精品解析：湖南长沙市长郡集团联考2025--2026学年下学期八年级期中检测试卷 数学

初二年级期中考试数学试卷 时量：120分钟满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项：， 被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． B选项：，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． C选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式． D选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式． 2. 汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少．已知该汽车平均每千米耗油．当时，与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得，与的函数关系式为． 3. 在中分别是的对边，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，熟练掌握相关判定方法即可解题，结合条件逐项判断即可得到结果． 【详解】解：对于A选项，∵ ， ∴ ，符合勾股定理的逆定理， ∴ 是直角三角形，A不符合题意． 对于B选项，∵ ， ∴ ，符合勾股定理的逆定理， ∴ 是直角三角形，B不符合题意． 对于C选项，∵ ，， ∴ 最大角 ， ∴ 不是直角三角形，C符合题意． 对于D选项，∵ ，且 ， ∴ ，代入内角和得 ，即 ， ∴ 是直角三角形，D不符合题意． 4. 下列各式中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则和性质，逐一计算判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ A不符合题意， ∵ ， ∴ B不符合题意， ∵ ， ∴ C不符合题意， ∵ 表示的算术平方根，结果为非负数， ∴， ∴ D符合题意． 5. 如图，在数轴上，点对应的数是，点对应的数是0，线段于点，且线段长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，结合点在原点左侧即可求出点表示的数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数为． 6. 一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据多边形的内角和公式计算多边形的边数．利用多边形的内角和公式，列出方程求解即可． 【详解】解：设所求多边形的边数为， ∴， 解得：， 故选：C． 7. 有一块矩形的木板，它的长为，宽为，则这块木板的周长和面积分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简长和宽的二次根式，再利用矩形周长公式和面积公式计算，即可得到结果． 【详解】解：∵ ，， ∴矩形的周长 ∴矩形的面积 即周长为 ，面积为． 8. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；C、由ABCD可得出∠BAO=∠DCO、∠ABO=∠CDO，结合OA=OC可证出△ABO≌△CDO（AAS），根据全等三角形的性质可得出AB=CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；D、由ABCD、AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．此题得解． 【详解】解：A、∵ABCD、AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形； B、∵ABCD、ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形； C、∵ABCD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形； D、由ABCD、AD=BC，则四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键． 9. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小明想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点B的位置，测得推送的水平距离为，即此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，，得，然后设秋千的绳索长为，则，，通过勾股定理得，求出的值即可． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， 设秋千的绳索长为，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴秋千的绳索长为． 10. 根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．若输入x的值为2时，则输出y的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据数值转换机当输入的数为4时，求出的值，再输入2进行计算即可． 【详解】解：当输入的值为4时，输出的的值为5，即， 所以， 当时，， 当时，， 故选：C． 【点睛】本题考查函数值，理解数值转换机的运算程序是解决问题的前提，求出的值是正确解答的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 函数y=中自变量x的取值范围是__________． 【答案】x＞-3． 【解析】 【分析】 【详解】解：由题意得： 故答案为 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式，分式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键． 12. 若．则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的运算法则和因式分解进行计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ， ∴ 13. 在生活中，我们经常会看到这种为抄近道而踩踏草坪的不文明现象．我们从实物图中抽象出如图所示的，其中表示两条互相垂直的小路，表示在草坪上踩踏出来的“小路”．经测量得，，那么抄近道可以少走_____．多走几小步，文明一大步！让我们做文明的使者，敢于向不文明行为说！ 【答案】4 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，再根据少走路程为，即可求解． 【详解】解：根据题意，， 在中，，， ∴， ∴， 即抄近道可以少走． 14. 如图，测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故答案为：3． 15. 水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 【答案】15 【解析】 【分析】根据表格数据，时间与水的高度成正比例关系，时间每增加，水的高度增加，即可求解． 【详解】解：观察表格可知当时间为时，水的高度为，时间每增加，水的高度增加， ∴水的高度与时间成正比例关系， ∴当时间为10分钟时，容器中水的高度为． 故答案为：15． 16. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，．点，分别是，边上的动点，则的最小值为_____． 【答案】4.8 【解析】 【分析】如图，连接，过点D作于点H，交于，根据菱形的性质得垂直平分，则，，当N与H重合，M与重合时，最小值为，由勾股定理求出，再根据，即可求出． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点H，交于， ∵在菱形中，对角线与相交于点，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 当N与H重合，M与重合时，最小值为， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为4.8． 三、解答题 17. 计算题 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘除运算法则计算乘除法，然后化简即可； （3）先计算乘除法，然后化简二次根式，计算加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式 ． 18. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的减法．先根据二次根式有意义的条件得到，进而得到，代入式子，根据二次根式的减法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，某社区有一块四边形空地，计划用来种植草皮．经测量得到以下数据：，，，从点到边的距离（垂足为），恰好是的中点．已知购买草皮的价格为每平方米50元． （1）求边的长； （2）请你帮社区算一算购买草皮的费用为多少元？ 【答案】（1）18m （2）购买草皮的费用为8400元． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据中点的定义即可求解； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算出面积，然后用面积乘以每平方米的单价即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 在中，， 是的中点， ； 【小问2详解】 解：连接， ，是的中点， ， ， ， ， ， （元）， 答：购买草皮的费用为8400元． 20. 如图，在中，为的中点，延长，交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）10 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则由平行线的性质得，证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论； （2）由、得出，再由，根据等腰三角形三线合一的性质得，即可由勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， 又， ， 又， ， ， ． 21. 湘绣是中国的四大名绣之一，以其浓郁的湘楚地方文化特色和高超的刺绣艺术而闻名天下．湘绣是以画稿为蓝本，“以针代笔，以线润色”，通过刺绣工艺进行艺术再创造，不但保存了画稿原有的笔墨神韵，更是增添了物象的真实性和立体感，从而使绣品更加生动逼真、栩栩如生．春假期间，小山和他爸爸两人从家出发，骑自行车沿同一条路到长沙市湘绣研究所参观学习．从小山家到长沙市湘绣研究所的路程是．他们离家的路程（单位：）与骑行时间（单位：）之间的关系如图所示，小山先出发，在途中休息了一段时间，休息后骑行的速度是原来的一半．小山爸爸始终保持匀速骑行． （1）求小山爸爸骑行的速度； （2）小山在途中休息了多长时间？ （3）小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有多远？ 【答案】（1） （2）小山在途中休息了0.5小时 （3）小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有 【解析】 【分析】（1）结合图象，根据速度路程时间，即可求出小山爸爸骑行的速度； （2）先结合图象求出小山原来的速度，根据休息后骑行的速度是原来的一半，可得小山后来的速度，再用剩余的路程除以后来的速度，可得小山休息后骑行的时间，用总时间减去休息前骑行的时间和休息后骑行的时间，即可得小山在途中休息的时间； （3）当小山爸爸追上小山时，他俩骑行的路程相等，据此列方程求解． 【小问1详解】 解：根据图象可得，， 答：小山爸爸骑行的速度为； 【小问2详解】 解：小山原来的速度为：， 小山后来的速度为：， 小山休息后骑行的时间为：， ． 答：小山在途中休息了0.5小时； 【小问3详解】 解：根据题意列方程，得， 解得，， ， 答：小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有． 22. 如图，矩形的对角线与交于点，点是的一点，，延长至点，使交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求和的长度． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， 又， 是的中位线， ， 又， ， 四边形是平行四边形； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到是的中位线，证明，即可得到结论； （2）证明四边形是矩形，求出，求出，根据勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． ． 23. 我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． （1）下列各式中是“完全平方根式”的有_____； ①②③ （2）利用“完全平方根式”化简：； （3）已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值． 【答案】（1）①③ （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义结合二次根式的性质进行化简即可； （3）①根据新定义推出，进而推出或或，进而得到当的值最小时，有最小值，即可得出结果；②将转化为，根据是整数，得到，得到，再进行求解即可． 【小问1详解】 解：； ； ； 故满足要求的是①③； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：① 是“完全平方根式”， ， 又，且为正整数 或或， 当的值最小时，有最小值， ， ， ②， 为正整数，是整数， ，即， ， ， ， ， 当时，，原式； 当时，，原式． 24. 如图1，已知菱形和菱形的边长分别为，点在同一条直线上，点在边上，连接． （1）如图1，当时，连接，，．把四边形、和的面积分别记作，则①_____，_____（用含的代数式表示） ②请直接写出满足的关系式：_____； （2）如图2，当时，点是的中点，连接，．请判断的形状，并说明理由； （3）如图3，当时，点是的中点，连接，． ①用含的代数式表示；②连接，四边形可能成为平行四边形吗？若可能，请探究此时满足什么关系；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）①；②； （2） 是等腰直角三角形， 理由：延长交于点， 四边形和是菱形，， 图2 四边形和是正方形， ， ， 在和中， 又， ， 又， ， 是等腰直角三角形； （3）①；②． 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的判定和性质进行解答即可；②根据的代数式之间的关系进行解答即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形是判定与性质证明，，即可得到结论； （3）①根据含角的直角三角形的性质进行解答即可；②根据四边形是平行四边形，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵，菱形和菱形的边长分别为， ∴四边形是正方形， ∴， ∴菱形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ①同（2）可证，， ， 图3 ②四边形是菱形， 是等边三角形， ， ， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级期中考试数学试卷 时量：120分钟满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少．已知该汽车平均每千米耗油．当时，与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 3. 在中分别是的对边，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在数轴上，点对应的数是，点对应的数是0，线段于点，且线段长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形 7. 有一块矩形的木板，它的长为，宽为，则这块木板的周长和面积分别是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 9. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小明想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点B的位置，测得推送的水平距离为，即此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．若输入x的值为2时，则输出y的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 函数y=中自变量x的取值范围是__________． 12. 若．则的值为_____． 13. 在生活中，我们经常会看到这种为抄近道而踩踏草坪的不文明现象．我们从实物图中抽象出如图所示的，其中表示两条互相垂直的小路，表示在草坪上踩踏出来的“小路”．经测量得，，那么抄近道可以少走_____．多走几小步，文明一大步！让我们做文明的使者，敢于向不文明行为说！ 14. 如图，测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为__________． 15. 水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 16. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，．点，分别是，边上的动点，则的最小值为_____． 三、解答题 17. 计算题 （1）； （2）； （3）． 18. 已知，求的值． 19. 如图，某社区有一块四边形空地，计划用来种植草皮．经测量得到以下数据：，，，从点到边的距离（垂足为），恰好是的中点．已知购买草皮的价格为每平方米50元． （1）求边的长； （2）请你帮社区算一算购买草皮的费用为多少元？ 20. 如图，在中，为的中点，延长，交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 湘绣是中国的四大名绣之一，以其浓郁的湘楚地方文化特色和高超的刺绣艺术而闻名天下．湘绣是以画稿为蓝本，“以针代笔，以线润色”，通过刺绣工艺进行艺术再创造，不但保存了画稿原有的笔墨神韵，更是增添了物象的真实性和立体感，从而使绣品更加生动逼真、栩栩如生．春假期间，小山和他爸爸两人从家出发，骑自行车沿同一条路到长沙市湘绣研究所参观学习．从小山家到长沙市湘绣研究所的路程是．他们离家的路程（单位：）与骑行时间（单位：）之间的关系如图所示，小山先出发，在途中休息了一段时间，休息后骑行的速度是原来的一半．小山爸爸始终保持匀速骑行． （1）求小山爸爸骑行的速度； （2）小山在途中休息了多长时间？ （3）小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有多远？ 22. 如图，矩形的对角线与交于点，点是的一点，，延长至点，使交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求和的长度． 23. 我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． （1）下列各式中是“完全平方根式”的有_____； ①②③ （2）利用“完全平方根式”化简：； （3）已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值． 24. 如图1，已知菱形和菱形的边长分别为，点在同一条直线上，点在边上，连接． （1）如图1，当时，连接，，．把四边形、和的面积分别记作，则①_____，_____（用含的代数式表示） ②请直接写出满足的关系式：_____； （2）如图2，当时，点是的中点，连接，．请判断的形状，并说明理由； （3）如图3，当时，点是的中点，连接，． ①用含的代数式表示；②连接，四边形可能成为平行四边形吗？若可能，请探究此时满足什么关系；若不可能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $