即可求出a的值； 【解答】解：（1）把代入方程4x﹣by＝1中，得4×4﹣3b＝1， 解得b＝5， 把代入方程﹣4x+5y＝c中，得﹣4×4+5×3＝c， 解得c＝﹣1， 把代入方程ax+5y＝﹣1中，得﹣3a+5×1＝﹣1， 解得a＝2； 17．某种商品的进价为800元，出售标价为1 200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可打　七　 折． 【答案】七 【分析】设打x折，利用销售价减进价等于利润得到1200•﹣800≥800×5%，然后解不等式求出x的范围，从而得到x的最小值即可． 【解答】解：设打x折， 根据题意得1200•﹣800≥800×5%， 解得x≥7． 所以最低可打七折． 故答案为七． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用：由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．注意打x折时，标价要乘0.1x为销售价． 18．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的是 　①②　 ． 【答案】①②． 【分析】①根据FE平分∠AFG，可设∠AFE＝∠GFE＝α，则∠AFG＝2α，∠D＝α，由平行线性质得∠BFD＝∠D＝α，∠EHC＝∠D，FG⊥FD，然后根据∠AFG+∠GFD+∠BFD＝180°得2α+90°+α＝180°，由此解出α＝30°，进而可对结论①进行判断； ②由①可知∠D＝30°，∠EHC＝∠D＝30°，据此可对结论②进行判断； ③根据∠GFD＝90°，∠GFH＝60°得∠HFD＝30°，再根据∠BFD＝∠D＝30°得∠HFD＝∠BFD＝30°，据此可对结论③进行判断； ④由∠GFD＝90°可知根据已知条件无法求出∠GFH＝45°，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∴FE平分∠AFG， ∴设∠AFE＝∠GFE＝α，则∠AFG＝2α， ∵∠AFG＝2∠D， ∴∠D＝α， ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D＝α，∠EHC＝∠D， ∵FD∥EH，FG⊥EH， ∴FG⊥FD， 即∠GFD＝90°， ∵F为AB上一点， ∴∠AFG+∠GFD+∠BFD＝180°， 即2α+90°+α＝180°， 解得：α＝30°， ∴∠D＝α＝30°， 故结论①正确； ②由①可知：∠D＝30°，∠EHC＝∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， 故结论②正确； ③根据已知条件无法求出FD平分∠HFB， 故结论③错误； ④∵∠GFD＝90°， ∴根据已知条件无法求出∠GFH＝45°， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②． 故答案为：①②． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义，垂线的定义，平行线的性质，准确识图，理解角平分线的定义，垂直定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 三．解答题（共3小题） 19．解方程组： （1）． （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）将原方程组整理，然后利用加减消元法求解即可． 【解答】解：（1）， 两方程相加得：2x+y+3x﹣y＝7+3， 解得：x＝2， 把x＝2代入2x+y＝7得：2×2+y＝7， 解得：y＝3， ∴原方程组的解为； （2） 由①得x﹣3y＝﹣4③， ②﹣③得x+y﹣（x﹣3y）＝﹣4， 4y＝﹣4， 解得y＝﹣1， 把y＝﹣1代入②得x﹣1＝﹣8， 解得：x＝﹣7， ∴． 【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． 20．已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求a、b的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】把两方程组中不含a与b的方程联立组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程组成方程组，求出a与b的值即可． 【解答】解：由两方程组的解相同，联立得：， ①×7﹣②得：17x＝34，即x＝2， 把x＝2代入①得：y＝1， 把代入得：， 解得：． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 212121如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】（1）由题意得到，得到，从而得到，即可得出答案； （2）根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．小张骑自行车去外的外婆家，中途因道路施工推行了一段路，后到达外婆家．已知他骑车的平均速度是，推行的平均速度是，那么他骑车与推行各用多少时间？ 【答案】他骑车用了小时，推行用了小时 【分析】设他骑车用了小时，推行用了小时，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设他骑车用了小时，推行用了小时， 依题意得：， 解得：， 答：他骑车用了小时，推行用了小时． 23.长沙交警正在全市范围内开展“一盔一带”安全守护行动，旨在提升摩托车、电动自行车骑乘人员和机动车驾乘人员的交通安全防护水平．某超市计划购进一批头盔用于销售．已知购进4个A型头盔和3个B型头盔需要315元，购进3个A型头盔和4个B型头盔需要350元． （1）求A，B两种型号的头盔单价分别为多少元； （2）若该商场准备购进100个这两种型号的头盔，总费用不超过4400元，则最多可购进B型头盔多少个？ 【答案】（1）购进1个A型头盔需要30元，购进1个B型头盔需要65元； （2）最多可购进B型头盔40个． 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设乙型头盔m个，根据所需费用＝数量×单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔m的最大值； 【解答】解：（1）设购进1个A型头盔需要x元，购进1个B型头盔需要y元． 根据题意，得， 解得，； 答：购进1个A型头盔需要30元，购进1个B型头盔需要65元； （2）设购进B型头盔m个，则购进A型头盔（100﹣m）个， 根据题意，得：65m+30（100﹣m）≤4400， 解得：m≤40， ∴m的最大值为40， 答：最多可购进B型头盔40个． 【点评】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上一点，且的面积为6，请写出点P的坐标． (3)结合图象直接写出：的解集． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）代入点到，求出的值，再代入点的坐标到，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）利用一次函数的性质求出，设点P的坐标为，根据三角形的面积公式列出方程，求出的值即可解答； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：代入点到，得， 解得， ∴， 代入，到， 则， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：对于，令，则， ∴， 设点P的坐标为， ∵的面积为6， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； （3）解：由图象得，当时，， ∴的解集为． 25．【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线MN，PQ且MN∥PQ，在三角形ABC中，∠BCA＝90°，∠B＝60°，∠A＝30°． （1）当三角形ABC和平行线的位置如图1时，若∠1＝47°，求∠2的度数； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，∠1的度数不变，创新小组的同学把直线MN向上平移，求∠3的度数； 【拓展应用】 （3）缜密小组在创新小组的基础上，将图形继续变化得到图3，若AC平分∠BAP，求∠4的度数． 【答案】（1）43°； （2）167°； （3）60°． 【分析】（1）先根据平角的定义，求出∠ACM的度数，再结合平行线的性质即可解决问题． （2）过点B作BE∥MN，易得BE∥PQ，根据平行线的性质即可解决问题． （3）作CF∥PQ，根据角平分线的定义，结合平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）如图所示， ∵∠ACB＝90°，∠1＝47°， ∴∠ACM＝180°﹣∠ACB﹣∠1＝43°． ∵MN∥PQ， ∴∠2＝∠ACM＝43°． （2）过点B作BE∥PQ， 又∵MN∥PQ， ∴BE∥MN， ∴∠CBE＝∠1＝47°． 又∵∠ABC＝60°， ∴∠ABE＝60°﹣∠CBE＝13°． ∵BE∥MN， ∴∠3＝180°﹣13°＝167°； （3）∵∠BAC＝30°，且AC平分∠BAN， ∴∠1＝∠BAC＝30°． 作CF∥MN， ∵CF∥MN， ∴∠ACF＝∠1＝30°， ∴∠BCF＝90°﹣30°＝60°． 又∵CF∥PQ，MN∥CF， ∴CF∥PQ， ∴∠4＝∠BCF＝60°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $