5.1.1 变化率问题（第一课时）导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 一5.1.1 变化率问题 第1课时 【学习目标】 1. 理解函数的平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的概念. 2. 会求函数在某一点附近的平均变化率，并能计算物体运动在某时刻的瞬时速度. 3. 通过高台跳水、火箭发射等实例，体会极限思想在刻画变化快慢中的作用. 4. 初步了解抛物线的切线斜率与瞬时变化率的关系，培养数学抽象与逻辑推理能力. 【学习重点】 1. 平均变化率与瞬时速度的计算方法； 2. 瞬时速度的本质：平均速度的极限. 【学习难点】 1. 理解“Δt无限趋近于0”时平均速度趋近于某个确定值（瞬时速度）的极限思想； 2. 从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程. 学习任务一 平均变化率与高台跳水运动员的速度 【合作探究】 1.在必修第一册中，我们学习了“指数爆炸”比“直线上升”快得多.那么，如何定量地刻画一个变量相对于另一个变量变化的快慢程度？什么叫变化率？ 2.高台跳水运动员相对于水面的高度 （单位：m）与时间 （单位：s）满足关系： 请计算运动员在以下时间段内的平均速度： 你发现平均速度能精确反映运动员在每一时刻的运动状态吗？为什么？ 3.什么是瞬时速度？它与平均速度有什么联系和区别？ 【自主梳理】 1.平均变化率： 函数 在区间 上的平均变化率为 它刻画了函数在某一区间内变化的______（快慢/平均快慢）. 2.平均速度： 物体在时间段 内的平均速度为 其中 为位移函数. 3.瞬时速度： 物体在某一时刻 的速度，定义为当 ______ 时，平均速度的______. 记作： 如果 可以取正值（未来）或负值（过去），当 从两个方向无限趋近于 0 时，平均速度都趋近于同一个常数，这个常数就是______. 学习任务二 瞬时速度的求法与极限思想 【合作探究】 1.以高台跳水为例，求运动员在 s 时的瞬时速度. 提示：先写出 时的平均速度表达式，再取 及 计算近似值，观察它们趋近于哪个数. 2.观察以下表格（部分数据）： 平均速度（近似值） -6.951 0.01 -6.9951 0.001 -6.99951 -0.1 -7.049 -0.01 -7.0049 -0.001 -7.00049 当 时，平均速度无限趋近于______. 所以 ______ m/s. 3.你能总结出求物体在任意时刻 瞬时速度的一般步骤吗？ 【自主梳理】 1.求瞬时速度的一般步骤： (1) 写出平均速度表达式：. (2) 令 无限趋近于 0，观察 的变化趋势. (3) 若 无限趋近于一个常数，则该常数即为 时刻的______. 3. 瞬时速度是平均速度的______值，它反映了物体在某一瞬间的运动快慢和方向. 学习任务三 抛物线的切线斜率（初步感知） 【合作探究】 1.对于抛物线 ，我们如何求它在点 处切线的斜率？ 提示：考虑点 ，先求割线 的斜率，再令 . 2.你发现“切线的斜率”与前面学习的“瞬时速度”在数学本质上有什么相同之处？ 【自查自纠】 1. 平均速度就是瞬时速度. （ ） 2. 当 时，平均速度公式无意义，所以瞬时速度无法计算. （ ） 3. 函数 在区间 上的平均变化率一定小于它在区间 上的平均变化率. （ ） 4. 求瞬时速度时， 可以取负值. （ ） 5. 瞬时速度的求解过程体现了极限思想. （ ） 【典例】例：火箭发射后 s 的高度为 （单位：m）. （1）求火箭在 这段时间内的平均速度. （2）求火箭发射后第 10 s 时的瞬时速度. 【习题巩固】 1.函数 在区间 上的平均变化率为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2.一物体运动位移 （m），则它在 s 时的瞬时速度是（ ） A. 4 m/s B. 5 m/s C. 6 m/s D. 8 m/s 3.下列说法正确的是（ ） A. 平均速度一定小于瞬时速度 B. 瞬时速度是平均速度在 时的极限 C. 只要时间间隔足够小，平均速度就等于瞬时速度 D. 瞬时速度不可能为负值 4.（多选）关于变化率，下列描述正确的有（ ） A. 平均变化率只能反映总体的变化快慢 B. 瞬时变化率可以刻画某一点的变换趋势 C. 导数就是瞬时变化率 D. 平均变化率与瞬时变化率的本质相同 5.一个小球从 5 m 高处自由下落，位移 （m）.求 s 时小球的瞬时速度. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $